| | 1849年，波林那克提出孪生素数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。
孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的倒数和为:
s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:
b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...
如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数.
1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。
若用p(x)表示小于 x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况:
x p(x)
1000 35
10000 205
100000 1224
1000000 8169
10000000 58980
100000000 440312
1000000000 3424506
10000000000 27412679
100000000000 224376048
迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润 (顺便说一下，美国数学学会在介绍 goldston 和 yildirim 成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是 “伟大的中国数学家陈”) 利用筛法 (sieve method) 所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果和他关于 goldbach 猜想的结果很类似。目前一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。
证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的，goldston 和 yildirim 所取得的结果也属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：
Δ := limn→∞inf[(pn+1-pn)/ln(pn)]
翻译成白话文，这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很显然孪生素数猜想如果成立，那么 Δ 必须等于 0，因为孪生素数猜想表明 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立，而 ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合 (从而对于整个素数集合也) 趋于零。不过要注意 Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件。换句话说如果能证明 Δ≠0 则孪生素数猜想就不成立，但证明 Δ=0 却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。
对于 Δ 最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的 x, 在 x 附近素数出现的几率为 1/ln(x)，这表明素数之间的平均间隔为 ln(x) (这也正是 Δ 的表达式中出现 ln(pn) 的原因)，从而 (pn+1-pn)/ln(pn) 给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为 1。平均值为 1，最小值显然是小于等于 1，因此素数定理给出 Δ≤1。
对 Δ 的进一步估算始于 hardy 和 littlewood。一九二六年，他们运用圆法 (circle method) 证明了假如广义 riemann 猜想成立，则 Δ≤2/3。这一结果后来被被 rankin 改进为 Δ≤3/5。但是这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义 riemann 猜想，因此只能算是有条件的结果。一九四零年，erd鰏利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ<1 (即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了)。此后 ricci 于一九五五年， bombieri 和 davenport 于一九六六年，huxley 于一九七七年， 分别把这一结果推进到 Δ≤15/16， Δ≤(2+√3)/8≈0.4665 及 Δ≤0.4425。 goldston 和 yildirim 之前最好的结果是 maier 在一九八六年取得的 Δ≤0.2486。
以上这些结果都是在小数点后做文章， goldston 和 yildirim 的结果把这一系列的努力大大推进了一步，并且 - 如果得到证实的话 - 将在一定意义上终结对 Δ 进行数值估算的长达几十年的征途，因为 goldston 和 yildirim 证明了 Δ=0。当然如我们前面所说，Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件，而非充份条件，因此 goldston 和 yildirim 的结果离最终证明孪生素数猜想还远得很，但它无疑是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。
