| | 所謂的相似三角形,就是它們的形狀相同,但大小不一樣,然而衹要其形狀相同,不論大小怎樣改變他們都相似,所以就叫做相似三角形
三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形
相似三角形的判定方法有
平行綫截三角形所得三角形與原三角形相似。
兩角相等，兩三角形相似。
兩個三角形的兩邊對應成比例且其兩條邊的夾角相等，兩三角形相似。
三邊分別對應成比例，兩三角形相似。
直角三角形相似判定定理1：斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，並且分成的兩個直角三角形也相似。
射影定理
相似三角形的性質
1.相似三角形的一切對應綫段(對應高、對應中綫、對應角平分綫、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等於它們的相似比。
2.相似三角形周長的比等於它們的相似比。
3.相似三角形面積的比等於它們的相似比的平方。 | | 對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。（similar triangles）。
互為相似形的三角形叫做相似三角形 | | 根據相似圖形的特徵來判斷。（對應邊成比例，對應邊的夾角相等）
1.平行於三角形一邊的直綫和其他兩邊(或兩邊的延長綫)相交,所構成的三角形與原三角形相似；
（這是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎。這個引理的證明方法需要平行綫分綫段成比例的證明）
2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那麽這兩個三角形相似；
3.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,並且相應的夾角相等,那麽這兩個三角形相似；
4.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那麽這兩個三角形相似；
絶對相似三角形
1.兩個全等的三角形一定相似。
2.兩個等腰直角三角形一定相似。（兩個等腰三角形，如果頂角或底角相等，那麽這兩個等腰三角形相似。）
3.兩個等邊三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理
1.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。
2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，並且分成的兩個直角三角形也相似。
射影定理
三角形相似的判定定理推論
推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。
推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。
推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。
推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。
推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中綫與另一個三角形的對應部分成比例，那麽這兩個三角形相似。
推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中綫與另一個三角形的對應部分成比例，那麽這兩個三角形相似。 | | 1.相似三角形的一切對應綫段(對應高、對應中綫、對應角平分綫、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等於相似比。
2.相似三角形周長的比等於相似比。
3.相似三角形面積的比等於相似比的平方。 | | 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。（congruent triangles）
全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特徵：
1.形狀,大小完全相同，相似比是k=1。
全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。
因此，相似三角形包括全等三角形。
全等三角形的定義
能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。（註：全等三角形是相似三角形中的特殊情況）
當兩個三角形完全重合時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。
由此，可以得出：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。
(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；
(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；
(3)有公共邊的，公共邊一定是對應邊；
(4)有公共角的，角一定是對應角；
(5)有對頂角的，對頂角一定是對應角；
三角形全等的判定公理及推論
1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱SSS或“邊邊邊”)，這一條也說明了三角形具有穩定性的原因。
2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS或“邊角邊”)。
3、有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA或“角邊角”)。
由3可推到
4、有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS或“角角邊”)
5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL或“斜邊，直角邊”)
所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理。
註意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。
A是英文角的縮寫(angle)，S是英文邊的縮寫(side)。
全等三角形的性質
1、全等三角形的對應角相等、對應邊相等。
2、全等三角形的對應邊上的高對應相等。
3、全等三角形的對應角平分綫相等。
4、全等三角形的對應中綫相等。
5、全等三角形面積相等。
6、全等三角形周長相等。
7、三邊對應相等的兩個三角形全等。（SSS)
8、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。(SAS)
9、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。(ASA)
10、兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。(AAS)
11、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。(HL)
全等三角形的運用
1、性質中三角形全等是條件，結論是對應角、對應邊相等。 而全等的判定卻剛好相反。
2、利用性質和判定，學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在寫兩個三角形全等時，一定把對應的頂點，角、邊的順序寫一致，為找對應邊，角提供方便。
3，當圖中出現兩個以上等邊三角形時，應首先考慮用SAS找全等三角形。
4、用在實際中，一般我們用全等三角形測等距離。以及等角，用於工業和軍事。有一定幫助。
全等三角形做題技巧
一般來說考試中綫段和角相等需要證明全等。
因此我們可以來采取逆思維的方式。
來想要證全等，則需要什麽
另一種則要根據題目中給出的已知條件，求出有關信息。
然後把所得的等式運用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）證明三角形全等。
位似
概念：相似且對應頂點的連綫相交於一點，對應邊互相平行的兩個圖形叫做位似。
位似一定相似但相似不一定位似~ | | - n.: similar triangles
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