ōu lā gōng shì
jiǎn dān duō miàn tǐ de dǐng diǎn shù v、 miàn shù f jí lēng shù e jiān yòu guān xì
v+f-e=2
zhè gè gōng shì jiào 'ōu lā gōng shì。 gōng shì miáo shù liǎo jiǎn dān duō miàn tǐ dǐng diǎn shù、 miàn shù、 lēng shù tè yòu de guī lǜ。
rèn shí 'ōu lā
ōu lā， ruì shì shù xué jiā， 13 suì jìn bā sài 'ěr dà xué dú shū， dé dào zhù míng shù xué jiā bèi nǔ lì de jīng xīn zhǐ dǎo ． ōu lā shì kē xué shǐ shàng zuì duō chǎn de yī wèi jié chū de shù xué jiā， tā cóng 19 suì kāi shǐ fā biǎo lùn wén， zhí dào 76 suì， tā nà bù juàn de yī shēng， gòng xiě xià liǎo 886 běn shū jí hé lùn wén， qí zhōng zài shì shí fā biǎo liǎo 700 duō piān lùn wén。 bǐ dé bǎo kē xué yuàn wèile zhěng lǐ tā de zhù zuò， zhěng zhěng yòng liǎo 47 nián。
ōu lā zhù zuò jīng rén de gāo chǎn bìng bù shì 'ǒu rán de。 tā nà wán qiáng de yì lì hé zī zī bù juàn de zhì xué jīng shén， kě yǐ shǐ tā zài rèn hé bù liáng de huán jìng zhōng gōng zuò： tā cháng cháng bào zhe hái zǐ zài xī gài shàng wán chéng lùn wén。 jí shǐ zài tā shuāng mù shī míng hòu de 17 nián jiān， yě méi yòu tíng zhǐ duì shù xué de yán jiū， kǒu shù liǎo hǎo jǐ běn shū hé 400 yú piān de lùn wén。 dāng tā xiě chū liǎo jì suàn tiān wáng xīng guǐ dào de jì suàn yào lǐng hòu lí kāi liǎo rén shì。 ōu lā yǒng yuǎn shì wǒ men kě jìng de lǎo shī。
ōu lā yán jiū lùn zhù jīhū shè jí dào suǒ yòu shù xué fēn zhī， duì wù lǐ lì xué、 tiān wén xué、 dàn dào xué、 háng hǎi xué、 jiàn zhù xué、 yīnyuè dōuyòu yán jiū！ yòu xǔ duō gōng shì、 dìng lǐ、 jiě fǎ、 hán shù、 fāng chéng、 cháng shù děng shì yǐ 'ōu lā míng zì mìng míng de。 ōu lā xiě de shù xué jiào cái zài dāng shí yī zhí bèi dāng zuò biāo zhǔn jiào chéng。 19 shì jì wěi dà de shù xué jiā gāo sī（ gauss， 1777-1855） céng shuō guò “ yán jiū 'ōu lā de zhù zuò yǒng yuǎn shì liǎo jiě shù xué de zuì hǎo fāng fǎ ”。 ōu lā hái shì shù xué fú hào fā míng zhě， tā chuàng shè de xǔ duō shù xué fú hào， lì rú π， i， e， sin， cos， tg， σ， f(x) děng děng， zhì jīn yán yòng。
ōu lā bù jǐn jiě jué liǎo huì xīng guǐ jì de jì suàn wèn tí， hái jiě jué liǎo shǐ niú dùn tóu tòng de yuè lí wèn tí。 duì zhù míng de“ gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí” de wán měi jiě dá kāi chuàng liǎo“ tú lùn” de yán jiū。 ōu lā fā xiàn， bù lùn shénme xíng zhuàng de tū duō miàn tǐ， qí dǐng diǎn shù v、 lēng shù e、 miàn shù f zhī jiān zǒng yòu guān xì v+f-e=2， cǐ shì chēng wéi 'ōu lā gōng shì。 v+f-e jí 'ōu lā shì xìng shù， yǐ chéng wéi“ tuò pū xué” de jī chǔ gài niàn。 nà me shénme shì“ tuò pū xué”？ ōu lā shì rú hé fā xiàn zhè gè guān xì de？ tā shì yòng shénme fāng fǎ yán jiū de？ jīn tiān ràng wǒ men yán zhe 'ōu lā de zú jì， huái zhe chóng jìng de xīn qíng hé xīn shǎng de tài dù tàn suǒ zhè gè gōng shì ......
