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插值
interpolation
在离散数据的基础上补插出连续函数。是计算数学中最基本和常用的手段，是函数逼近的重要方法。利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算该函数在别处的值。早在公元 6世纪，中国刘焯已将等距二次插值法用于天文计算。17世纪，I.牛顿和J.格雷果里建立了等距结点上的一般插值公式。18世纪,J.-L.拉格朗日给出了更一般的非等距结点上的插值公式。在近代，插值法是观测数据处理和函数制表所常用的工具，又是导出其他许多数值方法（例如数值积分、非线性方程求根、微分方程数值解等）的依据。
插值问题的提法是:假定已知区间[□,□]上的实值函数 □(□)在该区间中□+1个互不相同的点□□,□□,…,□□处的值是□(□□),□(□□),…,□(□□),要求估算□(□)在[□,□]中某点□=□处的值。插值的作法是:在事先选定的一个由简单函数所构成的含□+1个参数 □□,□□,…,□□的函数类□(□□,□□,…,□□)中求出满足条件
□ (1)的函数□(□)，并以□(□)作为 □(□)的估值。此处，函数□(□)称为被插函数；□□,□□,…,□□称为插值结点；□(□□,□□□，…，□□) 称为插值函数类；式（1）称为插值条件。□(□□,□□,…,□□)中满足插值条件(1)的函数□(□)称为插值函数。误差函数
□称为插值余项，它标志着插值的精度。此外，当估值点□属于包含结点 □□,□□,…,□□的最小闭区间时，称相应的插值为内插，否则称为外插。
多项式插值 插值函数类取成代数多项式类的情形，是最常用的一种插值。此时对[□，□]上的任何实值函数□(□)都相应地有惟一的次数不超过 □□多项式□(□) 满足插值条件(1)。□(□)□称为□(□)的插值多项式。当□(□)在[□,□]上□+1次可微时，插值余项为 □式中□是在包含□，□□,□□,…,□□的最小闭区间中的某一点。
下面两种插值公式是□(□)的具体表达式：
① 拉格朗日插值公式 □式中 □称为拉格朗日插值公式的基函数。它们具有性质
□特别当□=1时，插值多项式简化为
□其几何图像为通过点(□□，□(□□))和(□□,□(□□))的直线，因此被称为线性插值公式。类似的理由,当□=2时相应的插值公式称为抛物线插值公式。
② 牛顿插值公式□式中□(□□,□□,…,□□)为函数□(□)在点□□, □□,…,□□上的 □阶差商（或均差）。各阶差商由下列递推方式定义：
□□阶差商与函数□(□)在结点上的值之间有下列关系：□
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是同一插值多项式□(□)的不同表现形式。前者结构紧凑、意义清晰和便于理论分析；后者在实际计算时较为方便：若要增加新的插值结点，只需相应地添加新的项即可。
对于等距的插值结点，即当
□时，经过变数替换□=□□+□□,上述牛顿插值公式转化为牛顿向前插值公式 □此处□□表示步长为□的□阶差分算子，其定义是：
□
埃尔米特插值 插值条件带微商的插值，其插值条件为
□在所有次数不超过2□+1的多项式中，满足上述插值条件的多项式是存在和惟一的，并可表为
□ (3)式中□□(□)由(2)式定义。□(□)称为函数□(□)的埃尔米特插值多项式。当□(□)在[□,□]上2□+2次可微时,插值余项为 □式中□是在包含□,□□,□□,…,□□ 最小闭区间中的某一点。由于埃尔米特插值多项式在结点处不但与被插函数取值相同而且变化率也相同，因此它通常比拉格朗日插值多项式能更好地近似被插函数。(3)是一种最基本、 最重要的埃尔米特插 |