数学与应用数学 > 完全平方数
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No. 1
完全平方数
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  (一)完全平方数的性质
  一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。例如:
  0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
  观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:
  性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
  性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。
  证明 奇数必为下列五种形式之一:
  10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
  分别平方后,得
  (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
  (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
  (10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
  (10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
  (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
  综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
  性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
  证明 已知=10k+6,证明k为奇数。因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。则
  10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
  或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
  即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
  或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
  ∴ k为奇数。
  推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数
  推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。
  性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
  这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
  (2k)=4
  性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
  在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
  性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。
  因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2。平方后,分别得
  (3m)=9=3k
  (3m+1)=9+6m+1=3k+1
  (3m+2)=9+12m+4=3k+1
  同理可以得到:
  性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。
  性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
  除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题:
  一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
  下面以四位数为例来说明这个命题。
  设四位数为,则
  = 1000a+100b+10c+d
  = 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
  = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
  显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数。
  对於n位数,也可以仿此法予以证明。
  关於完全平方数的数字和有下面的性质:
  性质9:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
  证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式,而
  (9k)=9(9)+0
  (9k±1)=9(9±2k)+1
  (9k±2)=9(9±4k)+4
  (9k±3)=9(9±6k)+9
  (9k±4)=9(9±8k+1)+7
  除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:
  性质10:为完全平方数的充要条件是b为完全平方数
  证明 充分性:设b为平方数,则
  ==(ac)
  必要性:若为完全平方数,=,则
  性质11:如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数
  证明 由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数
  性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若
  n^2 < k^2 < (n+1)^2
  则k一定不是完全平方数
  性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
  (二)重要结论
  1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数
  2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数
  3.个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数
  4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数
  5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数
  6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数
  7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数
  8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数
  (三)范例
  [例1]:一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
  解:设此自然数为x,依题意可得
  x-45=m^2;(1)
  x+44=n^2 (2)
  (m,n为自然数)
  (2)-(1)可得 :
  n^2-m^2=89或: (n-m)(n+m)=89
  因为n+m>n-m
  又因为89为质数,
  所以:n+m=89; n-m=1
  解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
  [例2]:求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
  分析 设四个连续的整数为,其中n为整数。欲证
  是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
  证明 设这四个整数之积加上1为m,则
  而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
  [例3]:求证:11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
  分析 形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即
  或
  在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
  证明 若,则
  因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
  若,则
  因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
  综上所述,不可能是完全平方数
  另证 由为奇数知,若它为完全平方数,则只能是奇数的平方。但已证过,奇数的平方其十位数字必是偶数,而十位上的数字为1,所以不是完全平方数
  [例4]:试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数
  证明
  =
  =++1
  =4+8+1
  =4()(9+1)+8+1
  =36 ()+12+1
  =(6+1)
  即为完全平方数
  [例5]:用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数
  解:设由300个2和若干个0组成的数为a,则其数字和为600
  3|600 ∴3|a
  此数有3的因数,故9|a。但9|600,∴矛盾。故不可能有完全平方数
  [例6]:试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。
  解:设此数为
  此数为完全平方,则必须是11的倍数。因此11|a + b,而a,b为0,1,2,9,故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
  直接验算,可知此数为7744=88。
  [例7]:求满足下列条件的所有自然数:
  (1)它是四位数。
  (2)被22除余数为5。
  (3)它是完全平方数
  解:设,其中n,n为自然数,可知n为奇数。
  11|n - 4或11|n + 4
  或
  k = 1
  k = 2
  k = 3
  k = 4
  k = 5
  所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
  [例8]:甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。为了平均分配,甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?
  解:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。
  [例9]:矩形四边的长度都是小于10的整数(单位:公分),这四个长度数可构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数是一个完全平方数,求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
  解:设矩形的边长为x,y,则四位数
  ∵n是完全平方数,11为质数 ∴x+y能被11整除。
  又 ,得x+y=11。
  ∴∴9x+1是一个完全平方数,而,验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。
  [例10]:求一个四位数,使它等於它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的。
  解:设符合题意的四位数为,则,∴为五位数,为三位数,∴。经计算得,其中符合题意的只有2401一个。
  [例11]:求自然数n,使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。
  解:显然,。为了便于估计,我们把的变化范围放大到,於是,即。∵,∴。
  另一方面,因已知九个数码之和是3的倍数,故及n都是3的倍数。这样,n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0,故30不合要求。经计算得
  故所求的自然数n = 27。
  (四)讨论题
  1.(1986年第27届imo试题)
  设正整数d不等于2,5,13,求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b,使得ab -1不是完全平方数
  2.求k的最大值
包含词
完全平方数之差