目錄 函数 hán shù
在某一變化過程中,兩個變量x、y,對於某一範圍內的x的每一個值,y都有確定的值和它對應,y就是x的函數 。這種關係一般用y=f(x)來表示。 彼此相關的兩個量之一,他們的關係是一個量的諸值與另外一個量的諸值相對應 稱因變數。數學名詞。在互相關聯的兩個數中,如甲數變化,乙數亦隨甲數的變化而變化,則乙數稱為甲數的函數 。如某種布每尺價格一定,則買的尺數越多,應付金額也越多。應付的金額即尺數的函數 。 在數學領域,函數 是一種關係,這種關係使一個集合裏的每一個元素對應到另一個(可能相同的)集合裏的唯一元素。
----a variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自變量,函數 一個與他量有關聯的變量,這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
----a rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函數 兩組元素一一對應的規則,第一組中的每個元素在第二組中衹有唯一的對應量。
函數 的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
functions
數學中的一種對應關係,是從某集合a到實數集b的對應。簡單地說,甲隨着乙變,甲就是乙的函數 。精確地說,設x是一個不空集合,y是某個實數集合 ,f是個規則 , 若對x中的每個x,按規則f,有y中的一個y與之對應 , 就稱f是x上的一個函數 ,記作y=f(x),稱x為函數 f(x)的定義域,y為其值域,x叫做自變量,y為x的函數 。
例1:y=sinx x=[0,2π],y=[-1,1] ,它給出了一個函數 關係。當然 ,把y改為y1=(a,b) ,a<b為任意實數,仍然是一個函數 關係。
其深度y與一岸邊點 o到測量點的距離 x 之間的對應關係呈麯綫,這代表一個函數 ,定義域為[0,b]。以上3例展示了函數 的三種表示法:公式法 , 表格法和圖像法。 有3個變量,y是u的函數 ,y=ψ(u),u是x的函數 ,u=f(x),往往能形成鏈:y通過中間變量u構成了x的函數 :
x→u→y,這要看定義域:設ψ的定義域為u 。 f的值域為u,當u*íu時,稱f與ψ 構成一個復合函數 , 例如 y=lgsinx,x∈(0,π)。此時sinx>0 ,lgsinx有意義 。但如若規定x∈(-π,0),此時sinx<0 ,lgsinx無意義 ,就成不了復合函數 。 就關係而言,一般是雙嚮的 ,函數 也如此 ,設y=f(x)為已知的函數 ,若對每個y∈y,有唯一的x∈x,使f(x)=y,這是一個由y找x的過程 ,即x成了y的函數 ,記為x=f -1(y)。稱f -1為f的反函數 。習慣上用x表示自變量 ,故這個函數 仍記為y=f -1(x) ,例如 y=sinx與y=arcsinx 互為反函數 。在同一坐標係中,y=f(x)與y=f -1(x)的圖形關於直綫y=x對稱。 若能由函數 方程 f(x,y)=0 確定y為x的函數 y=f(x),即f(x,f(x))≡0,就稱y是x的隱函數 。 設點(x1,x2,…,xn) ∈gírn,uír1 ,若對每一點(x1,x2,…,xn)∈g,由某規則f有唯一的 u∈u與之對應:f:g→u,u=f(x1,x2,…,xn),則稱f為一個n元函數 ,g為定義域,u為值域。
基本初等函數 及其圖像 幂函數 、指數函數 、對數函數 、三角函數 、反三角函數 稱為基本初等函數 。
①幂函數 :y=xμ(μ≠0,μ為任意實數)定義域:μ為正整數時為(-∞,+∞),μ為負整數時是(-∞,0)∪(0,+∞);μ=(α為整數),當α是奇數時為( -∞,+∞),當α是偶數時為(0,+∞);μ=p/q,p,q互素,作為的復合函數 進行討論。略圖如圖2、圖3。
②指數函數 :y=ax(a>0 ,a≠1),定義成為( -∞,+∞),值域為(0 ,+∞),a>0 時是嚴格單調增加的函數 ( 即當x2>x1時,) ,0<a<1 時是嚴格單減函數 。對任何a,圖像均過點(0,1),註意y=ax和y=()x的圖形關於y軸對稱。如圖4。
③對數函數 :y=logax(a>0), 稱a為底 , 定義域為(0,+∞),值域為(-∞,+∞) 。a>1 時是嚴格單調增加的,0<a<1時是嚴格單減的。不論a為何值,對數函數 的圖形均過點(1,0),對數函數 與指數函數 互為反函數 。如圖5。
以10為底的對數稱為常用對數 ,簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數,即自然對數,記作lnx。
④三角函數 :見表2。
正弦函數 、餘弦函數 如圖6,圖7所示。
⑤反三角函數 :見表3。雙麯正、餘弦如圖8。
⑥雙麯函數 :雙麯正弦(ex-e-x),雙麯餘弦(ex+e-x),雙麯正切(ex-e-x)/(ex+e-x) ,雙麯餘切( ex+e-x)/(ex-e-x)。
補充
在數學領域,函數 是一種關係,這種關係使一個集合裏的每一個元素對應到另一個(可能相同的)集合裏的唯一元素(這衹是一元函數 f(x)=y的情況,請按英文原文把普遍定義給出,謝謝)。函數 的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
術語函數 ,映射,對應,變換通常都是同一個意思。 i.定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關係:
y=ax²+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
則稱y為x的二次函數 。
二次函數 表達式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函數 的三種表達式
一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)²+k [拋物綫的頂點p(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點a(x1,0)和 b(x2,0)的拋物綫]
註:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
iii.二次函數 的圖象
在平面直角坐標係中作出二次函數 y=x²的圖象,
可以看出,二次函數 的圖象是一條拋物綫。
iv.拋物綫的性質
1.拋物綫是軸對稱圖形。對稱軸為直綫
x = -b/2a。
對稱軸與拋物綫唯一的交點為拋物綫的頂點p。
特別地,當b=0時,拋物綫的對稱軸是y軸(即直綫x=0)
2.拋物綫有一個頂點p,坐標為
p [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ]。
當-b/2a=0時,p在y軸上;當Δ= b²-4ac=0時,p在x軸上。
3.二次項係數a决定拋物綫的開口方向和大小。
當a>0時,拋物綫嚮上開口;當a<0時,拋物綫嚮下開口。
|a|越大,則拋物綫的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同决定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c决定拋物綫與y軸交點。
拋物綫與y軸交於(0,c)
6.拋物綫與x軸交點個數
Δ= b²-4ac>0時,拋物綫與x軸有2個交點。
Δ= b²-4ac=0時,拋物綫與x軸有1個交點。
Δ= b²-4ac<0時,拋物綫與x軸沒有交點。
v.二次函數 與一元二次方程
特別地,二次函數 (以下稱函數 )y=ax²+bx+c,
當y=0時,二次函數 為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax²+bx+c=0
此時,函數 圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數 與x軸交點的橫坐標即為方程的根。 i、定義與定義式:
自變量x和因變量y有如下關係:
y=kx+b(k,b為常數,k≠0)
則稱y是x的一次函數 。
特別地,當b=0時,y是x的正比例函數 。
ii、一次函數 的性質:
y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k
即 △y/△x=k
iii、一次函數 的圖象及性質:
1. 作法與圖形:通過如下3個步驟(1)列表;(2)描點;(3)連綫,可以作出一次函數 的圖象——一條直綫。因此,作一次函數 的圖象衹需知道2點,並連成直綫即可。
