黎曼猜想，即素數的分佈最終歸結為所謂的黎曼ζ函數的零點問題。
黎曼在１８５９年在論文《在給定大小之下的素數個數》中做出這樣的猜想：ζ（ｚ）函數位於０≤ｘ≤１之間的全部零點都在rez＝1／２之上，即零點的實部都是１／２，這至今仍是未解决的問題。
黎曼猜想是說：
素數在自然數中的分佈問題在純粹數學和應用數學上都是很重要的問題。素數在自然數域中分佈並沒有一定規則。黎曼（1826--1866）發現素數出現的頻率與所謂黎曼ζ函數緊密相關。黎曼ζ函數的非平凡零點都在綫 <math>operatorname z = frac</math> 上。
1901年 koch 指出，黎曼猜想與敘述 <math>pi left( x
ight) = operatorname x + oleft( {sqrt x ln x}
ight)</math> 等價。
現在已經驗證了最初的1,500,000,000個解，猜想都是正確的。但是否對所有解是正確的，卻沒有證明，隨着費馬最後定理的獲證，黎曼猜想作為最睏難的數學問題的地位更加突出。
黎曼假設、龐加萊猜想、霍奇猜想、波奇和斯溫納頓╠戴爾猜想、納威厄╠斯托剋斯方程、楊╠米爾理論、Ｐ對ＮＰ問題被稱為21世紀七大數學難題。2000年，美國剋雷數學研究所將它們設為“千年大奬問題”，每個難題懸賞100萬美元徵求證明。
專傢指出，黎曼假設一旦被攻剋，將對加密學有幫助。其餘的難題一旦破解，將會給航天、物理等領域帶來突破性進展，並開闢全新的數學研究領域。
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起着重要作用。在所有自然數中，這種素數的分佈並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s(s)=0的所有有意義的解都在一條直綫上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分佈的許多奧秘帶來光明。
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