| | | lián xù tǒng jiǎ shè （ continuumhypothesis）， shù xué shàng guān yú lián xù tǒng shì de jiǎ shè。 cháng jì zuò ch。 tōng cháng chēng shí shù jí jí zhí xiàn shàng diǎn de jí hé wéi lián xù tǒng， ér bǎ lián xù tǒng de shì（ dà xiǎo） jì zuò c。 2000 duō nián lái， rén men yī zhí rèn wéi rèn yì liǎng gè wú qióng jí dū yī yàng dà。 zhí dào 1847 nián， g. kāng tuō 'ěr zhèng míng： rèn hé yī gè jí hé de mì jí（ jí tā de yī qiē zǐ jí gòu chéng de jí hé） de shì dōudà yú zhè gè jí hé de shì， rén men cái rèn shí dào wú qióng jí hé yě kě yǐ bǐ jiào dà xiǎo。 zì rán shù jí shì zuì xiǎo de wú qióng jí hé， zì rán shù jí de shì jì zuò 'ā liè fū líng。 kāng tuō 'ěr zhèng míng lián xù tǒng shì děng yú zì rán shù jí de mì jí de shì。 shì fǒu cún zài yī gè wú qióng jí hé， tā de shì bǐ zì rán shù jí de shì dà， bǐ lián xù tǒng shì xiǎo？ zhè gè wèn tí bèi chēng wéi lián xù tǒng wèn tí。 kāng tuō 'ěr cāi xiǎng zhè gè wèn tí de jiě dá shì fǒu dìng de， jí lián xù tǒng shì shì bǐ zì rán shù jí de shì dà de shì zhōng zuì xiǎo de yī gè wú qióng shì， jì zuò 1。 zhè gè cāi xiǎng jiù chēng wéi lián xù tǒng jiǎ shè 。 1938 nián， k. gē dé 'ěr zhèng míng liǎo ch duì zf gōng lǐ xì tǒng（ jiàn gōng lǐ jí hé lùn ) shì xié diào de， 1963 nián， p.j. kē 'ēn zhèng míng ch duì zf gōng lǐ xì tǒng shì dú lì de , shì bù kě néng pàn dìng zhēn jiǎ de。 zhè yàng， zài zf gōng lǐ xì tǒng zhōng， ch shì bù kě néng pàn dìng zhēn jiǎ de。 | | lián xù tǒng jiǎ shè （ continuumhypothesis）， shù xué shàng guān yú lián xù tǒng shì de jiǎ shè。 cháng jì zuò CH。
gāi jiǎ shè shì shuō， wú qióng jí hé zhōng， chú liǎo zhěng shù jí de jī shù， shí shù jí de jī shù shì zuì xiǎo de。
tōng cháng chēng shí shù jí jí zhí xiàn shàng diǎn de jí hé wéi lián xù tǒng， ér bǎ lián xù tǒng de shì（ dà xiǎo） jì zuò C1。 2000 duō nián lái， rén men yī zhí rèn wéi rèn yì liǎng gè wú qióng jí dū yī yàng dà。 zhí dào 1891 nián， G. kāng tuō 'ěr zhèng míng： rèn hé yī gè jí hé de mì jí（ jí tā de yī qiē zǐ jí gòu chéng de jí hé） de shì dōudà yú zhè gè jí hé de shì， rén men cái rèn shí dào wú qióng jí hé yě kě yǐ bǐ jiào dà xiǎo。 zì rán shù jí shì zuì xiǎo de wú qióng jí hé， zì rán shù jí de shì jì zuò 'ā liè fū líng。 kāng tuō 'ěr zhèng míng lián xù tǒng shì děng yú zì rán shù jí de mì jí de shì。 shì fǒu cún zài yī gè wú qióng jí hé， tā de shì bǐ zì rán shù jí de shì dà， bǐ lián xù tǒng shì xiǎo？ zhè gè wèn tí bèi chēng wéi lián xù tǒng wèn tí。 kāng tuō 'ěr cāi xiǎng zhè gè wèn tí de jiě dá shì fǒu dìng de， jí lián xù tǒng shì shì bǐ zì rán shù jí de shì dà de shì zhōng zuì xiǎo de yī gè wú qióng shì， jì zuò C1； zì rán shù jí de shì jì zuò C0。 zhè gè cāi xiǎng jiù chēng wéi lián xù tǒng jiǎ shè 。 1938 nián， K. gē dé 'ěr zhèng míng liǎo CH duì ZF gōng lǐ xì tǒng（ jiàn gōng lǐ jí hé lùn ) shì xié diào de， 1963 nián， P.J. kē 'ēn zhèng míng CH duì ZF gōng lǐ xì tǒng shì dú lì de , shì bù kě néng pàn dìng zhēn jiǎ de。 zhè yàng， zài ZF gōng lǐ xì tǒng zhōng， CH shì bù kě néng pàn dìng zhēn jiǎ de。 rán 'ér dào liǎo 21 shì jì， qián rén de jié lùn yòu kāi shǐ bèi dòng yáo liǎo。
kāng tuō 'ěr zhèng míng lián xù tǒng de jī shù děng yú zì rán shù jí mì jí de jī shù， bìng bǎ tā jì zuò 2s ╲ s0。 kāng tuō 'ěr hái bǎ wú qióng jī shù 'àn zhào cóng xiǎo dào dà de cì xù pái liè wéi s╲ s0， s╲ s1， … s╲ sa…… qí zhōng a wéi rèn yì xù shù， kāng tuō 'ěr cāi xiǎng， 2s╲ sa=s╲ s1。 zhè jiù shì zhù míng de lián xù tǒng jiǎ shè （ jiǎn jì CH）。 yī bān lái shuō， duì rèn yì xù shù a， duàn dìng 2s╲ sa=s╲ sa+1 chéng lì， jiù chēng wéi guǎng yì lián xù tǒng jiǎ shè （ jiǎn jì GCH）。 1938 nián， gē dé 'ěr zhèng míng liǎo CH yǔ ZFC shì xiāng duì xié diào de， 1963 nián kē 'ēn zhèng míng liǎo CH xiāng duì yú ZFC shì dú lì de， gē dé 'ěr hé kē 'ēn de jiēguǒ biǎo míng CH duì ZFC lái shuō shì bù kě pàn dìng de。 zhè shì 60 nián dài jí hé lùn de zuì dà jìn zhǎn zhī yī。 | | lianxutong jiashe
lián xù tǒng jiǎ shè
continuumhypothesis
G.（ F.P.） kāng tuō 'ěr zài 1878 nián tí chū de guān yú lián xù tǒng de shì（ jí jī shù） de yī gè jiǎ shè。 tōng cháng chēng shí shù jí（ zhí xiàn shàng diǎn de jí hé） wéi lián xù tǒng , ér bǎ lián xù tǒng de shì jì zuò C。 yuǎn zài yà lǐ shì duō dé shí qī， jí yǐ rèn wéi méi yòu yī gè wú qióng jí bǐ lìng yī gè wú qióng jí dà， zhè yī guān diǎn zài lì shǐ shàng yán xù liǎng qiān nián zhī jiǔ， qì zhì 1847 nián G.(F.P.) kāng tuō 'ěr zhèng míng liǎo : rèn yī jí hé A de mì jí □ (A) de shì dōudà yú A de shì， cái zhǐ míng shàng shù guān diǎn shì cuò wù de。 kāng tuō 'ěr hái tóng shí zhèng míng liǎo： lián xù tǒng de shì yǔ zì rán shù jí zhī mì jí de shì shì xiāng děng de。 suǒ wèi lián xù tǒng wèn tí shì zhǐ： shì fǒu cún zài qí shì dà yú zì rán shù jí de shì 'ér yòu xiǎo yú shí shù jí de shì de jí hé。 