2. 性質:在一次函數 上的任意一點p(x,y),都滿足等式:y=kx+b。
3. k,b與函數 圖象所在象限。
當k>0時,直綫必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;
當k<0時,直綫必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。
當b>0時,直綫必通過一、二象限;當b<0時,直綫必通過三、四象限。
特別地,當b=o時,直綫通過原點o(0,0)表示的是正比例函數 的圖象。
這時,當k>0時,直綫衹通過一、三象限;當k<0時,直綫衹通過二、四象限。
iv、確定一次函數 的表達式:
已知點a(x1,y1);b(x2,y2),請確定過點a、b的一次函數 的表達式。
(1)設一次函數 的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函數 上的任意一點p(x,y),都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最後得到一次函數 的表達式。
v、一次函數 在生活中的應用
1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函數 。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數 。設水池中原有水量s。g=s-ft。
反比例函數
形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函數 ,叫做反比例函數 。
自變量x的取值範圍是不等於0的一切實數。
反比例函數 的圖像為雙麯綫。
如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數 圖像。 三角函數 是數學中屬於初等函數 中的超越函數 的一類函數 。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數 是在平面直角坐標係中定義的,其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴展到復數係。
由於三角函數 的周期性,它並不具有單值函數 意義上的反函數 。
三角函數 在復數中有較為重要的應用。在物理學中,三角函數 也是常用的工具。
它有六種基本函數 :
函數 名 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割
符號 sin cos tan cot sec csc
正弦函數 sin(a)=a/h
餘弦函數 cos(a)=b/h
正切函數 tan(a)=a/b
餘切函數 cot(a)=b/a
在某一變化過程中,兩個變量x、y,對於某一範圍內的x的每一個值,y都有確定的值和它對應,y就是x的函數 。這種關係一般用y=f(x)來表示。 1.早期函數 概念——幾何觀念下的函數
十七世紀伽俐略(g.galileo,意,1564-1642)在《兩門新科學》一書中,幾乎全部包含函數 或稱為變量關係的這一概念,用文字和比例的語言表達函數 的關係。1673年前後笛卡爾(descartes,法,1596-1650)在他的解析幾何中,已註意到一個變量對另一個變量的依賴關係,但因當時尚未意識到要提煉函數 概念,因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數 的一般意義,大部分函數 是被當作麯綫來研究的。
1673年,萊布尼茲首次使用“function” (函數 )表示“幂”,後來他用該詞表示麯綫上點的橫坐標、縱坐標、切綫長等麯綫上點的有關幾何量。與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用 “流量”來表示變量間的關係。
2.十八世紀函數 概念──代數觀念下的函數
1718年約翰•貝努利(bernoulli johann,瑞,1667-1748)在萊布尼茲函數 概念的基礎上對函數 概念進行了定義:“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數 ,並強調函數 要用公式來表示。
1755,歐拉(l.euler,瑞士,1707-1783) 把函數 定義為“如果某些變量,以某一種方式依賴於另一些變量,即當後面這些變量變化時,前面這些變量也隨着變化,我們把前面的變量稱為後面變量的函數 。”
18世紀中葉歐拉(l.euler,瑞,1707-1783)給出了定義:“一個變量的函數 是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰•貝努利給出的函數 定義稱為解析函數 ,並進一步把它區分為代數函數 和超越函數 ,還考慮了“隨意函數 ”。不難看出,歐拉給出的函數 定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
3.十九世紀函數 概念──對應關係下的函數
1821年,柯西(cauchy,法,1789-1857) 從定義變量起給出了定義:“在某些變數間存在着一定的關係,當一經給定其中某一變數的值,其他變數的值可隨着而確定時,則將最初的變數叫自變量,其他各變數叫做函數 。”同時指出對函數 來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數 關係可以用多個解析式來表示,這是一個很大的局限。
1837年狄利剋雷(dirichlet,德,1805-1859) 突破了這一局限,認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要,他拓廣了函數 概念,指出:“對於在某區間上的每一個確定的x值,y都有一個或多個確定的值,那麽y叫做x的函數 。”這個定義避免了函數 定義中對依賴關係的描述,以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數 定義。
等到康托(cantor,德,1845-1918)創立的集合論在數學中占有重要地位之後,維布倫(veblen,美,1880-1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數 定義,通過集合概念把函數 的對應關係、定義域及值域進一步具體化了,且打破了“變量是數”的極限,變量可以是數,也可以是其它對象。
4.現代函數 概念──集合論下的函數
1914年豪斯道夫(f.hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數 ,其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(kuratowski)於1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930 年新的現代函數 定義為“若對集合m的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在集合m上定義一個函數 ,記為y=f(x)。元素x稱為自變元,元素y稱為因變元。”
術語函數 ,映射,對應,變換通常都有同一個意思。
但函數 衹表示數與數之間的對應關係,映射還可表示點與點之間,圖形之間等的對應關係。可以說函數 包含於映射。
正比例函數 :
正比例函數 y=kx(k是常數,k≠0)的圖象是一條經過原點的直綫.當x>0時,圖象經過三、一象限,從左嚮右上升,即隨x的增大y也增大;當k<0時,圖象經過二、四象限,從左嚮右下降,即隨x增大y反而減小.
正是由於正比例函數 y=kx(k是常數,k≠0)的圖象是一條直綫,我們可以稱它為直綫y=kx.
(另:中文“函數 ”名稱的由來
在中國清代數學家李善蘭(1811—1882)翻譯的《代數學》一書中首次用中文把“function”翻譯為“函數 ”,此譯名沿用至今。對為什麽這樣翻譯這個概念,書中解釋說“凡此變數中函彼變數者,則此為彼之函數 ”;這裏的“函”是包含的意思。)
深入研究一次函數
徐若翰
在學習一次函數 時,根據中學要求,我們還要深入研究它的實際應用,以及如何改變圖象的位置。
一、實際問題中的分段函數
[例1](2005年武漢市)小明早晨從傢騎車到學校,先上坡後下坡,行程情況如圖。若返回時上、下一個坡的速度不變,那麽小明從學校騎車回傢用的時間是多少?
