目录 ①又称“矢量”。既有大小，又有方向的量。可用带有方向的线段来表示，线段的长度表示向量 的大小，也称“向量 的模”。在代数中，向量 常用n元有序数组(x1，x2，…，xn)来表示。向量 运算与一般数量运算不同，有向量 加法、向量 减法、数乘向量 、数量积和向量 积五种。向量 概念除了在数学上有重要意义外，在物理学中有广泛应用，如力、速度、位移、电场强度等物理量都是向量 。
向量 是一种可随机存取的存储结构，其中任一分量的存取时间相同。 我们知道，位移是既有大小又有方向的量．事实上，现实世界中，这种量是很多的，如力、速度、加速度等．我们把既有大小又有方向的量叫做向量 ．亦称矢量.
向量 是指,n个实数组成的有序数组称为n维向量 .一般用α,β,γ等希腊字母表示.有时也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示.
向量 .其中ai称为向量 α的第i个分量.
标量和向量 是一对反义词.标量是只有大小但没有方向的量.例如距离. 规定了方向和大小的量称为向量 ．向量 又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量 ．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量 ，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量 ”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量 的是英国大科学家牛顿． 在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向 向量 常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量 的大小，箭头所指的方向表示向量 的方向．
向量 也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量 的有向线段的起点和终点字母表示．
向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量 叫做零向量 ，记作0．长度等于1个单位长度的向量 ，叫做单位向量 ． 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量 ．向量 a、b、c平行，记作a∥b∥c．我们规定0与任一向量 平行．
向量 叫做相等向量 ．向量 a与b相等，记作a=b．零向量 与零向量 相等．任意两个相等的非零向量 ，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． 1、向量 的加法：
向量 的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量 加法的性质：
向量 的减法
向量 的乘法
在初中课改教材初三课本中学习
数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。 数学中，既有大小又有方向的量叫做向量 （亦称矢(shǐ)量）。
向量 是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量 。α=（a1，a2，…，an） 称为n维向量 .其中ai称为向量 α的第i个分量。
1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。
向量 可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量 的大小，箭头所指的方向表示向量 的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。）
向量 i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量 ，以坐标原点O为起点作向量 OP=a。由平面向量 基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量 OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量 a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量 a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量 OP称为点P的位置向量 。
向量 i，j, k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量 ，以坐标原点O为起点作向量 OP=a。由空间基本定理知，有且只有一对实数（x，y, z），使得 a=向量 OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, k）叫做向量 a的坐标，记作a=（x，y, z）。这就是向量 a的坐标表示。其中（x，y, k）,也就是点P的坐标。向量 OP称为点P的位置向量 。
向量 ,可以通过类推得到,此略. 向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)。向量 a的模记作|a|。
向量 的模是非负实数，是可以比较大小的。
