| | xī 'ěr bó tè， d.(hilbert,david， 1862 ～ 1943) dé guó shù xué。
xī 'ěr bó tè yú 1900 nián 8 yuè 8 rì zài bā lí dì 'èr jiè guó jì shù xué jiā dà huì shàng， tí chū liǎo xīn shì jì shù xué jiā yīngdāng nǔ lì jiě jué de 23 gè shù xué wèn tí， bèi rèn wéi shì 20 shì jì shù xué de zhì gāo diǎn， duì zhè xiē wèn tí de yán jiū yòu lì tuī dòng liǎo 20 shì jì shù xué de fā zhǎn， zài shì jiè shàng chǎn shēng liǎo shēn yuǎn de yǐng xiǎng。 xī 'ěr bó tè lǐng dǎo de shù xué xué pài shì 19 shì jì mò 20 shì jì chū shù xué jiè de yī miàn qí zhì， xī 'ěr bó tè bèi chēng wéi “ shù xué jiè de wú miǎn zhī wáng ”。
（ zhù míng de gē dé bā hè cāi xiǎng yě shì wèn tí zhī yī， yǐ chén jǐng rùn wéi dài biǎo de zhōng guó shù xué jiā huò dé liǎo zhòng dà tū pò， dàn hái méi yòu chè dǐ jiě jué。）
shēng yú dōng pǔ lǔ shì gē ní sī bǎo ( qián sū lián jiā lǐ níng gé lè ) fù jìn de wéi láo。 zhōng xué shí dài , xī 'ěr bó tè jiù shì yī míng qín fèn hàoxué de xué shēng , duì yú kē xué tè bié shì shù xué biǎo xiàn chū nóng hòu de xīng qù , shàn yú líng huó hé shēn kè dì zhǎng wò yǐ zhì yìng yòng lǎo shī jiǎng kè de nèi róng。 1880 nián , tā bù gù fù qīn ràng tā xué fǎ lǜ de yì yuàn , jìn rù gē ní sī bǎo dà xué gōng dú shù xué。 1884 nián huò dé bó shì xué wèi , hòu lái yòu zài zhè suǒ dà xué lǐ qǔ dé jiǎng shī zī gé hé shēng rèn fù jiào shòu。 1893 nián bèi rèn mìng wéi zhèng jiào shòu ,1895 nián , zhuǎn rù gé tíng gēn dà xué rèn jiào shòu , cǐ hòu yī zhí zài gé tíng gēn shēng huó hé gōng zuò , yú shì 1930 nián tuì xiū。 zài cǐ qī jiān , tā chéng wéi bólín kē xué yuàn tōng xùn yuàn shì , bìng céng huò dé shī tài nè jiǎng、 luó bā qiē fū sī jī jiǎng hé bō yuē yī jiǎng。 1930 nián huò dé ruì diǎn kē xué yuàn de mǐ tǎ gé - lāi fú lè jiǎng ,1942 nián chéng wéi bólín kē xué yuàn róng yù yuàn shì。 xī 'ěr bó tè shì yī wèi zhèng zhí de kē xué jiā , dì yī cì shì jiè dà zhàn qián xī , tā jù jué zài dé guó zhèng fǔ wéi jìn xíng qī piàn xuān chuán 'ér fā biǎo de《 gào wén míng shì jiè shū》 shàng qiān zì。 zhàn zhēng qī jiān， tā gǎn yú gōng kāi fā biǎo wén zhāng dào niàn“ dí rén de shù xué jiā” dá bù。 xī tè lè shàng tái hòu， tā dǐ zhì bìng shàng shū fǎn duì nà cuì zhèng fǔ pái chì hé pò hài yóu tài kē xué jiā de zhèng cè。 yóu yú nà cuì zhèng fǔ de fǎn dòng zhèng cè rì yì jiā jù , xǔ duō kē xué jiā bèi pò yí jū wài guó , céng jīng shèng jí yī shí de gé tíng gēn xué pài shuāi luò liǎo , xī 'ěr bó tè yě yú 1943 nián zài gū dú zhōng shì shì。
xī 'ěr bó tè shì duì 'èr shí shì jì shù xué yòu shēn kè yǐng xiǎng de shù xué jiā zhī yī。 tā lǐng dǎo liǎo zhù míng de gé tíng gēn xué pài , shǐ gé tíng gēn dà xué chéng wéi dāng shí shì jiè shù xué yán jiū de zhòng yào zhōng xīn , bìng péi yǎng liǎo yī pī duì xiàn dài shù xué fā zhǎn zuò chū zhòng dà gòng xiàn de jié chū shù xué jiā。 xī 'ěr bó tè de shù xué gōng zuò kě yǐ huàfēn wéi jǐ gè bù tóng de shí qī , měi gè shí qī tā jīhū dū jí zhōng jīng lì yán jiū yī lèi wèn tí。 àn shí jiān shùn xù , tā de zhù yào yán jiū nèi róng yòu : bù biàn liàng lǐ lùn、 dài shù shù yù lǐ lùn、 jǐ hé jī chǔ、 jī fēn fāng chéng、 wù lǐ xué、 yī bān shù xué jī chǔ， qí jiān chuān chā de yán jiū kè tí yòu： dí lì kè léi yuán lǐ hé biàn fēn fǎ、 huá lín wèn tí、 tè zhēng zhí wèn tí、“ xī 'ěr bó tè kōng jiān” děng。 zài zhè xiē lǐng yù zhōng， tādōu zuò chū liǎo zhòng dà de huò kāi chuàng xìng de gòng xiàn。 xī 'ěr bó tè rèn wéi， kē xué zài měi gè shí dài dōuyòu tā zì jǐ de wèn tí， ér zhè xiē wèn tí de jiě jué duì yú kē xué fā zhǎn jù yòu shēn yuǎn yì yì。 tā zhǐ chū：“ zhǐ yào yī mén kē xué fēn zhī néng tí chū dà liàng de wèn tí， tā jiù chōng mǎn zhe shēng mìng lì， ér wèn tí quē fá zé yù shì zhe dú lì fā zhǎn de shuāi wáng hé zhōng zhǐ。” zài 1900 nián bā lí guó jì shù xué jiā dài biǎo dà huì shàng， xī 'ěr bó tè fā biǎo liǎo tí wéi《 shù xué wèn tí》 de zhù míng jiǎng yǎn。 tā gēn jù guò qù tè bié shì shí jiǔ shì jì shù xué yán jiū de chéng guǒ hé fā zhǎn qū shì， tí chū liǎo 23 gè zuì zhòng yào de shù xué wèn tí。 zhè 23 gè wèn tí tōng chēng xī 'ěr bó tè wèn tí， hòu lái chéng wèixǔ duō shù xué jiā lì tú gōng kè de nán guān， duì xiàn dài shù xué de yán jiū hé fā zhǎn chǎn shēng liǎo shēn kè de yǐng xiǎng， bìng qǐ liǎo jī jí de tuī dòng zuò yòng， xī 'ěr bó tè wèn tí zhōng yòu xiē xiàn yǐ dé dào yuán mǎn jiě jué， yòu xiē zhì jīn réng wèi jiě jué。 tā zài jiǎng yǎn zhōng suǒ chǎn fā de xiǎng xìn měi gè shù xué wèn tí dōukě yǐ jiě jué de xìn niàn， duì yú shù xué gōng zuò zhě shì yī zhǒng jù dà de gǔ wǔ。 