分析:上、下坡的速度不同,問題要分兩段來研究。
根據函數 圖象提供的信息,可知小明從傢去學校時,上坡路程為3600米,下坡路程為9600-3600=6000(米)。
∴上坡速度為3600÷18=200(米/分鐘)
下坡速度為6000÷(30-18)=500(米/分鐘)
小明回傢時,上坡路程6000米,下坡路程3600米,所用時間為6000÷200+3600÷500=37.2(分鐘)。
二、在物理學科中的應用
[例2](2004年黃岡市)某班同學在探究彈簧的長度與外力的變化關係時,實驗記錄得到的相應數據如下表:
求y關於x的函數 解析式及自變量的取值範圍。
分析:根據物理學知識可知,彈簧在外力(所挂砝碼的重力)作用下發生形變(伸長),外力與指針位置的關係可以用一次函數 表示;但是,每個彈簧所受的外力都有一定的限度,因此我們必須求出自變量的取值範圍。
由已知數據求出:在彈簧受力伸長過程中,
令y=7.5,得x=275
∴所求函數 為
註 兩段之間的分界點是x=275,不是x=300。
三、直綫平移的應用
[例3](2005年黑竜江省)在直角坐標係中,已知點a(-9,0)、p(0,-3)、c(0,-12)。問:在x軸上是否存在點q,使以點a、c、p、q為頂點的四邊形是梯形?若存在,求直綫pq的解析式;若不存在,請說明理由。
分析:在所研究的梯形中哪兩邊平行?有兩種可能:如果,就是把直綫ca平移,經過p點易求直綫ca的解析式為
平移後得到直綫的解析式為
如果
把直綫pa:平移,經過c點
得到直綫:
直綫交x軸於點(-36,0)
直綫的解析式為
如何理解函數 概念
曹陽
函數 是數學中的一個極其重要的基本概念,在中學數學中,函數 及其有關的內容很豐富,所占份量重,掌握好函數 的概念對今後的學習非常有用。回顧函數 概念的發展史,“函數 ”作為數學術語是萊布尼茲首次采用的,他在1692年的論文中第一次提出函數 這一概念,但其含義與現在對函數 的理解大不相同。現代初中數學課程中,函數 定義采用的是“變量說”。即:
在某變化過程中,有兩個變量x,y,如果對於x在某一範圍內的每一個確定的值,按照某個對應法則,y都有唯一確定的值和它對應,那麽就把y稱為x的函數 ,x稱為自變量,y稱為因變量。
它明確指出,自變量x在某一給定範圍可以取任一個值,因變量y按一定的規律也相應每次取唯一確定的值。但是,初中階段並不要求掌握自變量的取值範圍(看一下初中要學的幾個函數 可知,這個定義完全夠用,而且,對於初中生來說,也容易理解)。
函數 概念的抽象性很強,學生不易理解,要理解函數 概念必須明確兩點:第一,明確自變量和因變量的關係,在某變化過程中,有兩個變量x,y,如果看成y隨x的變化而變化,那麽x稱為自變量,y稱為因變量;如果看成x隨y的變化而變化,那麽y稱為自變量,x稱為因變量。第二,函數 定義的核心是“一一對應”,即給定一個自變量x的值就有唯一確定的因變量y的值和它對應,這樣的對應可以是“一個自變量對應一個因變量”(簡稱“一對一”),也可以是“幾個自變量對應一個因變量”(簡稱“多對一”),但不可以是“一個自變量對應多個因變量”(簡稱“一對多”),下面以圖1來闡述這樣的對應關係(其中x是自變量,y是因變量):
“一對一” “多對一” “一對多”
是函數 是函數 不是函數
圖1
下面舉4個例子幫助大傢理解函數 的概念:
例1 一根彈簧的長度為10cm,當彈簧受到拉力f(f在一定的範圍內)時,彈簧的長度用y表示,測得有關的數據如表1:
1
拉力f(kg)
1
2
3
4
…
彈簧的長度y(c)
…
彈簧的長度y是拉力f的函數 嗎?
分析:從表格中可讀出信息,當拉力分別是1kg、2kg、3kg、4kg時,都唯一對應了一個彈簧的長度y,滿足函數 的定義,所以彈簧的長度y是拉力f的函數 。一般地,以表格形式給出的函數 ,第一行是自變量的值,第二行是因變量的值。
例2 圖2是某地區一年內每個月的最高氣溫和最低氣溫圖。
圖2
圖2描述了哪些變量之間的關係?你能將其中某個變量看成另一個變量的函數 嗎?
分析:圖中給出了三個變量,最高氣溫、最低氣溫和月份,從圖中可以直觀地看出最高氣溫和最低氣溫隨着月份的變化而變化,而且每月的最高氣溫和最低氣溫都是唯一的,所以最高氣溫(或最低氣溫)是月份的函數 。我們還可以發現7月和8月的最高氣溫相同,也就是說兩個自變量對應了同一因變量。一般地,以圖象形式給出的函數 ,橫軸表示自變量,縱軸表示因變量。
例3 下列變量之間的關係是不是函數 關係?說明理由。
(1)圓的面積s與半徑r之間的關係;
(2)汽車以70千米/時的速度行駛,它駛過的路程s(千米)和所用時間t(時)之間的關係;
(3)等腰三角形的面積是,它的底邊長y(釐米)和底邊上的高x(釐米)之間的關係。
分析:(1)圓的面積s與半徑r之間的關係式是,當半徑確定時,圓的面積s也唯一確定,所以圓的面積s與半徑r之間的關係是函數 關係。
(2)路程s(千米)和所用時間t(時)的關係式是,當時間t確定時,路程s也唯一確定,所以路程s(千米)和所用時間t(時)之間的關係是函數 關係。
(3)底邊長ycm和底邊上的高xcm的關係式是,當底邊上的高x確定時,底邊長y也唯一確定,所以底邊長ycm和底邊上的高xcm之間的關係是函數 關係。
一般地,以關係式形式給出的函數 ,等號左邊是因變量,等號右邊的未知數是自變量。
例4 下列圖象中,不能表示函數 關係的是( )
分析:在上面四個圖象中,a、c、d都可以表示函數 關係,因為任意給定一個自變量x的值,都有唯一的一個y值與它相對應,但是b圖中,任意給定一個自變量x的值,卻有兩個不同的y值與它對應,所以本題應選b。
[問題2.9]設m是一個小於2006的四位數,已知存在正整數n,使得m-n為質數,且mn是一個完全平方數,求滿足條件的所有四位數m。 幂函數 的一般形式為y=x^a。
如果a取非零的有理數是比較容易理解的,不過初學者對於a取無理數,則不太容易理解,在我們的課程裏,不要求掌握如何理解指數為無理數的問題,因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。因此我們衹要接受它作為一個已知事實即可。
對於a的取值為非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函數 的定義域是r,如果q是偶數,函數 的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數 的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限製來源於兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數,那麽我們就可以知道:
排除了為0與負數兩種可能,即對於x>0,則a可以是任意實數;
排除了為0這種可能,即對於x<0和x>0的所有實數,q不能是偶數;
排除了為負數這種可能,即對於x為大於且等於0的所有實數,a就不能是負數。
總結起來,就可以得到當a為不同的數值時,幂函數 的定義域的不同情況如下:
如果a為任意實數,則函數 的定義域為大於0的所有實數;
如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函數 的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小於0,這時函數 的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數,則函數 的定義域為不等於0 的所有實數。
在x大於0時,函數 的值域總是大於0的實數。
在x小於0時,則衹有同時q為奇數,函數 的值域為非零的實數。
而衹有a為正數,0纔進入函數 的值域。
由於x大於0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出幂函數 在第一象限的各自情況.