ōu lā dìng lǐ de yì yì
（ 1） shù xué guī lǜ： gōng shì miáo shù liǎo jiǎn dān duō miàn tǐ zhōng dǐng diǎn shù、 miàn shù、 lēng shǔzhī jiān tè yòu de guī lǜ
（ 2） sī xiǎng fāng fǎ chuàng xīn： dìng lǐfà xiàn zhèng míng guò chéng zhōng， guān niàn shàng， jiǎ shè tā de biǎo miàn shì xiàng pí báomó zhì chéng de， kě suí yì lā shēn； fāng fǎ shàngjiàng dǐ miàn jiǎn diào， huà wéi píng miàn tú xíng（ lì tǐ tú → píng miàn lā kāi tú）。
（ 3） yǐn rù tuò pū xué： cóng lì tǐ tú dào lā kāi tú， gè miàn de xíng zhuàng、 cháng dù、 jù lí、 miàn jī děng yǔ dù liàng yòu guān de liàng fā shēng liǎo biàn huà， ér dǐng diǎn shù， miàn shù， lēng shù děng bù biàn。
dìng lǐ yǐn dǎo wǒ men jìn rù yī gè xīn jǐ hé xué lǐng yù： tuò pū xué。 wǒ men yòng yī zhǒng kě suí yì biàn xíng dàn bù dé sī pò huò zhānlián de cái liào（ rú xiàng pí bō） zuò chéng de tú xíng， tuò pū xué jiù shì yán jiū tú xíng zài zhè zhǒng biàn xíng guò chéng zhōng de bù biàn de xìng zhì。
（ 4） tí chū duō miàn tǐ fēn lèi fāng fǎ：
zài 'ōu lā gōng shì zhōng， f(p)=v+f-e jiào zuò 'ōu lā shì xìng shù。 ōu lā dìng lǐ gào sù wǒ men， jiǎn dān duō miàn tǐ f(p)=2。
chú jiǎn dān duō miàn tǐ wài， hái yòu fēi jiǎn dān duō miàn tǐ。 lì rú， jiāng cháng fāng tǐ wā qù yī gè dòng， lián jié dǐ miàn xiāng yìng dǐng diǎn dé dào de duō miàn tǐ。 tā de biǎo miàn bù néng jīng guò lián xù biàn xíng biàn wéi yī gè qiú miàn， ér néng biàn wéi yī gè huán miàn。 qí 'ōu lā shì xìng shù f(p)=16+16-32=0， jí dài yī gè dòng de duō miàn tǐ de 'ōu lā shì xìng shù wéi 0。
（ 5） lì yòng 'ōu lā dìng lǐ kě jiě jué yī xiē shí jì wèn tí
rú： wèishénme zhèng duō miàn tǐ zhǐ yòu 5 zhǒng？ zú qiú yǔ c60 de guān xì？ fǒu yòu lēng shù wéi 7 de zhèng duō miàn tǐ？ děng
ōu lā dìng lǐ de zhèng míng
fāng fǎ 1：（ lì yòng jǐ hé huà bǎn）
zhú bù jiǎn shǎo duō miàn tǐ de lēng shù， fēn xī v+f-e
xiān yǐ jiǎn dān de sì miàn tǐ abcd wéi lì fēn xī zhèng fǎ。
