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【名词解释】
阿罗不可能性定理是指，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。定理是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思·j·阿罗提出。
【操作实务】
众所周知，多数原则是现代社会广泛接受的决策方法。洛克认为“根据自然和理性的法则，大多数具有全体的权力，因而大多数的行为被认为是全体的行为，也当然有决定权了”。但很多在自然法学家那里是想当然正确的东西在社会选择理论中是需要证明的。所谓社会选择，在数学上表达为一个建立在所有个人的偏好上的函数（或对应），该函数的性质代表了一定的价值规范，比如公民主权、全体性、匿名性、目标中性，帕累托最优性，无独裁性等。社会选择最重要的问题是，这些价值规范之间是否是逻辑上协调的。阿罗证明，不存在同时满足如下四个基本公理的社会选择函数：①个人偏好的无限制性，即对一个社会可能存在的所有状态，任何逻辑上可能的个人偏好都不应当先验地被排除；②帕累托原则，即一个方案对所有人是最优的意味着相对于社会偏好序也是最优的；③非相关目标独立性，即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响；④社会偏好的非独裁性。
【经典案例】
假设有甲、乙、丙三人，分别来自中国、日本和美国，而且是分别多年的好朋友。三人久别重逢，欣喜之余，决定一起吃饭叙旧。但是，不同的文化背景形成了他们不同的饮食习惯，对餐饮的要求各不相同，风格各异
甲：中餐>西餐>日本餐
乙：日本餐>中餐>西餐
丙：西餐>日本餐>中餐
如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：
首先，在中餐和西餐中选择，甲、乙喜欢中餐，丙喜欢西餐；
然后，在西餐和日本餐中选择，甲、丙喜欢西餐，乙喜欢日本餐；
最后，在中餐和日本餐中选择，乙、丙喜欢日本餐，甲喜欢中餐。
三个人的最终表决结果如下：
中餐>西餐，西餐>日本餐，日本餐>中餐
所以，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的"投票悖论"（paradox of voting）。
投票悖论最早是由康德尔赛(marquis de coudorcet)在18世纪提出的，因而该悖论又称为"康德尔赛效应"[③]，而利用数学对其进行论证的则是肯尼斯·阿罗。
阿罗认为，有关社会选择的两个公理与民主主义所要求的诸条件不相适应。他所说的公理指以下内容：
公理1：连贯性（connectedness）
在x和y两项选择共存时，下面的某种情况永恒成立：
x大于或等于y；y大于或等于x。
公理2：传递性（transitivity）
在有x、y、z三项选择时，会出现这样几种情况：
x大于或等于y；y大于或等于z；则x大于或等于z。
阿罗指出，奠定这两个公理的基础的社会福利函数与他所谓的民主主义的诸条件不相称。民主主义的诸条件如下：
（1）条件1：个人排列顺序的普通容许区间。
作为个人来讲，对于如何选择自己的选择值序列问题是无关紧要的。例如，在面临x、y、z三项选择时，无论是x>y>z，还是z>y>x，或者是y>z>x，......总而言之，允许个人按照自己意愿排列选择值顺序。
（2）条件2：社会评价与个人评价的正态相关。
假如有五个人来选择x、y，当其中三人为x>y，另外二人为xy，而且，即使出现少数派中的一方改变主意，x>y时，x>y的社会全体的多数表决结果将仍然如故，不会发生改变。
（3）条件3：与无关选择对象无关的独立性。
在x、y、z三项选择值之间，假定选择顺序为x>y>z，那么即使y选择值已不复存在，剩下x和z的x>z的选择关系仍旧不发生改变。
（4）条件4：公民主权
个人的选择顺序与社会结构无关，即社会中的每个人都能按各自的价值观，自由地在备选对象中进行选择。
（5）条件5：非独裁
在全体成员中，当只有特定的个人选择x>y，其余人选择xy。[④]
综上所述，即所有五个条件都理应成为民主社会所具备。阿罗认为，如果同时承认前面两个公理和该五个条件，就会促成投票的悖论效应。这就是阿罗不可能定理。
接下来，笔者举一个简单的例子来说明阿罗所谓两个公理与民主社会的五个条件的矛盾性。
按照阿罗的理论，假设现在有七个人聚在一起准备去吃饭。这七个人对餐饮的偏好顺序如下所示：
1号：中餐>西餐>日本餐
2号
3号 日本餐>中餐>西餐
4号
5号
6号 西餐>日本餐>中餐
7号
由上可以看出，就中餐和西餐比较而言，1至4号喜欢中餐，5－7号喜欢西餐，故中餐以四比三的结果夺得优势。再将西餐和日本餐相比较，则1号和5至7号喜欢西餐，2至4号喜欢日本餐，即西餐以四比三的结果夺得优势。如果依照公理2的可递性来看，西餐>日本餐，由于前面中餐>西餐，则中餐>日本餐。但是，若从七个人的选择顺序来看，主张中餐比日本餐好的只有1号，而其他人都认为日本餐比中餐好。问题尚不仅于此，按照可递性，中餐将表现为社会选择结果。在此情况下，只有1号的意见得到通过。这时，如果1号改变选择顺序，那么与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，而是以1号的选择顺序为转移。
阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。
就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔（c. campbell）和塔洛克（g. tullock）。
坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7％；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50％。[⑤]也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。
此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。他们指出，在投票者超过十人的情况下，以上投票悖论出现的概率基本无变化，而且选择值的多少对悖论概率有相当大的影响。[⑥]
可见，在这种情景下，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论。 |