G. kāng tuō 'ěr cāi cè： shí shù jí de zǐ jí chú liǎo yòu qióng zǐ jí , kě shù wú qióng zǐ jí yǐ jí yǔ shí shù jí běn shēn děng shì de zǐ jí wài , zài méi yòu bié yàng de zǐ jí。 yě jiù shì shuō， kāng tuō 'ěr cāi cè， shí shù jí de yī qiē wú qióng zǐ jí huò zhě yǔ zì rán shù jí děng shì huò zhě yǔ lián xù tǒng děng shì。 kāng tuō 'ěr de zhè gè cāi cè jiù chēng lián xù tǒng jiǎ shè 。 zài yòu xuǎn zé gōng lǐ de tiáo jiàn xià， měi yī gè wú qióng jí de shì dōushì mǒu gè 'ā liè fū， zì rán shù jí de shì shì□□， lián xù tǒng de shì□。 yīn cǐ , lián xù tǒng jiǎ shè kě yǐ děng jià dì biǎo wéi
□， bìng jiǎn jì wéi CH。
bǎ shàng shì děng shì tuī guǎng dào rèn yì de shì， jí dé suǒ wèi guǎng yì lián xù tǒng jiǎ shè ：
① duì rèn yī xù shù□； huò zhě，
② duì rèn 'èr wú qióng shì κ,□， ruò κ ≤□≤ 2□， zé
□ =κ huò zhě□ =2□，① yǔ② shì děng jià de， jūn jiǎn jì wéi GCH。
zài shù xué yán jiū de xǔ duō lǐng yù zhōng， CH shì bù kě huò quē de， lì rú， zài tǎo lùn shí shù zǐ jí de cèduó xìng zhì hé tuò pū xìng zhì shí， qí zhōng de yī gè jī běn wèn tí “ yǔ□ bù děng shì de zǐ jí shì fǒu cèduó wéi líng ? shì fǒu shǔ yú dì yī fàn chóu（ huò dì yī gāng）？ ” zài méi yòu CH de qíng kuàng xià， bù néng huí dá。 suǒ yǐ， zài cóng shì zhè yī fāng miàn de yán jiū shí， cháng cháng yào fù jiā CH zuò wéi qián tí。 shí jì shàng CH děng jià yú xià shù mìng tí□ hé□ de hé qǔ。
□： měi yī□□□ , ｜□｜ □： cún zài yī□□□，｜□｜ =□ qiě□ hé měi yī wú chù chóu mì jí de jiāo dōushì zhì duō kě shù de。
CH yě děng jià yú mìng tí М hé□ de hé qǔ。
М： měi yī shì bǐ□ xiǎo de shí shù zǐ jí cèduó wéi líng。
□： cún zài yī□□□， |□ |=□ qiě□ hé měi yī líng cèduó jí de jiāo dōushì zhì duō kě shù de。
cǐ wài， yǐ xià de měi yī mìng tí dū děng jià yú CH。
□□ : shí píng miàn kě yǐ fēn chéng liǎng gè jí hé□ ,□ ,□ hé měi yī shuǐ píng xiàn zhǐ yòu kě shù jiāo，□ hé měi yī chuí zhí xiàn zhǐ yòu kě shù jiāo。
□□： shí píng miàn shì kě shù duō tiáo qū xiàn de bìng。
guān yú shí shù jí shàng de shí hán shù lùn , zài jiǎ dìng liǎo CH de qián tí xià , jiù yòu
□□： cún zài yī gè cóng□ dào□ de hán shù□， tā zài rèn yī bù kě shù de□□□ shàng dū bù lián xù；
□□： cún zài yī gè□ :□ →□ , hé yī gè□□□ ,｜□｜ =□，□ zài□ shàng lián xù， dàn zài□ de rèn yī bù kě shù zǐ jí shàng，□ dōubù yī zhì lián xù。