tā shuō：“ zài wǒ men zhōng jiān， cháng cháng tīng dào zhè yàng de hū shēng： zhè lǐ yòu yī gè shù xué wèn tí， qù zhǎo chū tā de dá 'àn！ nǐ néng tōng guò chún sī wéi zhǎo dào tā， yīn wéi zài shù xué zhōng méi yòu bù kě zhī。” sān shí nián hòu， 1930 nián， zài jiē shòu gē ní sī bǎo róng yù shì mín chēng hào de jiǎng yǎn zhōng， zhēn duì yī xiē rén xìn fèng de bù kě zhī lùn guān diǎn， tā zài cì mǎn huái xìn xīn dì xuān chēng：“ wǒ men bì xū zhī dào， wǒ men bì jiāng zhī dào。” xī 'ěr bó tè de《 jǐ hé jī chǔ》（ 1899） shì gōng lǐ huà sī xiǎng de dài biǎo zuò， shū zhōng bǎ 'ōu jǐ lǐ dé jǐ hé xué jiā yǐ zhěng lǐ， chéng wéi jiàn lì zài yī zǔ jiǎn dān gōng lǐ jī chǔ shàng de chún cuì yǎn yì xì tǒng， bìng kāi shǐ tàn tǎo gōng lǐ zhī jiān de xiāng hù guān xì yǔ yán jiū zhěng gè yǎn yì xì tǒng de luó ji jié gòu。 1904 nián， yòu zhuóshǒu yán jiū shù xué jī chǔ wèn tí， jīng guò duō nián yùn niàng， yú 'èr shí nián dài chū， tí chū liǎo rú hé lùn zhèng shù lùn、 jí hé lùn huò shù xué fēn xī yī zhì xìng de fāng 'àn。 tā jiàn yì cóng ruò gān xíng shì gōng lǐ chū fā jiāng shù xué xíng shì huà wéi fú hào yǔ yán xì tǒng， bìng cóng bù jiǎ dìng shí wú qióng de yòu qióng guān diǎn chū fā， jiàn lì xiāng yìng de luó ji xì tǒng。 rán hòu zài yán jiū zhè gè xíng shì yǔ yán xì tǒng de luó ji xìng zhì， cóng 'ér chuàng lì liǎo yuán shù xué hé zhèng míng lùn。 xī 'ěr bó tè de mù de shì shì tú duì mǒu yī xíng shì yǔ yán xì tǒng de wú máo dùn xìng gěi chū jué duì de zhèng míng， yǐ biàn kè fú bèi lùn suǒ yǐn qǐ de wēi jī， yī láo yǒng yì dì xiāo chú duì shù xué jī chǔ yǐ jí shù xué tuī lǐ fāng fǎ kě kào xìng de huái yí。 rán 'ér， 1930 nián， nián qīng de 'ào dì lì shù lǐ luó ji xué jiā gē dé 'ěr (k.g?del， 1906～ 1978) huò dé liǎo fǒu dìng de jiēguǒ， zhèng míng liǎo xī 'ěr bó tè fāng 'àn shì bù kě néng shí xiàn de。 dàn zhèng rú gē dé 'ěr suǒ shuō， xī 'ěr bó tè yòu guān shù xué jī chǔ de fāng 'àn“ réng bù shī qí zhòng yào xìng， bìng jì xù yǐn qǐ rén men de gāo dù xīng qù”。 xī 'ěr bó tè de zhù zuò yòu《 xī 'ěr bó tè quán jí》（ sān juàn， qí zhōng bāo kuò tā de zhù míng de《 shù lùn bào gào》）、《 jǐ hé jī chǔ》、《 xiàn xìng jī fēn fāng chéng yī bān lǐ lùn jī chǔ》 děng， yǔ qí tā hé zhù yòu《 shù xué wù lǐ fāng fǎ》、《 lǐ lùn luó ji jī chǔ》、《 zhí guān jǐ hé xué》、《 shù xué jī chǔ》。
xī 'ěr bó tè wèn tí
zài 1900 nián bā lí guó jì shù xué jiā dài biǎo dà huì shàng， xī 'ěr bó tè fā biǎo liǎo tí wéi《 shù xué wèn tí》 de zhù míng jiǎng yǎn。 tā gēn jù guò qù tè bié shì shí jiǔ shì jì shù xué yán jiū de chéng guǒ hé fā zhǎn qū shì， tí chū liǎo 23 gè zuì zhòng yào de shù xué wèn tí。 zhè 23 gè wèn tí tōng chēng xī 'ěr bó tè wèn tí， hòu lái chéng wèixǔ duō shù xué jiā lì tú gōng kè de nán guān， duì xiàn dài shù xué de yán jiū hé fā zhǎn chǎn shēng liǎo shēn kè de yǐng xiǎng， bìng qǐ liǎo jī jí de tuī dòng zuò yòng， xī 'ěr bó tè wèn tí zhōng yòu xiē xiàn yǐ dé dào yuán mǎn jiě jué， yòu xiē zhì jīn réng wèi jiě jué。 tā zài jiǎng yǎn zhōng suǒ chǎn fā de xiǎng xìn měi gè shù xué wèn tí dōukě yǐ jiě jué de xìn niàn， duì yú shù xué gōng zuò zhě shì yī zhǒng jù dà de gǔ wǔ。
xī 'ěr bó tè de 23 gè wèn tí fēn shǔ sì dà kuài： dì 1 dào dì 6 wèn tí shì shù xué jī chǔ wèn tí； dì 7 dào dì 12 wèn tí shì shù lùn wèn tí； dì 13 dào dì 18 wèn tí shǔ yú dài shù hé jǐ hé wèn tí； dì 19 dào dì 23 wèn tí shǔ yú shù xué fēn xī。
（ 1） kāng tuō de lián xù tǒng jī shù wèn tí。
1874 nián， kāng tuō cāi cè zài kě shù jí jī shù hé shí shù jí jī shù zhī jiān méi yòu bié de jī shù， jí zhù míng de lián xù tǒng jiǎ shè。 1938 nián， qiáo jū měi guó de 'ào dì lì shù lǐ luó ji xué jiā gē dé 'ěr zhèng míng lián xù tǒng jiǎ shè yǔ zf jí hé lùn gōng lǐ xì tǒng de wú máo dùn xìng。 1963 nián， měi guó shù xué jiā kē sī（ p.choen） zhèng míng lián xù tǒng jiǎ shè yǔ zf gōng lǐ bǐ cǐ dú lì。 yīn 'ér， lián xù tǒng jiǎ shè bù néng yòng zf gōng lǐ jiā yǐ zhèng míng。 zài zhè gè yì yì xià， wèn tí yǐ huò jiě jué。
（ 2） suàn shù gōng lǐ xì tǒng de wú máo dùn xìng。
ōu shì jǐ hé de wú máo dùn xìng kě yǐ guī jié wéi suàn shù gōng lǐ de wú máo dùn xìng。 xī 'ěr bó tè céng tí chū yòng xíng shì zhù yì jìhuà de zhèng míng lùn fāng fǎ jiā yǐ zhèng míng， gē dé 'ěr 1931 nián fā biǎo bù wán bèi xìng dìng lǐ zuò chū fǒu dìng。 gēn cí（ g.gentaen， 1909-1945） 1936 nián shǐ yòng chāo xiàn guī nà fǎ zhèng míng liǎo suàn shù gōng lǐ xì tǒng de wú máo dùn xìng。
（ 3） zhǐ gēn jù hé tóng gōng lǐ zhèng míng děng dǐ děng gāo de liǎng gè sì miàn tǐ yòu xiāng děng zhī tǐ jī shì bù kě néng de。
