线性代数 > 向量空间



目录 ·No. 1 ·No. 2 ·百科辞典 ·相关词 ·包含词 ·更多结果... No. 1 　　向量空间（vectorspace），线性代数概念，解析几何中平面v2，空间v3的推广。在取定坐标系后，平面上的点可由实数对（a，b）表示，空间的点可由三元实数组(a，b，c)表示。推广之，考虑数域f的n元数组集fn＝｛（a1，…，an）｜ai∈f，i＝1，2，…，n｝，fn对矩阵的加法及数乘做成的代数系称为f上的一个n维向量空间或n维线性空间，fn中的元素称为向量。类似于在v3的任一坐标系下，每个向量有唯一的坐标，fn中每个向量a＝（a1，…，an）可由e1＝（1，0，…，0），e2＝（0，1，…，0），…，en＝（0，0，…，1）唯一地表示：a＝a1e1＋…＋anen。e1，…，en称为fn的一个基，n称为fn的维数，（a1，…，an）称为a关于基e1，…，en的坐标。向量空间的定义还可以一般化，若v是一个非空集合，v有加法，数域f对v有数乘法，且这两种运算满足一定条件，则称v是f上的向量空间，v的元素称为向量。若a1，…，an，β∈v，l1，…，ln∈f，β＝l1α1＋…＋lnan，则称β可由a1，…，an线性表示，若存在不全为0的l1，…，ln，使l1a1＋…＋lnan，为零向量，则称a1，…，an线性相关，否则，称a1，…，an线性无关。若v中每个向量可由a1，…，an唯一地表示，则称a 1，…，an为v的一个基，n称v的维数。f上每个n维向量空间与fn有相同的代数性质，即它们同构。向量空间讨论向量间线性关系，子空间及空间分解等。数学中凡讨论线性问题时，可利用向量空间的观点。 No. 2 　　向量空间 　　（或称线性空间）是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。 　　向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。 　　在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 　　公理化定义 　　给定域 F，一个向量空间是个集合 V 并规定两个运算： 　　向量加法：V × V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V， 　　标量乘法：F × V → V 记作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V。 　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 　　向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w. 　　向量加法交换律: v + w = w + v. 　　向量加法的单位元: V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v. 　　向量加法的逆元素: ∀v∈V, ∃w∈V, 导致 v + w = 0. 　　标量乘法分配于向量加法上: a(v + w) = a v + a w. 　　标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v. 　　标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v。 　　标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 指示域 F 的乘法单位元. 　　有些教科书还强调以下两个闭包公理： 　　V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V. 　　V 闭合在标量乘法下: a v ∈ V. 　　简而言之，向量空间是一个F-模。 　　V的成员叫作向量而F的成员叫作标量 　　若F是实数域R，V称为实数向量空间. 　　若F是复数域C，V称为复数向量空间. 　　若F是有限域，V称为有限域向量空间 　　对一般域F，V称为F-向量空间 　　基础特性 　　首5个公理是说明向量V在向量加法中是个可换群.余下的5个公理应用于标量乘法. 　　这些都是一些特性很容易从向量空间公理推展出来的.如下: 　　零向量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的. 　　a 0 = 0 ∀ a ∈ F. 　　0 v = 0 ∀ v ∈ V 这里 0 是F的加法单位元. 　　a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0. 　　可加的逆元向量 v (公理4) 是唯一的. (写成−v). 这个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的. 　　(−1)v = −v ∀ v ∈ V. 　　(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V. 　　 例子 　　参见 向量空间例子 　　子空间及基 　　一个向量空间 V 的一个非空子集合 W 在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为 V 的线性子空间。 　　给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，纪作 span(B)。 　　给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集。 　　一个向量空间 V 最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若 V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集。 　　