| | | 又稱旋輪綫”。一個動圓沿着一條定直綫作無滑動的滾動時，圓周上一定點的軌跡。如圖建立直角坐標係，設動圓的半徑為a，則擺綫的參數方程為x＝a（φ－sinφ），y＝a（１－cosφ）。 | | | 擺綫(cycloid) | | 擺綫是數學中衆多的迷人麯綫之一．它是這樣定義的：一個圓沿一直綫緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺綫．
■擺綫別稱及原因
一個圓在一條定直綫上滾動時，圓周上一個定點的軌跡。又稱旋輪綫。圓上定點的初始位置為坐標原點，定直綫為x軸。當圓滾動j 角以後，圓上定點從 o 點位置到達p點位置。當圓滾動一周，即 j從o變動2π時，動圓上定點描畫出擺綫的第一拱。 再嚮前滾動一周， 動圓上定點描畫出第二拱，繼續滾動，可得第三拱，第四拱……，所有這些拱的形狀都是完全相同的 ，每一拱的拱高為2a（即圓的直徑），拱寬為2πa（即圓的周長）。擺綫有一個重要性質，即當一物體僅憑重力從a點滑落到不在它正下方的b點時，若沿着a，b間的擺綫，滑落所需時間最短，因此擺綫又稱最速降麯綫。
■擺綫的性質
到17 世紀，人們發現擺綫具有如下性質：
1．它的長度等於旋轉圓直徑的 4 倍．尤為令人感興趣的是，它的長度是 一個不依賴於π的有理數．
2．在弧綫下的面積，是旋轉圓面積的三倍．
3．圓上描出擺綫的那個點，具有不同的速度——事實上，在特定的地方它甚至是靜止的．
4．當彈子從一個擺綫形狀的容器的不同點放開時，它們會同時到達底部 | | | 擺綫最早出現可見於公元 1501 年出版的 c·鮑威爾的一本書中．但在 17 世 紀，大批卓越的數學家（如伽利略，帕斯卡，托裏拆利，笛卡兒，費爾馬， 伍任，瓦裏斯，惠更斯，約翰·伯努裏，萊布尼茲，牛頓等等）熱心於研究這一麯綫的性質．17 世紀是人們對數學力學和數學運動學愛好的年代，這能 解釋人們為什麽對擺綫懷有強烈的興趣．在這一時期，伴隨着許多發現，也出現了衆多有關發現權的爭議，剽竊的指責，以及抹煞他人工作的現象．這 樣，作為一種結果，擺綫被貼上了引發爭議的“金蘋果”和“幾何的海玲” 的標簽． | | ■時鐘與擺綫
時鐘已變成現代人不可或少的必備工具之一,沒有時鐘,人們將不知時間,許多重要的約會便會錯過,當各位在看表的時候,不知可曾想過,時鐘裏面隱藏了些甚麽道理,一砂一世界,許多我們視為理所當然的事都是先民流血流汗一點一滴纍積而成的.
在時鐘裏面到底隱藏了甚麽東西 將這些理論寫出來可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世紀航海時代,時間的掌握是關乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏鬥,時間是不可或缺的因數,古時候是以沙漏水鐘來計時,但這些計時工具相當不準確,為了增加船員生存的機會,發明精確的計時器變成了當時科學界的當務之急.
那時在意大利有一位年青科學家伽利略,有一次在比薩斜塔處意外地發現一個有趣的現象,教堂的吊燈來回擺動時,不管擺動的幅度大還是小,每擺動一次用的時間都相等.當時,他是以自己的心跳脈搏來計算時間的.從此以後,伽利略便廢寢忘食的研究起物理和數學來.他曾用自行製的滴漏來重新做單擺的試驗,結果證明了單擺擺動的時間跟擺幅沒有關係,衹跟單擺擺綫的長度有關.這個現象使伽利略想到或許可以利用單擺來製作精確的時鐘,但他始終並沒有將理想付之實行.
