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算學啓蒙總括
朱世傑 Zhu Shijie
《算學啓蒙》全書共3捲、分為20門,收入了259個數學問題.全書由淺入深,從整數的四則運算直至開高次方、天元術等,包括了當時已有的數學各方面內容,形成了一個較完備的體係,可用作教材,它確實是一部較好的啓蒙數學書.
在全書之首,朱世傑首先給出了18條常用的數學歌訣和各種常用的數學常數.其中包括:乘法九九歌訣、除法九歸歌訣(與後來的珠算歸除口訣完全相同)、斤兩化零歌訣(“一退六二五”之類)、籌算記數法則、大小數名稱、度量衡換算、面積單位、正負數的四則運算法則、開方法等等.值得指出的是,朱世傑在這裏,也是在中國數學史上首次記述了正負數的乘除運算法則.朱世傑把上述這些歌訣和數學常數等,作為“總括”而列在全書之首,這種寫作的方式,在中國古算書中並不多見.
《算學啓蒙》正文分上、中、下三捲.
捲上:共分為8門,收有數學問題113個,其內容為:乘數為一位數的乘法、乘數首位數為一的乘法、多位數乘法、首位除數為一的除法、多位除數的除法、各種比例問題(包括計算利息、稅收等等).
其中“庫司解稅門”第7問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”,同門第10、11兩問中均載有“兩務稅”等,都是當時實際施行的稅製.朱世傑在書中的自註中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等,可見書中的各種數據大都來自當時的社會實際.因此,書中提到的物價(包括地價)、水稻單位面積産量等,對瞭解元代社會的經濟情況也是有用的.
捲中:共7門,71問.內容有各種田畝面積、倉窖容積、工程土方、復雜的比例計算等等.
捲下:共5門,75問.內容包括各種分數計算、垛和問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等等.
這樣,《算學啓蒙》全書從簡單的四則運算入手,一直講述到當時數學的重要成就——天元術(高次方程的數值解法),為閱讀《四元玉鑒》作了必要的準備,給出了各種預備知識.清代羅士琳說《算學啓蒙》“似淺實深”,又說《算學啓蒙》、《四元玉鑒》二書“相為表裏”,這些話都是不錯的.
《算學啓蒙》出版後不久即流傳至朝鮮和日本.在朝鮮的李朝時期,《算學啓蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝選仕(算官)的基本書籍.在日本收藏有一部首尾殘缺、未註明年代的《算學啓蒙》,與此書一起,同時也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年,1433)朝鮮慶州府刻版的《楊輝算法》.從版刻形式等方面來辨識,兩部書是相同的,從而有人推斷這部《算學啓蒙》也是1433年朝鮮慶州府刻本.這可能要算是當今世界上最早的傳世刻本.在《李朝實錄》中也記有世宗本人曾嚮當時的副提學鄭麟趾學習《算學啓蒙》的史料.
《算學啓蒙》傳入日本的時間也已不可考,是久田玄哲在京都的一個寺院中發現了這部書,之後他的學生土師道雲進行了翻刻(日本萬治元年,1658,京都).寬文12年(1672)又在江戶(今東京)出版了星野實宣註解的《新編算學啓蒙註解》3捲,元祿三年(1690)還出版了著名的和算傢建部賢弘註釋的《算學啓蒙諺解大成》7捲.《算學啓蒙》對日本和算的發展有較大的影響.
《算學啓蒙》一書在朝鮮和日本雖屢有翻刻,但明末以來,在中國國內卻失傳了.清末道光年間羅士琳重新翻刻《四元玉鑒》時,《算學啓蒙》尚無着落.後來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”,請人在北京找到順治十七年(1660)朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本,1839年在揚州重新刊印出版.這個本子,後來成為中國現存各種版本的母本.清代對《算學啓蒙》進行註釋的有王鑒所著《算學啓蒙述義》(1884)和徐鳳誥所著《算學啓蒙通釋》(1887).
