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突變理論
　　是20世紀70年代發展起來的一個新的數學分支。
突變理論的産生
　　許多年來，自然界許多事物的連續的、漸變的、平滑的運動變化過程，都可以用微積分的方法給以圓滿解决。例如，地球繞着太陽旋轉，有規律地周而復始地連續不斷進行，使人能及其精確地預測未來的運動狀態，這就需要運用經典的微積分來描述。
　　但是，自然界和社會現象中，還有許多突變和飛躍的過程，飛越造成的不連續性把係統的行為空間變成不可微的，微積分就無法解决。例如，水突然沸騰，冰突然融化，火山爆發，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。
　　這種由漸變、量變發展為突變、質變的過程，就是突變現象，微積分是不能描述的。以前科學家在研究這類突變現象時遇到了各式各樣的睏難，其中主要睏難就是缺乏恰當的數學工具來提供描述它們的數學模型。那麽，有沒有可能建立一種關於突變現象的一般性數學理論來描述各種飛躍和不連續過程呢？這迫使數學家進一步研究描述突變理論的飛躍過程，研究不連續性現象的數學理論。
　　1972年法國數學家雷內·托姆在《結構穩定性和形態發生學》一書中，明確地闡明了突變理論，宣告了突變理論的誕生。
突變理論的內容
　　突變理論主要以拓撲學為工具，以結構穩定性理論為基礎，提出了一條新的判別突變、飛躍的原則：在嚴格控製條件下，如果質變中經歷的中間過渡態是穩定的，那麽它就是一個漸變過程。
　　比如拆一堵墻，如果從上面開始一塊塊地把磚頭拆下來，整個過程就是結構穩定的漸變過程。如果從底腳開始拆墻，拆到一定程度，就會破壞墻的結構穩定性，墻就會嘩啦一聲，倒塌下來。這種結構不穩定性就是突變、飛躍過程。又如社會變革，從封建社會過渡到資本主義社會，法國大革命采用暴力來實現，而日本的明治維新就是采用一係列改革，以漸變方式來實現。
　　對於這種結構的穩定與不穩定現象，突變理論用勢函數的窪存在表示穩定，用窪取消表示不穩定，並有自己的一套運算方法。例如，一個小球在窪底部時是穩定的，如果把它放在突起頂端時是不穩定的，小球就會從頂端處，不穩定滾下去，往新窪地過渡，事物就發生突變；當小球在新窪地底處，又開始新的穩定，所以勢函數的窪存在與消失是判斷事物的穩定性與不穩定性、漸變與突變過程的根據。
　　托姆的突變理論，就是用數學工具描述係統狀態的飛躍，給出係統處於穩定態的參數區域，參數變化時，係統狀態也隨着變化，當參數通過某些特定位置時，狀態就會發生突變。
　　突變理論提出一係列數學模型，用以解是自然界和社會現象中所發生的不連續的變化過程，描述各種現象為何從形態的一種形式突然地飛躍到根本不同的另一種形式。如岩石的破裂，橋梁的斷裂，細胞的分裂，胚胎的變異，市場的破壞以及社會結構的激變……。
　　按照突變理論，自然界和社會現象中的大量的不連續事件，可以由某些特定的幾何形狀來表示。托姆指出，發生在三維空間和一維空間的四個因子控製下的突變，有七種突變類型：折迭突變、尖頂突變、燕尾突變、蝴蝶突變、雙麯臍突變、橢圓臍形突變以及拋物臍形突變。
　　例如，用大拇指和中指夾持一段有彈性的鋼絲，使其嚮上彎麯，然後再用力壓鋼絲使其變形，當達到一定程度時，鋼絲會突然嚮下彎麯，並失去彈性。這就是生活中常見的一種突變現象，它有兩個穩定狀態：上彎和下彎，狀態由兩個參數决定，一個是手指夾持的力(水平方向)，一個是鋼絲的壓力(垂直方向)，可用尖頂突變來描述。
　　尖頂突變和蝴蝶突變是幾種質態之間能夠進行可逆轉的模型。自然界還有些過程是不可逆的，比如死亡是一種突變，活人可以變成死人，反過來卻不行。這一類過程可以用折迭突變、燕尾突變等時函數最高奇次的模型來描述。所以，突變理論是用形象而精確的得數學模型來描述質量互變過程。
　　英國數學家奇曼教授稱突變理論是“數學界的一項智力革命——微積分後最重要的發現”。他還組成一個研究團體，悉心研究，擴展應用。短短幾年，論文已有四百多篇，可成為盛極一時，托姆為此成就而榮獲當前國際數學界的最高奬——菲爾茲奬。
突變理論的應用
　　突變理論在自然科學的應用是相當廣泛的。在物理學研究了相變、分叉、混沌與突變的關係，提出了動態係統、非綫性力學係統的突變模型，解釋了物理過程的可重複性是結構穩定性的表現。在化學中，用蝴蝶突變描述氫氧化物的水溶液，用尖頂突變描述水的液、氣、固的變化等。在生態學中研究了物群的消長與生滅過程，提出了根治蝗蟲的模型與方法。在工程技術中，研究了彈性結構的穩定性，通過橋梁過載導致毀壞的實際過程，提出最優結構設計……。