伽利略的發現振奮了科學界,可是不久便發現單擺的擺動周期也不完全相等.原來,伽利略的觀察和實驗還不夠精確.實際上,擺的擺幅愈大,擺動周期就愈長,衹不過這種周期的變化是很小的.所以,如果用這種擺來製作時鐘,擺的振幅會因為摩擦和空氣阻力而愈來愈小,時鐘也因此愈走愈快.
過了不久,荷蘭科學家决定要做出一個精確的時鐘來.伽利略的單擺是在一段圓弧上擺動的,所以我們也叫做圓周擺.荷蘭科學家想要找出一條麯綫,使擺沿著這樣的麯綫擺動時,擺動周期完全與擺幅無關.這群科學家放棄了物理實驗,純粹往數學麯綫上去研究,經過不少次的失敗,這樣的麯綫終於找到了,數學上把這種麯綫叫做“擺綫”，“等時麯綫”或“旋輪綫”
如果你用硬紙板剪一個圓,在圓的邊緣固定一枝鉛筆,當這圓沿一條直綫滾動時,鉛筆便會畫出一條擺綫來.相信這樣的玩具許多人都已經看過玩過,以前的街上,常會看到街邊小販再兜售這種擺綫玩具,許多人贊嘆擺綫的美麗,但卻不知擺綫與時鐘的相關性.鐘錶店裏面那些有鐘擺的時鐘,都是利用擺綫性質製作出來的.由於擺綫的發現,使的精確時鐘的製作不是夢想.這也使人類科技嚮前邁進一大步. | | 擺綫針輪行星傳動中，擺綫輪齒廓麯綫運用內嚙合發生圓産生的短幅外擺綫。這種擺綫麯綫的生成原理如詞條圖所示。
有一發生圓（滾圓）半徑為rp'，基圓半徑為rc'，基園內切於發生圓，當發生圓繞基圓作純滾動，其圓心op分別處於op1、op2、op3、op4、op5、op6......各位置時，由此固結在發生圓平面上的點m分別經過m1、m2、m3、m4、m5、m6......各位置，由此發生圓周期滾動，發生圓上點m所形成的軌跡麯綫即為短幅外擺綫。
由以上擺綫生成的幾何關係 若仍保持以上的內切滾動關係，將基圓和擺綫視為剛體相對於發生圓運動，則形成了擺綫圖形相對發生圓圓心op作行星方式的運動，這就是行星擺綫傳動機構的基本原理。 | | 擺綫針輪行星傳動中，擺綫輪齒廓麯綫運用內嚙合發生圓産生的短幅外擺綫。這種擺綫麯綫的生成原理如詞條圖所示。
有一發生圓（滾圓）半徑為rp'，基圓半徑為rc'，基園內切於發生圓，當發生圓繞基圓作純滾動，其圓心Op分別處於Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置時，由此固結在發生圓平面上的點M分別經過M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此發生圓周期滾動，發生圓上點M所形成的軌跡麯綫即為短幅外擺綫。
由以上擺綫生成的幾何關係 若仍保持以上的內切滾動關係，將基圓和擺綫視為剛體相對於發生圓運動，則形成了擺綫圖形相對發生圓圓心Op作行星方式的運動，這就是行星擺綫傳動機構的基本原理。
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【最速降綫】
在一個斜面上，擺兩條軌道，一條是直綫，一條是麯綫，起點高度以及終點高度都相同。兩個質量、大小一樣的小球同時從起點嚮下滑落，麯綫的小球反而先到終點。這是由於麯綫軌道上的小球先達到最高速度，所以先到達。然而，兩件之間的直綫衹有一條，麯綫卻有無數條，那麽，哪一條纔是最快的呢？伽利略與1630年提出了這個問題，當時他認為這條綫應該是一條弧綫，可是後來人們發現這個答案是錯誤的。1696年，瑞士數學家約翰·伯努利解决了這個問題，他還拿這個問題嚮其他數學家提出了公開挑戰。牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅剋布·伯努利等解决了這個問題。這條最速降綫就是一條擺綫，也叫旋輪綫。 | | 在一個斜面上，擺兩條軌道，一條是直綫，一條是麯綫，起點高度以及終點高度都相同。兩個質量、大小一樣的小球同時從起點嚮下滑落，麯綫的小球反而先到終點。這是由於麯綫軌道上的小球先達到最高速度，所以先到達。然而，兩件之間的直綫衹有一條，麯綫卻有無數條，那麽，哪一條纔是最快的呢？伽利略與1630年提出了這個問題，當時他認為這條綫應該是一條弧綫，可是後來人們發現這個答案是錯誤的。1696年，瑞士數學家約翰·伯努利解决了這個問題，他還拿這個問題嚮其他數學家提出了公開挑戰。牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅剋布·伯努利等解决了這個問題。這條最速降綫就是一條擺綫，也叫旋輪綫。
意大利科學家伽利略在1630年提出一個分析學的基本問題——“一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿着什麽麯綫滑下所需時間最短。”。他說這麯綫是圓，可是這是一個錯誤的答案。
瑞士數學家約翰．伯努利在1696年再提出這個最速降綫的問題（problem of brachistochrone），徵求解答。次年已有多位數學家得到正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達和伯努利傢族的成員。這問題的正確答案是連接兩個點上凹的唯一一段旋輪綫。
旋輪綫與1673年荷蘭科學家惠更斯討論的擺綫相同。因為鐘錶擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺綫（旋輪綫）又稱等時麯綫。
看一個稍微有點振奮人心的東東,Johann Bernoulli 對最速降綫問題的beautiful解答:
如果使分成的層數n無限地增加，即每層的厚度無限地變薄，則質點的運動便趨於空間A、B兩點間質點運動的真實情況，此時折綫也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的麯綫——最速降綫．而折綫的每一段趨嚮於麯綫的切綫，因而得出最速降綫的一個重要性質：任意一點上切綫和鉛垂綫所成的角度的正弦與該點落下的高度的平方根的比是常數．而具有這種性質的麯綫就是擺綫．所謂擺綫，它是一個圓沿着一條直綫滾動(無滑動)時，圓周上任意一點的軌跡。
因此，最速降綫就是擺綫，衹不過在最速降綫問題中，這條擺綫是上、下顛倒過來的罷了．
以上便是Johann Bernoulli當時所給最速降綫問題的解答．當然，這個解答在理論上並不算十分嚴謹的．但是，這個解答所藴含的基本觀點的發展，導致了一門新的學科——變分學．最速降綫問題的最終而完備的解答，需要用到變分學的知識． | | 擺綫(cycloid)
擺綫(cycloid)
【擺綫的定義】
擺綫是數學中衆多的迷人麯綫之一．它是這樣定義的：一個圓沿一直綫緩慢地滾動，則圓上一固定點所描出的軌跡稱為擺綫．
■擺綫別稱及原因
一個圓在一條定直綫上滾動時，圓周上一個定點的軌跡。又稱旋輪綫。圓上定點的初始位置為坐標原點，定直綫為x軸。當圓滾動j 角以後，圓上定點從 O 點位置到達P點位置。當圓滾動一周，即 j從O變動2%26pi;時，動圓上定點描畫出擺綫的第一拱。 再嚮前滾動一周， 動圓上定點描畫出第二拱，繼續滾動，可得第三拱，第四拱%26hellip;%26hellip;，所有這些拱的形狀都是完全相同的 ，每一拱的拱高為2a（即圓的直徑），拱寬為2%26pi;a（即圓的周長）。擺綫有一個重要性質，即當一物體僅憑重力從A點滑落到不在它正下方的B點時，若沿着A，B間的擺綫，滑落所需時間最短，因此擺綫又稱最速降麯綫。