可以看到:
(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。
(2)當a大於0時,幂函數 為單調遞增的,而a小於0時,幂函數 為單調遞減函數 。
(3)當a大於1時,幂函數 圖形下凹;當a小於1大於0時,幂函數 圖形上凸。
(4)當a小於0時,a越小,圖形傾斜程度越大。
(5)a大於0,函數 過(0,0);a小於0,函數 不過(0,0)點。
(6)顯然幂函數 無界。 設x∈r , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數,並用表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為高斯(guass)函數 ,也叫取整函數 。
任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和,即:x= [x] + (0≤<1) 在數學意義上,一個函數 (function)表示每個輸入值對應唯一輸出值。函數 f中對應輸入值的輸出值x的標準符號為f(x)。包含某個函數 所有的輸入值的集合被稱作這個函數 的定義域,包含所有的輸出值的集合被稱作值域。
例如,表達式f(x) = x^2表示了一個函數 f,其中每個輸入值f都與唯一輸出值x相聯繫。因此,如果一個輸入值為3,那麽它所對應的輸出值為9。一旦一個函數 f被定義,例如,就可以被寫為f(4) = 16。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自變量,函數 一個與他量有關聯的變量,這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
因變量(函數 ):隨着自變量的變化而變化,且自變量取唯一值時,因變量(函數 )有且衹有唯一一值與其相對應.
函數 兩組元素一一對應的規則,第一組中的每個元素在第二組中衹有唯一的對應量。
函數 的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
~‖函數 的定義: 設x和y是兩個變量,D是實數集的某個子集,若對於D中的每個值x,變量y按照一定的法則有且僅有一個確定的值y與之對應,稱變量y為變量x的函數 ,記作 y=f(x).
數集D稱為函數 的定義域,由函數 對應法則或實際問題的要求來確定。相應的函數 值的全體稱為函數 的值域,對應法則和定義域是函數 的兩個要素。
functions
數學中的一種對應關係,是從非空數集A到實數集B的對應。簡單地說,甲隨着乙變,甲就是乙的函數 。精確地說,設X是一個非空集合,Y是非空數集 ,f是個對應法則 , 若對X中的每個x,按對應法則f,使Y中存在唯一的一個元素y與之對應 , 就稱對應法則f是X上的一個函數 ,記作y=f(x),稱X為函數 f(x)的定義域,集合{y|y=f(x),x∈R}為其值域(值域是Y的子集),x叫做自變量,y叫做因變量,習慣上也說y是x的函數 。
若先定義映射的概念,可以簡單定義函數 為:定義在非空數集之間的映射稱為函數 。
例1:y=sinx X=[0,2π],Y=[-1,1] ,它給出了一個函數 關係。當然 ,把Y改為Y1=(a,b) ,a<b為任意實數,仍然是一個函數 關係。
其深度y與一岸邊點 O到測量點的距離 x 之間的對應關係呈麯綫,這代表一個函數 ,定義域為[0,b]。以上3示法:公式法 ,表格法和圖像法。
一般地,在一個變化過程中並且對於X的每一個確定的值,Y都有唯一的值與其對應,Y是X的函數 。如果當X=A時Y=B,那麽B叫做當自變量。
復合函數 <IMG src="http://t10.baidu.7021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
有3個變量,y是u的函數 ,y=ψ(u),u是x的函數 ,u=f(x),往往能形成鏈:y通過中間變量u構成了x的
x→u→y,這要看定義域:設域為U,當U*ÍU時,稱f與ψ 構成一個復合函數 , 例如 y=lgsinx,x∈(0,π)。此時sinx>0 ,lgsinx有意義 。但如若規定x∈(-π,0),此時sinx<0 ,lgsinx無意義 ,就成不了復合函數 。 一般地,設函數 y=f(x)(x∈A)的值域是C,根據這個函數 中x,y 的關係,用y把x表示出,得到x= f(y). 若對於y在C中的任何一個值,通過x= f(y),x在A中都有唯一的值和它對應,那麽,x= f(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數 ,這樣的函數 x= f(y)(y∈C)叫做函數 y=f(x)(x∈A)的反函數 ,記作x=f^-1(y). 反函數 y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數 y=f(x)的值域、定義域.
說明:⑴在函數 x=f^-1(y)中,y是自變量,x是函數 ,但習慣上,我們一般用x表示自變量,用y 表示函數 ,為此我們常常對調函數 x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改寫成y=f^-1(x),今後凡無特別說明,函數 y=f(x)的反函數 都采用這種經過改寫的形式.
⑵反函數 也是函數 ,因為它符合函數 的定義. 從反函數 的定義可知,對於任意一個函數 y=f(x)來說,不一定有反函數 ,若函數 y=f(x)有反函數 y=f^-1(x),那麽函數 y=f^-1(x)的反函數 就是y=f(x),這就是說,函數 y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函數 .
⑶從映射的定義可知,函數 y=f(x)是定義域A到值域C的映射,而它的反函數 y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函數 y=f(x)的定義域正好是它的反函數 y=f^-1(x)的值域;函數 y=f(x)的值域正好是它的反函數 y=f^-1(x)的定義域(如下表):
函數 y=f(x) 反函數 y=f^-1(x)
定義域 A C
值 域 C A
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為:
若確定函數 y=f(x)的映射f是函數 的定義域到值域“上”的“一一映射”,那麽由f的“逆”映射f^-1所確定的函數 x=f^-1(x)就叫做函數 y=f(x)的反函數 . 反函數 x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數 y=f(x)的值域、定義域.
