目錄 函数 hán shù 函數 。這種關係一般用y=f(x)來表示。 彼此相關的兩個量之一,他們的關係是一個量的諸值與另外一個量的諸值相對應 稱因變數。數學名詞。在互相關聯的兩個數中，如甲數變化，乙數亦隨甲數的變化而變化，則乙數稱為甲數的函數 。如某種布每尺價格一定，則買的尺數越多，應付金額也越多。應付的金額即尺數的函數 。 在數學領域，函數 是一種關係，這種關係使一個集合裏的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合裏的唯一元素。
函數 一個與他量有關聯的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
函數 兩組元素一一對應的規則，第一組中的每個元素在第二組中衹有唯一的對應量。
函數 的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
函數 。精確地說，設x是一個不空集合，y是某個實數集合 ，f是個規則 ， 若對x中的每個x，按規則f，有y中的一個y與之對應 ， 就稱f是x上的一個函數 ，記作y＝f（x），稱x為函數 f（x）的定義域，y為其值域，x叫做自變量，y為x的函數 。
函數 關係。當然 ，把y改為y1＝（a，b） ，a＜b為任意實數，仍然是一個函數 關係。
函數 ，定義域為［0，b］。以上3例展示了函數 的三種表示法：公式法 ， 表格法和圖像法。 有3個變量，y是u的函數 ，y＝ψ（u），u是x的函數 ，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過中間變量u構成了x的函數 ：
函數 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時sinx＞0 ，lgsinx有意義 。但如若規定x∈（－π，0），此時sinx＜0 ，lgsinx無意義 ，就成不了復合函數 。 就關係而言，一般是雙嚮的 ，函數 也如此 ，設y＝f（x）為已知的函數 ，若對每個y∈y，有唯一的x∈x，使f（x）＝y，這是一個由y找x的過程 ，即x成了y的函數 ，記為x＝f -1（y）。稱f -1為f的反函數 。習慣上用x表示自變量 ，故這個函數 仍記為y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx與y＝arcsinx 互為反函數 。在同一坐標係中，y＝f（x）與y＝f -1（x）的圖形關於直綫y＝x對稱。 若能由函數 方程 f（x，y）＝0 確定y為x的函數 y＝f（x），即f（x，f（x））≡0，就稱y是x的隱函數 。 設點（x1，x2，…，xn） ∈gírn，uír1 ，若對每一點（x1，x2，…，xn）∈g，由某規則f有唯一的 u∈u與之對應：f：g→u，u＝f（x1，x2，…，xn），則稱f為一個n元函數 ，g為定義域，u為值域。
函數 及其圖像 幂函數 、指數函數 、對數函數 、三角函數 、反三角函數 稱為基本初等函數 。
函數 ：y＝xμ（μ≠0，μ為任意實數）定義域：μ為正整數時為（－∞，＋∞），μ為負整數時是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α為整數)，當α是奇數時為（ －∞，＋∞），當α是偶數時為（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作為的復合函數 進行討論。略圖如圖2、圖3。
函數 ：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定義成為（ －∞，＋∞），值域為（0 ，＋∞），a＞0 時是嚴格單調增加的函數 （ 即當x2＞x1時，） ，0＜a＜1 時是嚴格單減函數 。對任何a，圖像均過點（0，1），註意y＝ax和y＝（）x的圖形關於y軸對稱。如圖4。
函數 ：y＝logax（a＞0）， 稱a為底 ， 定義域為（0，＋∞），值域為（－∞，＋∞） 。a＞1 時是嚴格單調增加的，0＜a＜1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函數 的圖形均過點（1，0），對數函數 與指數函數 互為反函數 。如圖5。
函數 ：見表2。
函數 、餘弦函數 如圖6，圖7所示。
函數 ：見表3。雙麯正、餘弦如圖8。
函數 ：雙麯正弦（ex－e-x），雙麯餘弦（ex＋e-x），雙麯正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，雙麯餘切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。
函數 是一種關係，這種關係使一個集合裏的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合裏的唯一元素（這衹是一元函數 f（x）＝y的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。函數 的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
函數 ，映射，對應，變換通常都是同一個意思。 i.定義與定義表達式
函數 。
函數 表達式的右邊通常為二次三項式。
函數 的三種表達式
函數 的圖象
函數 y=x²的圖象，
函數 的圖象是一條拋物綫。
函數 與一元二次方程
函數 （以下稱函數 ）y=ax²+bx+c，
函數 為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