向量 也就不能比较大小。对于向量 来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量 AB>向量 CD”是没有意义的。 单位向量
向量 ，叫做单位向量 ．与向量 a同向且长度为单位1的向量 ，叫做a方向上的单位向量 ，记作a0，a0=a/|a|。
向量
向量 叫做零向量 ，记作0．零向量 的始点和终点重合，所以零向量 没有确定的方向，或说零向量 的方向是任意的。
向量
向量 叫做相等向量 ．向量 a与b相等，记作a=b．
向量 都相等．
向量 时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量 ，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量 。
向量
向量 ，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量 仍然代表原来的向量 。
向量 的意义下，相等的向量 都看作是同一个向量 。
向量 。
向量
向量 称为滑动向量 。
向量
向量 称为固定向量 （亦称胶着向量 ）。
向量
向量 OP叫做点P的位置向量 ，记作：向量 P。 与a长度相等、方向相反的向量 叫做a的相反向量 ，记作-a。有 -（-a）=a；
向量 的相反向量 仍是零向量 。
向量
向量 叫做平行（或共线）向量 ．向量 a、b平行（共线），记作a∥b．
向量 长度为零，是起点与终点重合的向量 ，其方向不确定，我们规定：零向量 与任一向量 平行．
向量 是共线向量 。
向量
向量 叫做共面向量 。
向量 有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。
向量 才谈共面不共面。 设a=（x，y），b=(x'，y')。
向量 的加法
向量 的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量 加法的运算律：
向量 的减法
向量 ，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量 为0
向量
向量 a的乘积是一个向量 ，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
向量 a的系数，乘数向量 λa的几何意义就是将表示向量 a的有向线段伸长或压缩。
向量 a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
向量 a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
向量 的乘法满足下面的运算律
向量 对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
向量 的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
向量 的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
向量 的数量积
向量 a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量 a和向量 b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
向量 的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量 的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量 的数量积的运算律
向量 的数量积的性质
向量 的数量积与实数运算的主要不同点
向量 的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
向量 的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
向量 的向量 积
向量 a和b的向量 积（外积、叉积）是一个向量 ，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量 的向量 积性质：
向量 的向量 积运算律
向量 没有除法，“向量 AB/向量 CD”是没有意义的。
向量 的混合积
向量 a、b、c，向量 a、b的向量 积a×b，再和向量 c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量 a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
向量 a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
向量 a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
向量 的三角形不等式
向量 P1P=λ·向量 PP2）
向量 P1P=λ·向量 PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
向量 公式）
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
向量 0平行于任何向量 。 a⊥b的充要条件是 a·b=0。
