shù xué yǔ yìng yòng shù xué : wù lǐ xué lèi : ruǎn jiàn > fēn xíng
mùlù
No. 1
　　yì zuò " fēn xíng lián qì "。
wèi chéng xiàn gè zhǒng xíng tài Showed that various forms of
　　wèi chéng xiàn gè zhǒng xíng tài。《 wén xuǎn · zhāng héng ＜ xī jīng fù ＞》： “ qí huàn shū hū， yì mào fēn xíng 。 ” xuē zōng zhù：“ yì mào fēn xíng ， biàn huà yì yě。” nán cháo sòng bào zhào《 wǔ hè fù》：“ tài yòu yí yán， mào wú tíng qù， bēn jī dòu jié， jiǎo lài fēn xíng 。”《 huā yuè hén》 dì qī huí：“ qiāng tuō jì zhī mí cháng， suì fēn xíng ér gè jì。”
fēn lí Separate
　　fēn lí。 nán cháo sòng bào zhào《 zèng gù rén mǎ zǐ qiáo》 shī zhī liù：“ shuāng jiàn jiāng bié lí， xiān zài xiá zhōng míng， yān yǔ jiāo jiāng xī， cóng cǐ suì fēn xíng 。” táng hán yù《 dá zhāng chè》 shī：“ shǒu xù shǐ shí miàn， cì yán hòu fēn xíng 。”
No. 4
　　“ shuí bù zhī dào shāng gài niàn jiù bù néng bèi rèn wéi shì kē xué shàng de wén huà rén， jiāng lái shuí bù zhī dào fēn xíng gài niàn， yě bù néng chēng wèiyòu zhī shí。” héng héng wù lǐ xué jiā huì lè
shuí chuàng lì liǎo fēn xíng jǐ hé xué？
　　1973 nián， màn dé bó luó（ b.b.mandelbrot） zài fǎ lán xī xué yuàn jiǎng kè shí， shǒu cì tí chū liǎo fēn wéi hé fēn xíng jǐ hé de shè xiǎng。 fēn xíng （ fractal） yī cí， shì màn dé bó luó chuàng zào chū lái de， qí yuàn yì jù yòu bù guī zé、 zhī lí pò suì děng yì yì， fēn xíng jǐ hé xué shì yī mén yǐ fēi guī zé jǐ hé xíng tài wéi yán jiū duì xiàng de jǐ hé xué。 yóu yú bù guī zé xiàn xiàng zài zì rán jiè shì pǔ biàn cún zài de， yīn cǐ fēn xíng jǐ hé yòu chēng wéi miáo shù dà zì rán de jǐ hé xué。 fēn xíng jǐ hé jiàn lì yǐ hòu， hěn kuài jiù yǐn qǐ liǎo xǔ duō xué kē de guān zhù， zhè shì yóu yú tā bù jǐn zài lǐ lùn shàng， ér qiě zài shí yòng shàng dū jù yòu zhòng yào jià zhí。
　　 fēn xíng jǐ hé yǔ chuán tǒng jǐ hé xiāng bǐ yòu shénme tè diǎn：
　　 ⑴ cóng zhěng tǐ shàng kàn， fēn xíng jǐ hé tú xíng shì chù chù bù guī zé de。 lì rú， hǎi 'àn xiàn hé shān chuān xíng zhuàng， cóng yuǎn jù lí guān chá， qí xíng zhuàng shì jí bù guī zé de。
　　 ⑵ zài bù tóng chǐ dù shàng， tú xíng de guī zé xìng yòu shì xiāng tóng de。 shàng shù de hǎi 'àn xiàn hé shān chuān xíng zhuàng， cóng jìn jù lí guān chá， qí jú bù xíng zhuàng yòu hé zhěng tǐ xíng tài xiāng sì， tā men cóng zhěng tǐ dào jú bù， dōushì zì xiāng shìde。 dāng rán， yě yòu yī xiē fēn xíng jǐ hé tú xíng， tā men bìng bù wán quán shì zì xiāng shìde。 qí zhōng yī xiē shì yòng lái miáo shù yī bān suí jí xiàn xiàng de， hái yòu yī xiē shì yòng lái miáo shù hùn dùn hé fēi xiàn xìng xì tǒng de。
