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| 如果ak＝b（a＞o，a≠1），k就叫做以a为底的b的对数，记作logab＝k。其中a叫做底数，简称底；b叫做真数。 |
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| 为使某数等于一给定数而必须取的乘幂的幂指数。数学名词 |
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| 数学名词。根据对数的基本性质，可把乘、除、乘方、开方的运算分别以加、减、乘、除来代替。以10为底的对数称为常用对数，简记为lgb。以超越数e(＝2.71828…)为底的对数，称为自然对数，简记为lnb。 |
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英语名词：logarithms
如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。
log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。 |
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定义：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
推导
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、与（3）类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、与（3）类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完） |
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1.对数函数的图象都过(1,0)点.
2.对于y=log(a)(n)函数,
①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=-1.
②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称. |
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性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
推导如下：
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下：
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数
log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1
在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。
100以内的对数表
log0123456789100000004300860128017002120253029403340374110414045304920531056906070645068207190755120792082808640899093409691004103810721106131139117312061239127113031335136713991430141461149215231553158416141644167317031732151761179018181847187519031931195919872014162041206820952122214821752201222722532279172304233023552380240524302455248025042529182553257726012625264826722695271827422765192788281028332856287829002923294529672989203010303230543075309631183139316031813201213222324332633284330433243345336533853404223424344434643483350235223541356035793598233617363636553674369237113729374737663784243802382038383856387438923909392739453962253979399740144031404840654082409941164133264150416641834200421642324249426542814298274314433043464362437843934409442544404456284472448745024518453345484564457945944609294624463946544669468346984713472847424757304771478648004814482948434857487148864900314914492849424955496949834997501150245038325051506550795092510551195132514551595172335185519852115224523752505263527652895302345315532853405353536653785391540354165428355441545354655478549055025514552755395551365563557555875599561156235635564756585670375682569457055717572957405752576357755786385798580958215832584358555866587758885899395911592259335944595559665977598859996010406021603160426053606460756085609661076117416128613861496160617061806191620162126222426232624362536263627462846294630463146325436335634563556365637563856395640564156425446435644464546464647464846493650365136522456532654265516561657165806590659966096618466628663766466656666566756684669367026712476721673067396749675867676776678567946803486812682168306839684868576866687568846893496902691169206928693769466955696469726981506990699870077016702470337042705070597067517076708470937101711071187126713571437152527160716871777185719372027210721872267235537243725172597267727572847292730073087316547324733273407348735673647372738073887396557404741274197427743574437451745974667474567482749074977505751375207528753675437551577559756675747582758975977604761276197627587634764276497657766476727679768676947701597709771677237731773877457752776077677774607782778977967803781078187825783278397846617853786078687875788278897896790379107917627924793179387945795279597966797379807987637993800080078014802180288035804180488055648062806980758082808980968102810981168122658129813681428149815681628169817681828189668195820282098215822282288235824182488254678261826782748280828782938299830683128319688325833183388344835183578363837083768382698388839584018407841484208426843284398445708451845784638470847684828488849485008506718513851985258531853785438549855585618567728573857985858591859786038609861586218627738633863986458651865786638669867586818686748692869887048710871687228727873387398745758751875687628768877487798785879187978802768808881488208825883188378842884888548859778865887188768882888788938899890489108915788921892789328938894389498954896089658971798976898289878993899890049009901590209025809031903690429047905390589063906990749079819085909090969101910691129117912291289133829138914391499154915991659170917591809186839191919692019206921292179222922792329238849243924892539258926392699274927992849289859294929993049309931593209325933093359340869345935093559360936593709375938093859390879395940094059410941594209425943094359440889445945094559460946594699474947994849489899494949995049509951395189523952895339538909542954795529557956295669571957695819586919590959596009605960996149619962496289633929638964396479652965796619666967196759680939685968996949699970397089713971797229727949731973697419745975097549759976397689773959777978297869791979598009805980998149818969823982798329836984198459850985498599863979868987298779881988698909894989999039908989912991799219926993099349939994399489952999956996199659969997499789983998799919996 |
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对数方法是苏格兰的 Merchiston 男爵约翰·纳皮尔1614年在书《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公开提出的，(Joost Bürgi 独立的发现了对数；但直到 Napier 之后四年才发表)。这个方法对科学进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。
约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔/约翰·内皮尔（John Napier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。
Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。
年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。
他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。
纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则（"纳皮尔圆部法则"）和解球面非直角三角形的两个公式——"纳皮尔比拟式"，以及做乘除法用的"纳皮尔算筹"。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。 |
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对数
logarithm
对数〔l嗯附助.;哪即。恤]，数N以“为底的
为使之等于N，数a(对数的底(加义of此bg-
面山m))必须取的幂指数m，记作fog。N;这表明
m=los。N意味着a曰=N.对每个正数N和给定的
底a>0，a护1，对应唯一的实对数(负数的对数是
复数).对数的主要性质是:
1og，(MN)=log。M+log。N，
M
log。子=1og口M一log。N，
一。aN一口口-一“a-，
1Og。N无=klog。N，
，二。N’“一责los·“
这些性质使得把数的乘法和除法简化为对数的加法和
减法，把数的幂与开方简化为幂或根的指数乘、除对
数成为可能.