qù diào yī gè miàn， shǐ tā biàn wéi píng miàn tú xíng， sì miàn tǐ dǐng diǎn shù v、 lēng shù v yǔ shèng xià de miàn shù f1 biàn xíng hòu dōuméi yòu biàn。 yīn cǐ， yào yán jiū v、 e hé f guān xì， zhǐ xū qù diào yī gè miàn biàn wéi píng miàn tú xíng， zhèng v+f1-e=1
（ 1） qù diào yī tiáo lēng， jiù jiǎn shǎo yī gè miàn， v+f1-e bù biàn。 yǐ cì qù diào suǒ yòu de miàn， biàn wéi“ shù zhī xíng”。
（ 2） cóng shèng xià de shù zhī xíng zhōng， měi qù diào yī tiáo lēng， jiù jiǎn shǎo yī gè dǐng diǎn， v+f1-e bù biàn， zhí zhì zhǐ shèng xià yī tiáo lēng。
yǐ shàng guò chéng v+f1-e bù biàn， v+f1-e=1， suǒ yǐ jiā shàng qù diào de yī gè miàn， v+f-e=2。
duì rèn yì de jiǎn dān duō miàn tǐ， yùn yòng zhè yàng de fāng fǎ， dōushì zhǐ shèng xià yī tiáo xiàn duàn。 yīn cǐ gōng shì duì rèn yì jiǎn dān duō miàn tǐ dōushì zhèng què de。
fāng fǎ 2： jì suàn duō miàn tǐ gè miàn nèi jiǎo hé
shè duō miàn tǐ dǐng diǎn shù v， miàn shù f， lēng shù e。 jiǎn diào yī gè miàn， shǐ tā biàn wéi píng miàn tú xíng（ lā kāi tú） , qiú suǒ yòu miàn nèi jiǎo zǒng hé σα
yī fāng miàn， zài yuán tú zhōng lì yòng gè miàn qiú nèi jiǎo zǒng hé。
shè yòu f gè miàn， gè miàn de biān shù wéi n1,n2， …， nf， gè miàn nèi jiǎo zǒng hé wéi：
σα=[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+… +(nf-2)·1800]
=(n1+n2+… +nf-2f)·1800
=(2e-2f)·1800=(e-f)·3600（ 1）
lìng yī fāng miàn， zài lā kāi tú zhōng lì yòng dǐng diǎn qiú nèi jiǎo zǒng hé。
shè jiǎn qù de yī gè miàn wéi n biān xíng， qí nèi jiǎo hé wéi (n-2)·1800， zé suǒ yòu v gè dǐng diǎn zhōng， yòu n gè dǐng diǎn zài biān shàng， v-n gè dǐng diǎn zài zhōng jiān。 zhōng jiān v-n gè dǐng diǎn chù de nèi jiǎo hé wéi (v-n)·3600， biān shàng de n gè dǐng diǎn chù de nèi jiǎo hé (n-2)·1800。
suǒ yǐ， duō miàn tǐ gè miàn de nèi jiǎo zǒng hé：
σα=(v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（ v-2） ·3600.（ 2）
yóu (1)(2) dé： (e-f)·3600=（ v-2） ·3600
suǒ yǐ v+f-e=2.