shénme shì fēn wéi？
　　zài 'ōu shì kōng jiān zhōng， rén men xí guàn bǎ kōng jiān kàn chéng sān wéi de， píng miàn huò qiú miàn kàn chéng 'èr wéi， ér bǎ zhí xiàn huò qū xiàn kàn chéng yī wéi。 yě kě yǐ shāo jiā tuī guǎng， rèn wéi diǎn shì líng wéi de， hái kě yǐ yǐn rù gāo wéi kōng jiān， dàn tōng cháng rén men xí guàn yú zhěng shù de wéi shù。 fēn xíng lǐ lùn bǎ wéi shù shì wéi fēn shù， zhè lèi wéi shù shì wù lǐ xué jiā zài yán jiū hùn dùn xī yǐn zǐ děng lǐ lùn shí xū yào yǐn rù de zhòng yào gài niàn。 wèile dìng liàng dì miáo shù kè guān shì wù de“ fēi guī zé” chéng dù， 1919 nián， shù xué jiā cóng cèduó de jiǎo dù yǐn rù liǎo wéi shù gài niàn， jiāng wéi shù cóng zhěng shù kuò dà dào fēn shù， cóng 'ér tū pò liǎo yī bān tuò pū jí wéi shù wéi zhěng shù de jiè xiàn。
　　 fēn wéi de gài niàn wǒ men kě yǐ cóng liǎng fāng miàn jiàn lì qǐ lái： yī fāng miàn， wǒ men shǒu xiān huà yī gè xiàn duàn、 zhèng fāng xíng hé lì fāng tǐ， tā men de biān cháng dōushì 1。 jiāng tā men de biān cháng 'èr děng fēn， cǐ shí， yuán tú de xiàn dù suō xiǎo wéi yuán lái de 1/2， ér jiāng yuán tú děng fēn wéi ruò gān gè xiāng sì de tú xíng。 qí xiàn duàn、 zhèng fāng xíng、 lì fāng tǐ fēn bié bèi děng fēn wéi 2^1、 2^2 hé 2^3 gè xiāng sì de zǐ tú xíng， qí zhōng de zhǐ shù 1、 2、 3， zhèng hǎo děng yú yǔ tú xíng xiāng yìng de jīng yàn wéi shù。 yī bān shuō lái， rú guǒ mǒu tú xíng shì yóu bǎ yuán tú suō xiǎo wéi 1/a de xiāng sì de b gè tú xíng suǒ zǔ chéng， yòu：
　　a^d=b,d=logb/loga
　　 de guān xì chéng lì， zé zhǐ shù d chēng wéi xiāng sì xìng wéi shù， d kě yǐ shì zhěng shù， yě kě yǐ shì fēn shù。 lìng yī fāng miàn， dāng wǒ men huà yī gēn zhí xiàn， rú guǒ wǒ men yòng 0 wéi de diǎn lái liàng tā， qí jiēguǒ wéi wú qióng dà， yīn wéi zhí xiàn zhōng bāo hán wú qióng duō gè diǎn； rú guǒ wǒ men yòng yī kuài píng miàn lái liàng tā， qí jiēguǒ shì 0， yīn wéi zhí xiàn zhōng bù bāo hán píng miàn。 nà me， yòng zěn yàng de chǐ dù lái liàng tā cái huì dé dào yòu xiàn zhí nǎ？ kàn lái zhǐ yòu yòng yǔ qí tóng wéi shù de xiǎo xiàn duàn lái liàng tā cái huì dé dào yòu xiàn zhí， ér zhè lǐ zhí xiàn de wéi shù wéi 1（ dà yú 0、 xiǎo yú 2）。 yǔ cǐ lèi sì， rú guǒ wǒ men huà yī gè koch qū xiàn， qí zhěng tǐ shì yī tiáo wú xiàn cháng de xiàn zhé dié 'ér chéng， xiǎn rán， yòng xiǎo zhí xiàn duàn liàng， qí jiēguǒ shì wú qióng dà， ér yòng píng miàn liàng， qí jiēguǒ shì 0（ cǐ qū xiàn zhōng bù bāo hán píng miàn）， nà me zhǐ yòu zhǎo yī gè yǔ koch qū xiàn wéi shù xiāng tóng de chǐ zǐ liàng tā cái huì dé dào yòu xiàn zhí， ér zhè gè wéi shù xiǎn rán dà yú 1、 xiǎo yú 2， nà me zhǐ néng shì xiǎo shù（ jí fēn shù） liǎo， suǒ yǐ cún zài fēn wéi。 qí shí， koch qū xiàn de wéi shù shì 1.2618 ……。