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| 阿罗不可能性定理是指，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。定理是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思·J·阿罗提出。 |
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| 众所周知，多数原则是现代社会广泛接受的决策方法。洛克认为“根据自然和理性的法则，大多数具有全体的权力，因而大多数的行为被认为是全体的行为，也当然有决定权了”。但很多在自然法学家那里是想当然正确的东西在社会选择理论中是需要证明的。所谓社会选择，在数学上表达为一个建立在所有个人的偏好上的函数（或对应），该函数的性质代表了一定的价值规范，比如公民主权、全体性、匿名性、目标中性，帕累托最优性，无独裁性等。社会选择最重要的问题是，这些价值规范之间是否是逻辑上协调的。阿罗证明，不存在同时满足如下四个基本公理的社会选择函数：①个人偏好的无限制性，即对一个社会可能存在的所有状态，任何逻辑上可能的个人偏好都不应当先验地被排除；②帕累托原则，即一个方案对所有人是最优的意味着相对于社会偏好序也是最优的；③非相关目标独立性，即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响；④社会偏好的非独裁性。 |
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假设有甲、乙、丙三人，分别来自中国、日本和美国，而且是分别多年的好朋友。三人久别重逢，欣喜之余，决定一起吃饭叙旧。但是，不同的文化背景形成了他们不同的饮食习惯，对餐饮的要求各不相同，风格各异
甲：中餐>西餐>日本餐
乙：日本餐>中餐>西餐
丙：西餐>日本餐>中餐
如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：
首先，在中餐和西餐中选择，甲、乙喜欢中餐，丙喜欢西餐；
然后，在西餐和日本餐中选择，甲、丙喜欢西餐，乙喜欢日本餐；
最后，在中餐和日本餐中选择，乙、丙喜欢日本餐，甲喜欢中餐。
三个人的最终表决结果如下：
中餐>西餐，西餐>日本餐，日本餐>中餐
所以，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的"投票悖论"（paradox of voting）。
投票悖论最早是由康德尔赛(Marquis de Coudorcet)在18世纪提出的，因而该悖论又称为"康德尔赛效应"[③]，而利用数学对其进行论证的则是肯尼斯·阿罗。
阿罗认为，有关社会选择的两个公理与民主主义所要求的诸条件不相适应。他所说的公理指以下内容：
公理1：连贯性（connectedness）
在x和y两项选择共存时，下面的某种情况永恒成立：
x大于或等于y；y大于或等于x。
公理2：传递性（transitivity）
在有x、y、z三项选择时，会出现这样几种情况：
x大于或等于y；y大于或等于z；则x大于或等于z。
阿罗指出，奠定这两个公理的基础的社会福利函数与他所谓的民主主义的诸条件不相称。民主主义的诸条件如下：
（1）条件1：个人排列顺序的普通容许区间。
作为个人来讲，对于如何选择自己的选择值序列问题是无关紧要的。例如，在面临x、y、z三项选择时，无论是x>y>z，还是z>y>x，或者是y>z>x，......总而言之，允许个人按照自己意愿排列选择值顺序。
（2）条件2：社会评价与个人评价的正态相关。
假如有五个人来选择x、y，当其中三人为x>y，另外二人为xy，而且，即使出现少数派中的一方改变主意，x>y时，x>y的社会全体的多数表决结果将仍然如故，不会发生改变。
（3）条件3：与无关选择对象无关的独立性。
在x、y、z三项选择值之间，假定选择顺序为x>y>z，那么即使y选择值已不复存在，剩下x和z的x>z的选择关系仍旧不发生改变。
（4）条件4：公民主权
个人的选择顺序与社会结构无关，即社会中的每个人都能按各自的价值观，自由地在备选对象中进行选择。
（5）条件5：非独裁
在全体成员中，当只有特定的个人选择x>y，其余人选择xy。[④]
综上所述，即所有五个条件都理应成为民主社会所具备。阿罗认为，如果同时承认前面两个公理和该五个条件，就会促成投票的悖论效应。这就是阿罗不可能定理。
接下来，笔者举一个简单的例子来说明阿罗所谓两个公理与民主社会的五个条件的矛盾性。
按照阿罗的理论，假设现在有七个人聚在一起准备去吃饭。这七个人对餐饮的偏好顺序如下所示：
1号：中餐>西餐>日本餐
2号 日本餐>中餐>西餐
3号 日本餐>中餐>西餐
4号 日本餐>中餐>西餐
5号 西餐>日本餐>中餐
6号 西餐>日本餐>中餐
7号 西餐>日本餐>中餐
由上可以看出，就中餐和西餐比较而言，1至4号喜欢中餐，5－7号喜欢西餐，故中餐以四比三的结果夺得优势。再将西餐和日本餐相比较，则1号和5至7号喜欢西餐，2至4号喜欢日本餐，即西餐以四比三的结果夺得优势。如果依照公理2的可递性来看，西餐>日本餐，由于前面中餐>西餐，则中餐>日本餐。但是，若从七个人的选择顺序来看，主张中餐比日本餐好的只有1号，而其他人都认为日本餐比中餐好。问题尚不仅于此，按照可递性，中餐将表现为社会选择结果。在此情况下，只有1号的意见得到通过。这时，如果1号改变选择顺序，那么与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，而是以1号的选择顺序为转移。
阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。
就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔（C. Campbell）和塔洛克（G. Tullock）。
坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7％；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50％。[⑤]也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。
此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。他们指出，在投票者超过十人的情况下，以上投票悖论出现的概率基本无变化，而且选择值的多少对悖论概率有相当大的影响。[⑥]
可见，在这种情景下，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论。 |