闵可夫斯基空间

No. 1

　　狭义相对论中由一个时间维和三个空间维组成的时空，为俄裔德国数学家闵可夫斯基(h.minkowski,1864-1909)最先表述。他的平坦空间（即假设没有重力，曲率为零的空间）的概念以及表示为特殊距离量的几何学是与狭义相对论的要求相一致的。闵可夫斯基空间不同于牛顿力学的平坦空间。
　　阿尔伯特•爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦科技大学(eidgenössische technische hochschule, eth; swiss federal institute of technology)时期的数学老师赫尔曼•闵可夫斯基在爱因斯坦提出狭义相对论之后，于1907年将爱因斯坦与亨德里克•洛仑兹的理论结果重新表述成(3+1)维的时空，其中光速在各个惯性参考系皆为定值，这样的时空即以其为名，称为闵可夫斯基时空，或称闵可夫斯基空间。
　　爱因斯坦一开始不认为这样的表述有何重要性，但当他1907年开始转往广义相对论发展时，发现闵可夫斯基时空可说是其所要发展的理论架构的基础，转而对这样的表述采取高的评价。

闵可夫斯基空间推导

　　我们从空间坐标变换说起。我们知道，平面解析几何中的坐标变换式是：
　　x'=xcosφ+ysinφ
　　y'=-xsinφ+ycosφ
　　借助矩阵的形式，我们可以把上式写成：
　　┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
　　│x1'│ │a11 a12││x1│
　　│ │=│ ││ │
　　│x2'│ │a21 a22││x2│
　　└ ┘ └ ┘└ ┘
　　这里的变换矩阵
　　┌ ┐ ┌ ┐
　　│a11 a12│ │cosφ sinφ │
　　│ │=│ │
　　│a21 a22│ │-sinφ cosφ │
　　└ ┘ └ ┘
　　是一个正交矩阵，因此这样的坐标变换能保证任意两点间距离不变。
　　从这里只要一步就可以跨进狭义相对论。我们把时间t乘以一个因子ic，这里c是具有速度量纲的一个常数，那么ict就有了长度的量纲（不过它的数值是虚的）。这个ict就作为与
　　三维空间的三个坐标相并列的第四维度，并且规定在坐标变换（实际上就是从一个惯性系变换到另一个惯性系）时，变换矩阵必须是正交的。比如，我们常见的洛仑兹变换：
　　x'=(x-vt)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)
　　y'=y
　　z'=z
　　t'=(t-vx/c^2)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)
　　如果把x、y、z依次记为x1、x2、x3，又记ict为x4，写成矩阵的形式就是：
　　┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
　　│x1'│ │ γ 0 0 iβγ ││x1│
　　│x2'│=│ 0 1 0 0 ││x2│
　　│x3'│ │ 0 0 1 0 ││x3│
　　│x4'│ │-iβγ 0 0 γ ││x4│
　　└ ┘ └ ┘└ ┘
　　上式中，β=v/c，γ=1/√1-v^2/c^2 。这么一来，“时空统一”看起来是不是清楚多了？
　　在这样的正交变换之下，有一个叫做“四维间隔”的东西是守恒的。如果记间隔为s，那么
　　s^2＝（x1）^2+（x2）^2+（x3）^2+（x4）^2＝r^2－(ct)^2
　　这个“四维间隔”，也就是四维时空中两点（准确地说应该叫做“时空点”）间的“距离”。上式最右边的r是空间上的距离，t是时间上的距离。
　　与此同时，c就成了四维时空中一个非常独特的速度。
　　假如：
　　在某个惯性系S1看来，一个物体从A地匀速运动到B地，历时t1，穿越距离r1；
　　而在另一惯性系S2中，这一物体从A地到B地，历时t2，穿越距离r2；
　　那么在这两个惯性系中，“物体从A地到B地”所经历的“四维间隔”的平方分别是
　　s1^2=r1^2-(ct1)^2
　　和
　　s2^2=r2^2-(ct2)^2。
　　倘若在S1系中此物体速度为c，那么r1/t1=c，于是s1=0。则经过时空坐标的变换后必有s2=0即r2/t2=c，也就是说这一物体在S2系中的速度也是c。换句话说，只要时间t以一个固定的常数c（不管这是不是光速！）与空间相联系，那么以c为速度的物体在一切惯性系中的速度都是c。
　　前提是C不为0。
　　数学定义
　　设V是实数域上的四维空间，若g是一个非退化的对称型且其正惯性指数等于3，则称（V，g）是一个闵可夫斯基空间.g在适当基下有如下矩阵
　　1 0 0 0
　　0 1 0 0
　　0 0 1 0
　　0 0 0 -1
　　V上的正交变换即称为洛伦兹变换，V中的迷向向量称为光向量，V中适合g（x,x)＞0的向量x称为空间向量，而适合g（x,x)＜0的向量x称为时间向量.这些相关名词指出了闵可夫斯基空间的物理学渊源.
　　可以证明闵可夫斯基空间的下列性质：
　　（1）任意两个时间向量不可能相互正交；
　　（2）任意一个时间向量都不可能正交于一个光向量；
　　（3）两个光向量正交的充分必要条件是它们线性相关.