wèn tí de yì sī shì： cún zài liǎng gè dēng gāo děng dǐ de sì miàn tǐ， tā men bù kě néng fēn jiě wèiyòu xiàn gè xiǎo sì miàn tǐ， shǐ zhè liǎng zǔ sì miàn tǐ bǐ cǐ quán děng dé sī（ m.dehn） 1900 nián yǐ jiě jué。
（ 4） liǎng diǎn jiān yǐ zhí xiàn wéi jù lí zuì duǎn xiàn wèn tí。
cǐ wèn tí tí de yī bān。 mǎn zú cǐ xìng zhì de jǐ hé hěn duō， yīn 'ér xū yào jiā yǐ mǒu xiē xiàn zhì tiáo jiàn。 1973 nián， sū lián shù xué jiā bō gé liè luò fū（ pogleov） xuān bù， zài duìchèn jù lí qíng kuàng xià， wèn tí huò jiě jué。
（ 5） tuò pū xué chéng wéi lǐ qún de tiáo jiàn（ tuò pū qún）。
zhè yī gè wèn tí jiǎn chēng lián xù qún de jiě xī xìng， jí shì fǒu měi yī gè jú bù 'ōu shì qún dū yī dìng shì lǐ qún。 1952 nián， yóu gé lǐ sēn（ gleason）、 méng gē mǎ lì（ montgomery）、 qí bīn（ zippin） gòng tóng jiě jué。 1953 nián， rì běn de shān mài yīng yàn yǐ dé dào wán quán kěn dìng de jiēguǒ。
（ 6） duì shù xué qǐ zhòng yào zuò yòng de wù lǐ xué de gōng lǐ huà。
1933 nián， sū lián shù xué jiā kē 'ěr mò gē luò fū jiāng gàilǜ lùn gōng lǐ huà。 hòu lái， zài liàng zǐ lì xué、 liàng zǐ chǎng lùn fāng miàn qǔ dé chéng gōng。 dàn duì wù lǐ xué gè gè fēn zhī néng fǒu quán pán gōng lǐ huà， hěn duō rén yòuhuái yí。
（ 7） mǒu xiē shù de chāo yuè xìng de zhèng míng。
xū zhèng： rú guǒ α shì dài shù shù， β shì wú lǐ shù de dài shù shù， nà me αβ yī dìng shì chāo yuè shù huò zhì shǎo shì wú lǐ shù（ lì rú， 2 √ 2 hé eπ）。 sū lián de gài 'ěr fēng tè（ gelfond） 1929 nián、 dé guó de shī nài dé（ schneider） jí xī gé 'ěr（ siegel） 1935 nián fēn bié dú lì dì zhèng míng liǎo qí zhèng què xìng。 dàn chāo yuè shù lǐ lùn hái yuǎn wèi wán chéng。 mù qián， què dìng suǒ gěi de shù shì fǒu chāo yuè shù， shàng wú tǒng yī de fāng fǎ。
（ 8） sù shù fēn bù wèn tí， yóu qí duì lí màn cāi xiǎng、 gē dé bā hè cāi xiǎng hé luán shēng sù gòng wèn tí。
sù shù shì yī gè hěn gǔ lǎo de yán jiū lǐng yù。 xī 'ěr bó tè zài cǐ tí dào lí màn（ riemann） cāi xiǎng、 gē dé bā hè（ goldbach） cāi xiǎng yǐ jí luán shēng sù shù wèn tí。 lí màn cāi xiǎng zhì jīn wèi jiě jué。 gē dé bā hè cāi xiǎng hé luán shēng sù shù wèn tí mù qián yě wèi zuì zhōng jiě jué， qí zuì jiā jiēguǒ jūn shǔ zhōng guó shù xué jiā chén jǐng rùn。
（ 9） yī bān hù fǎn lǜ zài rèn yì shù yù zhōng de zhèng míng。
1921 nián yóu rì běn de gāo mù zhēn zhì， 1927 nián yóu dé guó de 'ā tíng（ e.artin） gè zì gěi yǐ jī běn jiě jué。 ér lèi yù lǐ lùn zhì jīn hái zài fā zhǎn zhī zhōng。
（ 10） néng fǒu tōng guò yòu xiàn bù zhòu lái pàn dìng bù dìng fāng chéng shì fǒu cún zài yòu lǐ zhěng shù jiě？
qiú chū yī gè zhěng shù xì shù fāng chéng de zhěng shù gēn， chēng wéi diū fān tú（ yuē 210-290， gǔ xī là shù xué jiā） fāng chéng kě jiě。 1950 nián qián hòu， měi guó shù xué jiā dài wéi sī（ davis）、 pǔ tè nán（ putnan）、 luó bīn xùn（ robinson） děng qǔ dé guān jiàn xìng tū pò。 1970 nián， bā kè 'ěr（ baker）、 fèi luó sī（ philos） duì hán liǎng gè wèi zhī shù de fāng chéng qǔ dé kěn dìng jié lùn。 1970 nián。 sū lián shù xué jiā mǎ dì sài wéi qí zuì zhōng zhèng míng： zài yī bān qíng kuàng dá 'àn shì fǒu dìng de。 jìn guǎn dé chū liǎo fǒu dìng de jiēguǒ， què chǎn shēng liǎo yī xì liè hěn yòu jià zhí de fù chǎn pǐn， qí zhōng bù shǎo hé jì suàn jī kē xué yòu mìqiè lián xì。
（ 11） yī bān dài shù shù yù nèi de 'èr cì xíng lùn。
dé guó shù xué jiā hā sài（ hasse） hé xī gé 'ěr（ siegel） zài 20 nián dài huò zhòng yào jiēguǒ。 60 nián dài， fǎ guó shù xué jiā wèi yǐ（ a.weil） qǔ dé liǎo xīn jìn zhǎn。
（ 12） lèi yù de gòu chéng wèn tí。
jí jiāng 'ā bèi 'ěr yù shàng de kè luó nèi kè dìng lǐ tuī guǎng dào rèn yì de dài shù yòu lǐ yù shàng qù。 cǐ wèn tí jǐn yòu yī xiē líng xīng jiēguǒ， lí chè dǐ jiě jué hái hěn yuǎn。
（ 13） yī bān qī cì dài shù fāng chéng yǐ 'èr biàn liàng lián xù hán shù zhī zǔ hé qiú jiě de bù kě néng xìng。
qī cì fāng chéng x7+ax3+bx2+cx+1=0 de gēn yǐ lài yú 3 gè cān shù a、 b、 c； x=x(a,b,c)。 zhè yī hán shù néng fǒu yòng liǎng biàn liàng hán shù biǎo shì chū lái？ cǐ wèn tí yǐ jiē jìn jiě jué。 1957 nián， sū lián shù xué jiā 'ā nuò 'ěr dé（ arnold） zhèng míng liǎo rèn yī zài 〔 0， 1 〕 shàng lián xù de shí hán shù f(x1， x2， x3) kě xiě chéng xíng shì ∑ hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)， zhè lǐ hi hé ξi wéi lián xù shí hán shù。 kē 'ěr mò gē luò fū zhèng míng f(x1， x2， x3) kě xiě chéng xíng shì∑ hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7) zhè lǐ hi hé ξi wéi lián xù shí hán shù， ξij de xuǎn qǔ kě yǔ f wán quán wú guān。 1964 nián， wéi tǔ sī jīn（ vituskin） tuī guǎng dào lián xù kě wēi qíng xíng， duì jiě xī hán shù qíng xíng zé wèi jiě jué。
（ 14） mǒu xiē wán bèi hán shù xì de yòu xiàn de zhèng míng。
