集合的概念
某些指定的對象集在一起就是集合。
一定範圍的，確定的，可以區別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元。如（1）阿Q正傳中出現的不同漢字（2）全體英文大寫字母。任何集合是它自身的子集.一般的，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合（或集）.構成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）。
元素與集合的關係：
元素與集合的關係有“屬於”與“不屬於”兩種。
集合與集合之間的關係：
某些指定的對象集在一起就成為一個集合，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。
『說明一下：如果集合 A 的所有元素同時都是集合 B 的元素，則 A 稱作是 B 的子集，寫作 A ⊆ B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等於 B，則 A 稱作是 B 的真子集，一般寫作 A ⊂ B。 中學教材課本裏將 ⊂ 符號下加了一個 ≠ 符號（如右圖）， 不要混淆，考試時還是要以課本為準。
真子集所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
集合的三種運算法則:
並集：以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“AB”（或“BA”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集： 以屬於A且屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。那麽因為A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5} 。再來看看，他們兩個中含有1,2,3,5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那麽說A∪B={1，2，3，5}。 圖中的陰影部分就是A∩B。
有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍數的數有多少個。結果是3，5，7每項減1再相乘。48個。
無限集： 定義：集合裏含有無限個元素的集合叫做無限集
有限集：令N*是正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n},如果存在一個正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那麽A叫做有限集合。
差：以屬於A而不屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）。記作：A＼B={x│x∈A,x不屬於B}。
註:空集包含於任何集合，但不能說“空集屬於任何集合”.
補集：是從差集中引出的概念，指屬於全集U不屬於集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不屬於A}
空集也被認為是有限集合。
例如，全集U={1，2，3，4，5} 而A={1，2，5} 那麽全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。
在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。
集合元素的性質：
1.確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學”“很小的數”都不能構成集合。這個性質主要用於判斷一個集合是否能形成集合。
2.互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同於{1，2}。互異性使集合中的元素是沒有重複，兩個相同的對象在同一個集合中時，衹能算作這個集合的一個元素。
3.無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個集合。
4.純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。
5.完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。
集合有以下性質：若A包含於B，則A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法：
集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A，B，C…而對於集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a,b,c…拉丁字母衹是相當於集合的名字，沒有任何實際的意義。 將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如：A={…｝的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號括起來的，括號內部是具有某種共同性質的數學元素。
常用的有列舉法和描述法。
1.列舉法﹕常用於表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}
2.描述法﹕常用於表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小於π的正實數組成的集合表示為：{x|0<x<π}
3.圖式法（Venn圖）﹕為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的麯綫（或者說圓圈），用它的內部表示一個集合。
4.自然語言
常用數集的符號：
（1）全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集（或自然數集），記作N
（2）非負整數集內排除0的集，也稱正整數集，記作N或N*
（3）全體整數的集合通常稱作整數集，記作Z
（4）全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N,且p,q互質}
（5）全體實數的集合通常簡稱實數集，記作R
（6）復數集合計作C
集合的運算：
集合交換律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
集合結合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
集合分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
集合德.摩根律
Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
集合“容斥原理”
在研究集合時，會遇到有關集合中的元素個數問題，我們把有限集合A的元素個數記為card(A)。例如A={a,b,c}，則card(A)=3
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
1885年德國數學家，集合論創始人康托爾談到集合一詞，列舉法和描述法是表示集合的常用方式。
集合吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
集合求補律
A∪CuA=U
A∩CuA=Φ
設A為集合，把A的全部子集構成的集合叫做A的幂集
德摩根律 A-(BUC)=（A-B)∩(A-C)
A-(B∩C)=（A-B)U(A-C)
～（BUC)=~B∩~C
～（B∩C)=~BU~C
~Φ=E ~E=Φ
特殊集合的表示
復數集 C
實數集 R
整數集 Z
有理數集 Q
自然數集 N
【模糊集合】
用來表達模糊性概念的集合。 又稱模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某種屬性的對象的全體。這種屬性所表達的概念應該是清晰的，界限分明的。因此每個對象對於集合的隸屬關係也是明確的，非此即彼。但在人們的思維中還有着許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和、傍晚等，這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用“是”或“否”來回答，模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體。由於概念本身不是清晰的、界限分明的，因而對象對集合的隸屬關係也不是明確的、非此即彼的。這一概念是美國加利福尼亞大學控製論專傢L.A.紮德於 1965 年首先提出的。模糊集合這一概念的出現使得數學的思維和方法可以用於處理模糊性現象，從而構成了模糊集合論（中國通常稱為模糊性數學)的基礎。
英文解釋
: round up, collection, Set Data Structures, manifold, clumping, rally
n.: rendezvous, sembling, reveille, set, sets, syndrome, gather together, muster up, coming together of a group of people for a specific purpose, act of bringing or coming together, assemblage, assembly, field, aggregation, congregation, confluence, concourse, collector, muster, concentration
v.: concentre, assemble, aggregate, act of rallying, concenter, congregate