函數 圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數 與x軸交點的橫坐標即為方程的根。 i、定義與定義式：
函數 。
函數 。
函數 的性質：
函數 的圖象及性質：
函數 的圖象——一條直綫。因此，作一次函數 的圖象衹需知道2點，並連成直綫即可。
函數 上的任意一點p（x，y），都滿足等式：y=kx+b。
函數 圖象所在象限。
函數 的圖象。
函數 的表達式：
函數 的表達式。
函數 的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
函數 上的任意一點p（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：
函數 的表達式。
函數 在生活中的應用
函數 。s=vt。
函數 。設水池中原有水量s。g=s-ft。
函數
函數 ，叫做反比例函數 。
函數 的圖像為雙麯綫。
函數 圖像。 三角函數 是數學中屬於初等函數 中的超越函數 的一類函數 。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數 是在平面直角坐標係中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數係。
函數 的周期性，它並不具有單值函數 意義上的反函數 。
函數 在復數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數 也是常用的工具。
函數 ：
函數 名 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割
函數 sin（a）=a/h
函數 cos（a）=b/h
函數 tan（a）=a/b
函數 cot（a）=b/a
函數 。這種關係一般用y=f(x)來表示。 1.早期函數 概念——幾何觀念下的函數
函數 或稱為變量關係的這一概念，用文字和比例的語言表達函數 的關係。1673年前後笛卡爾(descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已註意到一個變量對另一個變量的依賴關係，但因當時尚未意識到要提煉函數 概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數 的一般意義，大部分函數 是被當作麯綫來研究的。
函數 ）表示“幂”，後來他用該詞表示麯綫上點的橫坐標、縱坐標、切綫長等麯綫上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關係。
函數 概念──代數觀念下的函數
函數 概念的基礎上對函數 概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數 ，並強調函數 要用公式來表示。
函數 定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴於另一些變量，即當後面這些變量變化時，前面這些變量也隨着變化，我們把前面的變量稱為後面變量的函數 。”
函數 是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰•貝努利給出的函數 定義稱為解析函數 ，並進一步把它區分為代數函數 和超越函數 ，還考慮了“隨意函數 ”。不難看出，歐拉給出的函數 定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
函數 概念──對應關係下的函數
函數 。”同時指出對函數 來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數 關係可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
函數 概念，指出：“對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那麽y叫做x的函數 。”這個定義避免了函數 定義中對依賴關係的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數 定義。
函數 定義，通過集合概念把函數 的對應關係、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它對象。
函數 概念──集合論下的函數
函數 ，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(kuratowski)於1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
函數 定義為“若對集合m的任意元素x，總有集合Ｎ確定的元素y與之對應，則稱在集合m上定義一個函數 ，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。”
函數 ，映射，對應，變換通常都有同一個意思。
函數 衹表示數與數之間的對應關係，映射還可表示點與點之間，圖形之間等的對應關係。可以說函數 包含於映射。
函數 :
函數 y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條經過原點的直綫．當x>0時，圖象經過三、一象限，從左嚮右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖象經過二、四象限，從左嚮右下降，即隨x增大y反而減小．