一旦 Δ=0 被证明，人们的注意力自然就转到了研究 Δ 趋于 0 的方式上来。孪生素数猜想要求 Δ ~ [log(pn)]-1 (因为 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立)。 goldston 和 yildirim 的证明给出的是 Δ ~ [log(pn)]-1/9，两者之间还有相当距离。但是看过 goldston 和 yildirim 手稿的一些数学家认为 goldston 和 yildirim 所用的方法明显存在改进的空间，也就是说对 Δ 趋于 0 的方式可以给出更强的估计。因此 goldston 和 yildirim 的证明其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。这种系列研究对于数学来说有着双重的价值，因为一方面这种研究所获得的新结果是对数学的直接贡献，另一方面这种研究对 goldston 和 yildirim 的证明会起到反复推敲和核实的作用。现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。以前四色定理和 fermat 大定理都曾有过一个证明时隔几年 (甚至十几年) 才被发现错误的例子。因此一个复杂的数学结果能够成为进一步研究的起点，吸引其它数学家的参与对于最终判定该结果的正确性具有极其正面的意义。 | | 1849年，波林那克提出孪生素数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。
孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。
1900年希尔伯特在国际数学家大会上说有了素数公式，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。刚刚去世的浙江大学沈康身教授也认为
有了素数普遍公式，就可以解决大多数数论难题。
孪生素数是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中未解决的一个重要问题。哈代-李特尔伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素数定理中描述的素数分布规律相类似。
公式的出处 | | 孪生素数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理：“若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号(Q+2)的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为相差2的孪生素数。这一句话可以用公式表达：
Q=p1m1+b1=p2m2+b2=....=pkmk+bk . (1)
其中p1，p2，...，pk表示顺序素数2，3，5，....。b≠0， b≠pi-2。(即最小剩余不能是0和pi-2.。不能是2m，3m，5m，...，pkm形，不能是3m+1，5m+3，7m+5，....，pkm-2形）。若Q〈P（k+1)平方减2 [注：（k+1)是脚标]，则Q与Q+2是一对孪生素数。
例如，29，29和29+2不能被不大于根号（29+2）的任何素数2，3，5整除，29=2m+1=3m+2=5m+4， 29〈49-2(即7的平方减2）所以29与29+2是一对孪生素数。
上式可以用同余式组表示：
Q≡b1(modp1)，Q≡b2(modp2)，...，Q≡bk(modpk)。(2)。
由于（2）式的模p1，p2，...，pk两两互素，根据孙子（中国剩余）定理，对于给定的b值,（2）式在p1p2...pk范围内有唯一的解。例如29，
29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29≡4(mod5)。29小于7的平方减2，即49-2。所以29是一个素数。29在2×3×5=30范围内有唯一解。
例如，k=1时，Q=2 m+1，解得Q=3和5，5<3的平方减2，得知3与3+2，5与5+2是两对孪生素数。从而得到了3至3的平方区间的全部孪生素数。k=2时，Q=2m+1=3m+2。解得Q=5，11，17。17<5的平方减2，得知11与11+2，17与17+2是孪生素数对，从而得到5至5的平方区间的全部孪生素数。
k=3时，
*********************|----5m+1-----|-5m+2-|-5m+4-|
---------------------------------------------------------|
Q=2m+1=3m+2=|-11-，-41-；|---17---|---29---|
---------------------------------------------------------|
从而求得了7至7的平方区间的全部孪生素数对。
k=4,时，解得：
******************************|-7m+1-|-7m+2-|-7m+3-|-7m+4-|-7m+6-|
Q=2m+1=3m+2=5m+1=|---71---|--191--|--101---|---11--|----41--|
Q=2m+1=3m+2=5m+2=|--197--|--107--|---17----|--137--|--167--|
Q=2m+1=3m+2=5m+4=|---29--|--149--|----59----|--179--|--209--|
---------------------------------------------------------------------------------------
求得了11至11平方区间的全部解。
仿此下去，可以求得任意给定的数以内的全部孪生素数，并且一个不漏地得到。
注意，在k≥4时，利用表格，我们不需要通过计算，或者埃拉托赛尼筛法求得解，而是只要填写即可。表格的数字十分有规律。人类已经不依赖埃氏筛。可以通过组装或者克隆素数。这对大数密码是一个强烈的冲击。
由于b≠0,（1）（2）式的本质就是从p1p2p3....pk中筛去p1m，p2m，...，pkm形的数k次;；由于b≠pi-2，(1)(2)式是从p1p2p3...pk中筛去p1m-2，p2m-2，p3m-2，....，pkm-2形的数k次，共筛2k次。
孪生素数猜想就是要证明（1）式或者（2）式在k值任意大时都有小于p{k+1)平方减2的解。详细情况可以参见“百度百科”词条“孪生素数普遍公式”，以及“素数普遍公式”。利用（1）（2）式证明孪生素数猜想变得十分容易，希尔伯特等数学家都是这样认为的.