向量 0垂直于任何向量 . 向量 （或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量 ．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量 ，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量 ”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量 的是英国大科学家牛顿．
向量 是一种带几何性质的量，除零向量 外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量 ．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量 ．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量 比几何中的向量 要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量 空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量 及其线性运算也为“向量 空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．
向量 结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量 运算联系起来，使向量 成为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量 能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量 的运算．把坐标平面上的点用向量 表示出来，并把向量 的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量 ，向量 就这样平静地进入了数学．
向量 部分），以代表空间的向量 ．他的工作为向量 代数和向量 分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量 部分分开处理，从而创造了大量的向量 分析．
向量 分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量 不过是四元数的向量 部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量 积．并把向量 代数推广到变向量 的向量 微积分．从此，向量 的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具. 物理学上用来表明既有数量大小，又有方向性的量叫做向量 （Vector），亦称矢量。心肌细胞在除极和复极的过程中形成电偶，电偶既有数量大小，又有方向性，称为电偶向量 。电偶向量 可以看作是单个心肌细胞的心电向量 ，它的数量大小就是电偶的电动势，取决于电偶两极电荷聚集的数目，数目越多，电动势就越大，反之，则越小。心电向量 的方向就是电偶的方向。电偶向量 可用箭矢来表示，箭杆的长度表示向量 的大小，箭头表示向量 的方向（电源），箭尾表示电穴。因为心肌的除极是从心内膜面开始指向心外膜面，所以向量 的方向是电源在前（箭头），电穴在后（箭尾）。复极时，因为先除极的部位先复极，所以电穴在前电源在后。而心肌复极从心外膜开始，指向心内膜，因此复极向量 与除极一致。
向量 ，把它们叠加在一起成为一个电偶向量 ，这就是综合心电向量 。心脏是由几个部分心肌组成的，除极时，是不同方向的电偶向量 同时活动，各自产生不同方向的电动力，把几个不同方向的心电向量 综合成一个向量 ，就代表整个心脏的综合心电向量 。
向量 在某一瞬间又有众多的心肌细胞产生方向不尽相同的电偶向量 ，把这些电偶向量 按平行四边形法依次加以综合，这个最后综合而成的向量 称为瞬间综合心电向量 。心脏是立体器官，它产生的瞬间向量 在空间朝向四面八方，把一瞬间综合心电向量 的尖端构成一点，则在整个心电周期中随着时间的推移，把移动的各点连接起来的环形轨迹就构成空间心电向量 环即空间向量 心电图
向量 环是一个立体图形，在平面纸上描绘立体图形是困难的，通常采用空间心电向量 环在三个不同的互相垂直的平面的投影来观察。所谓投影，就是与某一平面垂直的平行光线照在心电向量 环上，此向量 环在这个平面上形成的影像称为投影。然后把投影在每一面的形态绘成平面图，由这三个平面图组成空间立体图象。此即临床上常规记录的心电向量 图。亦称空间向量 环的第一次投影。
向量 图的基本图形如下：
向量 环，代表心房肌除极过程，其综合向量 的方向（P电轴）指向左下稍偏前。
向量 的方向（QRS电轴）指向左后。根据其除极顺序的先后又分为：①室间隔除极，又称初始向量 或0.01s向量 。心室除极首先开始于室间隔左侧中1/3处自左向右除极，除极向量 指向右前（约110°左右）。②尖部除极。当心室除极到0.02s时，冲动扩展到心尖部，此时左右心尖部同时进行除极，其综合向量 指向前下。③左心室除极在除极开始后0.04s左右，室间隔和右室的绝大部分已除极完毕，只有左室侧壁和右室后基底部除极仍在进行，所以又称0.04s向量 或最大向量 ，其方向指向左后。④基底部除极当除极至0.06s时，只剩下左室后基底部和室间隔的一小块基底部除极仍在进行，故又称终末向量 ，其方向指向右后（相当于265度左右）。
