以曲面纤维化为例。
设f:s→c是曲面s的纤维化。 s有三个相对不变量：k_f^2,χ_f,e_f.
这三个不变量都是非负整数，满足noether（x.诺特）公式：
12χ_f=k_f^2+e_f.
λ_f=k_f^2/χ_f称为纤维化f的斜率（要求χ_f≠0）。
由诺特公式易知0<λ_f╭12.如果λ_f＝12，就称f为小平邦彦纤维化。
当纤维亏格g>1时， 肖刚证明了λ_f≥(4-4/g).
求斜率上界是个很有意思的问题。 在超椭圆纤维化情形，肖刚，horikawa等求出了斜率上界。 高亏格情形则比较困难。此外，是否存在这样的曲面纤维化，恰好达到斜率上界？这仍然是个公开问题。
给定斜率，是否有相应的曲面纤维化存在？ 这个问题和曲面地理学问题是类似的。 |
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