根据孙子定理得知，（1）（2）式在p1p2p3...pk范围内有：
(2-1)×(3-2)×(5-2)×....×(pk-2)。（3）
个解。（p后面的1，2，3，...，k是脚标）。
孪生素数的筛法就是在埃拉托塞尼的筛后再筛去pm-2型的数。 | | 孪生素数猜想就是要证明K值任意大时（1) 式（2）式都有小于pk平方的解。有了这个孪生素数普遍公式，证明孪生素数问题就像做一道中学数学题一样容易。
这是希尔伯特说的，因为孪生素数公式把孪生素数猜想转化成一个初等数论问题。事实上也是这样。例如，
假设最后一对孪生素数是59与61，那么对于下式：
Q=2m+b1=3m+b2=5m+b3=....=53m+b16=59m+b17=61m+b18. （4）
(61是第18个素数)。
来说，就没有小于67平方减2的解。b≠0， b≠pi-2。若Q<67-2，则Q与Q+2是一对孪生素数。（4）式可用同于式组表示：
Q≡1（mod2)，Q≡2(mod3)，...，Q≡b17(mod59)，Q≡b18(mod61)。（5）
根据孙子定理，（4）式（5）式共有：
（2-1）×（3-2）×（5-2）×（7-2）×........×（59-2）×（61-2）。（6）
个解。
注意（4）式，Q与(Q+2)与2，3，5，.......，53，59，61互素。并且大于2，3，5，.......，53，59，61。如果Q<67的平方减2，则Q与（Q+2）
是一对大于61的孪生素数。既然我们已经假设了最大的孪生素数是59与61，那么（4）（5）式肯定没有小于67的平方减2的解，如果Q小于67平方减2，则Q与（Q+2）是一对孪生素数。
可以分为几个步骤证明：
（1）：我们将2×3×5×7×....×53×59×61按59×61划分为一个区间：
[1，59×61]，[59×61+1，2×59×61]，...,，[（2×3×5X...X59×61）-（59×61）+1，2×3×5×....×59×61]。
共有2×3×5×....×53个区间。因为（4）（5）式的本质是从2×3×5×...×53×59×61范围内筛去 2m，3m，5m，...，53m，59m，61m形的数(筛k次）和2m-2，3m-2，5m-2，7m-2，...，53m-2，59m-2，61m-2形的数(筛k次）共2k次。
（2）：既然67平方内没有解，我们只要证明：如果第一区间[1，59×61]无解，即67平方减2内无解，（因为59×61<67平方减2），[也就是（4）（5）式在pk的平方内无解]。其它区间解的数目就不会超过2k个（此时k=18,，61是第18个素数)。（见下面的“引理”）。
（3）：[（2×3×5×…×47×53）×2×18]<[（2-1）×（3-2）×（5-2）×…×（59-2）×（61-2）]。
一一对应：右式在上，左式在下，(61-2)对应(2x18)，(59-2)对应53，(53-2)对应47，(47-2）对应43，（43-2）对应41，（41-2）对应37。
[(2-1)X(3-2)X(5-2)X(7-2)X(11-2)X(13-2)X(17-2)X.....X(37-2)X(41-2)X(43-2)X(47-2)X(53-2)X(59-2)X(61-2)]
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------->2
[2X3X5X7X11X13X17X19X23X29X31X37X41X43X47X53X(2×18)]。
前面：
（2-1)X(3-2)X(5-2)X(7-2)X(11-2)X(13-2)X(17-2)X(19-2)X(23-2)X(29-2)X(31-2)X(37-2)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------=1.086
2x3x5x7x11x13x17x19x23x29x31
后面每一项分子大于分母。
由于右式比左式多2项，所以造成：
（4）：每一项都是上端大于下端或者等于下端。造成了下端假设解的数目少于（4）（5）式固有的解（上端的数目（2-1）×（3-2）×（5-2）×....×（53-2）×（59-2）×（61-2），而上端解的数目是根据孙子定理得出的，与孙子定理相矛盾必然是错误的, 所以原先假设最后一对孪生素数是59与61是错误的。。这就是利用抽屉原则这个铁一样的定理，（（2-1）x(3-2)x(5-2)x(7-2)x...x(59-2)x(61-2)就是抽屉，2 x3x5x7x...x53x(2x18)就是信封，信封少于抽屉，至少有抽屉没有装上信封。
