抛物线

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·No. 1	·No. 2	·No. 3
·定义	·抛物线的标准方程	·抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)
·它的解析式求法：	·抛物线的光学性质:	·抛物线的一段的面积和弧长公式
·其他	·用抛物线的对称性解题	·关于抛物线的相关结论
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No. 1

　　数学名词。平面上一个动点P与定点O和固定直线AB保持相等的距离(即PQ＝PO)移动时所成的轨迹。其中固定点O叫做抛物线的焦点。将一物体向上斜抛出去所经的路线就是抛物线。

No. 2

　　圆锥曲线的一种。平面上到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹。这个定点f称为抛物线的焦点，这条定直线d称为抛物线的准线。取经过焦点f且垂直于准线d的直线为x轴，x轴与d相交于点k，以线段kf的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设｜kf｜=p，则抛物线的标准方程为y2=2px，焦点为fp2，0，准线方程为x=-p2，p为抛物线的焦参数。抛物线的离心率为1。抛物线开口随p的增大而增大。

No. 3

　　1.什么是抛物线?
　　平面内,到一个定点f和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线.
　　另外,f称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线".
　　定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.
　　以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面
　　直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。
　　2.抛物线的标准方程
　　右开口抛物线:y^2=2px
　　左开口抛物线:y^2=-2px
　　上开口抛物线:y=x^2/2p
　　下开口抛物线:y=-x^2/2p
　　3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)
　　离心率:e=1
　　焦点:(p/2,0)
　　准线方程l:x=-p/2
　　顶点:(0,0)
　　4.它的解析式求法：三点代入法
　　5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.
　　抛物线：y = ax* + bx + c
　　就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
　　a > 0时开口向上
　　a < 0时开口向下
　　c = 0时抛物线经过原点
　　b = 0时抛物线对称轴为y轴
　　还有顶点式y = a（x-h）* + k
　　就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
　　h是顶点坐标的x
　　k是顶点坐标的y
　　一般用于求最大值与最小值
　　抛物线标准方程:y^2=2px
　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
　　由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

定义

　　平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。
　　定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.
　　以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

抛物线的标准方程

　　右开口抛物线:y^2=2px
　　左开口抛物线:y^2=—2px
　　上开口抛物线:x^2=2py
　　下开口抛物线:x^2=—2py
　　p为焦准距（p>0）
　　抛物线的标准方程有四个：
　　（开口向右）；
　　（开口向左）；
　　（开口向上）；
　　（开口向下）；
　　在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x=—p/2；在抛物线y^2=—2px 中，焦点是(—p/2，0），准线l的方程是x=p/2；在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y=—p/2；在抛物线x^2=—2py中，焦点是（0，—p/2），准线l的方程是y=p/2；

抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)

　　离心率:e=1
　　焦点:(p/2,0)
　　准线方程l:x=-p/2
　　顶点:(0,0)
　　通径(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P

它的解析式求法：

　　以焦点在X轴上为例
　　知道P（x0,y0)
　　令所求为y^2=2px
　　则有y0^2=2px0
　　∴2p=y0^2/x0
　　∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x

抛物线的光学性质:

　　经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。

抛物线的一段的面积和弧长公式

　　面积 Area=2ab/3
　　弧长 Arc length ABC
　　=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)

其他

　　抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)
　　就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
　　a > 0时开口向上
　　a < 0时开口向下
　　c = 0时抛物线经过原点
　　b = 0时抛物线对称轴为y轴
　　还有顶点式y = a（x-h）^2 + k
　　就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
　　h是顶点坐标的x
　　k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是 ：yy0=p(x+x0)
　　一般用于求最大值与最小值
　　抛物线标准方程:y^2=2px
　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
　　由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

用抛物线的对称性解题

　　我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。
　　例1　已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
　　分析　设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。
　　∴y = -（x+1）（x-3），即
　　y = - x2 + 2x +3。
　　例2　已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。
　　分析　要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。
　　由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。
　　∴y = -（x-1）2+ 6，即
　　y = - x2 + 2x +5。
　　∴当x =0时，y = 5。
　　例3　已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。
　　分析　要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）]。
　　∵点（1，0）在抛物线上，
　　∴4a + 4 = 0。∴a = -1。
　　∴y = -（x+1）2+ 4，即
　　y = - x2 - 2x +3。
　　∴点C的坐标为（0，3）。
　　∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6。
　　例4　已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。
　　分析　要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）]。
　　∵点（-1，0）在抛物线上，
　　∴4a + 4 = 0。故a = -1。
　　∴y = -（x-1）2+ 4，即
　　y = - x2 + 2x +3。
　　∴点B的坐标为（0，3）。
　　连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9

关于抛物线的相关结论

　　过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有
　　① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2
　　② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]
　　③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P
　　④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）
　　⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）
　　⑥弦长公式：AB=x1+x2+p
　　⑦△=b^2-4ac
　　⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
　　⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
　　⑶△=b^2-4ac<0没实数根
　　8.由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

百科大全

　　抛物线
　　parabola
　　抛物线t弹a加奴;naPa6。皿1
　　一不圆锥与不通过它的顶点且平行于它的一条母
　　线的平面相交而成的平面曲线.抛物线是平面上这样
　　一些点M的集合:其中每一点到给定点F(粤物李
　　的焦点(focus of a parabola))的距离等于这一点到
　　某立结定直线d(准线(diree血))的距离.因此，抛
　　物线是离心率为，’的三次曲线(。oni‘).从抛物线的
　　阳
　　焦点到准线的距离p称为抛物线的参数(p~ter).
　　抛物线是一条对称曲线;抛物线与它的对称轴的交点称
　　为抛物线的顶点(vertex of ap姗boh)，这个对称轴
　　称为抛物线的轴(axis of ap姗bo恤).抛物线的直径
　　(dia此ter of a palabola)是任何一条与其轴平行的直
　　线，可以定义为一个平行弦集合的中点的轨迹.
　　抛物线是无心二次曲线(second，order curVe).
　　它的典范方程具有形式
　　夕2=2夕x·
　　抛物线在点(x。，y。)处的切线的方程是
　　yy。二P(x+xo).
　　在极坐标(p，中)中抛物线的方程是
　　o=一JI一一，其中。

英文解释

n.: Parabola, a parabola