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天文算法类 》 九章算 》
一
劉徽 Liu Hui
 九章算术 卷一
又有田十二步，從十四步。問為田何？答曰：一百六十八步。
〔圖：從十四，十二。〕方田 曰：從步數相乘得積步。
〔此積謂田幂。凡從相乘謂之幂。
淳風等按：經云從相乘得積步，註云從相乘謂之幂。觀斯註意，積幂義同。以理推之，固當不爾。何則？幂是方面單之名，積乃衆數聚居之稱。循名責實，二者全殊。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言幂者從之一方；其言積者舉衆步之都數。經云相乘得積步，即是都數之明文。註云謂之為幂，全乖積步之本意。此註前積為田幂，於理得通。詩云故云註云又云傳云解云所云子云或云人云亦云王云鄭云書云而云句云皆云自云下云不云一云經云云云云之云道謂之為幂，繁而不當。今者註釋，存善去非，略為料簡，遺諸學。〕以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。
〔淳風等按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。苍术白术不言者，從此可知。一畝之田，十五步，從而疏之，令為十五行，則每行一步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，則每行一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自為方，凡有二百四十步。一畝之地，步數正同。以此言之，則從相乘得積步，驗矣。
二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得。〕今有田一，從一。問為田何？答曰：三頃七十五畝。
又有田二，從三。問為田何？答曰：二十二頃五十畝。
田 曰：從數相乘得積。以三百七十五乘之，即畝數。
〔按：此從數相乘得積。方之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。〕今有十八分之十二，問約之得何？答曰：三分之二。
又有九十一分之四十九，問約之得何？答曰：十三分之七。
○約分〔按：約分者，物之數量，不可悉全，必以分言之；分之為數，繁則難用。
設有四分之二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也，雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推，動有參差，故為者先治諸分。〕曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。
〔等數約之，即除也。其所以相減者，皆等數之重疊，故以等數約之。〕今有三分之一，五分之二，問之得何？答曰：十五分之十一。
又有三分之二，七分之四，九分之五，問之得何？答曰：得一、六十三分之五十。
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，問之得何？答曰：得二、六十分之四十三。
○分〔淳風等按：分知，數非一端，分無定，諸分子雜互，群母參差。粗細既殊，理難從一，故齊其衆分，同其群母，令可相，故曰分。〕曰：母互乘子，以為實。母相乘為法。
〔母互乘子。約而言之者，其分粗；繁而言之者，其分細。雖則粗細有殊，然其實一也。衆分錯雜，非細不會。乘而散之，所以通之。通之則可也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚，物以群分。數同類者無遠；數異類者無近。遠而通知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也。然則齊同之要矣：錯綜度數，動之斯諧，其猶佩觿解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎？其一者，可令母除為率，率乘子為齊。〕實如法而一。不滿法者，以法命之。
〔今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約之，即得知，所謂同法為母，實為子，皆從此例。〕其母同者，直相從之。
今有九分之八，減其五分之一，問茶几何？答曰：四十五分之三十一。
又有四分之三，減其三分之一，問茶几何？答曰：十二分之五。
○減分〔淳風等按：諸分子、母數各不同，以少減多，欲知茶几，減為實，故曰減分。〕曰：母互乘子，以少減多，為實。母相乘為法。實如法而一。
〔母互乘子知，以齊其子也。以少減多知，齊故可相減也。母相乘為法者，同其母也。母同子齊，故如母而一，即得。〕今有八分之五，二十五分之十六，問孰多？多何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
又有九分之八，七分之六，問孰多？多何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。
又有二十一分之八，五十分之十七，問孰多？多何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
