| | 代数簇是代数几何里最基本的研究对象。 通俗的讲代数簇就是有若干多元多项式方程定义的公共零点集。如果代数簇恰好可以用一个方程定义，就称为超曲面。
最简单的代数簇，就是
d次平面代数曲线： 由方程 f(x,y,z)=0定义， 此处f(x,y,z)是齐次的三元d次多项式。
d=1,2 的曲线同构与射影直线；
d=3 就是椭圆曲线,其标准定义方程为:z*y^2=x*(x-z)*(x-λ*z),此处λ是参数。
d=4就是亏格3曲线。
更一般的，我们有光滑曲线的亏格公式：g=(d-1)(d-2)/2，此处g是曲线亏格。 | | 代数簇
algebraic variety
簇.后来永田雅宜和庄中平枯造出了不能同构于射影空
间的代数子集的抽象代数簇的例子(l习，【3]).他们使
用完全代数簇(。。rnPlete al罗braie variety)作为与射
影代数集相类似的概念.
J一P.serre(【5])已经指出，微分流形和解析空间
作为环式拓扑空间的统一定义也能类推到代数几何.于
是代数簇被定义为一个戴环空间(rin罗d sPace)，它局
部地同构于域k上的仿射代数集，这个代数集带有Za-
riski拓扑以及正则函数芽的层.代数簇上环式空间的附
加结构有利于简化抽象代数簇的各种构造，并能应用有
关层论的同调代数方法进行研究.
在1958年爱丁堡国际数学家大会上A.Grothen-
dieck已经设想了通过与概形理论相联系进一步推广代
数簇概念的可能性.在概形论的基础建立后(〔4』)，代数
簇被赋予新的意义:域k上的有限型约化概形.这样的
仿射(或射影)概形称为仿射(或射影)簇(见概形
( scheme);约化概形(reduced scheme)).事实表明把
代表簇包含在更广阔的概形的框架内，对于代数几何中
许多问题(例如奇点的化解(resolution of singulari-
ties)，参模问题(meduli pfoblem)等)的研究都是有
益的.
代数簇概念的另一个推广与代数空间(ai罗braic
sPace)的概念有关.
复数域上的任何代数簇都具有复解析空间(a nalytic
sPa沈)的结构，因此能运用拓扑及超越方法进行研究
(见K油ler流形(K益hier manifold)).
数论中的许多问题(同余理论、Dinphantus方
程、模形式等)涉及到有限域及代数数域上代数簇的研
究(见代数簇的算术(al罗braie varieties，arithmetic
of):肠喇，an恤IL何(Diophantine罗omet斗):代
数几何中的心函数(zeta一几nCtion)).
代数簇【目geb面c栩‘ety;叨荀钾洲”砚M..侧浦，，.1
代数几何的主要研究对象之一代数簇的现代定义
是域k上有限型的约化概形(s由eme)，这个定义是长
期演化的结果.代数簇的古典定义限于实数或复数域上
的仿射代数集(affinea一罗braie set)和射影代数集
(prOJective al罗braie set).从20世纪20年代末开
始，由于B.L.van der Waerden，E.Nocther以及
其他人的工作，代数簇的概念受到本质上的代数化，从
而有可能考虑任意域上的代数簇.A.Weil([6」)把利
用粘合构造微分流形的思想应用到代数簇.用这种方法
得到了坤攀炸攀稗(abs‘raCt al罗braic varie‘y)，它被
定义为域k上的一簇仿射代数集(K)，在每个K中可
选取开子集城，CK使它与相应的开子集叽:C匕同
构.经典代数几何的所有基本概念都能够用到这样的
| | | | | 实代数簇 | 泛代数簇 | 高维代数簇 | | 极化代数簇 | 完全代数簇 | 射影代数簇 | | 结合代数簇 | 代数簇的算术 | 不可约代数簇 | | 代数簇的自同构 | Lie代数簇 | |
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