jí yù k shàng de yǐ x1,x2, … ,xn wéi zì biàn liàng de duō xiàng shì fi（ i=1,…， m）， r wéi k〔 x1，…， xm] shàng de yòu lǐ hán shù f（ x1，…， xm） gòu chéng de huán， bìng qiě f（ f1，…， fm） ∈ k[x1，…， xm] shì wèn r shì fǒu kě yóu yòu xiàn gè yuán sù f1，…， fn de duō xiàng shì shēng chéng？ zhè gè yǔ dài shù bù biàn liàng wèn tí yòu guān de wèn tí， rì běn shù xué jiā yǒng tián yǎ yí yú 1959 nián yòng piào liàng de fǎn lì gěi chū liǎo fǒu dìng de jiě jué。
（ 15） jiàn lì dài shù jǐ hé xué de jī chǔ。
hé lán shù xué jiā fàn dé wǎ 'ěr dēng 1938 nián zhì 1940 nián， wèi yǐ 1950 nián yǐ jiě jué。
zhù yī shū bó tè（ schubert） jì shù yǎn suàn de yán gé jī chǔ。
yī gè diǎn xíng de wèn tí shì： zài sān wéi kōng jiān zhōng yòu sì tiáo zhí xiàn， wèn yòu jǐ tiáo zhí xiàn néng hé zhè sì tiáo zhí xiàn dū xiāng jiāo？ shū bó tè gěi chū liǎo yī gè zhí guān de jiě fǎ。 xī 'ěr bó tè yào qiú jiāng wèn tí yī bān huà， bìng gěi yǐ yán gé jī chǔ。 xiàn zài yǐ yòu liǎo yī xiē kě jì suàn de fāng fǎ， tā hé dài shù jǐ hé xué yòu mìqiè de guān xì。 dàn yán gé de jī chǔ zhì jīn réng wèi jiàn lì。
（ 16） dài shù qū xiàn hé qū miàn de tuò pū yán jiū。
cǐ wèn tí qián bàn bù shè jí dài shù qū xiàn hán yòu bì de fēn zhī qū xiàn de zuì dà shù mù。 hòu bàn bù yào qiú tǎo lùn bèi dx/dy=y/x de jí xiàn huán de zuì duō gè shù n（ n） hé xiāng duì wèi zhì， qí zhōng x、 y shì x、 y de n cì duō xiàng shì。 duì n=2（ jí 'èr cì xì tǒng） de qíng kuàng， 1934 nián fú luó xiàn 'ěr dé dào n(2) ≥ 1； 1952 nián bào tíng dé dào n(2)≥ 3； 1955 nián sū lián de bō dé luò fū sī jī xuān bù n(2) ≤ 3， zhè gè céng zhèn dòng yī shí de jiēguǒ， yóu yú qí zhōng de ruò gān yǐn lǐ bèi fǒu dìng 'ér chéng yí wèn。 guān yú xiāng duì wèi zhì， zhōng guó shù xué jiā dǒng jīn zhù、 yè yàn qiān 1957 nián zhèng míng liǎo（ e2） bù chāo guò liǎng chuàn。 1957 nián， zhōng guó shù xué jiā qín yuán xūn hé pú fù jīn jù tǐ gěi chū liǎo n ＝ 2 de fāng chéng jù yòu zhì shǎo 3 gè chéng chuàn jí xiàn huán de shí lì。 1978 nián， zhōng guó de shǐ sōng líng zài qín yuán xūn、 huá luó gēng de zhǐ dǎo xià， yǔ wáng míng shū fēn bié jǔ chū zhì shǎo yòu 4 gè jí xiàn huán de jù tǐ lì zǐ。 1983 nián， qín yuán xūn jìn yī bù zhèng míng liǎo 'èr cì xì tǒng zuì duō yòu 4 gè jí xiàn huán， bìng qiě shì（ 1， 3） jié gòu， cóng 'ér zuì zhōng dì jiě jué liǎo 'èr cì wēi fēn fāng chéng de jiě de jié gòu wèn tí， bìng wéi yán jiū xī 'ěr bó tè dì（ 16） wèn tí tí gōng liǎo xīn de tú jìng。
（ 17） bàn zhèng dìng xíng shì de píng fāng hé biǎo shì。
shí xì shù yòu lǐ hán shù f(x1,…， xn) duì rèn yì shù zǔ（ x1，… ,xn） dū héng dà yú huò děng yú 0， què dìng f shì fǒu dōunéng xiě chéng yòu lǐ hán shù de píng fāng hé？ 1927 nián 'ā tíng yǐ kěn dìng dì jiě jué。
（ 18） yòng quán děng duō miàn tǐ gòu zào kōng jiān。
dé guó shù xué jiā bǐ bèi 'ěr bā hè（ bieberbach） 1910 nián， lāi yīn hā tè（ reinhart） 1928 nián zuò chū bù fēn jiě jué。
（ 19） zhèng zé biàn fēn wèn tí de jiě shì fǒu zǒng shì jiě xī hán shù？
dé guó shù xué jiā bó 'ēn sī tǎn（ bernrtein， 1929） hé sū lián shù xué jiā bǐ dé luó fū sī jī（ 1939） yǐ jiě jué。
（ 20） yán jiū yī bān biān zhí wèn tí。
cǐ wèn tí jìn zhǎn xùn sù， jǐ chéng wéi yī gè hěn dà de shù xué fēn zhī。 rì qián hái zài jì dú fā zhǎn。
（ 21） jù yòu gěi dìng qí diǎn hé dān zhí qún de fuchs lèi de xiàn xìng wēi fēn fāng chéng jiě de cún zài xìng zhèng míng。
cǐ wèn tí shǔ xiàn xìng cháng wēi fēn fāng chéng de dà fàn wéi lǐ lùn。 xī 'ěr bó tè běn rén yú 1905 nián、 lè 'ěr（ h.rohrl） yú 1957 nián fēn bié dé chū zhòng yào jiēguǒ。 1970 nián fǎ guó shù xué jiā dé lì niè（ deligne） zuò chū liǎo chū sè gòng xiàn。
（ 22） yòng zì shǒu hán shù jiāng jiě xī hán shù dān zhí huà。
cǐ wèn tí shè jí jiān shēn de lí màn qū miàn lǐ lùn， 1907 nián kè bó（ p.koebe） duì yī gè biàn liàng qíng xíng yǐ jiě jué 'ér shǐ wèn tí de yán jiū huò zhòng yào tū pò。 qí tā fāng miàn shàng wèi jiě jué。
（ 23） fā zhǎn biàn fēn xué fāng fǎ de yán jiū。
zhè bù shì yī gè míng què de shù xué wèn tí。 20 shì jì biàn fēn fǎ yòu liǎo hěn dà fā zhǎn。 | | xī 'ěr bó tè， D.(Hilbert,David， 1862～ 1943) dé guó shù xué。
tā yú 1900 nián 8 yuè 8 rì zài bā lí dì 'èr jiè guó jì shù xué jiā dà huì shàng， tí chū liǎo xīn shì jì shù xué jiā yīngdāng nǔ lì jiě jué de 23 gè shù xué wèn tí， bèi rèn wéi shì 20 shì jì shù xué de zhì gāo diǎn， duì zhè xiē wèn tí de yán jiū yòu lì tuī dòng liǎo 20 shì jì shù xué de fā zhǎn， zài shì jiè shàng chǎn shēng liǎo shēn yuǎn de yǐng xiǎng。 xī 'ěr bó tè lǐng dǎo de shù xué xué pài shì 19 shì jì mò 20 shì jì chū shù xué jiè de yī miàn qí zhì， xī 'ěr bó tè bèi chēng wéi“ shù xué jiè de wú miǎn zhī wáng”。
