天文算法类 》 算学启蒙总括   》 算学启蒙总括      Zhu Shijie

《算学启蒙》全书共3卷、分为20门，收入了259个数学问题．全书由浅入深，从整数的四则运算直至开高次方、天元术等，包括了当时已有的数学各方面内容，形成了一个较完备的体系，可用作教材，它确实是一部较好的启蒙数学书． 在全书之首，朱世杰首先给出了18条常用的数学歌诀和各种常用的数学常数．其中包括：乘法九九歌诀、除法九归歌诀(与后来的珠算归除口诀完全相同)、斤两化零歌诀(“一退六二五”之类)、筹算记数法则、大小数名称、度量衡换算、面积单位、正负数的四则运算法则、开方法等等．值得指出的是，朱世杰在这里，也是在中国数学史上首次记述了正负数的乘除运算法则．朱世杰把上述这些歌诀和数学常数等，作为“总括”而列在全书之首，这种写作的方式，在中国古算书中并不多见． 《算学启蒙》正文分上、中、下三卷． 卷上：共分为8门，收有数学问题113个，其内容为：乘数为一位数的乘法、乘数首位数为一的乘法、多位数乘法、首位除数为一的除法、多位除数的除法、各种比例问题(包括计算利息、税收等等)． 其中“库司解税门”第7问题记有“今有税务法则三十贯纳税一贯”，同门第10、11两问中均载有“两务税”等，都是当时实际施行的税制．朱世杰在书中的自注中也常写有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可见书中的各种数据大都来自当时的社会实际．因此，书中提到的物价(包括地价)、水稻单位面积产量等，对了解元代社会的经济情况也是有用的． 卷中：共7门，71问．内容有各种田亩面积、仓窖容积、工程土方、复杂的比例计算等等． 卷下：共5门，75问．内容包括各种分数计算、垛和问题、盈不足算法、一次方程解法、天元术等等． 这样，《算学启蒙》全书从简单的四则运算入手，一直讲述到当时数学的重要成就——天元术(高次方程的数值解法)，为阅读《四元玉鉴》作了必要的准备，给出了各种预备知识．清代罗士琳说《算学启蒙》“似浅实深”，又说《算学启蒙》、《四元玉鉴》二书“相为表里”，这些话都是不错的． 《算学启蒙》出版后不久即流传至朝鲜和日本．在朝鲜的李朝时期，《算学启蒙》和《详明算法》、《杨辉算法》一道被作为李朝选仕(算官)的基本书籍．在日本收藏有一部首尾残缺、未注明年代的《算学启蒙》，与此书一起，同时也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鲜庆州府刻版的《杨辉算法》．从版刻形式等方面来辨识，两部书是相同的，从而有人推断这部《算学启蒙》也是1433年朝鲜庆州府刻本．这可能要算是当今世界上最早的传世刻本．在《李朝实录》中也记有世宗本人曾向当时的副提学郑麟趾学习《算学启蒙》的史料． 《算学启蒙》传入日本的时间也已不可考，是久田玄哲在京都的一个寺院中发现了这部书，之后他的学生土师道云进行了翻刻(日本万治元年，1658，京都)．宽文12年(1672)又在江户(今东京)出版了星野实宣注解的《新编算学启蒙注解》3卷，元禄三年(1690)还出版了著名的和算家建部贤弘注释的《算学启蒙谚解大成》7卷．《算学启蒙》对日本和算的发展有较大的影响． 《算学启蒙》一书在朝鲜和日本虽屡有翻刻，但明末以来，在中国国内却失传了．清末道光年间罗士琳重新翻刻《四元玉鉴》时，《算学启蒙》尚无着落．后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”，请人在北京找到顺治十七年(1660)朝鲜全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在扬州重新刊印出版．这个本子，后来成为中国现存各种版本的母本．清代对《算学启蒙》进行注释的有王鉴所著《算学启蒙述义》(1884)和徐凤诰所著《算学启蒙通释》(1887)．
算学启蒙总括 释九数法 —一如一，一二如二，二二如四。一三如三，二三如六，三三如九。一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六。一五如五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九。一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四。一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。 九归除法 一归如一进，见一进成十。二一添作五，逢二进成十。三一三十一，三二六十二，逢三进成十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十。五归添一倍，逢五进成十。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进成十。七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十。八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进成十。九归随身下，逢九进成十。 斤下留法 一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留单五，九留五六二五，十留六二五，十一留六八七五，十二留七五，十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。 明纵横诀 一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当。满六已上，五在上方。六不积聚，五不单张。言十自过，不满自当。若明此诀，可习“九章”。 大数之类 一、十、百、千、万、十万、百万、千万，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙，万万恒河沙曰阿僧祗，万万阿僧祗曰那由他，万万那由他曰不可思议，万万不可思议曰无量数。 小数之类 一、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙。万万尘曰沙，万万埃曰尘，万万渺曰埃，万万漠曰渺，万万模糊曰漠，万万逡巡曰模糊，万万须臾曰逡巡，万万瞬息曰须臾，万万弹指曰瞬息，万万刹那曰弹指，万万六德曰刹那，万万虚曰六德，万万空曰虚，万万清曰空，万万净曰清。千万净，百万净，十万净，万净，千净，百净，十净，一净。 求诸率类 两求铢二十四乘，铢求两二十四除。斤求两身外加六，两求斤身外减六。秤求斤身外加五，斤求秤身外减五。据物卖钱而用乘，据钱买物而用除。 斛斗起率 量起于圭，十圭谓之一撮，十撮谓之一抄，十抄谓之一勺，十勺谓之一合，十合谓之一升，十升谓之一斗，十斗谓之一斛。 斤秤起率 衡起于黍。十黍谓之一絫，十絫谓之一铢，六铢谓之一分，四分谓之一两，十六两谓之一斤，十五斤谓之一秤，三十斤谓之一钧，四钧谓之一硕。 端匹起率 度起于忽。十忽谓之一丝，十丝谓之一毫，十毫谓之一厘，十厘谓之一分，十分谓之一寸，十寸谓之一尺，十尺谓之一丈。 匹率。端率。 田亩起率 田起于忽。十忽谓之一丝，十丝谓之一毫，十毫谓之一厘，十厘谓之一分，十分谓之一亩，百亩谓之一顷。三百步谓之一里。 古法圆率 周三尺，径一尺。 刘徽新术 周一百五十七尺，径五十尺。 冲之密率 周二十二尺，径七尺。 明异名诀 二分之一为中半，三分之一为少半，三分之二为太半，四分之一为弱半，四分之三为强半。 明正负术 其同名相减，则异名相加；正无入负之，负无入正之。其异名相减，则同名相加；正无入正之，负无入负之。 明乘除段 长平相并曰和，长平相减曰较。长平相乘曰积，自相称之曰幂。同名相乘曰正，异名相乘为负。平除长为小长，长除平为小平。小长平相并曰小和，小长平相减余小较，小长平相乘得一步为小积。 明开方法 置积为实，及方廉隅，同加异减开之。 纵横因法 此法从来向上因，但言十者过其身，呼如本位须当作，知算纵横数目真。 身外加法 算中加法最堪夸，言十之时就位加，但遇呼如身下列，君从法式定无差。 留头乘法 留头乘法别规模，起首先从次位呼，言十靠身如隔位，通临头位破身铺。 身外减法 减法根源必要知，即同求—一般推，呼如身下须当减，言十从身本位除。 九归除法门 实少法多从法归，实多满法进前居。常存除数专心记，法实相停九十余。但遇无除还头位，然将释九数呼除。流传故泄真消息，求一穿韬总不如。



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算学启蒙总括

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