（5）这个证明是什么意思呢？就是说，如果假设59与61是最大的孪生素数，那么在（4）（5）式，就没有小于67平方减2的解，即第一区间（1，59×61）内无解，如果第一区间无解，其它区间的解就会少于2k个，即2×18=36个。这样就出现了与假设的矛盾，因为（4）（5）式的解是一个绝对的数目（即（6）式），他是由孙子定理得出的。与孙子定理矛盾显然是错误的，所以假设59与61是最大的孪生素数是不对的。
这个方法的优越性十分明显，可以避免循环论证，每一步都与前面一步有着十分清晰而明确的关系。并且可以直接导回原来的公式。
附：引理：
“任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛K次后被筛数（或者未被筛数）相差不超过K个”。
说明：本筛法与埃拉托赛尼筛法不同，埃氏筛先用2筛，然后把2的倍数剔除掉；再用3筛，又把3的倍数剔除掉；再用5筛，.....。本筛法是已经筛过的数不马上剔除掉，而是做上标记，等全部筛完过后再把筛过的数剔除掉。于是，有一些含有几个不同素因子的数就要被筛几遍，例如“6 ”，就要被“2，”和“3，”各筛一遍。
证明：根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b不等于0，存在唯一整数a和r，（0≤r<b.)。使a=bq+r。”得知，如果从a中筛bm形数，a个连续自然数中，最多含有q+1个bm形数，r个连续自然数中，最多含有一个bm形数。例如，a=35，b=3，35=3x11+2，35个连续自然数中，最多含有11+1=12个3m形数，例如1---35有11个3m形数，36----70有12个3m形数。
现在设某两个区间为A与B，含自然数的个数分别为|A|与|B|，|A|=|B|，下证明p去筛，两区间被筛pm形数（或者未被筛数）个数相差最多不超过1个。由上所述筛法，用顺序素数p1，p2，...，pk依次去筛，两区间每次被筛pm形数（或者未被筛数）个数相差最多不超过1个，故筛k次两区间被筛数(或者未被筛数）个数最多不超过k个。
证法1，设|A|=pm+r，则|B|=pm+r，0≤r<p，即区间A和B中均至少含有m个pm形数，又由于r<p，故r个连续自然数中至多有一个pm形数，即被筛pm形数个数相差不超过1个。
证法2，假若不然，筛k次有两个区间A与B，被筛数相差大于K，比如有K+1个，那会出现什么问题呢？我们问第K+1是个什么（见图），例如A与B用2和3去筛，如果出现了相差3个，第一个记为2m形，第二个记为3m形，问第三个（-？-）是什么形式？（每一个括号表示一个自然数）。
A：（+）。。。（+）；-------------------（-）（-）（-）（-）。。。（-）；
B：（+）。。。（+）（2m)(3m)(-?-)；--------------------（-）。。。（-）；
|---------------已经筛过部分----------------|------------未经筛过部分------------|。
如果第三个（-？-）是2m或者3m形， 显然与除法算式定理矛盾；如果不是2m或者3m形，它就不应该“站在”已经筛过的行列。无论哪一种情况，假设都不能成立。证毕，（如果已经筛过部分A比B多K个，则未筛过部分B比A多k个，这个很好理解，正如一个故事所讲，第一俩车装了40位姑娘，第二俩车装了40位小伙子，停车时第二俩车的一部分小伙子坐上了第一俩车，第一俩车的司机不高兴了，说我只拉40个人，于是两俩车都是40个人，都有姑娘小伙，问：是第一俩车的姑娘多还是第二俩车的小伙子多？答案是显然的；第一俩车的姑娘与第二俩车的小伙子一样多)。
我们可以用公式表示：{|A1|=|A2|=...=|An|}→s(k):|Aj|-|Ai|≤K。
意思是连续自然数相等的区间|A1|，|A2|，....，|An| 筛(用s表示)k次,被筛数或者未被筛数相差不超过k个。即|Aj|-|Ai|≤K。
（注：原来以为这个问题是显然的，哪知，论文发表后，江西省九江市第一中学高三级黄晶晶同学发现必须给与证明，否则就是一个漏洞，给编辑部写信。时间是2002年，后来得知，黄晶晶考入一所著名大学的数学系，经过两年多努力，才完成“任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛k次被筛数（或者未被筛数）相差不大于k个，证法2由美国俄亥俄州威斯理昂大学王蕊珂给出)。
文章的出处 | | （一）引言。
人们在研究相差2的孪生素数时就注意到相差6的孪生素数，发现后者比前者多的多。100以内有8对相差2的孪生素数：3，5；5，7；11，13；17，19；29，31；41，43；59，61；71，73.在100以内有15对相差6的孪生素数：5，11；7，13；11，17；13，19；17，23；23，29；31，37；37，43；47，53；53，59；61，67；67，73；73，79；83，89；。人们不禁要问（1）是否有一个可以表示所有相差6的孪生素数公式？（2）相差6的孪生素数有多少对？（3）为什么相差6的孪生素数比相差2的孪生素数要多？
