jiaohuan daishu
交換代數
commutative algebra
以（含幺）交換環為主要研究對象的一門代數學科。它是以代數數論和代數幾何為背景而産生與發展的，並為這兩個古老的數學分支提供了新的統一的工具。
18世紀末到19世紀中期，C.F.高斯和E.E.庫默爾等人在研究關於有理整數性質和方程的有理整數解的時候，把這些初等數論問題放在二次域、分圓域以及它們的代數整數環中考慮，經過J.W.R.戴德金和D.希爾伯特等人的抽象化和係統化，形成了研究代數數域和它的代數整數環的一個新學科即代數數論。比數論稍晚些時候，幾何學也經歷了代數化過程，從19世紀末開始，由於希爾伯特等人的工作，特別是20世紀20～30年代德國女數學家(A.)E.諾特關於理想準素分解的理論和W.剋魯爾建立的賦值論、局部環理論和維數理論,為古典幾何提供了全新的代數工具。從此，交換代數也成為一門獨立的學科。在20世紀50年代以後,交換代數得到很大發展,模論的研究、同調代數和各種上同調理論的建立，特別是法國數學家A.格羅騰迪剋的概型理論，對於交換代數的發展起了巨大的推動作用。概型理論是算術幾何化的過程的理論，它將數論和射影代數幾何賦以新的高度統一的觀點。利用概型理論，P.德利涅於70年代初證明了A.韋伊關於有限域上射影代數簇□ 函數的一個著名猜想。現在，交換代數的運用已深入到微分與代數拓撲、多復變函數論、奇點理論、甚至偏微分方程等學科。
根和根式理想 以下的環均指含幺交換環。環□中全部素理想構成的集合,稱為□的(素)譜,記作Spec(□)。設□是環□□□的真理想,(即□≠□)，則□□□中至少存在一個包含□的素理想，所有包含□的素理想的交稱為□的根，記作□。事實上，□存在正整數□，使得□□□□□□}。顯然，□。若□,則稱□為根式理想。特別當□=(0)（零理想）時，□就是□中全部幂零元構成的理想,稱為環□ 的根。設□是代數封閉域，在代數幾何中，□□維仿射空間□□□中的代數簇和多項式環 □中的根式理想是反序(對於包含序)一一對應的, 並且□□中不可約代數簇和□□□的素理想也是反序一一對應的，這是代數幾何的基點。
分式環和局部化 環□的子集□□□稱為乘法集,是指①1□□□□；②□、□□□□□□□□□□□□，在集合□□×□□上定義關係～：(□,□)～(□□,□□)□存在□□□□□使得□(□□□- □□□)=0。～是等價關係。以□□□表示元素（□□,□）的等價類，□□□□表示全部等價類組成的集合。對於加法□和乘法□，□□□□是含幺交換環，稱為□□對於乘法集□的分式環。映射□:□□→□□□□，□是環同態，其核為Ker□□□={□□□□□|存在□□□□□使得□□□=□0}。若□□□中非零元素均不是□□□的零因子，則□□為單射。從而□可看成□□□的子環。當□□□為整環而□=□-{0}時，□□□就是□ 的商域。設М為□模而□□□為□□□的乘法集，可以類似地定義М□對於□□□的分式模□□М,這是□□□□模。
最重要的分式環是取□=□-□，其中□為□□的素理想，這時□□□□記為□□，稱為□□在□處的局部化。□□是局部環（即衹有惟一極大理想的環）。類似地對□=□-□可定義□□模М在□處的局部化□□М，這是□□模，並記為М□。
□□□:М→□□М是從□□□模範疇到□□□□模範疇的正合函子，它有許多好的性質。它與模的許多運算都是可交換的,並且保持模和（當□□□□作用於環範疇時）環的許多性質，從而得到廣泛的應用，其中重要應用之一是所謂局部－整體原則。關於環（或者模）的某個性質□□□稱為局部性質，是 |