■擺綫的性質
到17 世紀，人們發現擺綫具有如下性質：
1．它的長度等於旋轉圓直徑的 4 倍．尤為令人感興趣的是，它的長度是 一個不依賴於%26pi;的有理數．
2．在弧綫下的面積，是旋轉圓面積的三倍．
3．圓上描出擺綫的那個點，具有不同的速度%26mdash;%26mdash;事實上，在特定的地方它甚至是靜止的．
4．當彈子從一個擺綫形狀的容器的不同點放開時，它們會同時到達底部
【擺綫的出現及爭議】
擺綫最早出現可見於公元 1501 年出版的 C%26middot;鮑威爾的一本書中．但在 17 世 紀，大批卓越的數學家（如伽利略，帕斯卡，托裏拆利，笛卡兒，費爾馬， 伍任，瓦裏斯，惠更斯，約翰%26middot;伯努裏，萊布尼茲，牛頓等等）熱心於發現 這一麯綫的性質．17 世紀是人們對數學力學和數學運動學愛好的年代，這能 解釋人們為什麽對擺綫懷有強烈的興趣．在這一時期，伴隨着許多發現，也出現了衆多有關發現權的爭議，剽竊的指責，以及抹煞他人工作的現象．這 樣，作為一種結果，擺綫被貼上了引發爭議的%26ldquo;金蘋果%26rdquo;和%26ldquo;幾何的海玲%26rdquo; 的標簽．
【擺綫的相關故事】
■時鐘與擺綫
時鐘已變成現代人不可或少的必備工具之一,沒有時鐘,人們將不知時間,許多重要的約會便會錯過,當各位在看表的時候,不知可曾想過,時鐘裏面隱藏了些甚麽道理,一砂一世界,許多我們視為理所當然的事都是先民流血流汗一點一滴纍積而成的.
在時鐘裏面到底隱藏了甚麽東西 將這些理論寫出來可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世紀航海時代,時間的掌握是關乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏鬥,時間是不可或缺的因數,古時候是以沙漏水鐘來計時,但這些計時工具相當不準確,為了增加船員生存的機會,發明精確的計時器變成了當時科學界的當務之急.
那時在意大利有一位年青科學家伽利略,有一次在比薩斜塔處意外地發現一個有趣的現象,教堂的吊燈來回擺動時,不管擺動的幅度大還是小,每擺動一次用的時間都相等.當時,他是以自己的心跳脈博來計算時間的.從此以後,伽利略便廢寢忘食的研究起物理和數學來.他曾用自行製的滴漏來重新做單擺的試驗,結果證明了單擺擺動的時間跟擺幅沒有關係,衹跟單擺擺綫的長度有關.這個現象使伽利略想到或許可以利用單擺來製作精確的時鐘,但他始終並沒有將理想付之實行.
伽利略的發現振奮了科學界,可是不久便發現單擺的擺動周期也不完全相等.原來,伽利略的觀察和實驗還不夠精確.實際上,擺的擺幅愈大,擺動周期就愈長,衹不過這種周期的變化是很小的.所以,如果用這種擺來製作時鐘,擺的振幅會因為摩擦和空氣阻力而愈來愈小,時鐘也因此愈走愈快.
過了不久,荷蘭科學家决定要做出一個精確的時鐘來.伽利略的單擺是在一段圓弧上擺動的,所以我們也叫做圓周擺.荷蘭科學家想要找出一條麯綫,使擺沿 | | baixian
擺綫
cycloid
平面上一動圓沿固定圓作純滾動時，動圓上任意點K 的軌跡（見圖擺綫的形成）。動圓在固定圓外側滾動時的軌跡稱外擺綫，在定圓內側滾動時的軌跡稱內擺綫。動圓稱為發生圓，固定圓稱為基圓。擺綫可用於齒輪的工作齒廓，也可用於風機和齒輪泵中轉子的工作外廓。
（何德芳） | | - : trochoid
- n.: cycloid
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