fractal（ fēn xíng ） yī cí de yóu lái
　　jù màn dé bó luó jiào shòu zì jǐ shuō， fractal yī cí shì 1975 nián xià tiān de yī gè jì jìng yè wǎn， tā zài míng sī kǔ xiǎng zhī yú 'ǒu fān tā 'ér zǐ de lā dīng wén zì diǎn shí， tū rán xiǎng dào de。 cǐ cí yuán yú lā dīng wén xíng róng cí fractus， duì yìng de lā dīng wén dòng cí shì frangere（“ pò suì”、“ chǎn shēng wú guī suì piàn”）。 cǐ wài yǔ yīng wén de fraction（“ suì piàn”、“ fēn shù”） jí fragment（“ suì piàn”） jù yòu xiāng tóng de cí gēn。 zài 70 nián dài zhōng qī yǐ qián， màn dé bó luó yī zhí shǐ yòng yīng wén fractional yī cí lái biǎo shì tā de fēn xíng sī xiǎng。 yīn cǐ， qǔ lā dīng cí zhī tóu， xié yīng wén zhī wěi de fractal， běn yì shì bù guī zé de、 pò suì de、 fēn shù de。 màn dé bó luó shì xiǎng yòng cǐ cí lái miáo shù zì rán jiè zhōng chuán tǒng 'ōu jǐ lǐ dé jǐ hé xué suǒ bù néng miáo shù de yī dà lèi fù zá wú guī de jǐ hé duì xiàng。 lì rú， wān wān qū qū de hǎi 'àn xiàn、 qǐ fú bù píng de shān mài， cū cāo bù kān de duàn miàn， biàn huàn wú cháng de fú yún， jiǔ qū huí cháng de hé liú， zòng héng jiāo cuò de xuè guǎn， lìng rén yǎn huā liáo luàn de mǎn tiān fán xīng děng。 tā men de tè diǎn shì， jí bù guī zé huò jí bù guāng huá。 zhí guān 'ér cū lüè dì shuō， zhè xiē duì xiàng dōushì fēn xíng 。
fēn xíng de dìng yì
　　màn dé bó luó céng jīng wéi fēn xíng xià guò liǎng gè dìng yì：
　　（ 1） mǎn zú xià shì tiáo jiàn
　　dim(a)>dim(a)
　　 de jí hé a， chēng wéi fēn xíng jí。 qí zhōng， dim(a) wéi jí hé a de hausdoff wéi shù（ huò fēn wéi shù）， dim(a) wéi qí tuò pū wéi shù。 yī bān shuō lái， dim(a) bù shì zhěng shù， ér shì fēn shù。
　　（ 2） bù fēn yǔ zhěng tǐ yǐ mǒu zhǒng xíng shì xiāng sì de xíng， chēng wéi fēn xíng 。
　　 rán 'ér， jīng guò lǐ lùn hèyìng yòng de jiǎn yàn， rén men fā xiàn zhè liǎng gè dìng yì hěn nán bāo kuò fēn xíng rú cǐ fēng fù de nèi róng。 shí jì shàng， duì yú shénme shì fēn xíng ， dào mù qián wéi zhǐ hái bù néng gěi chū yī gè què qiē de dìng yì， zhèng rú shēng wù xué zhōng duì“ shēng mìng” yě méi yòu yán gé míng què de dìng yì yī yàng， rén men tōng cháng shì liè chū shēng mìng tǐ de yī xì liè tè xìng lái jiā yǐ shuō míng。 duì fēn xíng de dìng yì yě kě tóng yàng de chǔlǐ。
