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一个集g，如果它不是空集，而且满足以下四个条件，就叫做群：
①g中有一个闭合的结合法。这就是说，g中任意两元a，b的结合c仍然是g中元。结合法通常写成乘法，这时c又叫做a,b的积。一般用记号ab=c或a·b=c表示。要注意，积ab虽然是由a,b唯一决定的，但一般它还与a,b的顺序有关。即ab不一定等于ba。
②g的结合法满足结合律。也就是说，对于g中任意三元a，b，c，有（ab）c=a（bc）。
③g中有一个（左）单位元e，对g中任意元a，有ea=a。事实上由于可以证明群的左单位元也是右单位元，因而一般把e就叫做单位元。
④对于g中任意元a，在g中有一个满足a^（-1）a=e的（左逆元）a^（-1），此处e就是上面的（左）单位元。实际上，可以证明，在群中，a的左逆元也是右逆元。因此，一般把a^（-1）就叫a的逆元。
附注：
①现代意义上的抽象群概念由法国天才数学家伽罗华（eacute;variste galois，1811-1832）最先建立起来。②群的定义有多种等价的表达形式，以这一种最为基本。
③一个非空集，若只满足上面的条件①，则称为乘集；若满足条件①②，则称为半群，这也是一个重要概念。
④若群的结合法还满足交换律：ab=ba，则称为交换群或阿贝耳（n.h.abel，1802-1829）群。
⑤由一个元组成的群叫单位元群，元数是有穷的群叫有穷群，否则叫无穷群。群的元数记作|g|。 |
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设非空集合G和运算·满足下列四个条件：
（1）G上有一个二元运算。〔即对任意a、b∈G，有a•b∈G〕
（2）G中有单位元I。〔即对任意a∈G，有I•a＝a•I＝a〕
（3）G中的每个元素都有逆元。〔即对任意a∈G，存在a′ ∈G，有a•a′＝a′•a＝I〕
（4）G的乘法满足结合律。
那么(G，•)叫做一个群。 |
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例题：设非空集合Z3表示这个数除以3后的余数，a◎b表示a+b除以3的余数，证明(Z3，◎)是一个群。
解：只要满足I～IV这4个条件即可。
Z3中只有3个元素：0，1，2
先列出乘法表：
◎ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
I：根据乘法表可以看出◎是一个二元运算。
II：根据乘法表得出0是运算◎的单位元。
III：根据乘法表得出0的逆元是0，1的逆元是2，2的逆元是1。
IV：容易证明(a◎b)◎c=a◎(b◎c)
所以(Z3，◎)是一个群 |
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| 设非空集合K3表示这个数除以3后的小数部分的第一位，a◎b表示a+b除以3后的小数部分的第一位，证明(K3，◎)是一个群。 |