适应于十进数制，最常用的对数是十进对数(a二
ro)，记作lgN.对于不等于10人(k为整数)的有
理数，其十进对数是超越数(仃田咫cen(业ntal甘Lnnber)，
它可用有限十进分数近似表示.十进对数的整数部分
称为它的首数(eharacte山tie)，小数部分称为它的尾
数(服n往资a).由于fog(10“N)=k+lgN，所以相
互之比为10“的不同的数的十进对数具有相同的尾
数，它们之间只是首数不同.这一性质是制作对数表
的基础，对数表中只列出整数的对数的尾数.
自然对数伽成切旧!】。，石山m)也具有很大意义，
其底是超越数e=2.71828…;记作InN.从一个底
的对数向另一个底的对数的转换公式是los。N=
109。N/109。执其中的因子1/105。b称为从底a到底
b的换底模(湘记川璐oftra斑ition).自然对数与十进
对数之间的转换公式是:
，__、:_l只N，、，hN
hiN=书于，lgN二书拎，
lge’~一In 10
言一2.302，一击一0·~‘’二
亦见对数函数(10步币山而c fun ction).B。一3
【补注】西方写作微积分后续课程的数学家几乎总是
用IosN来代替inN以表示N的自然对数(底为
e).数e由e=恤。_。(l+l/。)·和e=艺篡。l/n!给
出(见e(数)(e(ntllnber))).
另一方面，微积分和微积分预备教材的作者以及
计算器制造厂家总是用logN表示十进对数(常用对
数)，用inN表示自然对数.亦见对数函数(10断tri-
山r面c丘metion).沈永欢译 |
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我们先考虑函数 y=ln (1+x)，则有dy/dx=1/(1+x)
因而∫下限0 上限u 1/（1+x）dx=ln (1+u)-ln 1=ln （1+u） (1)
把(1)展开为几何级数为1/（1+u）=1-u+u^2-u^3+……+（-1)^(n-1)*u^(n-1)+(-1)^n*u^n/(1+u).
注意这不是无穷级数。
将其带入（1），利用逐项积分的法则，得到
ln (1+u)=u-1/2*u^2+1/3*u^3-1/4*u^4+……+(-1)^(n-1)*1/n*u^n+Tn （2）
这里Tn=(-1)^n*∫下限0 上限u x^n /(1+x) dx
我们看到，只要u∈（-1，1］，那么n递增时Tn趋于0. 因此，我们得到在u∈（-1，1]成立的无穷级数
ln (1+u)=u-1/2*u^2+1/3*u^3-1/4*u^4+……
这个级数实际应用时无多大意义，因为它收敛的太慢，且仅能计算0到2之间的对数值。但是我们可以用-u代替u，则
ln (1-u)=-u-1/2*u^2-1/3*u^3-1/4*u^4+……
再利用公式ln a-ln b =ln (a/b)
得到ln ((1+u)/(1-u)) = 2(u+1/3*u^3+1/5*u^5+1/7*u^7+……）（3）
这个级数不仅收敛的快得多，且对于任意正数z 总有一个在（-1，1］之间的解u，使得((1+u)/(1-u))=z
作为一个例子，可以用（3）计算 ln 3，令u=0.5，则
ln 3 =2(1/(1*2)+1/(3*2^3)+1/(5*2^5)+1/(7*2^7)+1/(9*2^9)+……)
只取前6项，另最后一项为2/(11*2^11),求得ln 3=1.0986,精确到五位数 |
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- n.: logarithm, logarithms, log
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