函數 y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條直綫，我們可以稱它為直綫y=kx．
函數 ”名稱的由來
函數 ”，此譯名沿用至今。對為什麽這樣翻譯這個概念，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數 ”；這裏的“函”是包含的意思。）
函數
函數 時，根據中學要求，我們還要深入研究它的實際應用，以及如何改變圖象的位置。
函數
函數 圖象提供的信息，可知小明從傢去學校時，上坡路程為3600米，下坡路程為9600－3600=6000（米）。
函數 解析式及自變量的取值範圍。
函數 表示；但是，每個彈簧所受的外力都有一定的限度，因此我們必須求出自變量的取值範圍。
函數 為
函數 概念
函數 是數學中的一個極其重要的基本概念，在中學數學中，函數 及其有關的內容很豐富，所占份量重，掌握好函數 的概念對今後的學習非常有用。回顧函數 概念的發展史，“函數 ”作為數學術語是萊布尼茲首次采用的，他在1692年的論文中第一次提出函數 這一概念，但其含義與現在對函數 的理解大不相同。現代初中數學課程中，函數 定義采用的是“變量說”。即：
函數 ，x稱為自變量，y稱為因變量。
函數 可知，這個定義完全夠用，而且，對於初中生來說，也容易理解）。
函數 概念的抽象性很強，學生不易理解，要理解函數 概念必須明確兩點：第一，明確自變量和因變量的關係，在某變化過程中，有兩個變量x，y，如果看成y隨x的變化而變化，那麽x稱為自變量，y稱為因變量；如果看成x隨y的變化而變化，那麽y稱為自變量，x稱為因變量。第二，函數 定義的核心是“一一對應”，即給定一個自變量x的值就有唯一確定的因變量y的值和它對應，這樣的對應可以是“一個自變量對應一個因變量”（簡稱“一對一”），也可以是“幾個自變量對應一個因變量”（簡稱“多對一”），但不可以是“一個自變量對應多個因變量”（簡稱“一對多”），下面以圖1來闡述這樣的對應關係（其中x是自變量，y是因變量）：
函數 是函數 不是函數
函數 的概念：
函數 嗎？
函數 的定義，所以彈簧的長度y是拉力f的函數 。一般地，以表格形式給出的函數 ，第一行是自變量的值，第二行是因變量的值。
函數 嗎？
函數 。我們還可以發現7月和8月的最高氣溫相同，也就是說兩個自變量對應了同一因變量。一般地，以圖象形式給出的函數 ，橫軸表示自變量，縱軸表示因變量。
函數 關係？說明理由。
函數 關係。
函數 關係。
函數 關係。
函數 ，等號左邊是因變量，等號右邊的未知數是自變量。
函數 關係的是（ ）
函數 關係，因為任意給定一個自變量x的值，都有唯一的一個y值與它相對應，但是b圖中，任意給定一個自變量x的值，卻有兩個不同的y值與它對應，所以本題應選b。
幂函數 的一般形式為y=x^a。
函數 的定義域是r，如果q是偶數，函數 的定義域是[0,＋∞）。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數 的定義域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限製來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麽我們就可以知道：
函數 的定義域的不同情況如下：
函數 的定義域為大於0的所有實數；
函數 的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數 的定義域為大於0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數 的定義域為不等於0 的所有實數。
函數 的值域總是大於0的實數。
函數 的值域為非零的實數。
函數 的值域。
函數 在第一象限的各自情況.
函數 為單調遞增的，而a小於0時，幂函數 為單調遞減函數 。
函數 圖形下凹；當a小於1大於0時，幂函數 圖形上凸。
函數 過（0，0）；a小於0，函數 不過（0，0）點。
函數 無界。 設x∈r ， 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數，並用表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為高斯（guass）函數 ，也叫取整函數 。
在數學意義上，一個函數 （function）表示每個輸入值對應唯一輸出值。函數 f中對應輸入值的輸出值x的標準符號為f(x)。包含某個函數 所有的輸入值的集合被稱作這個函數 的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。
函數 f，其中每個輸入值f都與唯一輸出值x相聯繫。因此，如果一個輸入值為3，那麽它所對應的輸出值為9。一旦一個函數 f被定義，例如，就可以被寫為f(4) = 16。
函數 一個與他量有關聯的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
函數 ):隨着自變量的變化而變化,且自變量取唯一值時,因變量(函數 )有且衹有唯一一值與其相對應.
函數 兩組元素一一對應的規則，第一組中的每個元素在第二組中衹有唯一的對應量。
函數 的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
函數 的定義： 設x和y是兩個變量，D是實數集的某個子集，若對於D中的每個值x，變量y按照一定的法則有且僅有一個確定的值y與之對應，稱變量y為變量x的函數 ，記作 y=f(x).