jìn guǎn CH zài shù xué yán jiū de xǔ duō lǐng yù zhōng zuò yòng xiǎn zhù， dàn zài chún cuì de jí hé lùn yán jiū zhōng què zuò yòng bù dà。 lì rú duì yú shì de mì yùn suàn de jiǎn huà， CH jiù nán yǐ wéi lì。 suǒ yǐ rén men cái yòu jìn yī bù kǎo lǜ liǎo GCH， lì yòng GCH kě yǐ jiāng shì de mì yùn suàn jiǎn huà rú xià：
□
lián xù tǒng wèn tí zài D. xī 'ěr bó tè 1900 nián tí chū de《 shù xué wèn tí》 zhōng wèi jū dì yī（ jiàn xī 'ěr bó tè shù xué wèn tí）。 bāo kuò xī 'ěr bó tè zài nèi de xǔ duō míng jiā dū céng zhì lì yú zhè yī zhù míng nán tí de yán jiū， suī lì jīng jiān kǔ fèn dǒu， dàn zài xiāng dāng cháng de yī duàn shí qī nèi， méi yòu jìn zhǎn。 yīn 'ér cù shǐ rén men huái yí zhè yī wèn tí zài shù xué de xiàn zhuàng xià shì wú fǎ jiě jué de。
zhí dào 1938 nián ,K. gē dé 'ěr zhèng dé liǎo GCH（ yīn 'ér CH） xiāng duì yú ZF xì tǒng de xié diào xìng， jí： ruò ZF xì tǒng shì xié diào de , zé zài ZFC xì tǒng zhōng， GCH de fǒu dìng shì bù kě zhèng míng de。 1963 nián ,P.J. kē 'ēn yòu zhèng míng liǎo CH（ yīn 'ér GCH） xiāng duì yú ZF xì tǒng de dú lì xìng , jí： ruò ZF xì tǒng shì xié diào de , zé zài ZFC xì tǒng zhōng， CH shì bù kě zhèng míng de。 zōng shàng suǒ shù， jí dé： zài ZF xì tǒng zhōng， CH shì bù kě pàn dìng de。（ jiàn jí hé lùn gōng lǐ xì tǒng）
gē dé 'ěr hé kē 'ēn de chéng guǒ bèi yù wéi 20 shì jì shù xué jī chǔ yán jiū zhōng de liǎng gè zhòng dà chéng jiù。 kē 'ēn chuàng lì de lì pò fāng fǎ yǐ zài jí hé lùn zhōng dé dào guǎng fàn de yìng yòng。 yùn yòng zhè yī fāng fǎ， rén men yǐ jīng zhèng míng liǎo yī dà pī shù xué mìng tí de dú lì xìng。
yóu yú ZFC xì tǒng wú fǎ jué dìng lián xù tǒng wèn tí , shèn zhì fù jiā zhí guān shàng kě kào de dà jī shù gōng lǐ（ lì rú kě cè jī shù cún zài gōng lǐ） réng rán wú fǎ tuī chū CH， yīn 'ér bāo kuò gē dé 'ěr zài nèi de yī xiē shù xué jiā rèn wéi CH bù kě xìn， xiǎng yòng yī dài xīn de gōng lǐ lái qǔ dài CH。 zài zhè yī fāng miàn， yóu D.A. mǎ dīng děng rén zài 1970 nián tí chū de mǎ dīng gōng lǐ shì zuì jiā de xuǎn zé， tā yǔ lì pò fǎ xiāng fǔ xiāng chéng， jié hé zhe fā zhǎn， zuì hòu dé dào yī tiáo mǎ dīng jí dà yuán lǐ， tā yòu zhe guǎng fàn de yìng yòng， mù qián shàng zài jìn yī bù de yán jiū zhōng。
cān kǎo shū mù Seirpinski,HyhotheseDuContinu,2nded.,Chelsea,NewYork,1956.
（ hú jìng wǎn）
| | | guǎng yì lián xù tǒng jiǎ shè | jí hé lùn yǔ lián xù tǒng jiǎ shè | | xuǎn zé gōng lǐ jí guǎng yì lián xù tǒng jiǎ shè hé jí hé lùn gōng lǐ de xié diào xìng | |
|
|
|