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三角剖分是代数拓扑学里最基本的研究方法。 以曲面为例， 我们把曲面剖开成一块块碎片，要求满足下面条件：
（1）每块碎片都是曲边三角形；
（2）曲面上任何两个这样的曲边三角形，要么不相交，要么恰好相交于一条公共边（不能同时交两条或两条以上的边）
拓扑学的一个已知事实告诉我们：任何曲面都存在三角剖分。
假设曲面上有一个三角剖分， 我们把所有三角形的顶点总个数记为p(公共顶点只看成一个，下同),边数记为l,三角形的个数记为n,则e=p-l+n是曲面的拓扑不变量！ 也就是说不管是什么剖分， e总是得到相同的数值。 e被称为称为欧拉示性数。
假设g是曲面上洞眼的个数（比如球面没有洞，故g=0;又如环面有一个洞，故g=1），那么e=2-2g。
g也是拓扑不变量，称为曲面的亏格(genus)。
上面例举曲面的情形。对一般的拓扑对象（复形），我们有类似的剖分，通常成为单纯剖分。 分割出的每块碎片称为单纯形 （简称单形） |
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三角剖分
triangulation
三角剖分l侧助卿面ti阅;印H洲ry朋叭叫
1)多面体的三角剖分(川angulationofapo】ybe-
dron)或直线三角剖分(代℃tihllear triallgu】alion)，是作
为几何的单纯复形(s任nplicial comPlex)K的空间的多
面体(见抽象多面体(polyl初ron，翻加ct))的一个
表示，即它到闭单形中的一个分解，使得任何两个单
形或者不相交或者沿一个公共面相交.多面体的直线
三角剖分作为研究它们的主要工具.任何的多面体有
三角剖分，它的任何两个三角剖分有共同的重分.
单形a在三角剖分T中的闭星形(closed star)
St(a，T)是T的包含a的单形的并.存在单形
6‘T的闭星形的表示—6和它的链环(U砍)的并
(或统联，见集合的并(~n of sets)):St(『，T)=
。‘lk(占，T).特别地，一个顶点的星形是它的链环的
锥(cone).如果单形a〔T被表示为它的两个面占和下
的统联，则玫(。，T)二攻(占，玫(下，T)).单形的链环
不依赖于T:如果叮是同一个多面体直线三角剖分
T，，兀中的一个单形，那么，多面体1盗(。，Tl)}和
}玫(。，双)}是PL同胚的.单形。‘T的开星形
(open star)定义成包含。作为一个面的那些单形的
内点的并.多面体尸的三角剖分的顶点的开星形形
成尸的一个开覆盖.覆盖神经(见集族的神经(nen用
ofafanli】yofsets))单纯地同构于三角剖分.多面
体尸:和尸2的两个三角剖分T、和兀是组合等价
的，如果它们的某个重分是单纯同构的.为使两个三
角剖分T，和兀组合等价，尸l和尸:PL同胚是必
要和充分的.一个流形的三角剖分说成是组合的，如
果它的顶点的任何一个星形组合等价于一个单形.在
此情形中、三角剖分的任何单形的星形也组合等价于
一个单形.
如果尸是多面体Q的一个闭子多面体，则尸的
任何一个三角剖分K可以扩张成Q的某个三角剖分
L.这种情形就称几何单纯复形对(L，K)三角剖分了
偶对(Q，尸)，两个单形。任Rm，占〔R月的直积ax
占6R爪xR月的三角剖分司汝吓个翎查.三角剖分的顶点是点
气二(ab，)，o返厄簇diln叮，o延J成dim占，其中a，是
。的顶点，气是占的顶点·顶点俄Dj。，，二，气j*，其中
i。蕊…簇i、张成k维单形，当且仅当这些顶点没有
一个是重合的以及了。(…(j*.两个具有有序顶点的单
纯复形的直积的三角剖分可用同样的方法产生.
2)拓扑空间的三角剖分(triallgulation of a topo-
1o乡以l印ace)或曲线三角剖分(CI『月inear triangulati〔〕n)
是一对(K，.f)，其中K是几何的单纯复形，f:}K1
~X是同胚.空间X的两个三角剖分(K，f)和(L，
g)相合，如果g一’.川KJ一，}Lj是一个单纯同构.
如果。是复形K的一个单形，(K，f)是X的一个
三角剖分，则赋于同胚月。:。~.f(a)的空间.f(a)
称为拓扑单形〔topol卿司s川IPlex).一个三角剖分
的拓扑空间的拓扑单形的星形和链环是用与在直线三
角剖分的情形下同样的方法定义的.如果点a〔X是
X的三角剖分(K，f)和(L，g)的一个顶点，那么，
在这些三角剖分中，它的链环是同伦等价的.
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- n.: Triangulation
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