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一個數如果是另一個整數的完全平方，那麽我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質：
性質1：完全平方數的末位數衹能是0,1,4,5,6,9。
性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。
證明 奇數必為下列五種形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分別平方後，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9；十位數字為偶數。
性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。
證明 已知=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。則
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k為奇數。
推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麽這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
性質4：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。
這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性質5：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。
在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數；由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。
性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。
因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。平方後，分別得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。
性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面關於個位數，十位數和餘數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題：
一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。
下面以四位數為例來說明這個命題。
設四位數為，則
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然，a+b+c+d是四位數被9除的餘數。
對於n位數，也可以仿此法予以證明。
關於完全平方數的數字和有下面的性質：
性質9：完全平方數的數字之和衹能是0,1,4,7,9。
證明 因為一個整數被9除衹能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質：
性質10：為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。
證明 充分性：設b為平方數，則
==(ac)
必要性：若為完全平方數，=，則
性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。
證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。
性質12：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若
n^2 < k^2 < (n+1)^2
則k一定不是完全平方數。
性質13：一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。
(二)重要結論
1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數；
2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；
3.個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；
4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；
5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；
6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數；
8.數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。
(三)範例
[例1]：一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得
x-45=m^2;(1)
x+44=n^2 (2)
(m,n為自然數)
(2)-(1)可得 :
n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89
因為n+m>n-m
又因為89為質數，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。
[例2]：求證：四個連續的整數的積加上1，等於一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。
分析 設四個連續的整數為，其中n為整數。欲證
是一奇數的平方，衹需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。
證明 設這四個整數之積加上1為m，則
而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數；又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。
[例3]：求證：11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(1972年基輔數學競賽題)。
分析 形如的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的平方，即
或
在兩端同時減去1之後即可推出矛盾。
證明 若，則
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
若，則
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
綜上所述，不可能是完全平方數。
另證 由為奇數知，若它為完全平方數，則衹能是奇數的平方。但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。
[例4]：試證數列49,4489,444889, 的每一項都是完全平方數。
證明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+12+1
=(6+1)
即為完全平方數。
[例5]：用300個2和若幹個0組成的整數有沒有可能是完全平方數？
解：設由300個2和若幹個0組成的數為a，則其數字和為600
3｜600 ∴3｜a
此數有3的因數，故9｜a。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方數。
[例6]：試求一個四位數，它是一個完全平方數，並且它的前兩位數字相同，後兩位數字也相同(1999小學數學世界邀請賽試題)。
解：設此數為
此數為完全平方，則必須是11的倍數。因此11｜a + b，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。
直接驗算，可知此數為7744=88。
[例7]：求滿足下列條件的所有自然數：
(1)它是四位數。
(2)被22除餘數為5。
(3)它是完全平方數。
解：設，其中n,n為自然數，可知n為奇數。
11｜n - 4或11｜n + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然數為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：甲、乙兩人合養了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完後，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最後，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖衝之杯”初中數學邀請賽試題)？
解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數個10元，即完全平方數的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6。所以，的末位數字為6，即乙最後拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。
[例9]：矩形四邊的長度都是小於10的整數(單位：公分)，這四個長度數可構成一個四位數，這個四位數的千位數字與百位數字相同，並且這四位數是一個完全平方數，求這個矩形的面積(1986年縉雲杯初二數學競賽題)。
解：設矩形的邊長為x,y，則四位數
∵n是完全平方數，11為質數 ∴x+y能被11整除。
又 ,得x+y=11。
∴∴9x+1是一個完全平方數，而，驗算知x=7滿足條件。又由x+y=11得。
[例10]：求一個四位數，使它等於它的四個數字和的四次方，並證明此數是唯一的。
解：設符合題意的四位數為，則，∴為五位數，為三位數，∴。經計算得，其中符合題意的衹有2401一個。
[例11]：求自然數n，使的值是由數字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。
解：顯然，。為了便於估計，我們把的變化範圍放大到，於是，即。∵，∴。
另一方面，因已知九個數碼之和是3的倍數，故及n都是3的倍數。這樣，n衹有24,27,30三種可能。但30結尾有六個0，故30不合要求。經計算得
故所求的自然數n = 27。
(四)討論題
1.(1986年第27屆imo試題)
設正整數d不等於2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方數。
2.求k的最大值 |