函數 的定義域，由函數 對應法則或實際問題的要求來確定。相應的函數 值的全體稱為函數 的值域，對應法則和定義域是函數 的兩個要素。
函數 。精確地說，設X是一個非空集合，Y是非空數集 ，f是個對應法則 ， 若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應 ， 就稱對應法則f是X上的一個函數 ，記作y＝f（x），稱X為函數 f（x）的定義域，集合{y|y=f（x），x∈R}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習慣上也說y是x的函數 。
函數 為：定義在非空數集之間的映射稱為函數 。
函數 關係。當然 ，把Y改為Y1＝（a，b） ，a＜b為任意實數，仍然是一個函數 關係。
函數 ，定義域為［0，b］。以上3示法：公式法 ，表格法和圖像法。
函數 。如果當X=A時Y=B，那麽B叫做當自變量。
函數 <IMG src="http://t10.baidu.7021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
函數 ，y＝ψ（u），u是x的函數 ，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過中間變量u構成了x的
函數 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時sinx＞0 ，lgsinx有意義 。但如若規定x∈（－π，0），此時sinx＜0 ，lgsinx無意義 ，就成不了復合函數 。 一般地，設函數 y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數 中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對於y在C中的任何一個值，通過x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那麽，x= f(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數 ，這樣的函數 x= f(y)(y∈C)叫做函數 y=f(x)(x∈A)的反函數 ，記作x=f^-1(y). 反函數 y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數 y=f(x)的值域、定義域.
函數 x=f^-1(y)中，y是自變量，x是函數 ，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數 ，為此我們常常對調函數 x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^-1(x)，今後凡無特別說明，函數 y=f(x)的反函數 都采用這種經過改寫的形式.
函數 也是函數 ，因為它符合函數 的定義. 從反函數 的定義可知，對於任意一個函數 y=f(x)來說，不一定有反函數 ，若函數 y=f(x)有反函數 y=f^-1(x)，那麽函數 y=f^-1(x)的反函數 就是y=f(x)，這就是說，函數 y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函數 .
函數 y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數 y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數 y=f(x)的定義域正好是它的反函數 y=f^-1(x)的值域；函數 y=f(x)的值域正好是它的反函數 y=f^-1(x)的定義域（如下表）：
函數 y=f(x) 反函數 y=f^-1(x)
函數 y=f(x)的映射f是函數 的定義域到值域“上”的“一一映射”，那麽由f的“逆”映射f^-1所確定的函數 x=f^-1(x)就叫做函數 y=f(x)的反函數 . 反函數 x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數 y=f(x)的值域、定義域.
函數 就可以寫為f^-1(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數 為：f^-1(x)=x/2-3.
函數 需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進行分類討論：在X大於0時的情況，X小於0的情況，多是要註意的。一般分數函數 的反函數 的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a
函數 的應用：
函數 的值域睏難時，可以通過求其原函數 的定義域來確定原函數 的值域，求反函數 的步驟是這樣的
函數 的值域，因為原函數 的值域就是反函數 的定義域
函數 的三要素是定義域，值域，對應法則，所以先求反函數 的定義域是球反函數 的第一步）
函數 及其定義域
函數 也如此 ，設y＝f（x）為已知的函數 ，若對每個y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，這是一個由y找x的過程 ，即x成了y的函數 ，記為x＝f -1（y）。則f -1為f的反函數 。習慣上用x表示自變量 ，故這個函數 仍記為y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx與y＝arcsinx 互為反函數 。在同一坐標係中，y＝f（x）與y＝f -1（x）的圖形關於直綫y＝x對稱。 若能由方程 F（x，y）＝0 確定y為x的函數 y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就稱y是x的隱函數 。
函數 。
函數 是否為函數 ？因為在其變化的過程中並不滿足“一對一”和“多對一” 。 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關係：
函數 的開口方向，a>0時，開口方向嚮上，a<0時，開口方向嚮下。IaI還可以决定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
函數 。
函數 表達式的右邊通常為二次三項式。
函數
函數 的三種表達式
函數 y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))
函數 的圖像
函數 y=x^2的圖像，
函數 可以看出，二次函數 的圖像是一條拋物綫。
函數 標準畫法步驟