（ zhù míng de gē dé bā hè cāi xiǎng yě shì wèn tí zhī yī， yǐ chén jǐng rùn wéi dài biǎo de zhōng guó shù xué jiā huò dé liǎo zhòng dà tū pò， dàn hái méi yòu chè dǐ jiě jué。）
xī 'ěr bó tè shēng yú dōng pǔ lǔ shì gē ní sī bǎo ( qián sū lián jiā lǐ níng gé lè ) fù jìn de wéi láo， zhōng xué shí dài tā jiù shì yī míng qín fèn hàoxué de xué shēng , duì yú kē xué tè bié shì shù xué biǎo xiàn chū nóng hòu de xīng qù , shàn yú líng huó hé shēn kè dì zhǎng wò yǐ zhì yìng yòng lǎo shī jiǎng kè de nèi róng。 tā yǔ 17 suì biàn ná xià shù xué dà jiǎng de zhù míng shù xué jiā mǐn kě fū sī jī（ ài yīn sī tǎn de lǎo shī） jié wéi hǎo yǒu， tóng jìn yú gē ní sī bǎo dà xué， zuì zhōng chāo yuè liǎo tā。 1880 nián , tā bù gù fù qīn ràng tā xué fǎ lǜ de yì yuàn , jìn rù gē ní sī bǎo dà xué gōng dú shù xué， bìng yú 1884 nián huò dé bó shì xué wèi , hòu liú xiào qǔ dé jiǎng shī zī gé hé shēng rèn fù jiào shòu。 1893 nián tā bèi rèn mìng wéi zhèng jiào shòu ,1895 nián zhuǎn rù gé tíng gēn dà xué rèn jiào shòu , cǐ hòu yī zhí zài shù xué zhī xiāng gé tíng gēn shēng huó hé gōng zuò。 tā yú 1930 nián tuì xiū。 zài cǐ qī jiān , tā chéng wéi bólín kē xué yuàn tōng xùn yuàn shì , bìng céng huò dé shī tài nè jiǎng、 luó bā qiē fū sī jī jiǎng hé bō yuē yī jiǎng。 1930 nián huò dé ruì diǎn kē xué yuàn de mǐ tǎ gé - lāi fú lè jiǎng ,1942 nián chéng wéi bólín kē xué yuàn róng yù yuàn shì。 xī 'ěr bó tè shì yī wèi zhèng zhí de kē xué jiā , dì yī cì shì jiè dà zhàn qián xī , tā jù jué zài dé guó zhèng fǔ wéi jìn xíng qī piàn xuān chuán 'ér fā biǎo de《 gào wén míng shì jiè shū》 shàng qiān zì。 zhàn zhēng qī jiān， tā gǎn yú gōng kāi fā biǎo wén zhāng dào niàn“ dí rén de shù xué jiā” dá bù。 xī tè lè shàng tái hòu， tā dǐ zhì bìng shàng shū fǎn duì nà cuì zhèng fǔ pái chì hé pò hài yóu tài kē xué jiā de zhèng cè。 yóu yú nà cuì zhèng fǔ de fǎn dòng zhèng cè rì yì jiā jù , xǔ duō kē xué jiā bèi pò yí jū wài guó， qí zhōng duō shù liú wáng yǔ měi guó , céng jīng shèng jí yī shí de gé tíng gēn xué pài shuāi luò liǎo , xī 'ěr bó tè yě yú 1943 nián zài gū dú zhōng shì shì。 dàn yóu yú dà liàng shù xué jiā de dào lái， měi guó chéng wèile dāng shí de shù xué zhōng xīn。
xī 'ěr bó tè shì duì 'èr shí shì jì shù xué yòu shēn kè yǐng xiǎng de shù xué jiā zhī yī。 tā lǐng dǎo liǎo zhù míng de gé tíng gēn xué pài , shǐ gé tíng gēn dà xué chéng wéi dāng shí shì jiè shù xué yán jiū de zhòng yào zhōng xīn , bìng péi yǎng liǎo yī pī duì xiàn dài shù xué fā zhǎn zuò chū zhòng dà gòng xiàn de jié chū shù xué jiā。 xī 'ěr bó tè de shù xué gōng zuò kě yǐ huàfēn wéi jǐ gè bù tóng de shí qī , měi gè shí qī tā jīhū dū jí zhōng jīng lì yán jiū yī lèi wèn tí。 àn shí jiān shùn xù , tā de zhù yào yán jiū nèi róng yòu : bù biàn liàng lǐ lùn、 dài shù shù yù lǐ lùn、 jǐ hé jī chǔ、 jī fēn fāng chéng、 wù lǐ xué、 yī bān shù xué jī chǔ， qí jiān chuān chā de yán jiū kè tí yòu： dí lì kè léi yuán lǐ hé biàn fēn fǎ、 huá lín wèn tí、 tè zhēng zhí wèn tí、“ xī 'ěr bó tè kōng jiān” děng。 zài zhè xiē lǐng yù zhōng， tādōu zuò chū liǎo zhòng dà de huò kāi chuàng xìng de gòng xiàn。 xī 'ěr bó tè rèn wéi， kē xué zài měi gè shí dài dōuyòu tā zì jǐ de wèn tí， ér zhè xiē wèn tí de jiě jué duì yú kē xué fā zhǎn jù yòu shēn yuǎn yì yì。 tā zhǐ chū：“ zhǐ yào yī mén kē xué fēn zhī néng tí chū dà liàng de wèn tí， tā jiù chōng mǎn zhe shēng mìng lì， ér wèn tí quē fá zé yù shì zhe dú lì fā zhǎn de shuāi wáng hé zhōng zhǐ。”
zài 1900 nián bā lí guó jì shù xué jiā dài biǎo dà huì shàng， xī 'ěr bó tè fā biǎo liǎo tí wéi《 shù xué wèn tí》 de zhù míng jiǎng yǎn。 tā gēn jù guò qù tè bié shì shí jiǔ shì jì shù xué yán jiū de chéng guǒ hé fā zhǎn qū shì， tí chū liǎo 23 gè zuì zhòng yào de shù xué wèn tí。 zhè 23 gè wèn tí tōng chēng xī 'ěr bó tè wèn tí， hòu lái chéng wèixǔ duō shù xué jiā lì tú gōng kè de nán guān， duì xiàn dài shù xué de yán jiū hé fā zhǎn chǎn shēng liǎo shēn kè de yǐng xiǎng， bìng qǐ liǎo jī jí de tuī dòng zuò yòng， xī 'ěr bó tè wèn tí zhōng yòu xiē xiàn yǐ dé dào yuán mǎn jiě jué， yòu xiē zhì jīn réng wèi jiě jué。 tā zài jiǎng yǎn zhōng suǒ chǎn fā de xiǎng xìn měi gè shù xué wèn tí dōukě yǐ jiě jué de xìn niàn， duì yú shù xué gōng zuò zhě shì yī zhǒng jù dà de gǔ wǔ。 tā shuō：“ zài wǒ men zhōng jiān， cháng cháng tīng dào zhè yàng de hū shēng： zhè lǐ yòu yī gè shù xué wèn tí， qù zhǎo chū tā de dá 'àn！ nǐ néng tōng guò chún sī wéi zhǎo dào tā， yīn wéi zài shù xué zhōng méi yòu bù kě zhī。” sān shí nián hòu， 1930 nián， zài jiē shòu gē ní sī bǎo róng yù shì mín chēng hào de jiǎng yǎn zhōng， zhēn duì yī xiē rén xìn fèng de bù kě zhī lùn guān diǎn， tā zài cì mǎn huái xìn xīn dì xuān chēng：“ wǒ men bì xū zhī dào， wǒ men bì jiāng zhī dào。”