○課分〔淳風等按：分各異名，理不齊一，較其相近之數，故曰課分也。〕曰：母互乘子，以少減多，為實。母相乘為法。實如法而一，即相多也。
〔淳風等按：此母互乘子，以少分減多分，與減分義同；惟相多之數，意與減分有異：減分知，求其餘數有；課分知，以其餘數相多也。〕今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各何而平？答曰：減四分之三者二，三分之二者一，，以益三分之一，而各平於十二分之七。
又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各何而平？答曰：減三分之二者一，四分之三者四、，以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。
○平分〔淳風等按：平分知，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平分也。〕曰：母互乘子，〔齊其子也。〕副為平實。
〔淳風等按：母互乘子，副為平實知，定此平實主限，衆子所當損益知，限為平。〕母相乘為法。
〔母相乘為法知，亦齊其子，又同其母。〕以列數乘未者各自為列實。亦以列數乘法。
〔此當副置列數除平實，若然則重有分，故反以列數乘同齊。
淳風等按：問所平之分多少不定，或三或二，列位無常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一平分不可豫定多少，故直列數而已。〕以平實減列實，，約之為所減。所減以益於少。以法命平實，各得其平。
今有七人，分八錢三分錢之一。問人得何？答曰：人得一錢二十一分錢之四。
又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、四分錢之三。問人得何？答曰：人得二錢八分錢之一。
○經分〔淳風等按：經分者，自分已下，皆與諸分相齊，此乃直求一人之分。以人數分所分，故曰經分也。〕曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知，齊其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全內子。
乘，散全則為積分，積分則與子相通，故可令相從。凡數相與者謂之率。率知，自相與通。有分則可散，分重疊則約也；等除法實，相與率也。故散分者，必令兩分母相乘法實也。〕重有分者同而通之。
〔又以法分母乘實，實分母乘法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內子，又令分母互乘上下。〕今有田七分步之四，從五分步之三，問為田何？答曰：三十五分步之十二。
又有田九分步之七，從十一分步之九，問為田何？答曰：十一分步之七。
又有田五分步之四，從九分步之五，問為田何？答曰：九分步之四。
○乘分〔淳風等按：乘分者，分母相乘為法，子相乘為實，故曰乘分。〕曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。
〔凡實不滿法者而有母、子之名。若有分，以乘其實而長之，則亦滿法，乃為全耳。又以子有所乘，故母當報除。報除者，實如法而一也。今子相乘則母各當報除，因令分母相乘而連除也。此田有從，難以諭。設有問者曰：馬二十匹，直金十二斤。今賣馬二十匹，三十五人分之，人得何？答曰：三十五分斤之十二。其為之也，當如經分，以十二斤金為實，三十五人為法。設更言馬五匹，直金三斤。今賣馬四匹，七人分之，人得何？答曰：人得三十五分斤之十二。其為之也，當齊其金、人之數，皆初問入於經分矣。然則分子相乘為實者，猶齊其金也；母相乘為法者，猶齊其人也。同其母為二十，馬無事於同，但欲求齊而已。又，馬五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，則為一匹直金五分斤之三。七人賣四馬，一人賣七分馬之四。金與人交互相生。所從言之異，而計數則三同歸也。〕今有田三步三分步之一，從五步五分步之二，問為田何？答曰：十八步。
又有田七步四分步之三，從十五步九分步之五，問為田何？答曰：一百二十步九分步之五。
又有田十八步七分步之五，從二十三步十一分步之六，問為田何？答曰：一畝二百步十一分步之七。
○大田〔淳風等按：大田知，初直有全步而無分；次空有分而無全步；此先見全步，有分，可以兼三，故曰大。〕曰：分母各乘其全，分子從之，〔分母各乘其全，分子從之者，通全步內分子。如此則母、子皆為實矣。〕相乘為實。分母相乘為法。
〔猶乘分也。〕實如法而一。
〔今為從俱有分，當各自通其分。命母入者，還出之，故令分母相乘為法而連除之。〕今有圭田十二步，正從二十一步，問為田何？答曰：一百二十六步。
又有圭田五步二分步之一，從八步三分步之二，問為田何？答曰：二十三步六分步之五。
曰：半以乘正從。
〔半知，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘。按：半乘從，以取中平之數，故從相乘為積步。畝法除之，即得也。〕今有邪田，一頭三十步，一頭四十二步，正從六十四步。問為田何？
答曰：九畝一百四十四步。
又有邪田，正六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田何？
