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算学启蒙总括
Zhu Shijie
《算学启蒙》全书共3卷、分为20门,收入了259个数学问题.全书由浅入深,从整数的四则运算直至开高次方、天元术等,包括了当时已有的数学各方面内容,形成了一个较完备的体系,可用作教材,它确实是一部较好的启蒙数学书.
在全书之首,朱世杰首先给出了18条常用的数学歌诀和各种常用的数学常数.其中包括:乘法九九歌诀、除法九归歌诀(与后来的珠算归除口诀完全相同)、斤两化零歌诀(“一退六二五”之类)、筹算记数法则、大小数名称、度量衡换算、面积单位、正负数的四则运算法则、开方法等等.值得指出的是,朱世杰在这里,也是在中国数学史上首次记述了正负数的乘除运算法则.朱世杰把上述这些歌诀和数学常数等,作为“总括”而列在全书之首,这种写作的方式,在中国古算书中并不多见.
《算学启蒙》正文分上、中、下三卷.
卷上:共分为8门,收有数学问题113个,其内容为:乘数为一位数的乘法、乘数首位数为一的乘法、多位数乘法、首位除数为一的除法、多位除数的除法、各种比例问题(包括计算利息、税收等等).
其中“库司解税门”第7问题记有“今有税务法则三十贯纳税一贯”,同门第10、11两问中均载有“两务税”等,都是当时实际施行的税制.朱世杰在书中的自注中也常写有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等,可见书中的各种数据大都来自当时的社会实际.因此,书中提到的物价(包括地价)、水稻单位面积产量等,对了解元代社会的经济情况也是有用的.
卷中:共7门,71问.内容有各种田亩面积、仓窖容积、工程土方、复杂的比例计算等等.
卷下:共5门,75问.内容包括各种分数计算、垛和问题、盈不足算法、一次方程解法、天元术等等.
这样,《算学启蒙》全书从简单的四则运算入手,一直讲述到当时数学的重要成就——天元术(高次方程的数值解法),为阅读《四元玉鉴》作了必要的准备,给出了各种预备知识.清代罗士琳说《算学启蒙》“似浅实深”,又说《算学启蒙》、《四元玉鉴》二书“相为表里”,这些话都是不错的.
《算学启蒙》出版后不久即流传至朝鲜和日本.在朝鲜的李朝时期,《算学启蒙》和《详明算法》、《杨辉算法》一道被作为李朝选仕(算官)的基本书籍.在日本收藏有一部首尾残缺、未注明年代的《算学启蒙》,与此书一起,同时也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年,1433)朝鲜庆州府刻版的《杨辉算法》.从版刻形式等方面来辨识,两部书是相同的,从而有人推断这部《算学启蒙》也是1433年朝鲜庆州府刻本.这可能要算是当今世界上最早的传世刻本.在《李朝实录》中也记有世宗本人曾向当时的副提学郑麟趾学习《算学启蒙》的史料.
《算学启蒙》传入日本的时间也已不可考,是久田玄哲在京都的一个寺院中发现了这部书,之后他的学生土师道云进行了翻刻(日本万治元年,1658,京都).宽文12年(1672)又在江户(今东京)出版了星野实宣注解的《新编算学启蒙注解》3卷,元禄三年(1690)还出版了著名的和算家建部贤弘注释的《算学启蒙谚解大成》7卷.《算学启蒙》对日本和算的发展有较大的影响.
《算学启蒙》一书在朝鲜和日本虽屡有翻刻,但明末以来,在中国国内却失传了.清末道光年间罗士琳重新翻刻《四元玉鉴》时,《算学启蒙》尚无着落.后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”,请人在北京找到顺治十七年(1660)朝鲜全州府尹金始振所刻的翻刻本,1839年在扬州重新刊印出版.这个本子,后来成为中国现存各种版本的母本.清代对《算学启蒙》进行注释的有王鉴所著《算学启蒙述义》(1884)和徐凤诰所著《算学启蒙通释》(1887).