（二）相差6的孪生素数普遍公式。
有定理“若自然数R与R+6不能被不大于根号（R+6）的任何素数整除，则R与R+6是一对相差6的孪生素数”。这句话可以用公式表达：
R=p1m1+g1=p2m2+g2=.....=pkmk+gk。(7)
其中p1，p2，p3，...，pk表示顺序素数2，3，5，.....。gi不等于0，gi不等于pi-6。若R<p(k+1).平方减6，则R与R+6是一对相差6的孪生素数。（7）式的同于形式：
R≡g1(modp1)，R≡(modp2)，.......，R≡gk(modpk)。(8)
由于（8）式的模两两互素，根据孙子定理得知（8）式在给定g值时在p1p2...pk范围内有唯一解。
例如，k=2时，
R=2m+1=3m+1。解得R=7，13；R=2m+1=3m+2。.解得R=5，11，17.。即7与7+6，13与13+6，5与5+6，11与11+6，17与17+6是相差6的孪生素数。求得了3至5的平方区间的全部解。
例如k=3时，
********************|--5m+1-|--5m+2---|--5m+3-|
R=2m+1=3m+1=|---31---|-7--,--37--|---13---|
R=2m+1=3m+2=|-11-,-41-|----17----|----23---|
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
求得了5至7的平方区间的全部解。
例如k=4时，解得：
*****************************|--7m+2--|--7m+3--|--7m+4--|--7m+5--|--7m+6--|
R=2m+1=3m+1=5m+1=|---121---|---31-----|---151---|---61-----|----181--|
R=2m+1=3m+1=5m+2=|----37----|---157---|-----67---|---187---|-----97---|
R=2m+1=3m+1=5m+3=|----163---|----73---|----193---|---103---|-----13---|
R=2m=1=3m+2=5m+1=|----191---|---101---|-----11---|---131---|----41----|
R=2m+1=3m+2=5m+2=|----107---|----17----|----137---|---47----|----167---|
R=2m+1=3m+2=5m+3=|-----23----|---143---|-----53----|----73---|-----83---|
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
求得了7至11的平方区间的全部解。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部相差6的孪生素数。
（7）（8）式的本质是从p1p2p3....pk中筛去p1m，p2m，p3m，......，pkm形的数(筛k次），和p1m-6，p2m-6，p3m-6，.....，pkm-6形的数(筛k次）。即pm形的数筛k次，pm-6形的数筛k次，共2k次。但是，由于p1=2时，2m-6与2m是一回事，都是偶数2m形；p2=3时，3m-6与3m是一回事，都是3m形。所以（7）（8）式共有：
（2-1）×（3-1）×（5-2）×（7-2）×.....×(pk-2).。(9)。
个解。
（三）相差6的孪生素数猜想。
相差6的孪生素数是有限的还是无穷的？有了（5）（6）式，就很好证明。例如，如果我们假设最后一对相差6的孪生素数是23与29。那么对于下式：
R=2m+g1=3m+g2=5m+g3=7m+g4=11m+g5=13m+g6=17m+g7=19m+g8=23m+g9=29m+g10.。(10)
来讲，（29是第10个素数，字母后面的数字是脚标）。就没有小于“31的平方减6”的解。31的平方减6大于23x29。（10）式有：
（2-1）x（3-1）x（5-2）x（7-2）x(11-2)x(13-2)x(17-2)x（19-2）x（23-2）x（29-2）。（11）
个解。(10)式的解的数目是根据孙子定理得到的。
{1}。我们把2x3x5x7x11x13x17x19x23x29按23x29为一个区间，划分成2x3x5x7x11x13x17x19个区间。
[1，23x29），[23x29+1，2x23x29），.....，[2x3x5x7x11x13x17x19x23x29-23x29+1，2x3x5x7x11x13x17x19x23x29）。