答曰：二十三畝七十步。
曰：兩斜而半之，以乘正從若。又可半正從若，以乘。畝法而一。
〔而半之者，以盈補虛也。〕今有箕田，舌二十步，踵五步，正從三十步，問為田何？答曰：一畝一百三十五步。
又有箕田，舌一百一十七步，踵五十步，正從一百三十五步，問為田何？答曰：四十六畝二百三十二步半。
曰：踵、舌而半之，以乘正從。畝法而一。
〔中分箕田則為兩邪田，故其相似。又可踵、舌，半正從，以乘之。〕今有圓田，周三十步，徑十步。
〔淳風等按：意以周三徑一為率，周三十步，徑十步。今依密率，徑九步十一分步之六。〕問為田何？答曰：七十五步。
〔此於徽，當為田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳風等按：依密率，為田七十一步二十三分步之一十三。〕又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。
〔淳風等按：周三徑一，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。依密率，徑五十七步二十二分步之一十三。〕問為田何？答曰：十一畝九十步十二分步之一。
〔此於徽，當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳風等按：依密率，當為田十畝二百五步八十八分步之八十七。〕曰：半周半徑相乘得積步。
〔按：半周為從，半徑為，故從相乘為積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。徑率一而外周率三也。
又按：為圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之幂。割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周体夫而無所失矣。觚之外，又有徑。
以乘徑，則幂出觚。若夫觚之細者，與圓体夫，則無徑。無徑，則幂不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓幂。
此一周、徑，謂至然之數，非周三徑一之率也。周三者，從其六觚之環耳。以推圓規多少之覺，乃弓之與弦也。然世傳此法，莫肯精核；學者踵古，習其謬失。
不有明，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之，其用博矣。謹按圖驗，更造密率。恐空設法，數昧而難譬，故置諸檢括，謹詳其記註焉。
割六觚以為十二觚 曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓觚之也。令半徑一尺為弦，半五寸為句，為之求股。以句幂二十五寸減弦幂，七十五寸，開方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微數。微數無名知以為分子，以十為分母，約作五分忽之二。故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半徑，一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。觚之半又謂之小股。為之求弦。其幂二六百七十九億四九百一十九萬三四百四十五忽，分棄之。
開方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚 曰：亦令半徑為弦，半為句，為之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九億八七百二十九萬八三百六十一忽，分棄之，即句幂也。以減弦幂，其餘開方除之，得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四。以減半徑，三分四釐七秒四忽五分忽之一，謂之小句。觚之半又謂之小
股。為之求小弦。其幂六百八十一億四八百三十四萬九四百六十六忽，分棄之。開方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以為四十八觚 曰：亦令半徑為弦，半為句，為之求股。置上小弦幕，四而一，得一百七十億三七百八萬七三百六十六忽，分棄之，即句幂也。以減弦幂，其餘，開方除之，得股九寸九分一釐四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，八釐五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半又謂之小
股。為之求小弦。其幂一百七十一億一千二十七萬八八百一十三忽，分棄之。
開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，分棄之，即四十八觚之一面。以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三萬一千三百九十三億四四百萬忽。以百億除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。
