天文算法类 》 算學啓蒙總括   》 算學啓蒙總括      朱世傑 Zhu Shijie

《算學啓蒙》全書共3捲、分為20門，收入了259個數學問題．全書由淺入深，從整數的四則運算直至開高次方、天元術等，包括了當時已有的數學各方面內容，形成了一個較完備的體係，可用作教材，它確實是一部較好的啓蒙數學書． 在全書之首，朱世傑首先給出了18條常用的數學歌訣和各種常用的數學常數．其中包括：乘法九九歌訣、除法九歸歌訣(與後來的珠算歸除口訣完全相同)、斤兩化零歌訣(“一退六二五”之類)、籌算記數法則、大小數名稱、度量衡換算、面積單位、正負數的四則運算法則、開方法等等．值得指出的是，朱世傑在這裏，也是在中國數學史上首次記述了正負數的乘除運算法則．朱世傑把上述這些歌訣和數學常數等，作為“總括”而列在全書之首，這種寫作的方式，在中國古算書中並不多見． 《算學啓蒙》正文分上、中、下三捲． 捲上：共分為8門，收有數學問題113個，其內容為：乘數為一位數的乘法、乘數首位數為一的乘法、多位數乘法、首位除數為一的除法、多位除數的除法、各種比例問題(包括計算利息、稅收等等)． 其中“庫司解稅門”第7問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”，同門第10、11兩問中均載有“兩務稅”等，都是當時實際施行的稅製．朱世傑在書中的自註中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可見書中的各種數據大都來自當時的社會實際．因此，書中提到的物價(包括地價)、水稻單位面積産量等，對瞭解元代社會的經濟情況也是有用的． 捲中：共7門，71問．內容有各種田畝面積、倉窖容積、工程土方、復雜的比例計算等等． 捲下：共5門，75問．內容包括各種分數計算、垛和問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等等． 這樣，《算學啓蒙》全書從簡單的四則運算入手，一直講述到當時數學的重要成就——天元術(高次方程的數值解法)，為閱讀《四元玉鑒》作了必要的準備，給出了各種預備知識．清代羅士琳說《算學啓蒙》“似淺實深”，又說《算學啓蒙》、《四元玉鑒》二書“相為表裏”，這些話都是不錯的． 《算學啓蒙》出版後不久即流傳至朝鮮和日本．在朝鮮的李朝時期，《算學啓蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝選仕(算官)的基本書籍．在日本收藏有一部首尾殘缺、未註明年代的《算學啓蒙》，與此書一起，同時也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鮮慶州府刻版的《楊輝算法》．從版刻形式等方面來辨識，兩部書是相同的，從而有人推斷這部《算學啓蒙》也是1433年朝鮮慶州府刻本．這可能要算是當今世界上最早的傳世刻本．在《李朝實錄》中也記有世宗本人曾嚮當時的副提學鄭麟趾學習《算學啓蒙》的史料． 《算學啓蒙》傳入日本的時間也已不可考，是久田玄哲在京都的一個寺院中發現了這部書，之後他的學生土師道雲進行了翻刻(日本萬治元年，1658，京都)．寬文12年(1672)又在江戶(今東京)出版了星野實宣註解的《新編算學啓蒙註解》3捲，元祿三年(1690)還出版了著名的和算傢建部賢弘註釋的《算學啓蒙諺解大成》7捲．《算學啓蒙》對日本和算的發展有較大的影響． 《算學啓蒙》一書在朝鮮和日本雖屢有翻刻，但明末以來，在中國國內卻失傳了．清末道光年間羅士琳重新翻刻《四元玉鑒》時，《算學啓蒙》尚無着落．後來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，請人在北京找到順治十七年(1660)朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在揚州重新刊印出版．這個本子，後來成為中國現存各種版本的母本．清代對《算學啓蒙》進行註釋的有王鑒所著《算學啓蒙述義》(1884)和徐鳳誥所著《算學啓蒙通釋》(1887)．