開始的兩個例子:s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數 就可以寫為f^-1(t)=t/v,同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6,則它的反函數 為:f^-1(x)=x/2-3.
有時是反函數 需要進行分類討論,如:f(x)=X+1/X,需將X進行分類討論:在X大於0時的情況,X小於0的情況,多是要註意的。一般分數函數 的反函數 的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a
反函數 的應用:
直接求函數 的值域睏難時,可以通過求其原函數 的定義域來確定原函數 的值域,求反函數 的步驟是這樣的
1.先求出原函數 的值域,因為原函數 的值域就是反函數 的定義域
(我們知道函數 的三要素是定義域,值域,對應法則,所以先求反函數 的定義域是球反函數 的第一步)
2.反解x,也就是用y來表示x
3.改寫,交換位置,也就是把x改成y,把y改成x
4.寫出反函數 及其定義域
就關係而言,一般是雙嚮的 ,函數 也如此 ,設y=f(x)為已知的函數 ,若對每個y∈Y,有唯一的x∈X,使f(x)=y,這是一個由y找x的過程 ,即x成了y的函數 ,記為x=f -1(y)。則f -1為f的反函數 。習慣上用x表示自變量 ,故這個函數 仍記為y=f -1(x) ,例如 y=sinx與y=arcsinx 互為反函數 。在同一坐標係中,y=f(x)與y=f -1(x)的圖形關於直綫y=x對稱。 若能由方程 F(x,y)=0 確定y為x的函數 y=f(x),即F(x,f(x))≡0,就稱y是x的隱函數 。
註意:此處為方程F(x,y = 0 並非函數 。
思考:隱函數 是否為函數 ?因為在其變化的過程中並不滿足“一對一”和“多對一” 。 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關係:
y=ax^2+bx+c (a≠0)
(a,b,c為常數,a≠0,且a决定函數 的開口方向,a>0時,開口方向嚮上,a<0時,開口方向嚮下。IaI還可以决定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)
則稱y為x的二次函數 。
二次函數 表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量,y是x的函數
二次函數 的三種表達式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物綫的頂點P(h,k)] 對於二次函數 y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))
交點式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限於與x軸有交點A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的拋物綫]
其中x1,2= (-b±√(b^2-4ac))/(2a)
註:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
______
h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函數 的圖像
在平面直角坐標係中作出二次函數 y=x^2的圖像,
二次函數 可以看出,二次函數 的圖像是一條拋物綫。
二次函數 標準畫法步驟
(在平面直角坐標係上)
(1)列表
(2)描點
(3)連綫
拋物綫的性質
1.拋物綫是軸對稱圖形。對稱軸為直綫x = -b/2a。
對稱軸與拋物綫唯一的交點為拋物綫的頂點P。
特別地,當b=0時,拋物綫的對稱軸是y軸(即直綫x=0)
2.拋物綫有一個頂點P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項係數a决定拋物綫的開口方向和大小。
當a>0時,拋物綫嚮上開口;當a<0時,拋物綫嚮下開口。
|a|越大,則拋物綫的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同决定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c决定拋物綫與y軸交點。
拋物綫與y軸交於(0,c)
6.拋物綫與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時,拋物綫與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時,拋物綫與x軸有1個交點。
_______
Δ= b^2-4ac<0時,拋物綫與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)
當a>0時,函數 在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數 ,在{x|x>-b/2a}上是增函數 ;拋物綫的開口嚮上;函數 的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時,拋物綫的對稱軸是y軸,這時,函數 是偶函數 ,解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
二次函數 與一元二次方程
特別地,二次函數 (以下稱函數 )y=ax^2+bx+c,
當y=0時,二次函數 為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2+bx+c=0
此時,函數 圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數 與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數 y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,衹是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點坐標
(0,0)
(h,0)
(h,k)
(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
對 稱 軸
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物綫y=ax^2嚮右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則嚮左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,將拋物綫y=ax^2嚮右平行移動h個單位,再嚮上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物綫y=ax^2嚮右平行移動h個單位,再嚮下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物綫嚮左平行移動|h|個單位,再嚮上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物綫嚮左平行移動|h|個單位,再嚮下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
因此,研究拋物綫 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物綫的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物綫y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口嚮上,當a<0時開口嚮下,對稱軸是直綫x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.拋物綫y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.
4.拋物綫y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);
(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x₂-x₁| 另外,拋物綫上任何一對對稱點的距離可以由|2×(-b/2a)-A |(A為其中一點)
當△=0.圖象與x軸衹有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.拋物綫y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值.