ōu lā dìng lǐ de yùn yòng fāng fǎ
（ 1） fēn shì：
a ＾ r/(a-b)(a-c)+b＾ r/(b-c)(b-a)+c＾ r/(c-a)(c-b)
dāng r=0,1 shí shì zǐ de zhí wéi 0
dāng r=2 shí zhí wéi 1
dāng r=3 shí zhí wéi a+b+c
（ 2） fù shù
yóu e＾ iθ=cosθ+isinθ, dé dào：
sinθ=（ e＾ iθ-e＾ -iθ） /2i
cosθ=（ e＾ iθ+e＾ -iθ） /2
（ 3） sān jiǎo xíng
shè r wéi sān jiǎo xíng wài jiē yuán bàn jìng， r wéi nèi qiē yuán bàn jìng， d wéi wài xīn dào nèi xīn de jù lí， zé：
d＾ 2=r＾ 2-2rr
（ 4） duō miàn tǐ
shè v wéi dǐng diǎn shù， e wéi lēng shù， f shì miàn shù， zé
v-e+f=2-2p
p wéi 'ōu lā shì xìng shù， lì rú
p=0 de duō miàn tǐ jiào dì líng lèi duō miàn tǐ
p=1 de duō miàn tǐ jiào dì yī lèi duō miàn tǐ
(5) duō biān xíng
shè yī gè 'èr wéi jǐ hé tú xíng de dǐng diǎn shù wéi v， huàfēn qū yù shù wéi ar， yī bǐ huà bǐ shù wéi b, zé yòu：
v+ar-b=1
( rú： jǔ xíng jiā shàng liǎng tiáo duì jiǎo xiàn suǒ zǔ chéng de tú xíng， v=5,ar=4,b=8)
(6). ōu lā dìng lǐ
zài tóng yī gè sān jiǎo xíng zhōng， tā de wài xīn circumcenter、 zhòng xīn gravity、 jiǔ diǎn yuán yuán xīn nine-point-center、 chuí xīn orthocenter gòng xiàn。
qí shí 'ōu lā gōng shì shì yòu hěn duō de， shàng miàn jǐn shì jǐ gè cháng yòng de。
shǐ yòng 'ōu lā dìng lǐ jì suàn zú qiú wǔ biān xíng hé liù biān xíng shù
wèn： zú qiú biǎo miàn yóu wǔ biān xíng hé liù biān xíng de pí gé pīn chéng， jì suàn yī gòng yòu duō shǎo gè zhè yàng de wǔ biān xíng hé liù biān xíng？
dá： zú qiú shì duō miàn tǐ， mǎn zú 'ōu lā gōng shì f － e ＋ v ＝ 2， qí zhōng f,e,v fēn bié biǎo shì miàn , lēng , dǐng diǎn de gè shù
shè zú qiú biǎo miàn zhèng wǔ biān xíng ( hēi pí zǐ ) hé zhèng liù biān xíng ( bái pí zǐ ) de miàn gè yòu x gè hé y gè， nà me
miàn shù f＝ x＋ y
lēng shù e＝ (5x+6y)/2（ měi tiáo lēng yóu yī kuài hēi pí zǐ hé yī kuài bái pí zǐ gòng yòng）
dǐng diǎn shù v＝ (5x+6y)/3（ měi gè dǐng diǎn yóu sān kuài pí zǐ gòng yòng）
yóu 'ōu lā gōng shì， x＋ y－ (5x+6y)/2＋ (5x+6y)/3＝ 2， jiě dé x＝ 12
suǒ yǐ gòng yòu 12 kuài hēi pí zǐ
suǒ yǐ， hēi pí zǐ yī gòng yòu 12×5＝ 60 tiáo lēng， zhè 60 tiáo lēng dōushì yǔ bái pí zǐ féng hé zài yī qǐ de
duì yú bái pí zǐ lái shuō： měi kuài bái sè pí zǐ de 6 tiáo biān zhōng， yòu 3 tiáo biān yǔ hēi sè pí zǐ de biān féng zài yī qǐ， lìng 3 tiáo biān zé yǔ qí tā bái sè pí zǐ de biān féng zài yī qǐ， suǒ yǐ bái pí zǐ suǒ yòu biān de yī bàn shì yǔ hēi pí zǐ féng hé zài yī qǐ de
nà me bái pí zǐ jiù yīnggāi yī gòng yòu 60×2＝ 120 tiáo biān， 120÷6＝ 20
suǒ yǐ gòng yòu 20 kuài bái pí zǐ |
|
|