如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如,实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …, R∞, …中， Rn 的维度就是 n。 　　空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。把基中元素排列，向量便可以座标系统来呈现。 　　线性映射 　　给两个向量空间 V 和 W 在同一个F场, 设定由V到W的线性变换或“线性映射” . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数.这个集合包含所有由V到W的线性映射,以 L(V, W) 来描述, 也是一个F场里的向量空间. 当 V 及 W 被确定后, 线性映射可以用矩阵来表达. 　　同构是一对一的一张线性映射.如果在V 和W之间存在同构, 我们称这两个空间为同构;他们根本上是然后相同的。 　　一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。 　　 概念化及额外结构 　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下： 　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。 　　一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为 内积空间。 　　一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。 　　一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。 　　 向量空间的同构 　　在域F上的两个向量空间V与V' ，如果存在一个双射φ：V→V'并且φ(aμ+bν)=aφ(μ)+bφ(ν)，a，b∈F，μ，ν∈V．这样V与V' 便是同构。 百科辞典 　　xiangliang kongjian 　　向量空间 　　vector space 　　　　又称线性空间。在解析几何学里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。向量空间是线性代数的中心内容和基本概念之一。它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。 　　　　设□是一个非空集合,□是一个域。在□的元素之间定义了所谓加法,即对于□ 的任意一对元素□、□,□ 中有惟一确定的元素与之对应，这个元素称为□与□的和，记作□+□。在□ 的元素与□的元素之间定义了所谓乘法，即对于□的任意元素□与□的任意元素□,□中有惟一确定的元素与之对应，这个元素称为□与□的积，记作□□。如果所述的加法和乘法满足以下规则，那么集合□称为域□上一个向量空间。 　　　　加法的四条规则①结合律,即□+(□+□)=(□+□)+□□;②交换律,即□+□=□+□□;③在□中存在一个“零元素”,记作0,对于□的任意元素□□都有0+□=□;④对于□的每一个元素□，在□中存在负元素－□，使得(-□)+□=0。 　　　　乘法的两条规则　⑤结合律，即(□□)□=□(□□)；⑥□是□中的任意元素，1是□的单位元素，1□=□。 　　　　加法和乘法的两条规则 ⑦□(□+□)=□□+□□;⑧(□+□)□=□□+□□，以上各式中的□、□、□ 是□的任意元素,□、□□是□的任意元素。 　　　　域□上向量空间V 的元素，称为向量。□中的零元素，称为零向量。□的元素□的负元素-□,称为□的负向量。域□中的元素，称为纯量。 　　　　向量空间的加法和乘法表达出向量之间的基本关系。随着所考虑的对象不同，这两种运算的定义也不同。例如,令□是实数域，□□是一切三元实数组所成的集合，即□，加法的定义是 □□,乘法的定义是□，这里□都是□□中元素,□是□中元素。于是□□□是实数域上一个向量空间。设F是一个域，□□是任意取定的一个正整数，□□定义加法为□+□=(□□+□□,□□+□□,…,□□+□□)，定义乘法为□□＝(□□□,□□□,…,□□□)，这里□＝(□□,□□,…,□□),□＝(□□,□□,…,□□)都是□□中元素,□是□的元素,□则□□是域□□上一个向量空间。□□是R 3的推广。在某一闭区间上连续的实函数全体所成的集合，对于函数的加法和实数与函数的乘法，是实数域上一个向量空间。次数不超过某一给定的非负整数 □的复系数多项式的全体与零多项式所成的集合□,对于多项式的加法和复数与多项式的乘法，是复数域上一个向量空间。 　　　　子空间　如果域□上一个向量空间□的非空子集W,对□的加法和乘法也构成□□上一个向量空间，那么W 称为□的一个线性子空间，简称子空间。如果□的任一向量□可惟一的表为其子空间W□的向量□u□(□=1,2,…,□)的和,即□ =□□+□□+…+□□,那么□称为其子空间W□,W□,…,W□的直和，记为□□的一个非空子集是□的子空间的充分必要条件为：对于□的任意向量□、□以及□的任意纯量□□、□，有□□+□□在W中。例如，向量空间□本身以及由一个零向量所成的集合{0}，都是□的子空间，称为□的平凡子空间。□向量空间□□□的子集W＝{(□□,…,□□-1,0)|□□□□□□,1≤□≤□-1},是□□的一个子空间。系数在域□中的□□元齐次线性方程组的所有的解，是□□□的一个子空间，并称为所给齐次线性方程组的解空间。 　　　　基、坐标和维数 设□□□,□□,…,□□是域□上一个向量空间□的向量,□□,□□,…,□□是域□的元素。□表示式□□□□+□□□□+ … +□□□□，称为□□, □□,…,□□□的线性组合。如果存在□□中不全为零的元素□□,□□, 相关词 矩阵 映射 数学 百科大全 包含词 双向量空间 右向量空间 切向量空间 复向量空间 实向量空间 零向量空间 赋范向量空间 拓扑向量空间 向量空间模型 有理向量空间 二维向量空间 向量空间直和 对偶向量空间 向量空间的基 数组向量空间 向量空间的复化 右拓扑向量空间 有限维向量空间 域上的向量空间 向量空间上的张量 欧几里得向量空间 拓扑向量空间中的测度 有限可生成向量空间