xī 'ěr bó tè de《 jǐ hé jī chǔ》（ 1899） shì gōng lǐ huà sī xiǎng de dài biǎo zuò， shū zhōng bǎ 'ōu jǐ lǐ dé jǐ hé xué jiā yǐ zhěng lǐ， chéng wéi jiàn lì zài yī zǔ jiǎn dān gōng lǐ jī chǔ shàng de chún cuì yǎn yì xì tǒng， bìng kāi shǐ tàn tǎo gōng lǐ zhī jiān de xiāng hù guān xì yǔ yán jiū zhěng gè yǎn yì xì tǒng de luó ji jié gòu。 1904 nián， yòu zhuóshǒu yán jiū shù xué jī chǔ wèn tí， jīng guò duō nián yùn niàng， yú 'èr shí nián dài chū， tí chū liǎo rú hé lùn zhèng shù lùn、 jí hé lùn huò shù xué fēn xī yī zhì xìng de fāng 'àn。 tā jiàn yì cóng ruò gān xíng shì gōng lǐ chū fā jiāng shù xué xíng shì huà wéi fú hào yǔ yán xì tǒng， bìng cóng bù jiǎ dìng shí wú qióng de yòu qióng guān diǎn chū fā， jiàn lì xiāng yìng de luó ji xì tǒng。 rán hòu zài yán jiū zhè gè xíng shì yǔ yán xì tǒng de luó ji xìng zhì， cóng 'ér chuàng lì liǎo yuán shù xué hé zhèng míng lùn。 xī 'ěr bó tè de mù de shì shì tú duì mǒu yī xíng shì yǔ yán xì tǒng de wú máo dùn xìng gěi chū jué duì de zhèng míng， yǐ biàn kè fú bèi lùn suǒ yǐn qǐ de wēi jī， yī láo yǒng yì dì xiāo chú duì shù xué jī chǔ yǐ jí shù xué tuī lǐ fāng fǎ kě kào xìng de huái yí。 rán 'ér， 1930 nián， nián qīng de 'ào dì lì shù lǐ luó ji xué jiā gē dé 'ěr (K.G?del， 1906～ 1978) huò dé liǎo fǒu dìng de jiēguǒ， zhèng míng liǎo xī 'ěr bó tè fāng 'àn shì bù kě néng shí xiàn de。 dàn zhèng rú gē dé 'ěr suǒ shuō， xī 'ěr bó tè yòu guān shù xué jī chǔ de fāng 'àn“ réng bù shī qí zhòng yào xìng， bìng jì xù yǐn qǐ rén men de gāo dù xīng qù”。 xī 'ěr bó tè de zhù zuò yòu《 xī 'ěr bó tè quán jí》（ sān juàn， qí zhōng bāo kuò tā de zhù míng de《 shù lùn bào gào》）、《 jǐ hé jī chǔ》、《 xiàn xìng jī fēn fāng chéng yī bān lǐ lùn jī chǔ》 děng， yǔ qí tā hé zhù yòu《 shù xué wù lǐ fāng fǎ》、《 lǐ lùn luó ji jī chǔ》、《 zhí guān jǐ hé xué》、《 shù xué jī chǔ》。 | | zài 1900 nián bā lí guó jì shù xué jiā dài biǎo dà huì shàng， xī 'ěr bó tè fā biǎo liǎo tí wéi《 shù xué wèn tí》 de zhù míng jiǎng yǎn。 tā gēn jù guò qù tè bié shì shí jiǔ shì jì shù xué yán jiū de chéng guǒ hé fā zhǎn qū shì， tí chū liǎo 23 gè zuì zhòng yào de shù xué wèn tí。 zhè 23 gè wèn tí tōng chēng xī 'ěr bó tè wèn tí， hòu lái chéng wèixǔ duō shù xué jiā lì tú gōng kè de nán guān， duì xiàn dài shù xué de yán jiū hé fā zhǎn chǎn shēng liǎo shēn kè de yǐng xiǎng， bìng qǐ liǎo jī jí de tuī dòng zuò yòng， xī 'ěr bó tè wèn tí zhōng yòu xiē xiàn yǐ dé dào yuán mǎn jiě jué， yòu xiē zhì jīn réng wèi jiě jué。 tā zài jiǎng yǎn zhōng suǒ chǎn fā de xiǎng xìn měi gè shù xué wèn tí dōukě yǐ jiě jué de xìn niàn， duì yú shù xué gōng zuò zhě shì yī zhǒng jù dà de gǔ wǔ。
xī 'ěr bó tè de 23 gè wèn tí fēn shǔ sì dà kuài： dì 1 dào dì 6 wèn tí shì shù xué jī chǔ wèn tí； dì 7 dào dì 12 wèn tí shì shù lùn wèn tí； dì 13 dào dì 18 wèn tí shǔ yú dài shù hé jǐ hé wèn tí； dì 19 dào dì 23 wèn tí shǔ yú shù xué fēn xī。
（ 1） kāng tuō de lián xù tǒng jī shù wèn tí。
1874 nián， kāng tuō cāi cè zài kě shù jí jī shù hé shí shù jí jī shù zhī jiān méi yòu bié de jī shù， jí zhù míng de lián xù tǒng jiǎ shè。 1938 nián， qiáo jū měi guó de 'ào dì lì shù lǐ luó ji xué jiā gē dé 'ěr zhèng míng lián xù tǒng jiǎ shè yǔ ZF jí hé lùn gōng lǐ xì tǒng de wú máo dùn xìng。 1963 nián， měi guó shù xué jiā kē sī（ P.Choen） zhèng míng lián xù tǒng jiǎ shè yǔ ZF gōng lǐ bǐ cǐ dú lì。 yīn 'ér， lián xù tǒng jiǎ shè bù néng yòng ZF gōng lǐ jiā yǐ zhèng míng。 zài zhè gè yì yì xià， wèn tí yǐ huò jiě jué。
（ 2） suàn shù gōng lǐ xì tǒng de wú máo dùn xìng。
ōu shì jǐ hé de wú máo dùn xìng kě yǐ guī jié wéi suàn shù gōng lǐ de wú máo dùn xìng。 xī 'ěr bó tè céng tí chū yòng xíng shì zhù yì jìhuà de zhèng míng lùn fāng fǎ jiā yǐ zhèng míng， gē dé 'ěr 1931 nián fā biǎo bù wán bèi xìng dìng lǐ zuò chū fǒu dìng。 gēn cí（ G.Gentaen， 1909-1945） 1936 nián shǐ yòng chāo xiàn guī nà fǎ zhèng míng liǎo suàn shù gōng lǐ xì tǒng de wú máo dùn xìng。
（ 3） zhǐ gēn jù hé tóng gōng lǐ zhèng míng děng dǐ děng gāo de liǎng gè sì miàn tǐ yòu xiāng děng zhī tǐ jī shì bù kě néng de。
wèn tí de yì sī shì： cún zài liǎng gè děng gāo děng dǐ de sì miàn tǐ， tā men bù kě néng fēn jiě wèiyòu xiàn gè xiǎo sì miàn tǐ， shǐ zhè liǎng zǔ sì miàn tǐ bǐ cǐ quán děng dé sī（ M.Dehn） 1900 nián yǐ jiě jué。
（ 4） liǎng diǎn jiān yǐ zhí xiàn wéi jù lí zuì duǎn xiàn wèn tí。