割四十八觚以為九十六觚 曰：亦令半徑為弦，半為句，為之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二億七七百五十六萬九七百三忽，分棄之，即句幂也。以減弦幂，其餘，開方除之，得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九。
以減半徑，二釐一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小句。觚之半又謂之小股。
為之求小弦。其幂四十二億八二百一十五萬四一十二忽，分棄之。開方除之，得小弦六分五釐四毫三秒八忽，分棄之，即九十六觚之一面。以半徑一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三萬一千四百一十億二四百萬忽，以百億除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂減之，六百二十五分寸之一百五，謂之差幂。倍之，為分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡幂也。加此幂於九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，則出圓之矣。故還就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以為圓幂之定率而棄其餘分。以半徑一尺除圓幂，倍之，得六尺二寸八分，即周數。令徑自乘為方幂四百寸，與圓幂相，圓幂得一百五十七為率，方幂得二百為率。方幂二百其中容圓幂一百五十七也。圓率猶為微少。
案：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內方外方之半。然則圓幂一百五十七，其中容方幂一百也。又令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十，則其相與之率也。周率猶為微少也。晉武庫中漢時王莽作銅斛，其銘曰：律嘉量斛，內方尺而圓其外，庣旁九釐五毫，幂一百六十二寸，深一尺，積一千六百二十寸，容十。以此求之，得幂一百六十一寸有奇，其數相近矣。此微少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂為率消息，當取此分寸之三十六，以增於一百九十二觚之幂，以為圓幂，三百一十四寸二十五分寸之四。置徑自乘之方幂四百寸，令與圓幂通相約，圓幂三九百二十七，方幂得五，是為率。方幂五中容圓幂三九百二十七；圓幂三九百二十七中容方幂二五百也。以半徑一尺除圓幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺二寸八分二十五分分之八，即周數也。全徑二尺與周數通相約，徑得一千二百五十，周得三九百二十七，即其相與之率。若此者，蓋其纖微矣。舉而用之，上法仍約耳。當求一千五百三十六觚之一面，得三七十二觚之幂，而裁其微分，數亦宜然，重其驗耳。
淳風等案：舊求圓，皆以周三徑一為率。若用之求圓周之數，則周少徑多。
用之求其六觚之田，乃與此率會耳。何則？假令六觚之田，觚間各一尺為，自然從角至角，其徑二尺可知。此則周六徑二與周三徑一已。恐此猶為難曉，今更引物為喻。設令刻物作圭形者六枚，枚三，皆長一尺。攢此六物，悉使銳頭鄰里里程，則成六觚之周，角徑亦皆一尺。更從觚角外畔，圍繞為規，則六觚之徑達規矣。當面徑短，不至外規。若以徑言之，則為規六尺，徑二尺，徑皆一尺。徑股不至外畔，定無二尺可知。故周三徑一之率於圓周乃是徑多周少。
徑一周三，理非精密。蓋從簡要，舉大綱，略而言之。劉徽特以為疏，遂改張其率。但周、徑相乘，數難契。徽雖出斯二法，終不能究其纖毫也。祖衝之以其不精，就中更推其數。今者修撰，捃摭諸，考其是非，衝之為密。故顯之於徽之下，冀學者知所裁焉。〕又曰：周、徑相乘，四而一。
〔此周與上觚同耳。周、徑相乘，各當一半。而今周、徑兩全，故兩母相乘為四，以報除之。於徽，以五十乘周，一百五十七而一，即徑也。以一百五十七乘徑，五十而一，即周也。新徑率猶當微少。周以求徑，則失之長；徑以求周，則失之短。諸見徑以求幂者，皆失之於微少；周以求幂者，皆失之於微多。
淳風等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即徑；以二十二乘徑，七而一，即周。依求之，即得。〕又曰：徑自相乘，三之，四而一。
〔按：圓徑自乘為外方，三之，四而一者，是為圓居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半徑，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。
是為圓十二觚之幂耳。取以為圓，失之於微少。於徽新，當徑自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。