（如k=4时，2x3x5x7=210，把5x7=35为一个区间，共有2x3=6个区间。1-----35；36-----70；71------105；106------140；141------175；176-----210）。
{2}。如果第一区间[1，23x29）无解，其它区间的解的数目不会超过2k个，即2x10=20个.。（参见上面的引理：任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛k次被筛数（或者未被筛数）相差不超过k个)。
于是，(2x3x5x7x11x13x17x19)个区间总解数目不超过(2x3x5x7x11x1317x19)x20个。少于（7）式固有的解的数目。
(2x3x5x7x11x13x17x19x20) < (2-1)x(3-1)x(5-2)x(7-2)x(11-2)x(13-2)x(17-2)x(19-2)x(23-2)x(29-2).。
一一对应，右端（29-2）对应左端20；右端（23-2）对应左端19；。。。，右端（7-2）对应左端5；右端（5-2）对应左端3；右端（3-1）对应左端2；
------------------------------------------------------------------------------
（2-1）(3-1)|(5-2)|(7-2)|（11-2）|（13-2）|(17-2)|(19-2)|(23-2)|(29-2)|;
----------------|------|-------|-----------|-----------|--------|--------|--------|--------|
-----------2---|---3--|--5---|-----7----|----11----|--13---|--17---|---19--|--20---|
--------------------------------------------------------------------------------------------|。;
每一项都是上面大于或者等于下面。上面的解的数目是由孙子定理给出的，下面的解的数目（是由于我们假设错误造成的）少于上面，说明原先假设是错误的，（抽屉原则）假设最大一对相差6的孪生素数是23与29是错误的。证毕。
（四）为什么相差6的孪生素数比相差2的孪生素数多？
这个问题很简单。因为相差6的孪生素数是在p1p2p3...pk的范围内有（2-1）×（3-1）×（5-2）×（7-2）×....×（pk-2）个解，而相差2的孪生素数是在p1p2p3...pk范围内有(2-1)×(3-2)×(5-2)×(7-2)×....×(pk-2)个解。第二项一个是（3-1），一个是（3-2），所以前者比后者多。
（五）为什么许多人在证明中会出现错误？笔者读过包括陈景润在内的著名数学家的论文，发现一个重要的原因是：不按逻辑规律。证明中必须依照1，同一律。2，不矛盾律。3，充足理由律。一般前两个还能够做到，最主要的是不能够按充足理由律去证明，因为在证明中，每一步都要求做到。例如，本文是根据一条定理出发，等价转换成公式（即（1）式），再等价转换成同于式组（2）式，而（2）式的解已经被孙子定理充分地，透彻地解释。由假设推出的孪生素数有限
，就会造成与孙子定理的矛盾。运用抽屉原则和一一对应的方法形成严密的逻辑体系。当然，也许还有漏洞，应该虚怀若谷等候批评。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的倒数和为:
s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:
b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...
如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数。
若用PI2(x)表示小于 x的孪生素数对的个数.下表是10^16以下的孪生素数分布情况:
x PI2(x)
1000 35
10000 205
100000 1224
1000000 8169
10000000 58980
100000000 440312
1000000000 3424506
10000000000 27412679
100000000000 224376048
1000000000000 1870585220
10000000000000 15834664872
100000000000000 135780321665
1000000000000000 1177209242304
10000000000000000 10304195697298 |
|
|