cǐ wèn tí tí de yī bān。 mǎn zú cǐ xìng zhì de jǐ hé hěn duō， yīn 'ér xū yào jiā yǐ mǒu xiē xiàn zhì tiáo jiàn。 1973 nián， sū lián shù xué jiā bō gé liè luò fū（ Pogleov） xuān bù， zài duìchèn jù lí qíng kuàng xià， wèn tí huò jiě jué。
（ 5） tuò pū xué chéng wéi lǐ qún de tiáo jiàn（ tuò pū qún）。
zhè yī gè wèn tí jiǎn chēng lián xù qún de jiě xī xìng， jí shì fǒu měi yī gè jú bù 'ōu shì qún dū yī dìng shì lǐ qún。 1952 nián， yóu gé lǐ sēn（ Gleason）、 méng gē mǎ lì（ Montgomery）、 qí bīn（ Zippin） gòng tóng jiě jué。 1953 nián， rì běn de shān mài yīng yàn yǐ dé dào wán quán kěn dìng de jiēguǒ。
（ 6） duì shù xué qǐ zhòng yào zuò yòng de wù lǐ xué de gōng lǐ huà。
1933 nián， sū lián shù xué jiā kē 'ěr mò gē luò fū jiāng gàilǜ lùn gōng lǐ huà。 hòu lái， zài liàng zǐ lì xué、 liàng zǐ chǎng lùn fāng miàn qǔ dé chéng gōng。 dàn duì wù lǐ xué gè gè fēn zhī néng fǒu quán pán gōng lǐ huà， hěn duō rén yòuhuái yí。
（ 7） mǒu xiē shù de chāo yuè xìng de zhèng míng。
xū zhèng： rú guǒ α shì dài shù shù， β shì wú lǐ shù de dài shù shù， nà me αβ yī dìng shì chāo yuè shù huò zhì shǎo shì wú lǐ shù（ lì rú， 2√ 2 hé eπ）。 sū lián de gài 'ěr fēng tè（ Gelfond） 1929 nián、 dé guó de shī nài dé（ Schneider） jí xī gé 'ěr（ Siegel） 1935 nián fēn bié dú lì dì zhèng míng liǎo qí zhèng què xìng。 dàn chāo yuè shù lǐ lùn hái yuǎn wèi wán chéng。 mù qián， què dìng suǒ gěi de shù shì fǒu chāo yuè shù， shàng wú tǒng yī de fāng fǎ。
（ 8） sù shù fēn bù wèn tí， yóu qí duì lí màn cāi xiǎng、 gē dé bā hè cāi xiǎng hé luán shēng sù gòng wèn tí。
sù shù shì yī gè hěn gǔ lǎo de yán jiū lǐng yù。 xī 'ěr bó tè zài cǐ tí dào lí màn（ Riemann） cāi xiǎng、 gē dé bā hè（ Goldbach） cāi xiǎng yǐ jí luán shēng sù shù wèn tí。 lí màn cāi xiǎng zhì jīn wèi jiě jué。 gē dé bā hè cāi xiǎng hé luán shēng sù shù wèn tí mù qián yě wèi zuì zhōng jiě jué， qí zuì jiā jiēguǒ jūn shǔ zhōng guó shù xué jiā chén jǐng rùn。
（ 9） yī bān hù fǎn lǜ zài rèn yì shù yù zhōng de zhèng míng。
1921 nián yóu rì běn de gāo mù zhēn zhì， 1927 nián yóu dé guó de 'ā tíng（ E.Artin） gè zì gěi yǐ jī běn jiě jué。 ér lèi yù lǐ lùn zhì jīn hái zài fā zhǎn zhī zhōng。
（ 10） néng fǒu tōng guò yòu xiàn bù zhòu lái pàn dìng bù dìng fāng chéng shì fǒu cún zài yòu lǐ zhěng shù jiě？
qiú chū yī gè zhěng shù xì shù fāng chéng de zhěng shù gēn， chēng wéi diū fān tú（ yuē 210-290， gǔ xī là shù xué jiā） fāng chéng kě jiě。 1950 nián qián hòu， měi guó shù xué jiā dài wéi sī（ Davis）、 pǔ tè nán（ Putnan）、 luó bīn xùn（ Robinson） děng qǔ dé guān jiàn xìng tū pò。 1970 nián， bā kè 'ěr（ Baker）、 fèi luó sī（ Philos） duì hán liǎng gè wèi zhī shù de fāng chéng qǔ dé kěn dìng jié lùn。 1970 nián。 sū lián shù xué jiā mǎ dì sài wéi qí zuì zhōng zhèng míng： zài yī bān qíng kuàng dá 'àn shì fǒu dìng de。 jìn guǎn dé chū liǎo fǒu dìng de jiēguǒ， què chǎn shēng liǎo yī xì liè hěn yòu jià zhí de fù chǎn pǐn， qí zhōng bù shǎo hé jì suàn jī kē xué yòu mìqiè lián xì。
（ 11） yī bān dài shù shù yù nèi de 'èr cì xíng lùn。
dé guó shù xué jiā hā sài（ Hasse） hé xī gé 'ěr（ Siegel） zài 20 nián dài huò zhòng yào jiēguǒ。 60 nián dài， fǎ guó shù xué jiā wèi yǐ（ A.Weil） qǔ dé liǎo xīn jìn zhǎn。
（ 12） lèi yù de gòu chéng wèn tí。
jí jiāng 'ā bèi 'ěr yù shàng de kè luó nèi kè dìng lǐ tuī guǎng dào rèn yì de dài shù yòu lǐ yù shàng qù。 cǐ wèn tí jǐn yòu yī xiē líng xīng jiēguǒ， lí chè dǐ jiě jué hái hěn yuǎn。
（ 13） yī bān qī cì dài shù fāng chéng yǐ 'èr biàn liàng lián xù hán shù zhī zǔ hé qiú jiě de bù kě néng xìng。
qī cì fāng chéng x7+ax3+bx2+cx+1=0 de gēn yǐ lài yú 3 gè cān shù a、 b、 c； x=x(a,b,c)。 zhè yī hán shù néng fǒu yòng liǎng biàn liàng hán shù biǎo shì chū lái？ cǐ wèn tí yǐ jiē jìn jiě jué。 1957 nián， sū lián shù xué jiā 'ā nuò 'ěr dé（ Arnold） zhèng míng liǎo rèn yī zài〔 0， 1〕 shàng lián xù de shí hán shù f(x1， x2， x3) kě xiě chéng xíng shì∑ hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)， zhè lǐ hi hé ξi wéi lián xù shí hán shù。 kē 'ěr mò gē luò fū zhèng míng f(x1， x2， x3) kě xiě chéng xíng shì∑ hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7) zhè lǐ hi hé ξi wéi lián xù shí hán shù， ξij de xuǎn qǔ kě yǔ f wán quán wú guān。 1964 nián， wéi tǔ sī jīn（ Vituskin） tuī guǎng dào lián xù kě wēi qíng xíng， duì jiě xī hán shù qíng xíng zé wèi jiě jué。
（ 14） mǒu xiē wán bèi hán shù xì de yòu xiàn de zhèng míng。
jí yù K shàng de yǐ x1,x2,… ,xn wéi zì biàn liàng de duō xiàng shì fi（ i=1,…， m）， R wéi K〔 X1，…， Xm] shàng de yòu lǐ hán shù F（ X1，…， Xm） gòu chéng de huán， bìng qiě F（ f1，…， fm）∈ K[x1，…， xm] shì wèn R shì fǒu kě yóu yòu xiàn gè yuán sù F1，…， FN de duō xiàng shì shēng chéng？ zhè gè yǔ dài shù bù biàn liàng wèn tí yòu guān de wèn tí， rì běn shù xué jiā yǒng tián yǎ yí yú 1959 nián yòng piào liàng de fǎn lì gěi chū liǎo fǒu dìng de jiě jué。