函數 在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數 ，在{x|x>-b/2a}上是增函數 ；拋物綫的開口嚮上；函數 的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變
函數 是偶函數 ，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
函數 與一元二次方程
函數 （以下稱函數 ）y=ax^2+bx+c，
函數 為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
函數 圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數 與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
函數 y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，衹是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
函數 的解析式
函數 知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數 知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現． 三角函數 是數學中屬於初等函數 中的超越函數 的一類函數 。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數 是在平面直角坐標係中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數係。
函數 的周期性，它並不具有單值函數 意義上的反函數 。
函數 在復數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數 也是常用的工具。
函數 ：
函數 名： 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割
函數 sin（A）=a/h
函數 cos（A）=b/h
函數 tan（A）=a/b
函數 cot（A）=b/a
函數 。這種關係一般用y=f(x)來表示。
函數 解析式的求法
函數 解析式，是初中代數的一個重要內容，下面介紹函數 中最基本的函數 ??一次函數 幾種常見的解法。
函數 解析式的基本方法，其一般步驟為，首先設出所求函數 解析式，再根據題設條件列出相應的方程（組），最後將所求待定係數的值代入所設的函數 解析式即可。
函數 的圖象經過點A（2，-1）和B，點B是另一條直綫與y軸的交點，求這個函數 的解析式。
函數 的解析式為y=kx+b，則由題意得交點B的坐標為（0，3），
函數 的圖象經過點A（2，-1）和點B（0，3），
函數 解析式為。
函數 ；
函數 式。
函數 ，即把y表示成“”的形式，由與成正比例，故可設，經變形可證。
函數 表示式中，求得參數的值。
函數 。
函數 的圖象沿x軸嚮右（）或嚮左（）平移|a|個單位，再沿y軸嚮上（）或嚮下平移|b|個單位，即可得到函數 的圖象。利用這個平移法則可直接寫出所求函數 圖象的解析式。
函數 和，試用兩種不同的方法比較它們同一個自變量對應的函數 值的大小。
函數 值的大小，可以從圖象法，代入法兩個角度比較。
函數 的圖象。
函數 圖象在的函數 圖象的下方，即。
函數 圖象在的函數 圖象的上方，即。
函數 的自變量x的取值範圍是，相應函數 值的範圍是，求此函數 的解析式。
函數 的圖象是直綫，故當時，圖象是綫段，由一次函數 的增減性，函數 的最值一定對應x的最值即y的最大值9，一定對應x的最大值6，或最小值，這要視k的符號而定。
函數 解析式為。
1.早期函數 概念——幾何觀念下的函數
函數 或稱為變量關係的這一概念，用文字和比例的語言表達函數 的關係。1673年前後笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已註意到一個變量對另一個變量的依賴關係，但因當時尚未意識到要提煉函數 概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數 的一般意義，大部分函數 是被當作麯綫來研究的。
函數 ）表示“幂”，後來他用該詞表示麯綫上點的橫坐標、縱坐標、切綫長等麯綫上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關係。
函數 概念──代數觀念下的函數
函數 概念的基礎上對函數 概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數 ，並強調函數 要用公式來表示。
函數 定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴於另一些變量，即當後面這些變量變化時，前面這些變量也隨着變化，我們把前面的變量稱為後面變量的函數 。”
函數 是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰•貝努利給出的函數 定義稱為解析函數 ，並進一步把它區分為代數函數 和超越函數 ，還考慮了“隨意函數 ”。不難看出，歐拉給出的函數 定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
函數 概念──對應關係下的函數
函數 。”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數 來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數 關係可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
函數 也已用麯綫表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數 概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數 的認識又推進了一個新層次。
函數 概念，指出：“對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那麽y叫做x的函數 。”這個定義避免了函數 定義中對依賴關係的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數 定義。
函數 定義，通過集合概念把函數 的對應關係、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它對象。
