数学与应用数学 > 数列
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概念 Concept
  按一定次序排列的一列数称为数列(sequence of number)。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以,数列的一般形式可以写成
  a1,a2,a3,…,an,…
  简记为{an},项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence),项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。
  从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列
  从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列
  从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列
  各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);
  各项相等的数列叫做常数列
  通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。
  数列中数的总数为数列的项数。特别地,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n)。
  如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n).
表示方法 Representation
  如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1
  如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)
等差数列 Arithmetic Sequence
  【定义】
  一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示。
  【缩写】
  等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。
  【等差中项】
  由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。
  有关系:A=(a+b)/2
  【通项公式】
  an=a1+(n-1)d
  an=Sn-S(n-1) (n>=2)
  【前n项和】
  Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
  【性质】
  且任意两项am,an的关系为:
  an=am+(n-m)d
  它可以看作等差数列广义的通项公式。
  从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:
  a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
  若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
  am+an=ap+aq
  Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
  Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等。
  和=(首项+末项)×项数÷2
  项数=(末项-首项)÷公差+1
  首项=2和÷项数-末项
  末项=2和÷项数-首项
  设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3,即2a2=a1+a3。
  【应用】
  日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别
  时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。
  若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
等比数列 Geometric series
  【定义】
  一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列(geometric sequence)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。
  【缩写】
  等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。
  【等比中项】
  如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
  有关系:G^2=ab;G=±(ab)^(1/2)
  注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
  【通项公式】
  an=a1q^(n-1)
  an=Sn-S(n-1) (n≥2)
  【前n项和】
  当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
  Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
  【性质】
  任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
  (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
  (4)等比中项:aq·ap=ar*2,ar则为ap,aq等比中项。
  记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
  另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
  性质:
  ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
  ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
  “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
  (5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
  在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
  注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
  【应用】
  等比数列在生活中也是常常运用的。
  如:银行有一种支付利息的方式---复利。
  即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金,
  在计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。
  按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期
  如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
  (1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)
  若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
  (2)求和公式:Sn=nA1(q=1)
  Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
  =(a1-a1q^n)/(1-q)
  =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
  (前提:q不等于 1)
  任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
  (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
  (4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
  记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
  另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
一般数列的通项求法 General series of general term demand method
  一般有:
  an=Sn-Sn-1 (n≥2)
  累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an)。
  逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)。
  化归法(将数列变形,使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)。
  特别的:
  在等差数列中,总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
  2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
  即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
  不动点法(常用于分式的通项递推关系)
特殊数列的通项的写法 Special series of general term of the written
  1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
  1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
  2,4,6,8,10,12,14.......-------an=2n
  1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
  -1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
  1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
  1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
  1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
  9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1
  1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9
  1,4,9,16,25,36,49,.......------an=n^2
  1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
数列前N项和公式的求法 The top N items and a few formulas Method to
  (一)1.等差数列:
  通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
  an=ak+(n-k)d ak为第k项数
  若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
  2.等差数列前n项和:
  设等差数列的前n项和为Sn
  即 Sn=a1+a2+...+an;
  那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
  =dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
  还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
  (二)1.等比数列:
  通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
  an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
  则an/am=q^(n-m)
  (1)an=am*q^(n-m)
  (2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
  (3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq
  2.等比数列前n项和
  设 a1,a2,a3...an构成等比数列
  前n项和Sn=a1+a2+a3...an
  Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
  Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
  注: q不等于1;
  Sn=na1 注:q=1
  求和一般有以下5个方法: 1,不完全归纳法(即数学归纳法) 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法
著名的数列 Well-known series
  等差数列典型例题:
  1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn
  解析:
  Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
  =1-1/(n+1)
  大衍数列 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50------
  通项式:
  an=(n×n-1)÷2 (n为奇数)
  an=n×n÷2 (n为偶数)
  前n项和公式:
  Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n为奇数)
  Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n为偶数)
  大衍数列来源于《乾坤谱》,用于解释太极衍生原理。
  斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13、21、……
  通项式
  F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
  这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。
  还可以发现 S0+S1+S2+……+Sn-2 =Sn -1
百科辞典 Encyclopedia
  数列
  progression
    数FIl〔声甩民s汕班;nporpecc“皿l
  见等差数列(aritll叱tic prog吧ssion);等比数列
  (geolnetric Progression).
    
英文解释
  1. n.:  series
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