　　（ i） fēn xíng jí dū jù yòu rèn yì xiǎo chǐ dù xià de bǐ lì xì jié， huò zhě shuō tā jù yòu jīng xì de jié gòu。
　　（ ii） fēn xíng jí bù néng yòng chuán tǒng de jǐ hé yǔ yán lái miáo shù， tā jì bù shì mǎn zú mǒu xiē tiáo jiàn de diǎn de guǐ jì， yě bù shì mǒu xiē jiǎn dān fāng chéng de jiě jí。
　　（ iii） fēn xíng jí jù yòu mǒu zhǒng zì xiāng sì xíng shì， kě néng shì jìn sì de zì xiāng sì huò zhě tǒng jì de zì xiāng sì。
　　（ iv） yī bān， fēn xíng jí de“ fēn xíng wéi shù”， yán gé dà yú tā xiāng yìng de tuò pū wéi shù。
　　（ v） zài dà duō shù lìng rén gǎn xīng qù de qíng xíng xià， fēn xíng jí yóu fēi cháng jiǎn dān de fāng fǎ dìng yì， kě néng yǐ biàn huàn de dié dài chǎn shēng。
kē xué yǔ yì shù de wán měi jié hé héng héng fēn xíng yì shù
　　 fēn xíng dàn shēng zài yǐ duō zhǒng gài niàn hé fāng fǎ xiāng hù chōng jī hé róng hé wéi tè zhēng de dāng dài。 fēn xíng hùn dùn zhī xuán fēng， héng sǎo shù xué、 lǐ huà、 shēng wù、 dà qì、 hǎi yáng yǐ zhì shè huì xué kē， zài yīnyuè、 měi shù jiān yě chǎn shēng liǎo yī dìng de yǐng xiǎng。
　　 fēn xíng suǒ chéng xiàn de wú qióng xuán jī hé měi gǎn yǐn fā rén men qù tàn suǒ。 jí shǐ nín bù dǒng dé qí zhōng shēn 'ào de shù xué zhé lǐ， yě huì wéi zhī gǎn dòng。
　　 fēn xíng shǐ rén men jué wù dào kē xué yǔ yì shù de róng hé， shù xué yǔ yì shù shěn měi shàng de tǒng yī， shǐ zuó rì kū zào de shù xué bù zài jǐn jǐn shì chōu xiàng de zhé lǐ， ér shì jù tǐ de gǎn shòu； bù zài jǐn jǐn shì jiē shì yī lèi cún zài， ér shì yī zhǒng yì shù chuàng zuò， fēn xíng dā qǐ liǎo kē xué yǔ yì shù de qiáo liáng。
　　“ fēn xíng yì shù” yǔ pǔ tōng“ diàn nǎo huì huà” bù tóng。 pǔ tōng de“ diàn nǎo huì huà” gài niàn shì yòng diàn nǎo wéi gōng jù cóng shì měi shù chuàng zuò， chuàng zuò zhě yào yòu hěn shēn de měi shù gōng dǐ。 ér“ fēn xíng yì shù” shì chún shù xué chǎn wù， chuàng zuò zhě yào yòu hěn shēn de shù xué gōng dǐ， cǐ wài hái yào yòu shú liàn de biān chéng jì néng。
shénme shì fēn wéi？
　　kāng tuō 'ěr sān fēn jí héng héng zuì jiǎn dān de fēn xíng zài 'ōu shì kōng jiān zhōng， rén men xí guàn bǎ kōng jiān kàn chéng sān wéi de， píng miàn huò qiú miàn kàn chéng 'èr wéi， ér bǎ zhí xiàn huò qū xiàn kàn chéng yī wéi。 yě kě yǐ shāo jiā tuī guǎng， rèn wéi diǎn shì líng wéi de， hái kě yǐ yǐn rù gāo wéi kōng jiān， dàn tōng cháng rén men xí guàn yú zhěng shù de wéi shù。 fēn xíng lǐ lùn bǎ wéi shù shì wéi fēn shù， zhè lèi wéi shù shì wù lǐ xué jiā zài yán jiū hùn dùn xī yǐn zǐ děng lǐ lùn shí xū yào yǐn rù de zhòng yào gài niàn。 wèile dìng liàng dì miáo shù kè guān shì wù de“ fēi guī zé” chéng dù， 1919 nián， shù xué jiā cóng cèduó de jiǎo dù yǐn rù liǎo wéi shù gài niàn， jiāng wéi shù cóng zhěng shù kuò dà dào fēn shù， cóng 'ér tū pò liǎo yī bān tuò pū jí wéi shù wéi zhěng shù de jiè xiàn。
