弦切角定理
定義弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的一半. (弦切角就是切綫與弦所夾的角）
弦切角定理證明
證明：設圓心為O，連接OC，OB，OA。過點A作TP的平行綫交BC於D，
則∠TCB=∠CDA
∵∠TCB=90-∠OCD
∵∠BOC=180-2∠OCD
更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB
證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切綫，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.
求證：.
證明：分三種情況：
（1） 圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑，AB切⊙O於A，
∴弧CmA=弧CA
∵為半圓,
∴,
∴.
（2） 圓心O在∠BAC的內部.
過A作直徑AD交⊙O於D,
那麽
.
（3） 圓心O在∠BAC的外部,
過A作直徑AD交⊙O於D
那麽
.
∴.
由弦切角定理可以得到：
推論：弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角.
應用舉例
例1：如圖，在中，,,，以AB為弦的⊙O與AC相切於點A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長.
解：連結OA，OB.
∵在中, ∠C=Rt∠
∴∠BAC=30°
∵ （弦切角定理）
∴∠AOB=60°
又∵AO=BO
∴為等邊三角形
∴AO=AB=BO=2BC
∴BC=1/2a
例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分綫，經過點A的⊙O與BC切於點D，與AB，AC分別相交於E，F.
求證：EF∥BC.
證明：連DF.
AD是∠BAC的平分綫 ∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC於D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如圖，ΔABC內接於⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB於D，MN切⊙O於C，
求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
證明：∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O於C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD. |