（ 15） jiàn lì dài shù jǐ hé xué de jī chǔ。
hé lán shù xué jiā fàn dé wǎ 'ěr dēng 1938 nián zhì 1940 nián， wèi yǐ 1950 nián yǐ jiě jué。
zhù yī shū bó tè（ Schubert） jì shù yǎn suàn de yán gé jī chǔ。
yī gè diǎn xíng de wèn tí shì： zài sān wéi kōng jiān zhōng yòu sì tiáo zhí xiàn， wèn yòu jǐ tiáo zhí xiàn néng hé zhè sì tiáo zhí xiàn dū xiāng jiāo？ shū bó tè gěi chū liǎo yī gè zhí guān de jiě fǎ。 xī 'ěr bó tè yào qiú jiāng wèn tí yī bān huà， bìng gěi yǐ yán gé jī chǔ。 xiàn zài yǐ yòu liǎo yī xiē kě jì suàn de fāng fǎ， tā hé dài shù jǐ hé xué yòu mìqiè de guān xì。 dàn yán gé de jī chǔ zhì jīn réng wèi jiàn lì。
（ 16） dài shù qū xiàn hé qū miàn de tuò pū yán jiū。
cǐ wèn tí qián bàn bù shè jí dài shù qū xiàn hán yòu bì de fēn zhī qū xiàn de zuì dà shù mù。 hòu bàn bù yào qiú tǎo lùn bèi dx/dy=Y/X de jí xiàn huán de zuì duō gè shù N（ n） hé xiāng duì wèi zhì， qí zhōng X、 Y shì x、 y de n cì duō xiàng shì。 duì n=2（ jí 'èr cì xì tǒng） de qíng kuàng， 1934 nián fú luó xiàn 'ěr dé dào N(2)≥ 1； 1952 nián bào tíng dé dào N(2)≥ 3； 1955 nián sū lián de bō dé luò fū sī jī xuān bù N(2)≤ 3， zhè gè céng zhèn dòng yī shí de jiēguǒ， yóu yú qí zhōng de ruò gān yǐn lǐ bèi fǒu dìng 'ér chéng yí wèn。 guān yú xiāng duì wèi zhì， zhōng guó shù xué jiā dǒng jīn zhù、 yè yàn qiān 1957 nián zhèng míng liǎo（ E2） bù chāo guò liǎng chuàn。 1957 nián， zhōng guó shù xué jiā qín yuán xūn hé pú fù jīn jù tǐ gěi chū liǎo n＝ 2 de fāng chéng jù yòu zhì shǎo 3 gè chéng chuàn jí xiàn huán de shí lì。 1978 nián， zhōng guó de shǐ sōng líng zài qín yuán xūn、 huá luó gēng de zhǐ dǎo xià， yǔ wáng míng shū fēn bié jǔ chū zhì shǎo yòu 4 gè jí xiàn huán de jù tǐ lì zǐ。 1983 nián， qín yuán xūn jìn yī bù zhèng míng liǎo 'èr cì xì tǒng zuì duō yòu 4 gè jí xiàn huán， bìng qiě shì（ 1， 3） jié gòu， cóng 'ér zuì zhōng dì jiě jué liǎo 'èr cì wēi fēn fāng chéng de jiě de jié gòu wèn tí， bìng wéi yán jiū xī 'ěr bó tè dì（ 16） wèn tí tí gōng liǎo xīn de tú jìng。
（ 17） bàn zhèng dìng xíng shì de píng fāng hé biǎo shì。
shí xì shù yòu lǐ hán shù f(x1,…， xn) duì rèn yì shù zǔ（ x1，… ,xn） dū héng dà yú huò děng yú 0， què dìng f shì fǒu dōunéng xiě chéng yòu lǐ hán shù de píng fāng hé？ 1927 nián 'ā tíng yǐ kěn dìng dì jiě jué。
（ 18） yòng quán děng duō miàn tǐ gòu zào kōng jiān。
dé guó shù xué jiā bǐ bèi 'ěr bā hè（ Bieberbach） 1910 nián， lāi yīn hā tè（ Reinhart） 1928 nián zuò chū bù fēn jiě jué。
（ 19） zhèng zé biàn fēn wèn tí de jiě shì fǒu zǒng shì jiě xī hán shù？
dé guó shù xué jiā bó 'ēn sī tǎn（ Bernrtein， 1929） hé sū lián shù xué jiā bǐ dé luó fū sī jī（ 1939） yǐ jiě jué。
（ 20） yán jiū yī bān biān zhí wèn tí。
cǐ wèn tí jìn zhǎn xùn sù， jǐ chéng wéi yī gè hěn dà de shù xué fēn zhī。 rì qián hái zài jì dú fā zhǎn。
（ 21） jù yòu gěi dìng qí diǎn hé dān zhí qún de Fuchs lèi de xiàn xìng wēi fēn fāng chéng jiě de cún zài xìng zhèng míng。
cǐ wèn tí shǔ xiàn xìng cháng wēi fēn fāng chéng de dà fàn wéi lǐ lùn。 xī 'ěr bó tè běn rén yú 1905 nián、 lè 'ěr（ H.Rohrl） yú 1957 nián fēn bié dé chū zhòng yào jiēguǒ。 1970 nián fǎ guó shù xué jiā dé lì niè（ Deligne） zuò chū liǎo chū sè gòng xiàn。
（ 22） yòng zì shǒu hán shù jiāng jiě xī hán shù dān zhí huà。
cǐ wèn tí shè jí jiān shēn de lí màn qū miàn lǐ lùn， 1907 nián kè bó（ P.Koebe） duì yī gè biàn liàng qíng xíng yǐ jiě jué 'ér shǐ wèn tí de yán jiū huò zhòng yào tū pò。 qí tā fāng miàn shàng wèi jiě jué。
（ 23） fā zhǎn biàn fēn xué fāng fǎ de yán jiū。
zhè bù shì yī gè míng què de shù xué wèn tí。 20 shì jì biàn fēn fǎ yòu liǎo hěn dà fā zhǎn。 | | 1. yǐ xī 'ěr bó tè mìng míng de shù xué míng cí duō rú niú máo， yòu xiē lián xī 'ěr bó tè běn réndōu bù zhī dào。 bǐ rú yòu yī cì xī 'ěr bó tè céng wèn xì lǐ de tóng shì“ qǐng wèn shénme jiào zuò xī 'ěr bó tè kōng jiān？”
2.1916 nián， āi mǐ · nuò tè zhè wèi zhuó yòu cái huá de qīng nián fù nǚ lái dào gē tíng gēn dà xué。 xī 'ěr bó tè duì tā de xué shí bèi jiā xīn shǎng， lì jí jué dìng ràng tā liú xià lái dāng jiǎng shī， fǔ zhù xiāng duì lùn de yán jiū gōng zuò。 dàn dāng shí qí shì fù nǚ de xiàn xiàng xiāng dāng yán zhòng， xī 'ěr bó tè de jiàn yì zāo dào yǔ yán xué、 lì shǐ xué děng jiào shòu men de qiáng liè fǎn duì。 xī 'ěr bó tè pāi 'àn 'ér qǐ， dà shēng jí hū：“ xiān shēng men， zhè lǐ shì xué xiào， bù shì zǎo táng！” yú shì yīn cǐ jī nù liǎo tā de duì shǒu， xī 'ěr bó tè duì cǐ bùwèi suǒ dòng， yì rán jué dìng ràng nuò tè yǐ zì jǐ de míng yì dài kè。 |
|
|