6.用待定係數法求二次函數 的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
7.二次函數 知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函數 知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現. 三角函數 是數學中屬於初等函數 中的超越函數 的一類函數 。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數 是在平面直角坐標係中定義的,其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴展到復數係。
由於三角函數 的周期性,它並不具有單值函數 意義上的反函數 。
三角函數 在復數中有較為重要的應用。在物理學中,三角函數 也是常用的工具。
它有六種基本函數 :
函數 名: 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割
符號 sin cos tan cot sec csc
正弦函數 sin(A)=a/h
餘弦函數 cos(A)=b/h
正切函數 tan(A)=a/b
餘切函數 cot(A)=b/a
在某一變化過程中,兩個變量x、y,對於某一範圍內的x的每一個值,y都有確定的值和它對應,y就是x的函數 。這種關係一般用y=f(x)來表示。
一次函數 解析式的求法
求函數 解析式,是初中代數的一個重要內容,下面介紹函數 中最基本的函數 ??一次函數 幾種常見的解法。
一、待定係數法
待定係數法是求函數 解析式的基本方法,其一般步驟為,首先設出所求函數 解析式,再根據題設條件列出相應的方程(組),最後將所求待定係數的值代入所設的函數 解析式即可。
例1. 已知一次函數 的圖象經過點A(2,-1)和B,點B是另一條直綫與y軸的交點,求這個函數 的解析式。
解:設一次函數 的解析式為y=kx+b,則由題意得交點B的坐標為(0,3),
又一次函數 的圖象經過點A(2,-1)和點B(0,3),
解得
所求的函數 解析式為。
例2. 已知(其中a,b是常數)成正比例,求證:(1)y是x的一次函數 ;
(2)如果時,時,把y表示成x的函數 式。
分析:(1)欲證y是x的一次函數 ,即把y表示成“”的形式,由與成正比例,故可設,經變形可證。
(2)把兩組值代入由(1)得到的函數 表示式中,求得參數的值。
解:(1)設
,故y是x的一次函數 。
(2)把分別代入中,得
所求的解析式為。
二、平移變換法
平移變換法,就是把函數 的圖象沿x軸嚮右()或嚮左()平移|a|個單位,再沿y軸嚮上()或嚮下平移|b|個單位,即可得到函數 的圖象。利用這個平移法則可直接寫出所求函數 圖象的解析式。
例3. 將直綫嚮左平移3個單位,再嚮上平移一個單位,所得的直綫解析式為_______。
解:根據題意及平移變換法則
得,即
三、數形結合法
數形結合法,就是根據問題的需要,既可以把數量關係轉化為圖形性質去研究也可以把圖形性質轉化為數量關係來討論。
例4. 已知兩個一次函數 和,試用兩種不同的方法比較它們同一個自變量對應的函數 值的大小。
分析:比較兩個一次函數 值的大小,可以從圖象法,代入法兩個角度比較。
解:解法一:(圖象法)在同一坐標係中作出一次函數 的圖象。
如圖,觀察可知當時與相交於(1,-1),即
;
當的函數 圖象在的函數 圖象的下方,即。
當時,的函數 圖象在的函數 圖象的上方,即。
解法二:(代數法)
由此可見,上述兩種解法,分別從數、形兩種角度入手,相得益彰。
例5. 如圖,正方形ABCD的邊長是4,將此正方形置於平面直角坐標係xOy中,使AB在x軸的正半軸上,A點的坐標是(1,0)。
(1)經過點C的直綫與x軸交於點E,求四邊形AECD的面積。
(2)若直綫l經過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分,求直綫l的方程並在坐標係中畫出直綫l。
分析:(1)要求四邊形ABCD面積,因為正方形ABCD中DC//AE。可見四邊形AECD為梯形。
為此衹要求AE即可。
(2)要使直綫l把正方形面積分成相等兩部分,衹要直綫l過正方形的對稱中心,即對角綫交點。
解:(1)由,得。
。
四邊形AECD為直角梯形,
(平方單位)
(2)過正方形對稱中心的直綫,總是將正方形分成面積相等的兩部分。
過點E及正方形對稱中心的直綫即為所求的直綫l。
連接AC、BD交於G。
則E(2,0),G(3,2)代入的,
解得
所求直綫l的方程為。
四、分類討論法
分類討論法,就是在題目中未出現圖形或具體條件時將會出現多種可能性,因此要分別進行討論。
例6. 如果一次函數 的自變量x的取值範圍是,相應函數 值的範圍是,求此函數 的解析式。
分析:由於一次函數 的圖象是直綫,故當時,圖象是綫段,由一次函數 的增減性,函數 的最值一定對應x的最值即y的最大值9,一定對應x的最大值6,或最小值,這要視k的符號而定。
解:對k的值分兩種情況進行討論:
(1)當時,則y的值隨x的增大而增大,因此,一定是當時,。
當時,
故得 解之得
所求函數 解析式為。
當時,y隨x的增大而減小,一定是。
於是得解得
所求解析式為
綜合上述兩種情況。符合條件的解析式為
數學問題是千變萬化的,但我們總能找着常規,學習用運動變化的觀點看待數學問題,這對我們的學習是大有裨益的。 1.早期函數 概念——幾何觀念下的函數
十七世紀伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《兩門新科學》一書中,幾乎全部包含函數 或稱為變量關係的這一概念,用文字和比例的語言表達函數 的關係。1673年前後笛卡爾(Descartes,法,1596-1650)在他的解析幾何中,已註意到一個變量對另一個變量的依賴關係,但因當時尚未意識到要提煉函數 概念,因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數 的一般意義,大部分函數 是被當作麯綫來研究的。
1673年,萊布尼茲首次使用“function” (函數 )表示“幂”,後來他用該詞表示麯綫上點的橫坐標、縱坐標、切綫長等麯綫上點的有關幾何量。與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用 “流量”來表示變量間的關係。
2.十八世紀函數 概念──代數觀念下的函數
1718年約翰•貝努利(Bernoulli Johann,瑞,1667-1748)在萊布尼茲函數 概念的基礎上對函數 概念進行了定義:“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數 ,並強調函數 要用公式來表示。
1755,歐拉(L.Euler,瑞士,1707-1783) 把函數 定義為“如果某些變量,以某一種方式依賴於另一些變量,即當後面這些變量變化時,前面這些變量也隨着變化,我們把前面的變量稱為後面變量的函數 。”
18世紀中葉歐拉(L.Euler,瑞,1707-1783)給出了定義:“一個變量的函數 是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰•貝努利給出的函數 定義稱為解析函數 ,並進一步把它區分為代數函數 和超越函數 ,還考慮了“隨意函數 ”。不難看出,歐拉給出的函數 定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
3.十九世紀函數 概念──對應關係下的函數
1821年,柯西(Cauchy,法,1789-1857) 從定義變量起給出了定義:“在某些變數間存在着一定的關係,當一經給定其中某一變數的值,其他變數的值可隨着而確定時,則將最初的變數叫自變量,其他各變數叫做函數 。”在柯西的定義中,首先出現了自變量一詞,同時指出對函數 來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數 關係可以用多個解析式來表示,這是一個很大的局限。
1822年傅裏葉(Fourier,法國,1768——1830)發現某些函數 也已用麯綫表示,也可以用一個式子表示,或用多個式子表示,從而結束了函數 概念是否以唯一一個式子表示的爭論,把對函數 的認識又推進了一個新層次。
1837年狄利剋雷(Dirichlet,德,1805-1859) 突破了這一局限,認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要,他拓廣了函數 概念,指出:“對於在某區間上的每一個確定的x值,y都有一個或多個確定的值,那麽y叫做x的函數 。”這個定義避免了函數 定義中對依賴關係的描述,以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數 定義。
