sheying jihexue
射影幾何學
projective geometry
研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換不變的性質。一度也叫做投影幾何學，在經典幾何學中，射影幾何處於一種特殊地位，通過它可以把其他一些幾何聯繫起來。
擴大空間和射影空間 在一個歐氏（或仿射）平面上，兩條直綫一般相交於一點，但有例外，平行綫不相交。這種例外，使某些定理顯得復雜。為了排除這種例外，在每條直綫上添上一個理想點，叫做無窮遠點，並假定平行直綫相交於無窮遠點。添上無窮遠點的直綫叫做擴大直綫，它是閉的，象圓周那樣，去掉它上面一點，不會使它分成兩截。再假定不平行的直綫有不同的無窮遠點，這樣，平面上一切無窮遠點的集合就叫做無窮遠（直）綫，而添上無窮遠綫之後的平面就叫做擴大平面。擴大平面也是閉的，去掉它上面一條直綫，不會使它分成兩塊。
同樣，三維歐氏（或仿射）空間中一切無窮遠點的集合叫做無窮遠（平）面。添上無窮遠面後的空間叫做擴大空間，它也是閉的。在擴大空間，不但平行直綫交於一個無窮遠點,而且平行平面交於一條無窮遠直綫,一條非無窮遠直綫和一個與它平行的平面交於一個無窮遠點。
如果再進一步，把無窮遠元素（點、綫、面）和非無窮遠元素平等看待，不加區別，擴大空間就叫做射影空間。同樣，從擴大直綫和擴大平面可以得到射影直綫和射影平面。在射影空間裏，平行的概念消失了：兩條共面直綫或一個平面和一條直綫總相交於一點，兩個平面總相交於一條直綫；此外,每兩點總决定一條直綫,每三個不共綫點總决定一個平面，等等。
齊次坐標 為了能用代數方法來處理射影(或擴大)空間的幾何問題，需要引進齊次坐標（有時還引進射影坐標）。
仍從歐氏（或仿射）平面開始。設在平面上已經建立了以□為原點的直角（或仿射）坐標係，(□,□)為一點□ 的坐標。令□則比值□0:□1:□2完全確定□ 的位置,(□0,□1,□2)就叫做□的齊次（笛氏）坐標。原點的齊次坐標顯然可以寫成(1,0,0)。設□不是原點□,則□1,□2不同時等於零；再令□1,□2固定,而令□00接近，則□點沿一條經過□而斜率為□2:□1的直綫□嚮遠方移動。設□表示擴大直綫□上的無窮遠點，則可以認為，當□0趨於□ 時,□趨於□。因此,可以把(0,□1,□2)作為□的齊次坐標，特殊地，(0,1,0)和(0,0,1)依次是□軸和□ 軸上無窮遠點的齊次坐標。這樣,每一組不同時為零的三個數□0,□1,□2 都是擴大平面上一點的齊次坐標，而若□ 為不等於零的數，則(□□0,□□1,□□2)和(□0,□1,□2)代表同一點，下面引進記號(□)=(□0,□1,□2),□(□)=(□□0,□□1,□□2)。
設□ (□1,□2不都是0)是歐氏（或仿射）平面上一條直綫的方程。在用齊次坐標表示時，它可以寫成
□， (1)這也就是擴大直綫的齊次方程，這直綫上的無窮遠點是(0,□2,-□1)。擴大平面上的無窮遠直綫方程顯然可以寫成□0=0。這樣，每一個齊次綫性方程都代表擴大平面上一條直綫。由於比值□0:□1:□2完全確定直綫,(□)=(□0,□1,□2)就叫做（齊次）綫坐標。為了區別兩種齊次坐標,上面引進的(□)＝(□0,□1,□2)就叫做（齊次）點坐標。方程(1)叫做點(□)和綫(□)的關聯條件或接合（即(□)在(□)上，或(□)經過(□)）條件。
當不區別無窮遠元素和非無窮遠元素，使擴大平面成為射影平面時，(□)和(□)就依次成為射影平面上的齊次點坐標和綫坐標，它們都可以看作射影坐標的特款。
與此類似,可以得到擴大或射影直綫上的點坐標(□)=(□0，□1)以及擴大或射影空間的點坐標(□)=(□0,□1,□2,□3)和面坐標 |