算學啓蒙總括
釋九數法
—一如一,一二如二,二二如四。一三如三,二三如六,三三如九。一四如四,二四如八,三四一十二,四四一十六。一五如五,二五一十,三五一十五,四五二十,五五二十五。一六如六,二六一十二,三六一十八,四六二十四,五六三十,六六三十六。一七如七,二七一十四,三七二十一,四七二十八,五七三十五,六七四十二,七七四十九。一八如八,二八一十六,三八二十四,四八三十二,五八四十,六八四十八,七八五十六,八八六十四。一九如九,二九一十八,三九二十七,四九三十六,五九四十五,六九五十四,七九六十三,八九七十二,九九八十一。
九歸除法
一歸如一進,見一進成十。二一添作五,逢二進成十。三一三十一,三二六十二,逢三進成十。四一二十二,四二添作五,四三七十二,逢四進成十。五歸添一倍,逢五進成十。六一下加四,六二三十二,六三添作五,六四六十四,六五八十二,逢六進成十。七一下加三,七二下加六,七三四十二,七四五十五,七五七十一,七六八十四,逢七進成十。八一下加二,八二下加四,八三下加六,八四添作五,八五六十二,八六七十四,八七八十六,逢八進成十。九歸隨身下,逢九進成十。
斤下留法
一退六二五,二留一二五,三留一八七五,四留二五,五留三一二五,六留三七五,七留四三七五,八留單五,九留五六二五,十留六二五,十一留六八七五,十二留七五,十三留八一二五,十四留八七五,十五留九三七五。
明縱橫訣
一縱十橫,百立千僵。千十相望,萬百相當。滿六已上,五在上方。六不積聚,五不單張。言十自過,不滿自當。若明此訣,可習“九章”。
大數之類
一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬,萬萬曰億,萬萬億曰兆,萬萬兆曰京,萬萬京曰陔,萬萬陔曰秭,萬萬秭曰壤,萬萬壤曰溝,萬萬溝曰澗,萬萬澗曰正,萬萬正曰載,萬萬載曰極,萬萬極曰恆河沙,萬萬恆河沙曰阿僧祗,萬萬阿僧祗曰那由他,萬萬那由他曰不可思議,萬萬不可思議曰無量數。
小數之類
一、分、釐、毫、絲、忽、微、纖、沙。萬萬塵曰沙,萬萬埃曰塵,萬萬渺曰埃,萬萬漠曰渺,萬萬模糊曰漠,萬萬逡巡曰模糊,萬萬須臾曰逡巡,萬萬瞬息曰須臾,萬萬彈指曰瞬息,萬萬剎那曰彈指,萬萬六德曰剎那,萬萬虛曰六德,萬萬空曰虛,萬萬清曰空,萬萬淨曰清。千萬淨,百萬淨,十萬淨,萬淨,千淨,百淨,十淨,一淨。
求諸率類
兩求銖二十四乘,銖求兩二十四除。斤求兩身外加六,兩求斤身外減六。秤求斤身外加五,斤求秤身外減五。據物賣錢而用乘,據錢買物而用除。
斛鬥起率
量起於圭,十圭謂之一撮,十撮謂之一抄,十抄謂之一勺,十勺謂之一合,十合謂之一升,十升謂之一鬥,十鬥謂之一斛。
斤秤起率
衡起於黍。十黍謂之一絫,十絫謂之一銖,六銖謂之一分,四分謂之一兩,十六兩謂之一斤,十五斤謂之一秤,三十斤謂之一鈞,四鈞謂之一碩。
端匹起率
度起於忽。十忽謂之一絲,十絲謂之一毫,十毫謂之一釐,十釐謂之一分,十分謂之一寸,十寸謂之一尺,十尺謂之一丈。
匹率。端率。
田畝起率
田起於忽。十忽謂之一絲,十絲謂之一毫,十毫謂之一釐,十釐謂之一分,十分謂之一畝,百畝謂之一頃。三百步謂之一裏。
古法圓率
周三尺,徑一尺。
劉徽新術
周一百五十七尺,徑五十尺。
衝之密率
周二十二尺,徑七尺。
明異名訣
二分之一為中半,三分之一為少半,三分之二為太半,四分之一為弱半,四分之三為強半。
明正負術
其同名相減,則異名相加;正無入負之,負無入正之。其異名相減,則同名相加;正無入正之,負無入負之。
明乘除段
長平相並曰和,長平相減曰較。長平相乘曰積,自相稱之曰幂。同名相乘曰正,異名相乘為負。平除長為小長,長除平為小平。小長平相並曰小和,小長平相減餘小較,小長平相乘得一步為小積。
明開方法
置積為實,及方廉隅,同加異減開之。
縱橫因法
此法從來嚮上因,但言十者過其身,呼如本位須當作,知算縱橫數目真。
身外加法
算中加法最堪誇,言十之時就位加,但遇呼如身下列,君從法式定無差。
留頭乘法
留頭乘法別規模,起首先從次位呼,言十靠身如隔位,通臨頭位破身鋪。
身外減法
減法根源必要知,即同求—一般推,呼如身下須當減,言十從身本位除。
九歸除法門
實少法多從法歸,實多滿法進前居。常存除數專心記,法實相停九十餘。但遇無除還頭位,然將釋九數呼除。流傳故泄真消息,求一穿韜總不如。
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