等到康托(Cantor,德,1845-1918)創立的集合論在數學中占有重要地位之後,維布倫(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數 定義,通過集合概念把函數 的對應關係、定義域及值域進一步具體化了,且打破了“變量是數”的極限,變量可以是數,也可以是其它對象。
4.現代函數 概念──集合論下的函數
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數 ,其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930 年新的現代函數 定義為“若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在集合M上定義一個函數 ,記為y=f(x)。元素x稱為自變元,元素y稱為因變元。”
術語函數 ,映射,對應,變換通常都有同一個意思。
但函數 衹表示數與數之間的對應關係,映射還可表示點與點之間,圖形之間等的對應關係。可以說函數 包含於映射。當然,映射也衹是一部分。 設x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數,並用表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為高斯(Guass)函數 ,也叫取整函數 。
任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和,即:x= [x] + (0≤<1) 復變函數 是定義域為復數集合的函數 。
復數的概念起源於求方程的根,在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裏,人們對這類數不能理解。但隨着數學的發展,這類數的重要性就日益顯現出來。復數的一般形式是:a+bi,其中i是虛數單位。
以復數作為自變量的函數 就叫做復變函數 ,而與之相關的理論就是復變函數 論。解析函數 是復變函數 中一類具有解析性質的函數 ,復變函數 論主要就研究復數域上的解析函數 ,因此通常也稱復變函數 論為解析函數 論。
復變函數 論的發展簡況
復變函數 論産生於十八世紀。1774年,歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數 的積分導出的兩個方程。而比他更早時,法國數學家達朗貝爾在他的關於流體力學的論文中,就已經得到了它們。因此,後來人們提到這兩個方程,把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀,上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時,作了更詳細的研究,所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。
復變函數 論的全面發展是在十九世紀,就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣,復變函數 這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認復變函數 論是最豐饒的數學分支,並且稱為這個世紀的數學享受,也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。
為復變函數 論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾,法國的拉普拉斯也隨後研究過復變函數 的積分,他們都是創建這門學科的先驅。
後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯。二十世紀初,復變函數 論又有了很大的進展,維爾斯特拉斯的學生,瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都作了大量的研究工作,開拓了復變函數 論更廣阔的研究領域,為這門學科的發展做出了貢獻。
復變函數 論在應用方面,涉及的面很廣,有很多復雜的計算都是用它來解决的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場,所謂場就是每點對應有物理量的一個區域,對它們的計算就是通過復變函數 來解决的。
比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候,就用復變函數 論解决了飛機機翼的結構問題,他在運用復變函數 論解决流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。
復變函數 論不但在其他學科得到了廣泛的應用,而且在數學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科,對它們的發展很有影響。
復變函數 論的內容
復變函數 論主要包括單值解析函數 理論、黎曼麯面理論、幾何函數 論、留數理論、廣義解析函數 等方面的內容。
如果當函數 的變量取某一定值的時候,函數 就有一個唯一確定的值,那麽這個函數 解就叫做單值解析函數 ,多項式就是這樣的函數 。
復變函數 也研究多值函數 ,黎曼麯面理論是研究多值函數 的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種麯面叫做黎曼麯面。利用這種麯面,可以使多值函數 的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對於某一個多值函數 ,如果能作出它的黎曼麯面,那麽,函數 在離曼麯面上就變成單值函數 。
黎曼麯面理論是復變函數 域和幾何間的一座橋梁,能夠使我們把比較深奧的函數 的解析性質和幾何聯繫起來。近來,關於黎曼麯面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響,逐漸地趨嚮於討論它的拓撲性質。
復變函數 論中用幾何方法來說明、解决問題的內容,一般叫做幾何函數 論,復變函數 可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數 所實現的映像就都是共形映象,共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應用。
留數理論是復變函數 論中一個重要的理論。留數也叫做殘數,它的定義比較復雜。應用留數理論對於復變函數 積分的計算比起綫積分計算方便。計算實變函數 定積分,可以化為復變函數 沿閉回路麯綫的積分後,再用留數基本定理化為被積分函數 在閉合回路麯綫內部孤立奇點上求留數的計算,當奇點是極點的時候,計算更加簡潔。
把單值解析函數 的一些條件適當地改變和補充,以滿足實際研究工作的需要,這種經過改變的解析函數 叫做廣義解析函數 。廣義解析函數 所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數 的一些基本性質,衹要稍加改變後,同樣適用於廣義解析函數 。
廣義解析函數 的應用範圍很廣泛,不但應用在流體力學的研究方面,而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此,近年來這方面的理論發展十分迅速。
從柯西算起,復變函數 論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展,並且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中,它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。現在,復變函數 論中仍然有不少尚待研究的課題,所以它將繼續嚮前發展,並將取得更多應用。
upcase 字符型 使小寫英文字母變為大寫 字符型
downcase 字符型 使大寫英文字母變為小寫 字符型 形如階梯的具有無窮多個跳躍間斷點的函數 .
其實也就是分段函數 表達式為 y=k/x(k為常數且k≠0,x≠0) 的函數 ,叫做反比例函數 。
反比例函數 的其他形式:y=k/x=k·1/x=kx-1
反比例函數 的特點:y=k/x→xy=k
自變量x的取值範圍是不等於0的一切實數。
反比例函數 圖像性質:
反比例函數 的圖像為雙麯綫。
反比例函數 關於原點中心對稱,關於坐標軸角平分綫軸對稱,另外,從反比例函數 的解析式可以得出,在反比例函數 的圖像上任取一點,嚮兩個坐標軸作垂綫,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣,即k的絶對值。