函數 概念──集合論下的函數
函數 ，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
函數 定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合Ｎ確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數 ，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。”
函數 ，映射，對應，變換通常都有同一個意思。
函數 衹表示數與數之間的對應關係，映射還可表示點與點之間，圖形之間等的對應關係。可以說函數 包含於映射。當然，映射也衹是一部分。 設x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數，並用表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為高斯（Guass）函數 ，也叫取整函數 。
復變函數 是定義域為復數集合的函數 。
函數 就叫做復變函數 ，而與之相關的理論就是復變函數 論。解析函數 是復變函數 中一類具有解析性質的函數 ，復變函數 論主要就研究復數域上的解析函數 ，因此通常也稱復變函數 論為解析函數 論。
函數 論的發展簡況
函數 論産生於十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數 的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關於流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，後來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。
函數 論的全面發展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，復變函數 這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認復變函數 論是最豐饒的數學分支，並且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。
函數 論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨後研究過復變函數 的積分，他們都是創建這門學科的先驅。
函數 論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了復變函數 論更廣阔的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。
函數 論在應用方面，涉及的面很廣，有很多復雜的計算都是用它來解决的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，對它們的計算就是通過復變函數 來解决的。
函數 論解决了飛機機翼的結構問題，他在運用復變函數 論解决流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。
函數 論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發展很有影響。
函數 論的內容
函數 論主要包括單值解析函數 理論、黎曼麯面理論、幾何函數 論、留數理論、廣義解析函數 等方面的內容。
函數 的變量取某一定值的時候，函數 就有一個唯一確定的值，那麽這個函數 解就叫做單值解析函數 ，多項式就是這樣的函數 。
函數 也研究多值函數 ，黎曼麯面理論是研究多值函數 的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種麯面叫做黎曼麯面。利用這種麯面，可以使多值函數 的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對於某一個多值函數 ，如果能作出它的黎曼麯面，那麽，函數 在離曼麯面上就變成單值函數 。
函數 域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數 的解析性質和幾何聯繫起來。近來，關於黎曼麯面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨嚮於討論它的拓撲性質。
函數 論中用幾何方法來說明、解决問題的內容，一般叫做幾何函數 論，復變函數 可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數 所實現的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應用。
函數 論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較復雜。應用留數理論對於復變函數 積分的計算比起綫積分計算方便。計算實變函數 定積分，可以化為復變函數 沿閉回路麯綫的積分後，再用留數基本定理化為被積分函數 在閉合回路麯綫內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。
函數 的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函數 叫做廣義解析函數 。廣義解析函數 所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數 的一些基本性質，衹要稍加改變後，同樣適用於廣義解析函數 。
函數 的應用範圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，近年來這方面的理論發展十分迅速。
函數 論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，並且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。現在，復變函數 論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續嚮前發展，並將取得更多應用。
形如階梯的具有無窮多個跳躍間斷點的函數 .
函數 表達式為 y＝k／x(k為常數且k≠0,x≠0) 的函數 ，叫做反比例函數 。
函數 的其他形式：y=k/x=k·1/x=kx-1
函數 的特點：y=k/x→xy=k
函數 圖像性質：
函數 的圖像為雙麯綫。
