| | 哈密頓係統
hamilton's system
又稱典型係統、（微）正則係統或哈密頓典型係統。其方程組為
（i=1,2,…,n）（1）其中h＝h（p1，…，pn；q1，…，qn；t）是哈密頓函數，是英國科學家w.r.哈密頓於1835年引進的。廣泛應用於力學、物理學等，p＝（p1，…，pn）叫廣義衝量（動量），q＝（q1，…，qn）是廣義坐標，q所在空間叫構形空間，（p ，q）所在的空間叫相空間。當t不明顯地出現於（1）中時，即（用嚮量形式）
(2)此時，故h（p，q）＝c是首次積分。若t代表動能，v代表勢能，則h＝t＋v＝c表示能量守恆定律。卡姆理論是關於哈密頓係統方程組的穩定性理論，由a.柯爾莫戈羅夫、v.i.阿諾德j莫澤創立。這時，q均為2維的，q為角坐標。在對映射函數適當的要求之下，證明了2維點映射不變閉麯綫存在，從而得到太陽係是穩定的結論，這是非常重要的成就。 | | Hamidun xitong
哈密頓係統
Hamilton’s system
又稱典型係統或正則係統或哈密頓典型係統(方程)，常簡記為H.S.。指如下形式的一階微分方程係統
□，
□或簡寫為
□是由英國科學家W.R.哈密頓於1835年引進，廣泛應用於力學、物理學,形成了一整套的理論。上式中的□稱為廣義衝量（或動量），□稱為廣義坐標，(□,□)稱為共軛變量，也稱為典型變量，□空間稱為構形空間，(□,□)空間稱為相空間，□ 則稱為哈密頓函數。
如□ 中不含□，則(□)稱保守係統；此時，
□□=□為係統的一個初積分，例如，□為動能，□為勢能,則□=□+□=□表能量守恆定律。如□ 中含□，取□=□□+1，並取□,即可得到不含□的□ 的H.S.：
□，□，
□，□。所以，□ 中不含□的哈密頓係統具有一定的廣泛性。
(J.-) H.龐加萊曾在他的名著《天體力學新方法》(1892～1899)中暗示許多力學中的微分方程係統都可化成H.S.,但他衹舉出一些例子,沒有證明。後來P.A.M.狄□剋證明下述結果(1935)，對龐加萊的暗示作了很好的補充。設有□,令□□□即得H.S.:□，□。因此，研究H.S.理論就是研究一般的一階正規型微分方程係統，衹是引進了餘切空間(□1,□2,…,□□)而已。
當□=□0(□)，即衹含□時，稱為可積係統。因為□□,而□，從而□，當□為角變量時，積分麯綫在□＝□0環面上。
典型變換 如果變換(□，□)□(□，□)把H.S.:□□ 變為 H.S.:□□，即方程(□)的形式不變,則此變換稱典型變換。使用這種變換目的在於簡化原來的係統，使□(□,□,□)較之□(□,□,□)為簡單,最簡單的情況是使之變成□,則□=□1，□=□2為其解，再從(□,□)→(□,□)便得到原來H.S.的解。
給定函數□(□,□,□),□可以是嚮量函數,□,則□所對應的歐拉-拉格朗日方程(見變分法)為：□。令□=□□-□(□,□,□),□=(□,□),則所對應的歐拉-拉格朗日方程恰為 □。如果作變換（□,□)□（□,□）使 □d□-□d□ =d□，則這個變換就是一個典型變換。而對應的歐拉－拉格朗日方程是□，仍是哈密頓係統。同理，若使□d□+□d□=□d□-□d□+d(□□)=d□,則(□,□)□(□,□)仍是一個典型變換，因□d□-Pd□=d(□-□□)。假定□, □都是□,□,□的函數，如果特別取□,則□,從而□□,所以□。新的哈密頓係統是□。若能選取□,使□=0，即□，即□(□,□,□)要滿足哈密頓-雅可比方程□。如果□不含□,若□又不含□，則□(□,□)=□［□(□,□),□(□,□)］。
卡姆 (KAM)理論 關於哈密頓係統方程組的解的穩定性理論。是由A.H.柯爾莫哥洛夫，В.И.阿爾諾德和J.K.莫澤三人共同建立的(1954、1963)，因而得名。他們嚴格證明了擬周期解的存在性，即幾乎可積係統，有填滿不變環的擬周期解存在。這是哈密頓係統，特別是它的定性理論的近代發展中的最重要的成就。
1889年由龐加萊所開創的哈密頓係統的定性理論中最深刻的結果是限製性三體問題中近圓形軌道的穩定性，這個結果的證明即來自KAM理論，從而使P.-S.拉普拉斯提出的,已歷時200年的太陽係穩定性問題得到重要的突破。無論從微分方程方面，或從天體力學方面來看，這都是重大的貢獻，得到廣泛重視。
KAM理論很復雜，它的思想略述如下。
設有幾乎可積係統：□ □ □□， □充分小，□ 可取所有的正負整數值。KAM理論證明，在一定條件下,可選定一係列的典型變換：□，使□, 即最終得到的 H.S.為□□, □，即可積係統。其積分為□。這表明積分麯綫在一族環面上。
把變換倒過來，(□,□)→…→(□,□)，在一定條件下，有些環面衹是被扭麯了，但並沒有破裂。積分麯綫中有的還在被扭麯了的環面上。特別，當環面是三維空間的環面，則積分麯綫被圍困在兩相鄰環面之間，無法逸出，顯示出運動的拉格朗日穩定性。
參考書目 C.L.Siegel，J. K.Moser，Lectures on Celestial Mechanics,Springer-Verlag,Berlin,1971. G. E. O. Giacaglia, Perturbation Methods in Nonlinear Systems,Springer-Verlag,New York,1972.
（葉述武）
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