　　 fēn wéi de gài niàn wǒ men kě yǐ cóng liǎng fāng miàn jiàn lì qǐ lái： yī fāng miàn， wǒ men shǒu xiān huà yī gè xiàn duàn、 zhèng fāng xíng hé lì fāng tǐ， tā men de biān cháng dōushì 1。 jiāng tā men de biān cháng 'èr děng fēn， cǐ shí， yuán tú de xiàn dù suō xiǎo wéi yuán lái de 1/2， ér jiāng yuán tú děng fēn wéi ruò gān gè xiāng sì de tú xíng。 qí xiàn duàn、 zhèng fāng xíng、 lì fāng tǐ fēn bié bèi děng fēn wéi 2^1、 2^2 hé 2^3 gè xiāng sì de zǐ tú xíng， qí zhōng de zhǐ shù 1、 2、 3， zhèng hǎo děng yú yǔ tú xíng xiāng yìng de jīng yàn wéi shù。 yī bān shuō lái， rú guǒ mǒu tú xíng shì yóu bǎ yuán tú suō xiǎo wéi 1/a de xiāng sì de b gè tú xíng suǒ zǔ chéng， yòu：
　　a^D=b,D=logb/loga
　　Koch qū xiàn de guān xì chéng lì， zé zhǐ shù D chēng wéi xiāng sì xìng wéi shù， D kě yǐ shì zhěng shù， yě kě yǐ shì fēn shù。 lìng yī fāng miàn， dāng wǒ men huà yī gēn zhí xiàn， rú guǒ wǒ men yòng 0 wéi de diǎn lái liàng tā， qí jiēguǒ wéi wú qióng dà， yīn wéi zhí xiàn zhōng bāo hán wú qióng duō gè diǎn； rú guǒ wǒ men yòng yī kuài píng miàn lái liàng tā， qí jiēguǒ shì 0， yīn wéi zhí xiàn zhōng bù bāo hán píng miàn。 nà me， yòng zěn yàng de chǐ dù lái liàng tā cái huì dé dào yòu xiàn zhí nǎ？ kàn lái zhǐ yòu yòng yǔ qí tóng wéi shù de xiǎo xiàn duàn lái liàng tā cái huì dé dào yòu xiàn zhí， ér zhè lǐ zhí xiàn de wéi shù wéi 1（ dà yú 0、 xiǎo yú 2）。 yǔ cǐ lèi sì， rú guǒ wǒ men huà yī gè Koch qū xiàn， qí zhěng tǐ shì yī tiáo wú xiàn cháng de xiàn zhé dié 'ér chéng， xiǎn rán， yòng xiǎo zhí xiàn duàn liàng， qí jiēguǒ shì wú qióng dà， ér yòng píng miàn liàng， qí jiēguǒ shì 0（ cǐ qū xiàn zhōng bù bāo hán píng miàn）， nà me zhǐ yòu zhǎo yī gè yǔ Koch qū xiàn wéi shù xiāng tóng de chǐ zǐ liàng tā cái huì dé dào yòu xiàn zhí， ér zhè gè wéi shù xiǎn rán dà yú 1、 xiǎo yú 2， nà me zhǐ néng shì xiǎo shù（ jí fēn shù） liǎo， suǒ yǐ cún zài fēn wéi。 Koch qū xiàn de měi yī bù fēn dū yóu 4 gè gēn tā zì shēn bǐ lì wéi 1:3 de
　　 xíng zhuàng xiāng tóng de xiǎoqǔ xiàn zǔ chéng， nà me tā de háo sī duō fū wéi shù ( fēn wéi shù ) wéi d=log(4)/log(3)=1.26185950714...