如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數 圖像。
當 k >0時,反比例函數 圖像的兩個分支分別在一,三象限,因為在同一支反比例函數 圖像上,y隨x的增大而減小所以又稱為減函數
當k <0時,反比例函數 圖像圖像的兩個分支分別在二,四象限,因為在同一支反比例函數 圖像上,y隨x的增大而增大所以又稱為增函數
倘若不在同一象限,則剛好相反。
由於反比例函數 的自變量和因變量都不能為0,所以圖像衹能無限嚮坐標軸靠近,無法和坐標軸相交。
知識點:
1.過反比例函數 圖象上任意一點作兩坐標軸的垂綫段,這兩條垂綫段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。
2.對於雙麯綫y= k/x,若在分母上加減任意一個實數m (即 y=k/x(x±m)m為常數),就相當於將雙麯綫圖象嚮左或右平移m個單位。(加一個數時嚮左平移,減一個數時嚮右平移) 許多程序設計語言中,可以將一段經常需要使用的代碼封裝起來,在需要使用時可以直接調用,這就是程序中的函數 。比如在C語言中:
int max(int x,int y)
{
return(x>y?x:y;);
}
就是一段比較兩數大小的函數 ,函數 有參數與返回值。C++程序設計中的函數 可以分為兩類:帶參數的函數 和不帶參數的函數 。這兩種參數的聲明、定義也不一樣。
帶有(一個)參數的函數 的聲明:
類型名標示符+函數 名+(類型標示符+參數)
{
}
不帶參數的函數 的聲明:
void+函數 名()
{
}
花括號內為函數 體。
帶參數的函數 有返回值,不帶參數的沒有返回值。
C++中函數 的調用:函數 必須聲明後纔可以被調用。調用格式為:函數 名(實參)
調用時函數 名後的小括號中的實參必須和聲明函數 時的函數 括號中的形參個數相同。
有返回值的函數 可以進行計算,也可以做為右值進行賦值。
#include <iostream>
using namespace std;
int f1(int x, inty)
{int z;
return x+y;
}
void main()
{cout<<f1(50,660)<<endl
}
C語言中的部分函數
main(主函數 )
max(求最大數的函數 )
scanf(輸入函數 )
printf(輸出函數 ) 定義 設y=f(μ),μ=φ(x),當x在μ=φ(x)的定義域Dφ中變化時,μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定義域Df內變化,因此變量x與y之間通過變量μ形成的一種函數 關係,記為
y=f(μ)=f[φ(x)]稱為復合函數 ,其中x稱為自變量,μ為中間變量,y為因變量(即函數 )
生成條件不是任何兩個函數 都可以復合成一個復合函數 ,衹有當μ=φ(x)的值域Zφ和y=f(μ)的定義域Df的交集不為空集時,二者纔可以復合成一個復合函數 。
定義域若函數 y=f(u)的定義域是B﹐函數 u=g(x)的定義域是A﹐則復合函數 y=f[g(x)]的定義域是
D={x|x∈A,且g(x)∈B}
周期性設y=f(x),的最小正周期為T1,μ=φ(x)的最小正周期為T2,則y=f(μ)的最小正周期為T1*T2,任一周期可表示為k*T1*T2(k屬於R+)
增減性依y=f(x),μ=φ(x)的增減性决定。即“增增得增,減減得增,增減得減”,可以簡化為“同增異減”
判斷復合函數 的單調性的步驟如下:(1)求復合函數 定義域;(2)將復合函數 分解為若幹
個常見函數 (一次、二次、幂、指、對函數 );(3)判斷每個常見函數 的單調性;(4)將中間
變量的取值範圍轉化為自變量的取值範圍;(5)求出復合函數 的單調性。
例如:討論函數 y=0.8^(x2-4x+3)的單調性。
解:函數 定義域為R。
令u=x2-4x+3,y=0.8^u。
指數函數 y=0.8^u在(-∞,+∞)上是減函數 ,
u=x2-4x+3在(-∞,2]上是減函數 ,在[2,+∞)上是增函數 ,
∴ 函數 y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞,2]上是增函數 ,在[2,+∞)上是減函數 。
利用復合函數 求參數取值範圍
求參數的取值範圍是一類重要問題,解題關鍵是建立關於這個參數的不等式組,必須
將已知的所有條件加以轉化。 hanshu
函數
function
數學的基礎概念之一。在物質世界裏常常是一些量依賴於另一些量,即一些量的值隨另一些量的值確定而確定。函數 就是這類依賴關係的一種數學概括。
設□是一非空的實數集,□是某一規則。如果對每一個數□□□□□,□ 惟一地確定出一個相對應的實數□(□),則稱□為定義於□上的一個函數 ,集□ 稱為函數 的定義域。數□(□)稱為函數 在□的函數 值,全體函數 值的集М={□(□)|□□□□□}=□(□)稱為函數 的值域。一般,由規則□在□上定義的函數 用記號
□:□→М表示,也常常簡單地記作□。函數 □:□→М是從集□到集М上的映射。
函數 定義域□的一些最簡單情形可以是整個數軸,即全體實數的集□;也可以是數軸上的某個閉區間[□,□]={□|□≤□≤□}或開區間(□,□)={□|□ 函數 記號□:□→М準確地表現了函數 概念的內涵。但是人們需要能簡便表示函數 的其他方法。目前科學著作中比較流行的做法是允許把函數 □:□→М記作□(□)(□□□)或者更簡單地記作□(□)(如果定義域 D是不寫自明的)。例如:對一切實數□,規則 □(□)=2□3-1將定義出一個函數 □:□→□,通常人們就把它記作2□3-1(□□□□□)或者 2□3-1。嚴格說來,這樣做是有缺陷的,因為它多少混淆了函數 □與數(函數 值)□(□)。不過它仍然被廣泛采用。
設給定任一函數 □:□→М。如果令□是一個以□為變域的變量(不再像前面那樣表示□中的某一個數),令□是一個以М為變域的變量,那麽,函數 □顯示的是:對於變量□在□內所取的每一個值,通過□能給變量□在М內惟一地確定出一個對應值。由此可見,變量□通過□表現出對變量□的一種依賴關係,而函數 □則是這種依賴關係的數學表達。
在給函數 概念添加上變量這一層含義的時候,總把以函數 定義域□為變域的變量叫做函數 的自變量,把以函數 值域М為變域的變量叫做函數 的因變量。於是在上面的作法中,□是自變量,□是因變量。“變量□通過函數 □依賴於□”這個事實也常常被簡單地說成“變量□是變量□的□函數 ”,並且用□=□(□)這種等式形式的記號來加以表示。
把函數 理解成變量間的依賴關係,豐富了人們對這個抽象數學概念的直覺聯想。但這並不絲毫改變函數 的本質內容。特別說來,用什麽名稱來稱呼一個函數 的變量是無關緊要的。記號□=□(□) (□□□□□)和□=□(□)(□□□□□)在數學上表示的是同一個函數 □:□→М。
函數 的圖像 對任意一個函數 □=□(□)(□□□□□),如果把□中的任意一個數□與它的對應數□(=□(□))組成一個有序數對(□,□),相應地便在坐標平面□□□上得到一點□(□,□)。平面上所有這種點(數對)的集
□ ={(□,□)|□□□□□,□=□(□)}稱為函數 □的圖像(圖1函數 的圖像示例)。由函數 定義,集□具有下述性質:若(□,□),(□,□)都屬於□,則□=□,就是說,□不含有第一個坐標(第一個數)相同但相異的點(數對)。從這一性質出發,如果給定了集□,那麽函數 本身(定義域和對應規則)也就隨之完全確定。所以,每一個函數 都可以定義為某一個具有上述性質的點(有序數對)之集。
一切所謂的基本初等函數 ,包括常值函數 □=□(常數),幂函數 □=□□,指數函數 □=□□,對數函數 □=log□□,三角函數 □=sin □,…,反三角函數 □=arc sin□,…等等的圖像,都可以用通常的繪圖工具比較滿意地畫出,它們各形成平面上的一條或者多條麯綫(圖2 函數 □=□□的圖像、圖3函數 □=□□(□>1)、□=log□□的圖像、圖4函數 □=sin □、□=arc sin □的圖像、圖 : Han Shu n.: function, functions, zeta-function of algebra, quantity whose value depends on the varying values of others n. fonction (mathématique) dos c語言 網絡 網絡協議 不等式 數學 證明 高等數學 百科大全 宇宙學 物理 量子力學 百科辭典 物理百科 計算機 編程 PB 燈謎 解析式 代數 中學數學 分析學 現代數學 拓撲綫性空間 基本初等函數 雙麯函數 微積分 集合論 代數學 近世代數 更多結果...
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