一次函数

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No. 1

一次函数

　　【读音】yīcì hánshù
　　【解释】

定义与定义式 Definition and the definition of style

一次函数定义与定义式

　　自变量x和因变量y有如下关系：
　　y=kx+b
　　则此时称y是x的一次函数。
　　当b=0时，y是x的正比例函数。
　　即：y=kx （k为常数，k≠0）

一次函数的性质 The nature of a function

一次函数的性质

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
　　即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）
　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数的图像及性质 A function of the image and nature of

一次函数的图像及性质

　　１．作法与图形：通过如下３个步骤
　　（１）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；
　　（２）描点；
　　（３）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
　　２．性质：（1）在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
　　３．k，b与函数图像所在象限：
　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；
　　当b=0时，直线必通过原点。
　　当b＜0时，直线必通过三、四象限。
　　特别地，当b=０时，直线通过原点o（0，0）表示的是正比例函数的图像。
　　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
　　4、特殊位置关系
　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k值（即一次项系数）相等
　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式 To determine the expression of a function

确定一次函数的表达式

　　已知点a（x1，y1）；b（x2，y2），请确定过点a、b的一次函数的表达式。
　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
　　（2）因为在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
　　（4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用 A function application in life

一次函数在生活中的应用

　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量s。g=s-ft。

常用公式（不全，希望有人补充） Common formula (incomplete, I hope it was added)

一次函数常用公式（不全，希望有人补充）

　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
　　5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

应用 Applications

一次函数应用

　　一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
　　一、确定字母系数的取值范围
　　例1. 已知正比例函数，则当m=______________时，y随x的增大而减小。
　　解：根据正比例函数的定义和性质，得且m<0，即且，所以。
　　二、比较x值或y值的大小
　　例2. 已知点p1（x1，y1）、p2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）
　　a. x1>x2 b. x1<x2 c. x1=x2 d.无法确定
　　解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选a。
　　三、判断函数图象的位置
　　例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）
　　a. 第一象限 b. 第二象限
　　c. 第三象限 d. 第四象限
　　解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选a

数学术语 Mathematical terms

　　【读音】yī cì hán shù 【英语】linear function
　　【解释】函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个X值，相应地就确定了唯一一个Y值与X对应，那么我们称Y是X的函数（function).其中X是自变量，Y是因变量，也就是说Y是X的函数。当x=a时，函数的值叫做当x=a时的函数值。
　　正比例函数是一次函数中的特殊情况。

定义与定义式 Definition and the definition of style

　　自变量x和因变量y有如下关系：
　　y=kx （k为任意不为零实数）
　　或y=kx+b （k为任意不为零常数，b为任意常数）
　　则此时称y是x的一次函数。
　　特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为任意常数）
　　正比例函数图像经过原点
　　定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。
　　当x一定的时候只有一个y与x相对应。

一次函数的性质 The nature of a function

一次函数的性质

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
　　即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b为常数）
　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).
　　3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)
　　形。取。象。交。减
　　4.当b=0时，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.
　　5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。

一次函数的图像及性质 A function of the image and nature of

一次函数的图像及性质

　　1．作法与图形：通过如下３个步骤
　　（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；
　　（2）描点；
　　（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
　　3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
　　4．k，b与函数图像所在象限：
　　y=kx时（即b等于0，y与x成正比)
　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
　　y=kx+b时：
　　当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
　　当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
　　当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
　　当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；
　　当b＜0时，直线必通过三、四象限。
　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
　　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k＜0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
　　4、特殊位置关系
　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式 To determine the expression of a function

确定一次函数的表达式

　　已知点A（X1，y1）；B（X2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……① 和 y2=kx2+b ……②
　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
　　（4）最后得到了一次函数的表达式。

常用公式 Common formula

　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
　　5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
　　两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
　　6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
　　7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0)
　　x y
　　+ + 在一象限
　　+ - 在四象限
　　- + 在二象限
　　- - 在三象限
　　8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
　　9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
　　10.
　　y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位
　　y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位
　　口诀：左加右减（只对于改变x）
　　y=kx+b+n就是向上平移n个单位
　　y=kx+b-n就是向下平移n个单位
　　口诀：上加下减（只对于改变b）

应用 Applications

一次函数应用

　　一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
　　一、确定字母系数的取值范围
　　例1. 已知正比例函数，则当k<0时，y随x的增大而减小。
　　解：根据正比例函数的定义和性质，得且m<0，即且，所以。
　　二、比较x值或y值的大小
　　例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）
　　A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
　　解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。
　　三、判断函数图象的位置
　　例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）
　　A. 第一象限 B. 第二象限
　　C. 第三象限 D. 第四象限
　　解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A . 典型例题:
　　例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
　　分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
　　解：由题意设所求函数为y=kx+12
　　则13.5=3k+12，得k=0.5
　　∴所求函数解析式为y=0.5x+12
　　由23=0.5x+12得：x=22
　　∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
　　例2
　　某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？
　　此题要考虑X的范围
　　解:设总费用为Y元，刻录X张
　　电脑公司：Y1=8X
　　学校：Y2=4X+120
　　当X=30时，Y1=Y2
　　当X>30时，Y1>Y2
　　当X<30时，Y1<Y2
　　【考点指要】
　　一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
　　例3.如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。
　　解：（1）若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11
　　6k+b=9
　　解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x—6
　　（2）若k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9
　　6k+b=-11
　　解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4
　　【考点指要】
　　此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。
　　一次函数解析式的几种类型
　　①ax+by+c=0[一般式]
　　②y=kx+b[斜截式]
　　（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）
　　③y-y1=k(x-x1)[点斜式]
　　（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）
　　④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]
　　（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）
　　⑤x/a-y/b=0[截距式]
　　（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）
　　解析式表达局限性：
　　①所需条件较多（3个）；
　　②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；
　　④参数较多，计算过于烦琐；
　　⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
　　倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)