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碰撞問題
collision
若p個質點在時刻t□同時碰撞於一點,這就稱為在t□發生了□體碰撞。碰撞時刻 t□是多體運動方程的奇點。當時間趨於t□時，碰撞質點的相互距離趨於零，鑒於萬有引力與距離平方成反比,所以加速度趨於無窮大,微分方程在該點不再滿足解的存在及唯一性定理的條件。能否通過一定的變換消除這一奇點，碰撞以後天體如何運動,在碰撞時刻附近軌道的漸近表現如何,以及雖不發生碰撞但出現幾個質點彼此緊密接近，這時軌道的性質又如何，諸如此類都是碰撞問題所要討論和研究的。從理論上說，不消除碰撞奇點就不可能得到多體問題的全局解。實際工作也要求解决碰撞和緊密接近時軌道的計算問題。
衹要二體碰撞得到了詳盡研究,並適當選取參數,就可以毫無睏難地把天體在碰撞前後的運動清楚地表示出來。兩個天體在相互引力的作用下，沿着一條近乎直綫的軌道碰撞，然後就反彈回來。經過碰撞，這個係統的能量積分、動量矩積分和質量中心的運動狀態都保持不變。儘管碰撞時天體的加速度會無限增大，但是兩個天體之間的距離r和其中任何一個天體的速度□的平方之積r□□卻趨於一個確定的有限值。所以,二體碰撞奇點是非本質的，可以通過一定的變換予以消除。
研究二體以上的碰撞問題要睏難得多，至今還有很多問題未弄清楚。但可以肯定，若要所有天體都同時碰撞於一點，則該係統的動量矩的三個分量必須全部為零。因此，在研究該係統的一般運動狀態時可避開這種情況。在三體問題的三體碰撞方面，有一些更為具體的研究成果。首先，如發生三體碰撞，三個質點必須始終保持在一個平面上。另外，它們衹能組成等邊三角形或連成一直綫。發生在碰撞奇點鄰近三體碰撞軌道的坐標的漸近表示式是形如(t－t□)□ 項的綫性組合。這些特徵指數□□中有一個取值為2/3,其他一般是無理數。這說明與二體碰撞奇點不同，三體碰撞奇點是本性奇點。鬆德曼對三體問題的碰撞奇點作了深入的研究。他首先適當選擇初始條件，以排除三體碰撞,然後引入一個變量ω代替t作自變量，以消去所有的二體碰撞奇點。他證明了三質點的坐標、它們相互間的距離以及時間 t都是ω的解析函數，因此能展開為它的收斂幂級數。而且這一點對於任何時刻都有效。鬆德曼級數是三體問題最重要的成果之一。
在N個天體（質點）組成的多體問題中,在某一時刻如果每個天體受到的引力都指嚮該係統的質心，並且引力的大小正比於該天體的質量和它到質心的距離，就稱這 N個天體組成的幾何形狀為中心構形。具有相似形狀的中心構形，都看成是同一類的。N個天體在趨於N體碰撞時，它們所組成的幾何形狀一定越來越接近於某類中心構形。如果這 N個天體組成的係統具有無窮多類中心構形,則在趨於N體碰撞時，就可能擺動於這些中心構形之間。
參考書目
L.Siegel and J.K.Moser,Lectures on CelestialMechanics,Springer-Verlag,Berlin,1971.
（黃天衣） |