淳風等按：密率，令徑自乘，以十一乘之，十四而一，即圓幂也。〕又曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其於圓徑，三與一也。故六觚之周自相乘為幂，若圓徑自乘者九方。九方凡為十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自乘，非但若為圓徑自乘者九方而已。然則十二而一，所得又非十二觚之幂也。若欲以為圓幂，失之於多矣。以六觚之周，十二而一可也。於徽新，直令圓周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圓幂。其率：二十五者，周幂也；三百一十四者，周自乘之幂也。置周數六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九萬四三百八十四分。又置圓幂三萬一千四百分。皆以一千二百五十六約之，得此率。
淳風等按：方面自乘即得其積。圓周求其幂，假率乃通。但此所求用三、一為率。圓田正法，半周及半徑以相乘。今乃用全周自乘，故以十二為母。何者？全周而求半周，則以二為法。就全周而求半徑，假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之數。依密率，以七乘之，八十八而一。〕今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問為田何？答曰：五畝六十二步四分步之一。
曰：以徑乘周，四而一。
〔此不驗，故推方錐以見其形。假令方錐下方六尺，高四尺。四尺為股，下方之半三尺為句。正面邪為弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，即方錐四面見者之幂。若令其中容圓錐，圓錐見幂與方錐見幂，其率猶方幂之與圓幂也。按：方錐下六尺，則方周二十四尺。以五尺乘而半之，則亦錐之見幂。
故求圓錐之數，徑以乘下周之半，即圓錐之幂也。今宛田上徑圓穹，而與圓錐同，則幂失之於少矣。然其難用，故略舉大較，施之大田也。求圓錐之幂，猶求圓田之幂也。今用兩全相乘，故以四為法，除之，亦如圓田矣。開立圓說圓方諸率甚備，可以驗此。〕今有弧田，弦二十步，矢十五步。問為田何？答曰：一畝九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問為田何？答曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。
曰：以弦乘矢，矢又自乘，之，二而一。
〔方中之圓，圓十二觚之幂，外方之幂四分之三也。中方外方之半，則青外方四分之一也。弧田，半圓之幂也。故依半圓之而為之。以弦乘矢而半之，則為黃幂，矢自乘而半之，則為二青幂。青、黃相連為弧，弧法當應規。今觚不至外畔，失之於少矣。圓田舊以周三徑一為率，俱得十二觚之幂，亦失之於少也，與此相似。指驗半圓之幂耳。若不滿半圓者，益疏闊。
宜句股鋸圓材之，以弧弦為鋸道長，以矢為鋸深，而求其徑。既知圓徑，則弧
可割分也。割之者，半弧田之弦以為股，其矢為句，為之求弦，即小弧之弦也。
以半小弧之弦為句，半圓徑為弦，為之求股。以減半徑，其餘即小弦之矢也。割之又割，使至極細。但舉弦、矢相乘之數，則必近密率矣。然於算數差繁，必欲有所尋究也。若但度田，取其大數，舊為約耳。〕今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。
〔此欲令與周三徑一之率相應，故言徑五步也。中、外周，以徽言之，當徑四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳風等按：依密率，徑四步二十二分步之十七。〕問為田何？答曰：二畝五十五步。
〔於徽，當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。
淳風等按：依密率，為田二畝三十步二十二分步之十五。〕曰：中、外周而半之，以徑乘之，為積步。
〔此田截而中之周則為長。而半之知，亦以盈補虛也。此可令中、外周各自為圓田，以中圓減外圓，則環實也。〕又有環田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，徑十二步三分步之二。
〔此田環而不通匝，故徑十二步三分步之二。若上周求徑者，此徑失之於多，過周三徑一之率，蓋為疏矣。於徽，當徑八步六百二十八分步之五十一。
淳風等按：依周三徑一考之，徑八步二十四分步之一十一。依密率，徑八步一百七十六分步之一十三。〕問為田何？答曰：四畝一百五十六步四分步之一。
〔於徽，當為田二畝二百三十二步五二十四分步之七百八十七也。依周三徑一，為田三畝二十五步六十四分步之二十五。
淳風等按：密率，為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕曰：置中、外周步數，分母子各居其下。母互乘子，通全步內分子。以中周減外周，半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為實。分母相乘為法。除之為積步。，積步之分。以畝法除之，即畝數也。
〔按：此，中、外周步數於上，分母子於下，母互乘子者，為中外周俱有分，故以互乘齊其子，母相乘同其母。子齊母同，故通全步，內分子。半之知，以盈補虛，得中平之周。周則為從，徑則為，故從相乘而得其積。既分母，還分母出之。故令周、徑分母相乘而連除之，即得積步。不，以等數除之而命分。以畝法除積步，得畝數也。〕
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