向量 的方向指向左前与QRS环电轴方向基本一致,反映在心电图R波为主的导联中T波是直立的。这与前文阐述的单个心肌细胞的除极与复有向量 方向相反的说法似乎有矛盾之处。目前认为，心室复极过程与除极过程有所不同，它与传导系统无关，而与心肌的代谢功能有密切关系。一般地说，温度高，压力小，供血好的部位，其细胞复极就快些。心外膜与心内膜比较，符合这三个条件，所以，心外膜复极快。由于心外膜早于心内膜复极，这样，其电偶向量 的电源在心外膜侧，电穴在心内膜侧，即心室复极的向量 指向心外膜，因此心室除极与复极的方向一致。
向量 与矢量的一些区别： 学过高中物理便知道矢量，学过高等代数便知道向量 ，两个相似的概念其实是存在不同的。 矢量是一个几何中的概念，表示一个具有方向和大小的量，有起点和终点。从矢量的几何定义出发，是很难研究的。顺应数学中几何概念代数化的潮流，显然把矢量的概念用代数方法来表示，就好量化地定义矢量的运算并进一步研究各种复杂的运算（加乘带微分）。笛卡尔同学是个好同学，坐标系的出现方便了矢量的代数定义。把一个矢量r放置在一个人为规定的坐标系下，3维坐标系的x-y-z轴上分别有了3个基矢量i-j-k（长度为1），把这个矢量的起点和终点向三个轴上投影，得到三个投影矢量a*i,b*j,c*k,那么a,b,c（属于R）便是矢量r在这个坐标系下的坐标,即r=[a b c]*transpose[i j k]=[i j k]*transpose[a b c]。如此讲来，基本把人搞晕，来点儿干脆的，就是把矢量r平移使得其起点与坐标系原点重合，则其终点的坐标就是这个矢量的坐标，以坐标系原点为起点的矢量被称为矢径。矢量的坐标transpose[a b c]（即矢量的代数定义）便是代数学中常常出现的向量 。两个概念常常被混为一谈是不对的，不仅仅因为矢量是几何概念而向量 是代数概念，而且向量 在代数中早就被扩充到n维，早已超出了现实生活3维空间的限制。另外，一个矢量或者说一个点（当矢量为矢径时，矢量就跟其终点一一对应）是客观存在，在不同的坐标系下将有不同的坐标表示，也就是说，一个矢量或者一个点可以有很多（无穷）向量 与其对应。记住向量 （3维及其以下）是矢量的代数表示就可以了。
向量 去对应着研究矢量的运算，目前看来，矢量运算包括加（减）、点乘和叉乘和对时间求导。加和乘是在高等数学里见过的，而矢量求导运算是在本科的数学课程中没有见过的（至少我没在本科见过，说到这儿我又要鄙视当时的本科教育了），矢量的求导运算是研究刚体运动学和相对运动的基础（除非只会刨木头），在理论力学中有讲。需要注意的是，矢量叉乘的结果仍是一个矢量，这个新矢量的坐标（向量 ）的计算是与被乘矢量对应的一个反对称矩阵有关。同一个矢量在不同坐标系下坐标（向量 ）不同，坐标的变换需要依赖一个方向余弦阵，机器人学中又称旋转矩阵。 xiangliang
向量
向量 。
向量 的表示法 通常可以用几何的或代数的方法来表示向量 。
向量 的几何表示法 从空间中任意一点 □出发引一半射线□□，并在其上另取一点□,则有向线段□□就代表一向量 （图1向量 的几何表示）,简记为□，或用□表示；这向量 的大小就是线段□□的长,其方向就是半射线□的方向。向量 □的大小称为它的模或绝对值，记为□。
向量 □的起点□换作另一点□□，终点也换作另一点□□,使□□∥□□□□，且它们的指向也相同,又长度□则认为向量 □与向量 □是相等或相同的向量 ：□，仍可记为□。这样理解的向量 有时也称为自由向量 （起点可自由改变）。当然根据实际情况,有时向量 的起点不能随便改变（例如,如果向量 □代表一个力，其起点□代表力的作用点，这时起点就不能随意改变），这种向量 有时称为固端向量 。这里一般只考虑自由向量 。
向量 □称为零向量 ，记为0。零向量 的模为0,而且无确定方向。
向量 的观点,规定两向量 □,□相等的充分必要条件是：｜□｜=｜□｜,且(如果它们不是零向量 )□,□的方向（包括指向）相同。
向量 □,□（都≠0）所在直线平行或重合，则称□与□平行,□记作□∥□。向量 －□指的是其模与□的模相等、且与□平行但指向相反的向量 。如果向量 □,□所在直线互相垂直，则称□与□互相垂直或正交，记作□⊥□。
向量 □都与零向量 0既平行又垂直。
向量 □与它自身平行。
向量 □的模等于1(｜□｜=1)，则称□为一单位向量 。
向量 的代数表示法 向量 的几何表示法既直观又简单。但作为一种数学量，向量 要参加运算，这种表示法有时就极不方便。下面向量 的代数表示法就可克服这一困难。
向量 的坐标表示。已给一向量 □。把它的起点取在坐标原点□处，其终点为□。把有向线段□□投影到三坐标轴□,□,□上,分别得投影□□□，□□□，□□□,它们的有向长□,□,□分别称为□在□轴、□轴、□轴上的三个分量，而把□表示为
向量 □的代数表示法。(□,□□,□)实际上就是□点在□□□□坐标系中的坐标。反过来,给定空间一点□ (□,□,□)，由(1)式就可定义一向量 □□，使其三个分量依次为□,□,□。
向量 0的三个分量都是0：0={0,0,0}。
向量 □以(1)式给出，则
向量 □的起点取在□□{□□,□□,□□}点，而终点为□□{□□,□□,□□}，则其代数表示为
向量 的代数表示不变。当坐标系在讨论过程中始终固定不变时,则也可把(1)式，即三个有顺序的数□,□,□作为向量 的定义。
向量 的代数运算 向量 作为一种数学量可以进行某些代数运算，如加法、减法、乘法等。这些运算方法都有实际背景，因此在实际上是有意义的，应用时是有效的。
向量 的数乘 向量 □与一（实）数□的乘法规定如下：定义□□为一向量 ，其模
向量 的数乘是符合结合律的, : Xiang Liang n.: vector, vectors, vector quantity 矢量 射影几何 投影 数学 物理 物理学 矢量 空间 科学 三维 矩阵 百科辞典 百科大全 代数 线性代数 经济百科 运算法则 更多结果...