fēn xíng de lì shǐ
　　zài chuán tǒng de jǐ hé xué zhōng， rén men yán jiū yī gè jǐ hé duì xiàng， zǒng shì xí guàn yú zài Euclid kōng jiān (Rn,Euclidean) duì qí yán jiū hé dù liàng， qí zhōng zì mǔ n biǎo shì kōng jiān de wéi shù， tōng cháng wéi zhěng shù， rú n fēn bié wéi 1、 2、 3 shí， duì yìng de kōng jiān wéi xiàn xìng kōng jiān、 píng miàn kōng jiān、 lì tǐ kōng jiān， zài xiāng yìng de kōng jiān zhōng， wǒ men kě yǐ cè dé jǐ hé duì xiàng de cháng dù、 miàn jī、 tǐ jī děng。 dàn shì dà yuē zài 1 gè shì jì qián， zài shù xué lǐng yù， xiāng jì chū xiàn liǎo yī xiē bèi chēng wéi shù xué guài wù (mathematicalmonsters) de dōng xī， zài chuán tǒng de Euclid lǐng yù， rén men wú fǎ yòng jǐ hé yǔ yán qù biǎo shù qí zhěng tǐ huò jú bù xìng zhì， qí zhōng， bǐ jiào zhù míng de VonKoch qū xiàn shù xué guài wù bāo kuò：
　　VonKoch qū xiàn cǐ qū xiàn zài yī wéi xià cèliáng rèn yì duàn cháng dù wéi wú qióng dà（ xiǎng xiàng zhōng， kǎo lǜ dào néng cèliáng yuán zǐ de wéi dù）； zài 'èr wéi xià cèliáng miàn jī wéi líng
　　Sierpinski sān jiǎo xíng cǐ tú xíng miàn jī wéi líng
　　Cantor jí
　　 zhè xiē shù xué guài wù kùn rǎo shù xué jiā xǔ duō nián， zhí zhì 20 shì jì， bèi měi guó shù xué jiā BenoitB.Mandelbrot chuàng lì de fēn xíng jǐ hé xué (fractalgeometry) chè dǐ jiě jué。 Mandelbrot tí chū： wǒ men zhī suǒ yǐ wú fǎ yòng jǐ hé yǔ yán qù miáo shù zhè xiē shù xué guài wù， shì yīn wéi wǒ men shì zài wéi shù wéi zhěng shù de kōng jiān zhōng， yòng wéi shù tóng yàng shì zhěng shù de“ chǐ zǐ” duì qí zhàngliáng、 miáo shù； ér wéi shù bù yìng gāi jǐn jǐn shì zhěng shù， kě yǐ shì rèn hé yī gè zhèng shí shù； zhǐ yòu zài jǐ hé duì xiàng duì yìng de wéi shù kōng jiān zhōng， cái néng duì gāi jǐ hé tǐ jìn xíng hé lǐ de zhěng tǐ huò jú bù miáo shù。 yǐ shàng tú de Koch qū xiàn wéi lì， qí wéi shù yuē wéi 1.26， wǒ men yìng yòng tóng yàng wéi 1.26 wéi de chǐ zǐ duì qí jìn xíng miáo shù， bǐ rú qǔ gāi qū xiàn qián 1/4 duàn zuò wéi dān wèi wéi 1 de chǐ zǐ qù zhàngliáng zhè gè jǐ hé tǐ， cǐ jǐ hé tǐ cháng dù wéi 4。 yě zhèng shì yīn qí wéi shù jiè yú 1 wéi yǔ 2 wéi zhī jiān， suǒ yǐ cǐ jǐ hé tǐ zài 1 wéi xià cháng dù wéi wú qióng dà， 2 wéi xià miàn jī wéi líng。
