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| 關於三角形的任意一邊的平方等於其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的積的兩倍的定理。即a2＝b2+c2-2bccosa，b2＝c2+a2-2cacosb，c2＝a2+b2-2abcosc。 |
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餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理，直接運用它可解决一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更為方便、靈活．
對於任意三角形 三邊為a,b,c 三角為a,b,c 滿足性質
a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosb
c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosc
cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc
證明：
如圖：
∵a=b-c
∴a^2=(b-c)^2 （證明中前面所寫的a,b,c皆為嚮量，^2為平方）拆開即a^2=b^2+c^2-2bc
再拆開，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
同理可證其他，而下面的cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是將cosa移到右邊表示一下。
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平面幾何證法：
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所對的邊為c，∠b所對的邊為b，∠a所對的邊為a
則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根據勾股定理可得：
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
從餘弦定理和餘弦函數的性質可以看出,
如果一個三角形兩邊的平方和等於第三
邊的平方,那麽第三邊所對的角一定是直
角,如果小於第三邊的平方,那麽第三邊所
對的角是鈍角,如果大於第三邊,那麽第三邊
所對的角是銳角.即，利用餘弦定理，可以判斷三角形形狀。
同時，還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。 |
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| 餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理，直接運用它可解决一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更為方便、靈活。 |
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對於任意三角形中任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的餘弦的兩倍即：三邊為a,b,c 三角為A,B,C 滿足性質
(註：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc |
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平面嚮量證法：
∵如圖，有a+b=c (平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角綫代表兩個鄰邊大小）
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
（以上粗體字符表示嚮量）
又∵Cos(π-θ)=-CosC
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（註意：這裏用到了三角函數公式）
再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。
平面幾何證法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac |
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(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內角；
(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊.
例如：已知△ABC的三邊之比為：2：1，求最大的內角.
解 設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=:2:1.
由三角形中大邊對大角可知：∠A為最大的角.由餘弦定理
cos A==-
所以∠A=120°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之長.
解 由餘弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A
=4+9-2×2×3×=7，
所以BC=7.
以上兩個小例子簡單說明了餘弦定理的作用. |
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| 從餘弦定理和餘弦函數的性質可以看出，如果一個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麽第三邊所對的角一定是直角，如果小於第三邊的平方，那麽第三邊所對的角是銳角，如果大於第三邊的平方，那麽第三邊所對的角是鈍角。即，利用餘弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。 |
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餘弦定理
cosine theorem
兩邊與其夾角的餘弦之積的二倍:
eZ=aZ+bZ一Zab cosC，
這裏，a，b，c是三角形的三個邊，C是a和b之間的夾
角.
餘弦定理【。更.犯偽曰扣圖1二憾犯扭叮。.T份碑M川
三角形一邊的平方等於另外兩邊的平方一和減去這 |
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- : law of cosines
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| 科學 | 幾何 | 定理 | 數學 | 立體幾何 | 三面角 | 三角函數 | 倍角公式 | | 正弦定理 | 差角公式 | |
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| 三餘弦定理 | 第一餘弦定理 | 邊的餘弦定理 | | 角的餘弦定理 | 四邊形餘弦定理 | 三面角餘弦定理 | |
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