函數 關於原點中心對稱，關於坐標軸角平分綫軸對稱，另外，從反比例函數 的解析式可以得出，在反比例函數 的圖像上任取一點，嚮兩個坐標軸作垂綫，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣,即k的絶對值。
函數 圖像。
函數 圖像的兩個分支分別在一，三象限，因為在同一支反比例函數 圖像上，y隨x的增大而減小所以又稱為減函數
函數 圖像圖像的兩個分支分別在二，四象限，因為在同一支反比例函數 圖像上，y隨x的增大而增大所以又稱為增函數
函數 的自變量和因變量都不能為0，所以圖像衹能無限嚮坐標軸靠近，無法和坐標軸相交。
函數 圖象上任意一點作兩坐標軸的垂綫段，這兩條垂綫段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。
許多程序設計語言中，可以將一段經常需要使用的代碼封裝起來，在需要使用時可以直接調用，這就是程序中的函數 。比如在C語言中:
函數 ，函數 有參數與返回值。C++程序設計中的函數 可以分為兩類：帶參數的函數 和不帶參數的函數 。這兩種參數的聲明、定義也不一樣。
函數 的聲明：
函數 名+（類型標示符+參數）
函數 的聲明：
函數 名（）
函數 體。
函數 有返回值，不帶參數的沒有返回值。
函數 的調用：函數 必須聲明後纔可以被調用。調用格式為：函數 名（實參）
函數 名後的小括號中的實參必須和聲明函數 時的函數 括號中的形參個數相同。
函數 可以進行計算，也可以做為右值進行賦值。
函數
函數 ）
函數 ）
函數 ）
函數 ） 定義 設y=f(μ),μ=φ(x),當x在μ=φ(x)的定義域Dφ中變化時，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定義域Df內變化，因此變量x與y之間通過變量μ形成的一種函數 關係，記為
函數 ，其中x稱為自變量，μ為中間變量，y為因變量(即函數 )
函數 都可以復合成一個復合函數 ，衹有當μ=φ(x)的值域Zφ和y=f(μ)的定義域Df的交集不為空集時，二者纔可以復合成一個復合函數 。
函數 y=f(u)的定義域是B﹐函數 u=g(x)的定義域是A﹐則復合函數 y=f[g(x)]的定義域是
函數 的單調性的步驟如下：(1)求復合函數 定義域；(2)將復合函數 分解為若幹
函數 (一次、二次、幂、指、對函數 )；(3)判斷每個常見函數 的單調性；(4)將中間
函數 的單調性。
函數 y=0.8^(x2-4x+3)的單調性。
函數 定義域為R。
函數 y=0.8^u在(-∞，+∞)上是減函數 ，
函數 ，在[2，+∞)上是增函數 ，
函數 y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函數 ，在[2，+∞)上是減函數 。
函數 求參數取值範圍
hanshu
函數
函數 就是這類依賴關係的一種數學概括。
函數 ，集□ 稱為函數 的定義域。數□(□)稱為函數 在□的函數 值，全體函數 值的集М={□(□)|□□□□□}=□(□)稱為函數 的值域。一般，由規則□在□上定義的函數 用記號
函數 □:□→М是從集□到集М上的映射。
函數 定義域□的一些最簡單情形可以是整個數軸,即全體實數的集□；也可以是數軸上的某個閉區間[□，□]={□|□≤□≤□}或開區間(□,□)={□|□ 函數 記號□:□→М準確地表現了函數 概念的內涵。但是人們需要能簡便表示函數 的其他方法。目前科學著作中比較流行的做法是允許把函數 □:□→М記作□(□)(□□□)或者更簡單地記作□(□)（如果定義域 D是不寫自明的）。例如：對一切實數□，規則 □(□)=2□3-1將定義出一個函數 □:□→□,通常人們就把它記作2□3-1(□□□□□)或者 2□3-1。嚴格說來,這樣做是有缺陷的，因為它多少混淆了函數 □與數（函數 值）□(□)。不過它仍然被廣泛采用。
函數 □:□→М。如果令□是一個以□為變域的變量（不再像前面那樣表示□中的某一個數），令□是一個以М為變域的變量，那麽,函數 □顯示的是：對於變量□在□內所取的每一個值，通過□能給變量□在М內惟一地確定出一個對應值。由此可見，變量□通過□表現出對變量□的一種依賴關係，而函數 □則是這種依賴關係的數學表達。
函數 概念添加上變量這一層含義的時候，總把以函數 定義域□為變域的變量叫做函數 的自變量,把以函數 值域М為變域的變量叫做函數 的因變量。於是在上面的作法中，□是自變量，□是因變量。“變量□通過函數 □依賴於□”這個事實也常常被簡單地說成“變量□是變量□的□函數 ”，並且用□=□(□)這種等式形式的記號來加以表示。
函數 理解成變量間的依賴關係，豐富了人們對這個抽象數學概念的直覺聯想。但這並不絲毫改變函數 的本質內容。特別說來，用什麽名稱來稱呼一個函數 的變量是無關緊要的。記號□=□(□) (□□□□□)和□=□(□)(□□□□□)在數學上表示的是同一個函數 □:□→М。
函數 的圖像 對任意一個函數 □=□(□)(□□□□□)，如果把□中的任意一個數□與它的對應數□(=□(□))組成一個有序數對(□,□)，相應地便在坐標平面□□□上得到一點□(□,□)。平面上所有這種點（數對）的集
函數 □的圖像（圖1函數 的圖像示例）。由函數 定義,集□具有下述性質：若(□,□),(□,□)都屬於□，則□=□，就是說,□不含有第一個坐標（第一個數）相同但相異的點（數對）。從這一性質出發,如果給定了集□，那麽函數 本身（定義域和對應規則）也就隨之完全確定。所以，每一個函數 都可以定義為某一個具有上述性質的點（有序數對）之集。
函數 ,包括常值函數 □=□(常數)，幂函數 □=□□，指數函數 □=□□，對數函數 □=log□□，三角函數 □=sin □，…，反三角函數 □=arc sin□，…等等的圖像，都可以用通常的繪圖工具比較滿意地畫出，它們各形成平面上的一條或者多條麯綫（圖2 函數 □=□□的圖像、圖3函數 □=□□(□>1)、□=log□□的圖像、圖4函數 □=sin □、□=arc sin □的圖像、圖 : Han Shu n.: function, functions, zeta-function of algebra, quantity whose value depends on the varying values of others n. fonction (mathématique) dos c語言 網絡 網絡協議 不等式 數學 證明 高等數學 百科大全 宇宙學 物理 量子力學 百科辭典 物理百科 計算機 編程 PB 燈謎 解析式 代數 中學數學 分析學 現代數學 拓撲綫性空間 基本初等函數 雙麯函數 微積分 集合論 代數學 近世代數 更多結果...
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