算學啓蒙總括 釋九數法 —一如一，一二如二，二二如四。一三如三，二三如六，三三如九。一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六。一五如五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九。一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四。一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。 九歸除法 一歸如一進，見一進成十。二一添作五，逢二進成十。三一三十一，三二六十二，逢三進成十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十。五歸添一倍，逢五進成十。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十。七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十。八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十。九歸隨身下，逢九進成十。 斤下留法 一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留單五，九留五六二五，十留六二五，十一留六八七五，十二留七五，十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。 明縱橫訣 一縱十橫，百立千僵。千十相望，萬百相當。滿六已上，五在上方。六不積聚，五不單張。言十自過，不滿自當。若明此訣，可習“九章”。 大數之類 一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載，萬萬載曰極，萬萬極曰恆河沙，萬萬恆河沙曰阿僧祗，萬萬阿僧祗曰那由他，萬萬那由他曰不可思議，萬萬不可思議曰無量數。 小數之類 一、分、釐、毫、絲、忽、微、纖、沙。萬萬塵曰沙，萬萬埃曰塵，萬萬渺曰埃，萬萬漠曰渺，萬萬模糊曰漠，萬萬逡巡曰模糊，萬萬須臾曰逡巡，萬萬瞬息曰須臾，萬萬彈指曰瞬息，萬萬剎那曰彈指，萬萬六德曰剎那，萬萬虛曰六德，萬萬空曰虛，萬萬清曰空，萬萬淨曰清。千萬淨，百萬淨，十萬淨，萬淨，千淨，百淨，十淨，一淨。 求諸率類 兩求銖二十四乘，銖求兩二十四除。斤求兩身外加六，兩求斤身外減六。秤求斤身外加五，斤求秤身外減五。據物賣錢而用乘，據錢買物而用除。 斛鬥起率 量起於圭，十圭謂之一撮，十撮謂之一抄，十抄謂之一勺，十勺謂之一合，十合謂之一升，十升謂之一鬥，十鬥謂之一斛。 斤秤起率 衡起於黍。十黍謂之一絫，十絫謂之一銖，六銖謂之一分，四分謂之一兩，十六兩謂之一斤，十五斤謂之一秤，三十斤謂之一鈞，四鈞謂之一碩。 端匹起率 度起於忽。十忽謂之一絲，十絲謂之一毫，十毫謂之一釐，十釐謂之一分，十分謂之一寸，十寸謂之一尺，十尺謂之一丈。 匹率。端率。 田畝起率 田起於忽。十忽謂之一絲，十絲謂之一毫，十毫謂之一釐，十釐謂之一分，十分謂之一畝，百畝謂之一頃。三百步謂之一裏。 古法圓率 周三尺，徑一尺。 劉徽新術 周一百五十七尺，徑五十尺。 衝之密率 周二十二尺，徑七尺。 明異名訣 二分之一為中半，三分之一為少半，三分之二為太半，四分之一為弱半，四分之三為強半。 明正負術 其同名相減，則異名相加；正無入負之，負無入正之。其異名相減，則同名相加；正無入正之，負無入負之。 明乘除段 長平相並曰和，長平相減曰較。長平相乘曰積，自相稱之曰幂。同名相乘曰正，異名相乘為負。平除長為小長，長除平為小平。小長平相並曰小和，小長平相減餘小較，小長平相乘得一步為小積。 明開方法 置積為實，及方廉隅，同加異減開之。 縱橫因法 此法從來嚮上因，但言十者過其身，呼如本位須當作，知算縱橫數目真。 身外加法 算中加法最堪誇，言十之時就位加，但遇呼如身下列，君從法式定無差。 留頭乘法 留頭乘法別規模，起首先從次位呼，言十靠身如隔位，通臨頭位破身鋪。 身外減法 減法根源必要知，即同求—一般推，呼如身下須當減，言十從身本位除。 九歸除法門 實少法多從法歸，實多滿法進前居。常存除數專心記，法實相停九十餘。但遇無除還頭位，然將釋九數呼除。流傳故泄真消息，求一穿韜總不如。



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算學啓蒙總括

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