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多目标规划
multiple objectives programming
数学规划的一个分支，研究多于一个的目标函数在给定区域上被同等地最优化（极小化或极大化）的问题（称为多目标最优化或向量极值）。
多目标极小化问题通常记为(VMP) □,其中 □是给定的一个向量值目标函数，T表示转置,□表示在区域 □上的函数□□(□),□□(□),…,□m(□)被同等地极小化。
若(VMP)中的□(□)是□□的线性(向量)函数，□是□□中的多面体，则相应的问题称为多目标线性规划问题。若(VMP)中的□□(□)是□的非线性(向量)函数，或□不是□□中的一个多面体，则称为多目标非线性规划问题。对于多目标规划，解的定义是一个非常重要的问题。
有效性 亦称帕雷托最优性，有时也称为非劣性或非受控性或可采纳性,是T.C库普曼斯于1951年引入的。命名为帕雷托最优性是为了纪念法国经济学家V.帕雷托首先提出多目标最优化的思想。由于向量序不是完全序，因而对于问题(VMP)一般不存在□□□□□使所有的□□(□)(□=1,2,…,□)同时达到极小。因此,单目标问题的最优解概念在这里已不适用，而代替它的则有有效解、弱有效解和非劣解等概念。如果□□□□□,且不存在其他的可行点□使得□(□)□□(□),则称□为（VMP）的有效解（这里“□”表示向量的每一分量间都是“□”且至少有一个分量间是“ 一个多目标规划问题通常存在许多个有效解。在自然序意义下，因各有效解之间相互不能进行比较。因而要在它们之中加以选择，就需要引入一个偏爱序。这相当于要从决策者那里得到另外的信息。如何选取这种另外的信息以提炼成一种偏爱模式，并且在某种偏爱关系的基础上建立起有关的数学理论，是多目标规划研究的一个重要课题。
1968年A.M.日夫里翁引进了真有效解概念:如果□是(VMP)的有效解,且存在一数值М>0,使得对于满足□□(□)□(□□)的□(1□□□□)有[□□(□)-□□(□)]/[□□(□)-□□(□)]□М,则□称为问题(VMP)的真有效解。在多目标规划的研究中,还引入了一些其他意义下的解的概念,如局部有效解、库恩-塔克尔意义下的有效解等。对这些解的性质及其相互关系已进行了若干探讨，例如，对伪单调多目标规划、凸多目标规划已研究了有效解的性质，并建立了一些关于有效解和弱有效解的判别准则。在多目标规划的研究中,目标空间并不限于欧氏空间□□，例如,目标函数是表示一国经济增长的一个动态模型的所有轨线，则目标空间就是一个希尔伯特空间。目前，目标空间是抽象的巴拿赫空间或希尔伯特空间的情形，已有不少研究。
一个与多目标问题(VMP)相关联的单目标问题(P□) □是引人重视的,其中□□叫做权系数,□叫做权向量。通常要求权系数满足□或‖□‖=1(依□□中任意选定的模)使之规范化。记□□,□，则有以下的基本定理：
设□□□□□是(P□)的最优解，□□□□Λ，则□是(VMP)的弱有效解；若□是凸集,□(□)是□上的凸函数，且□是(VMP)的弱有效解,则存在某一□□□□Λ使□是(P□)的最优解。若□□□□Λ+，□是(P□)的最优解,则□是(VMP)的真有效解;若□是凸集，□(□)是□上的凸函数,且□是(VMP)的真有效解，则存在某一□□□□Λ+使□是(P□)的最优解。
通过带权系数的问题(P□)，可以把非线性规划的许多结果移置到多目标规划中来。权系数是一种类型的拉格朗日乘子，利用线性泛函来分离集合的一切理论都可用于此处。对无限维的情形,对鞍点和对偶定理都可进行研究。从计算方法上来说,求(VMP)的有效解或弱有效解,可归为求参数规划问 |