數理化 > 拿破侖三角形
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No. 1
　　拿破侖·波拿巴（napoleon,1769-1821)，大傢應該非常熟悉，可是知道嗎，他在數學上也頗有建樹。
　　下面要說的拿破侖三角形，曾經令拉普拉斯敬佩不已。
　　定義
　　這個三角形是這樣的：
　　　● 在任意一個三角形的三條邊上分別嚮外做出三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心也構成一個等邊三角形。這個由三個等邊三角形中心構成的三角形稱“外拿破侖三角形”。如圖中的△def就是△abc的外拿破侖三角形。
　　　● 在任意一個三角形的三條邊上分別嚮內做出三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心仍能構成一個等邊三角形，這個由三個等邊三角形中心構成的三角形稱“內拿破侖三角形”。
　　證明
　　這裏提供一種最簡單的證明方法，衹需初中的水平就可以理解了：
　　證明：
　　如圖，分別以△abc的邊bc、ac、ab為等邊三角形邊長，嚮△abc外作等邊三角形（△bcc'、△aca'、△abb'），設這三個三角形的中心分別為d，e，f，
　　則：∠fab=∠fba=∠dbc=∠dcb=∠eac=∠eca=30°
　　以點a為圓心，以af長為半徑作弧；以點e為圓心，以dc長為半徑作弧。設兩弧在多邊形afbdce內交於點g。則ag=af，ge=dc。
　　連接gf、ga、ge，de、df、ef。
　　∵△abf、△bcd、△ace都是底角為30°的等腰三角形（即∠fab=∠fba=∠dbc=∠dcb=∠eac=∠eca=30°）
　　∴△abf∽△bcd∽△ace，
　　∴af/ab = ae/ac = dc/bc
　　又∵ag=af，ge=dc
　　∴ag/ab = ae/ac = ge/bc
　　∴△age∽△abc
　　∴∠gae=∠bac
　　∴∠fag = ∠eaf-∠gae = ∠eaf-∠bac = ∠fab+∠eac = 60°
　　又∵ag=af
　　∴△agf為等邊三角形
　　∴ag=af，∠agf=60°
　　∵△age∽△abc
　　∴∠age=∠abc
　　又∵∠fbd = ∠abc+∠fba+∠dbc = ∠abc+60°
　　∠fge = ∠age+∠agf = ∠age+60°
　　∴∠fbd=∠fge
　　∵在△fbd和△fge中，
　　fb=fg，∠fbd=∠fge，bd=ge
　　∴△fbd≌△fge(sas)
　　∴fd=fe
　　同理，fd=de
　　∵fd=de=fe
　　∴△def為等邊三角形
　　即“外拿破侖三角形”是等邊三角形。（在任意一個三角形的三條邊上分別嚮外做出三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心也構成一個等邊三角形）
　　證明“內拿破侖三角形”是等邊三角形過程與此相同，有興趣的話可以自己試試。
定義
　　這個三角形是這樣的：
　　● 在任意一個三角形的三條邊上分別嚮外做出三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心也構成一個等邊三角形。這個由三個等邊三角形中心構成的三角形稱“外拿破侖三角形”。如圖中的△DEF就是△ABC的外拿破侖三角形。
　　● 在任意一個三角形的三條邊上分別嚮內做出三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心仍能構成一個等邊三角形，這個由三個等邊三角形中心構成的三角形稱“內拿破侖三角形”。
證明
　　這裏提供一種最簡單的證明方法，衹需初中的水平就可以理解了：
　　證明：
　　如圖，分別以△ABC的邊BC、AC、AB為等邊三角形邊長，嚮△ABC外作等邊三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），設這三個三角形的中心分別為D，E，F，
　　則：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
　　以點A為圓心，以AF長為半徑作弧；以點E為圓心，以DC長為半徑作弧。設兩弧在多邊形AFBDCE內交於點G。則AG=AF，GE=DC。
　　連接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
　　∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角為30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
　　∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
　　∴AF/AB = AE/AC = DC/BC
　　又∵AG=AF，GE=DC
　　∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
　　∴△AGE∽△ABC
　　∴∠GAE=∠BAC
　　∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
　　又∵AG=AF
　　∴△AGF為等邊三角形
　　∴AG=AF，∠AGF=60°
　　∵△AGE∽△ABC
　　∴∠AGE=∠ABC
　　又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
　　∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
　　∴∠FBD=∠FGE
　　∵在△FBD和△FGE中，
　　FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE
　　∴△FBD≌△FGE(SAS)
　　∴FD=FE
　　同理，FD=DE
　　∵FD=DE=FE
　　∴△DEF為等邊三角形
　　即“外拿破侖三角形”是等邊三角形。（在任意一個三角形的三條邊上分別嚮外做出三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心也構成一個等邊三角形）
　　證明“內拿破侖三角形”是等邊三角形過程與此相同，有興趣的話你也可以自己試試！