算学启蒙总括
释九数法
—一如一,一二如二,二二如四。一三如三,二三如六,三三如九。一四如四,二四如八,三四一十二,四四一十六。一五如五,二五一十,三五一十五,四五二十,五五二十五。一六如六,二六一十二,三六一十八,四六二十四,五六三十,六六三十六。一七如七,二七一十四,三七二十一,四七二十八,五七三十五,六七四十二,七七四十九。一八如八,二八一十六,三八二十四,四八三十二,五八四十,六八四十八,七八五十六,八八六十四。一九如九,二九一十八,三九二十七,四九三十六,五九四十五,六九五十四,七九六十三,八九七十二,九九八十一。
九归除法
一归如一进,见一进成十。二一添作五,逢二进成十。三一三十一,三二六十二,逢三进成十。四一二十二,四二添作五,四三七十二,逢四进成十。五归添一倍,逢五进成十。六一下加四,六二三十二,六三添作五,六四六十四,六五八十二,逢六进成十。七一下加三,七二下加六,七三四十二,七四五十五,七五七十一,七六八十四,逢七进成十。八一下加二,八二下加四,八三下加六,八四添作五,八五六十二,八六七十四,八七八十六,逢八进成十。九归随身下,逢九进成十。
斤下留法
一退六二五,二留一二五,三留一八七五,四留二五,五留三一二五,六留三七五,七留四三七五,八留单五,九留五六二五,十留六二五,十一留六八七五,十二留七五,十三留八一二五,十四留八七五,十五留九三七五。
明纵横诀
一纵十横,百立千僵。千十相望,万百相当。满六已上,五在上方。六不积聚,五不单张。言十自过,不满自当。若明此诀,可习“九章”。
大数之类
一、十、百、千、万、十万、百万、千万,万万曰亿,万万亿曰兆,万万兆曰京,万万京曰陔,万万陔曰秭,万万秭曰壤,万万壤曰沟,万万沟曰涧,万万涧曰正,万万正曰载,万万载曰极,万万极曰恒河沙,万万恒河沙曰阿僧祗,万万阿僧祗曰那由他,万万那由他曰不可思议,万万不可思议曰无量数。
小数之类
一、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙。万万尘曰沙,万万埃曰尘,万万渺曰埃,万万漠曰渺,万万模糊曰漠,万万逡巡曰模糊,万万须臾曰逡巡,万万瞬息曰须臾,万万弹指曰瞬息,万万刹那曰弹指,万万六德曰刹那,万万虚曰六德,万万空曰虚,万万清曰空,万万净曰清。千万净,百万净,十万净,万净,千净,百净,十净,一净。
求诸率类
两求铢二十四乘,铢求两二十四除。斤求两身外加六,两求斤身外减六。秤求斤身外加五,斤求秤身外减五。据物卖钱而用乘,据钱买物而用除。
斛斗起率
量起于圭,十圭谓之一撮,十撮谓之一抄,十抄谓之一勺,十勺谓之一合,十合谓之一升,十升谓之一斗,十斗谓之一斛。
斤秤起率
衡起于黍。十黍谓之一絫,十絫谓之一铢,六铢谓之一分,四分谓之一两,十六两谓之一斤,十五斤谓之一秤,三十斤谓之一钧,四钧谓之一硕。
端匹起率
度起于忽。十忽谓之一丝,十丝谓之一毫,十毫谓之一厘,十厘谓之一分,十分谓之一寸,十寸谓之一尺,十尺谓之一丈。
匹率。端率。
田亩起率
田起于忽。十忽谓之一丝,十丝谓之一毫,十毫谓之一厘,十厘谓之一分,十分谓之一亩,百亩谓之一顷。三百步谓之一里。
古法圆率
周三尺,径一尺。
刘徽新术
周一百五十七尺,径五十尺。
冲之密率
周二十二尺,径七尺。
明异名诀
二分之一为中半,三分之一为少半,三分之二为太半,四分之一为弱半,四分之三为强半。
明正负术
其同名相减,则异名相加;正无入负之,负无入正之。其异名相减,则同名相加;正无入正之,负无入负之。
明乘除段
长平相并曰和,长平相减曰较。长平相乘曰积,自相称之曰幂。同名相乘曰正,异名相乘为负。平除长为小长,长除平为小平。小长平相并曰小和,小长平相减余小较,小长平相乘得一步为小积。
明开方法
置积为实,及方廉隅,同加异减开之。
纵横因法
此法从来向上因,但言十者过其身,呼如本位须当作,知算纵横数目真。
身外加法
算中加法最堪夸,言十之时就位加,但遇呼如身下列,君从法式定无差。
留头乘法
留头乘法别规模,起首先从次位呼,言十靠身如隔位,通临头位破身铺。
身外减法
减法根源必要知,即同求—一般推,呼如身下须当减,言十从身本位除。
九归除法门
实少法多从法归,实多满法进前居。常存除数专心记,法实相停九十余。但遇无除还头位,然将释九数呼除。流传故泄真消息,求一穿韬总不如。
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