　　突變理論在社會現象的一個用歸納為某種量的突變問題，人們施加控製因素影響社會狀態是有一定條件的，衹有在控製因素達到臨界點之前，狀態纔是可以控製的。一旦發生根本性的質變，它就表現為控製因素所無法控製的突變過程。還可以用突變理論對社會進行高層次的有效控製，為此就需要研究事物狀態與控製因素之間的相互關係，以及穩定區域、非穩定區域、臨界麯綫的分佈特點，還要研究突變的方向與幅度。
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　　突變理論
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　　20世紀70年代發展起來的一個新的數學學科。一種自然現象或一個技術過程，在發展變化過程中常常會從一個狀態跳躍式地變到另一個狀態，或者說經過一段時間緩慢的連續的變化之後，在一定的外界條件下，會産生一種不連續的變化，這就是所謂的突變現象。這類突變現象在大自然裏以及在技術過程中都是普遍存在的。例如，一定質量的氣體在一定的溫度和壓力之下會變成液體，天氣的突然變化會産生暴風雨，地殼的劇烈運動會引起地震，橋梁的扭麯會導致斷裂，容器裏的幾種物質在一定的外界條件下會發生化學反應,胚胎的發育,等等，這些現象都是突變現象。以前科學家們在研究這類突變現象時遇到了各式各樣的睏難，其中主要睏難之一就是缺乏恰當的數學工具來提供描述它們的數學模型。1969年法國數學家R.托姆在他的題為《生物學中的拓撲模型》一文中，首次在奇點分類的基礎上提出了一個描述突變現象的數學模型。稍後，他在著名的《結構穩定與形態發生》一書中又係統地闡述了他的思想，這就是現在人們所稱的突變理論。
　　澤曼機是E.C.澤曼為闡述突變理論而構造的一個力學例子。□是一個半徑為1的圓盤，它可以圍繞□□平面的原點□自由轉動。□是□□平面上的一個固定點,□□的長為3,□是圓盤上的一個固定點，取兩條長度為1的彈性帶子，把其中的一條的一端固定在點□,另一端固定在圓盤上的點□處；另一條彈性帶子的一端固定在□處,另一端□在平面上自由移動。當點□在平面上連續變動時,衹要□□的長度大於1，那麽在彈性力的作用下，一般說來,圓盤是跟着□點的移動而連續地轉動。在實驗中發現，當□移動到某些點時，圓盤會從一個狀態跳躍到另一個狀態，發生了不連續的變化即突變。通過實驗就可以看到這種突變點構成一條如圖1 澤曼機所示的尖點狀的麯綫。對這樣一個力學係統的運動，取直綫□□為□軸,首先找出刻畫圓盤狀態的參數，可以用□□與□□的夾角□□來刻畫圓盤的狀態並稱□為狀態參數，或稱內參數。點□的運動控製着圓盤的運動，所以點□的坐標(□,□)就稱為控製參數或外參數。由鬍剋定律可知，這個力學係統有個勢函數。當兩條彈性帶子的長度分別為□□、□□時，它們的總勢能為□=(□□-1)□+(□□-1)□，式中□□=□□,□□=□□，將
　　□代入□,□可以看出□是□、□、□的函數。由極小勢能原理可知，當點□□的坐標為(□0，□0)時，圓盤狀態□□0應使□(□0，□0,□0)為勢函數□(□,□,□)的極小值。也就是說，這個力學係統的狀態(□□,□,□)應滿足方程式□。在三維空間(□,□,□)□□□□□中, 方程式□確定一麯面,記作М□並稱它為狀態麯面或突變流形。它上面的點代表這個力學係統的一個狀態。從奇點理論研究的結果知道，可以選取適當的坐標 (□,□,□)□使得函數□在新坐標係中有很簡單的分析表達式：
　　□而狀態麯面М□由方程
　　□所决定。這個麯面圖形如圖2 尖點型突變所示。幾何上麯面М□是這樣描述力學係統運動的:為了使圖看起來清晰,把□,□平面沿□軸嚮下平移一個距離,□□表示М□到(□,□)平面的垂直投影,麯面М□的兩條摺叠綫在□□下的像是一條尖點麯綫□,給定一點□0(□0,□0)，圓盤的狀態□0應該使
　　□,即 (□0,□0,□0)是麯面М□上的一點 □0，亦即通過點(□0，□□)平行於□軸的直綫與М□的交點就是□。當控製參數□＝(□,□)在平面上沿一條麯綫從□0連續地變到□□,□□時,相應的代表係統狀態的點□就從□□連續地沿着麯面上一條麯綫變到□□,□□。
包含詞
突變理論學