　　Fractal zhè gè cí shì yóu Mandelbrot yú 1975 chuàng zào de， lái yuán yú lā dīng wén“ Fractus”， qí yīng wén yì sī shì broken， jí wéi“ bù guī zé、 zhī lí pò suì” de wù tǐ。 1967 nián， Mandelbrot zài měi guó《 Science》 zá zhì shàng fā biǎo tí mù wéi《 yīng guó de hǎi 'àn xiàn yòu duō cháng》 de huàshídài lùn wén， biāo zhì zhe qí fēn xíng sī xiǎng méng yá de chū xiàn。 1977 nián， Mandelbrot zài bā lí chū bǎn de fǎ wén zhù zuò《 Lesobjetsfractals:forme,hasardetdimension》 ,1977 nián， zài měi guó chū bǎn qí yīng wén bǎn《 Fractals:From,Chance,andDimension》（《 fēn xíng ： xíng zhuàng jī yù hé wéi shù》） , tóng nián， tā yòu chū bǎn liǎo《 TheFractalGeometryofNature》 (《 dà zì rán de fēn xíng jǐ hé》 )， dàn shì zhè sān běn shū hái wèi duì shè huì hé xué shù jiè zào chéng tài dà de yǐng xiǎng。 zhí dào 1982 nián，《 TheFractalGeometryofNature》 (《 dà zì rán de fēn xíng jǐ hé》 ) dì 'èr bǎn cái dé dào 'ōu měi shè huì de guǎng fàn guān zhù， bìng xùn sù xíng chéng liǎo“ fēn xíng rè”， cǐ shū yě bèi fēn xíng xué jiè shì wéi fēn xíng “ shèng jīng”。
　　 fēn xíng xué fā zhǎn shǐ shàng de zhòng yào lǐ chéng bēi
　　1872 nián Cantor jí hé bèi chuàng zào
　　1895 nián Weierstrass qū xiàn bèi chuàng zào， cǐ qū xiàn tè diǎn shì“ chù chù lián xù， diǎn diǎn bù kě wēi”
　　1906 nián Koch qū xiàn bèi chuàng zào
　　1914 nián Sierpinski sān jiǎo xíng bèi chuàng zào
　　1919 nián miáo shù fù zá jǐ hé tǐ de Hausdorff wéi wèn shì
　　1951 nián yīng guó shuǐ wén xué jiā Hurst tōng guò duō nián yán jiū ní luó hé， zǒng jié chū Hurst dìng lǜ
　　1967 nián Mandelbrot zài《 Science》 zá zhì shàng fā biǎo lùn wén《 yīng guó de hǎi 'àn xiàn yòu duō cháng》
　　1975 nián Mandelbrot chuàng zào“ Fractals” yī cí
　　1977 nián Mandelbrot zài bā lí chū bǎn de fǎ wén zhù zuò《 Lesobjetsfractals:forme,hasardetdimension》
　　1977 nián Mandelbrot zài měi guó chū bǎn yīng wén zhù zuò《 Fractals:From,Chance,andDimension》 yǐ jí《 TheFractalGeometryofNature》
　　1982 nián《 TheFractalGeometryofNature》 dì 'èr bǎn， bìng yǐn fā“ fēn xíng rè”
　　1991 nián yīng guó de Pergman chū bǎn shè chuàng bàn《 Chaos， SolitonandFractal》 zá zhì
　　1993 nián xīn jiā pō shì jiè kē xué chū bǎn shè chuàng bàn《 Fractal》 zá zhì
　　1998 nián zài mǎ 'ěr tā (Malta) de wǎ lāi tǎ (Valletta) zhào kāi liǎo“ fēn xíng 98 nián huì yì” (5thInternationalMultidisciplinaryConference)
　　1999 nián， dèng yǔ děng tuī chū《 zhōng yī fēn xíng jí》
　　2003 nián zài dé guó de Friedrichroda zhào kāi liǎo“ dì sān jiè fēn xíng jǐ hé hé tuī cè xué guó jì huì yì”
　　2004 nián zài jiā ná dà (Canada) de wēn gē huá (Vancouver) zhào kāi liǎo“ fēn xíng 2004 nián huì yì” (8thInternationalMultidisciplinaryConference)
zuì gǔ lǎo de pǔ sù fēn xíng jí
　　zuì gǔ lǎo de pǔ sù fēn xíng jí（ jǐ qiān nián lì shǐ， zuì jiǎn dān de fēn xíng jí yīn yáng jí）， 1999 nián， dèng yǔ děng。
　　 cóng zì xiāng sì xìng kàn , kě zhuī sù dào gǔ lǎo de zōng jiào hé zhōng yī << huáng dì nèi jīng >> děng diǎn jí .
