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抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
被誉为天才数学家的Galois(1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。Galois群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。Galois群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
1843年，Hamilton发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。
1870年，Kronecker给出了有限Abel群的抽象定义；Dedekind开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；Dedekind和Kronecker创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。
有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为"代数女皇"，她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。Noether的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(Lie群)下不变式问题，给出Noether定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。1920~1927年间她主要研究交换代数与交换算术。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换Noether环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给Dedekind环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。Noether的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。Noether当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927－1935年，Noether研究非交换代数与非交换算术。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维Galois扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。
1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的bool代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和Bourbaki学派；1955年，Cartan等建立了同调代数理论。
到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，如其中最主要的Lie代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。 |
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抽象代数
Abstract algebra
抽象代数(abstraet algebra)
抽象代数是描述代数类型的一个术语，与近代
代数和一般代数同义。它是从本世纪20年代中期以
来发展起来的，并已成为现代数学的基础用语。以前
的代数是高度计算性的，并且限于研究一般以实数
及复数为基础的特定数系。与此相反，抽象代数是概
念性的、公理化的，讨论的是非特定的任意元素集合
的系统，以及满足已规定的若干公理的某些合成法。
把较老的矩阵论与较抽象的线性代数进行比
较，就能清楚地看出较老的论述与现代的论述之区
别。二者大致都是讨论数学的同一部分，前者用直接
论述的方法，强调矩阵运算，后者用公理的与几何的
观点，把向量空间与线性变换当作基本的概念而把
矩阵当作较次要的概念。参阅“线性代数(1i near。1-
gebra)、“矩阵论，，(matrix theory)条。
概貌抽象代数讨论若干重要的代数结构，如
群、环与格。参阅“群论，’(group theory)条。
这种结构由一集合S组成，它的元素并未指定
其性质，且在S上赋予了若干个有限重的合成法。
如y为一个正整数，一个y重合成法就是使S中任
意y个元的组(a，，aZ，…，ar)对应于S中唯一的
元“(a，，aZ，…，外)。为了方便起见，也可考虑
“零重”合成法，即选取S的特殊元。在S一G是群的
情况下，我们有一个单一的双(~2重)合成法，它
要满足几个称作群公理的简单条件。这时，我们通常
把。(a，b)写成ab，或者写成a+b。如果群是可换
的，即对所有的a，b有aJ(a，b)一。(b，a)。在环
R的情况，我们就有两个双合成法，记作ab与a+
b，它们要遵从一些叫做环公理的条件。
除内在地讨论代数结构外，讨论一个代数结构
在另一个方面的作用也是有趣的。重要的例子是模
的理论及它的特殊向量空间的理论。我们定义环R
的左模为一交换群M，环R可作用在它左边，其含
义为:给出一对元素(a，x)，这里a在R中，x在
M中，那末它决定M中唯一元ax.假定模积ax满
足模公理a(x+刃~ax+ay，(a+b)x=ax+b二，
(ab)x=a(bx)，这里，a，b是R中的任意元，x，
y是M中的任意元。
在代数结构的研究中，相当大的一部分可以用
统一的方法来开展，而不必限定特殊的结构。但抽象
代数较深的方面却要求对各个系的特殊化，其多样
性在很大程度上可应用于数学的其他领域和物理
学。代数结构的一般研究叫做泛代数。这里的基本概
念是一个代数结构S到第二个结构S’内的同态，并
且在S与夕的合成法集合之间有一个一一对应
aJ”。‘，使得对于同样的r=o，l，2，3，…，。与。‘
都是r重的。S到夕内的同态就是S到S’内的这样
一个映射，使得对于S中的所有a、以及所有对应的
合成法。，以有。(al，…，a，)=、，〔f(a:)，…，
f(a， |
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