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作者: 趙爽 Zhao Shuang
《周髀算經》乃是算經的十書之一。約成書於公元前1世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀註》一書的《勾股圓方圖註》中給出的。
中國流傳至今的一部最早的數學著作，同時也是一部天文學著作。中國古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文學共有3傢學說，“蓋天說”是其中之一，而《周髀算經》是“蓋天說”的代表。這派學說主張：天像蓋笠，地法覆盆（天空如鬥笠，大地像翻扣的盆）。
據考證，現傳本《周髀算經》大約成書於西漢時期（公元前1世紀）。南宋時的傳刻本（嘉定六年，1213）是目前傳世的最早刻本，收藏於上海圖書館。歷代許多數學家都曾為此書作註，其中最著名的是唐李淳風等人所作的註。《周髀算經》還曾傳入朝鮮和日本，在那裏也有不少翻刻註釋本行世。
從所包含的數學內容來看，書中主要講述了學習數學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數計算等。
書中有矩(一種量直角、畫矩形的工具)的用途，勾股定理及其在測量上的應用，相似直角三角形對應邊成比例定理等數學內容．
在《周髀算經》中還有開平方的問題，等差級數的問題,使用了相當繁復的分數算法和開平方法,以及應用於古代的“四分歷”計算的相當復雜的分數運算．還有相當繁雜的數字計算和勾股定理的應用。
該書的第一章敘述了周公、商高問答時提到的勾股定理測量的方法，還舉出了一個“勾三股四弦五”的特例。 |
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| 算經十書中最早的一部。成書不晚於公元前1世紀。主要闡述當時的天文學說--蓋天說和四分歷。書中最早記載了復雜的分數運算、勾股定理和開平方法。 |
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《周髀算經》乃是算經的十書之一。約成書於公元前1世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀註》一書的《勾股圓方圖註》中給出的。
中國流傳至今的一部最早的數學著作，同時也是一部天文學著作。中國古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文學共有3傢學說，“蓋天說”是其中之一，而《周髀算經》是“蓋天說”的代表。這派學說主張：天像蓋笠，地法覆盆（天空如鬥笠，大地像翻扣的盆）。
據考證，現傳本《周髀算經》大約成書於西漢時期（公元前1世紀）。南宋時的傳刻本（嘉定六年，1213）是目前傳世的最早刻本，收藏於上海圖書館。歷代許多數學家都曾為此書作註，其中最著名的是唐李淳風等人所作的註。《周髀算經》還曾傳入朝鮮和日本，在那裏也有不少翻刻註釋本行世。
從所包含的數學內容來看，書中主要講述了學習數學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數計算等。
書中有矩(一種量直角、畫矩形的工具)的用途，勾股定理及其在測量上的應用，相似直角三角形對應邊成比例定理等數學內容．
在《周髀算經》中還有開平方的問題，等差級數的問題,使用了相當繁復的分數算法和開平方法,以及應用於古代的“四分歷”計算的相當復雜的分數運算．還有相當繁雜的數字計算和勾股定理的應用。
該書的第一章敘述了周公、商高問答時提到的勾股定理測量的方法，還舉出了一個“勾三股四弦五”的特例。 |
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中國流傳至今的一部最早的數學著作，同時也是一部天文學著作。中國古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文學共有3傢學說，“蓋天說”是其中之一，而《周髀算經》是“蓋天說”的代表。這派學說主張：天像蓋笠，地法覆盆（天空如鬥笠，大地像翻扣的盆）。
據考證，現傳本《周髀算經》大約成書於西漢時期（公元前1世紀）。南宋時的傳刻本（嘉定六年，1213）是目前傳世的最早刻本，收藏於上海圖書館。歷代許多數學家都曾為此書作註，其中最著名的是唐李淳風等人所作的註。《周髀算經》還曾傳入朝鮮和日本，在那裏也有不少翻刻註釋本行世。
從所包含的數學內容來看，書中主要講述了學習數學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數計算等。
書中有矩(一種量直角、畫矩形的工具)的用途，勾股定理及其在測量上的應用，相似直角三角形對應邊成比例定理等數學內容．
在《周髀算經》中還有開平方的問題，等差級數的問題,使用了相當繁復的分數算法和開平方法,以及應用於古代的“四分歷”計算的相當復雜的分數運算．還有相當繁雜的數字計算和勾股定理的應用。 |
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首先，《周髀算經》中明確記載了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日”（《周髀算經》上捲二）
而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經》上捲一 ——
昔者周公問於商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”
商高曰：“數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。”
周公對古代伏羲（包犧）構造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請教商高數學知識從何而來。於是商高以勾股定理的證明為例，解釋數學知識的由來。《周髀算經》證明步驟
“數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。”：解釋發展脈絡——數之法出於圓（圓周率三）方（四方），圓出於方（圓形面積=外接正方形*圓周率/4），方出於矩（正方形源自兩邊相等的矩），矩出於九九八十一（長乘寬面積計算依自九九乘法表）。
“故折矩①，以為句廣三，股修四，徑隅五。”：開始做圖——選擇一個 勾三（圓周率三）、股四（四方） 的矩，矩的兩條邊終點的連綫應為5（徑隅五）。
“②既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。”：這就是關鍵的證明過程——以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據矩的弦外面再畫一個矩（麯尺，實際上用作直角三角），將“外半其一矩”得到的三角形剪下環繞復製形成一個大正方形，可看到其中有 邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方 三個正方形。
“兩矩共長③二十有五，是謂積矩。”：此為驗算——勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積後為弦方，再是 大正方形 減去 右上、左下兩個長方形面積後為 勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出 四個三角形面積 等於 右上、左下兩個長方形面積，所以 勾方+股方=弦方。
註意：矩，又稱麯尺
① 矩，又稱麯尺，L型的木匠工具，由長短兩根木條組成的直角。古代“矩”指L型麯尺，“矩形”纔是“矩”衍生的長方形。
② “既方之，外半其一矩”此句有爭議。清代四庫全書版定為“既方其外半之一矩”，而之前版本多為“既方之外半其一矩”。經陳良佐、李國偉、李繼閔、麯安京等學者研究，“既方之，外半其一矩”更符合邏輯。
③ 長指的是面積。古代對不同維度的量綱比較，並沒有發明新的術語，而統稱“長”。趙爽註稱:“兩矩者, 句股各自乘之實。共長者, 並實之數。
由於年代久遠，周公弦圖失傳，傳世版本衹印了趙爽弦圖（造紙術在漢代纔發明）。所以某些學者誤以為商高沒有證明（衹是說了一段莫名其妙的話），後來趙爽纔給出證明。
其實不然，摘錄趙爽註釋《周髀算經》時所做的《句股圓方圖》——“句股各自乘, 並之為弦實, 開方除之即弦。案: 弦圖又可以句股相乘為朱實二, 倍之為朱實四, 以句股之差自相乘為中黃實, 加差實亦成弦實。”
趙爽弦圖。註意中間的中黃實註意“案”中的“弦圖又可以”、“亦成弦實”，“又”“亦”二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明，於是他給出了新的證明。
詳細分析請參閱 麯安京《商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明》。 |
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