　　 yīn yáng jí， fēn wéi D ＝ 1
　　 wǔ xíng jí， fēn wéi D＝ 1.4650
　　 yīn yáng wǔháng - zàng fǔ（ cáng xiàng： wǔ zàng wǔ fǔ） de fēn wéi D=2.0959.
fēn xíng de zhǒng lèi
　　táo yì shí jiān xì tǒng： fù dié dài de shōu liǎn xiàn jiè。 lì rú： Mandelbrot jí hé、 Julia jí hé、 BurningShip fēn xíng
　　 dié dài hán shù xì tǒng： zhè xiē xíng zhuàng yī bān kě yǐ yòng jiǎn dān de jǐ hé“ tì huàn” lái shí xiàn。 lì rú： kāng tuō jí hé、 Koch xuě huā、 xiè 'ěr bīn sī jī sān jiǎo xíng、 Peano qū xiàn děng děng。
　　 xī yǐn zǐ： diǎn zài dié dài de zuò yòng xià dé dào de jié gòu。 yī bān kě yǐ yòng wēi fēn fāng chéng què lì。 lì rú： Lorenz xī yǐn zǐ。
ruǎn jiàn
　　Ultra Fractal
　　Visions of Chaos
　　Fraciant
　　Apophysis
zhōng yī fēn xíng jí
　　1999 nián， dèng yǔ děng
　　 yīn yáng fēn xíng jí
　　 wǔháng fēn xíng jí
fēn xíng yǔ quán xī de guān xì
　　 fēn xíng de tè diǎn shì zhěng tǐ yǔ jú bù jù yòu zì xiāng sì tè xìng， ér quán xī zé shì zhěng tǐ de tè zhēng bāo hán zài jú bù zhī zhōng， měi yī gè jú bù dōukě yǐ shàng shēng wéi xiāng sì xìng de zhěng tǐ， suǒ yǐ， fēn xíng kě yǐ kàn zuò shì quán xī de yī bù fēn。
　　 fēn xíng de zì xiāng sì zài gài kuò fēn xíng de tè xìng shàng sì hū yòu jú xiàn xìng， dàn yǐ jīng jiāng fēn xíng jù yòu de tè zhēng biǎo dá chū lái liǎo。 yán gé de shuō， zhè zhǒng zì xiāng sì shì yī zhǒng céng cì huà de zì xiāng sì， ér fēn xíng de gài niàn jiù kě yǐ biǎo dá wéi： wù tǐ cún zài xíng shì shàng de yòu xù céng cì huà de zì xiāng sì tè zhēng。
jìnyící
fēn xíng tóng qì , fēn xíng gòng qì , fēn xíng lián qì
xiàngguāncí
wù lǐ xué jì suàn jī shù xué hùn dùn hún dùn zhé xué bó wù xué kē xué chuán bō
wù lǐ fēi xiàn xíng fēn wéi fēn chà bǎi kē cí diǎn gèng duō jiēguǒ ...