shù lǐ huà > heyting dài shù



mùlù ·No. 1 ·No. 2 ·gèngduōjiéguǒ... No. 1 　　zài shù xué zhōng， heyting dài shù shì gòu chéng duì bù 'ěr dài shù de tuī guǎng de tè shū de piān xù jí。 heyting dài shù wéi zhí jué luó ji 'ér tí chū， tā shì zài qí zhōng pái zhōng lǜ yī bān bù chéng lì de luó ji。 wán quán heyting dài shù shì wú diǎn tuò pū xué yán jiū de zhōng xīn duì xiàng。 　　 xíng shì dìng yì 　　heyting dài shù h shì mǎn zú rú xià tiáo jiàn de yòu jiè gé， duì yú zài h zhōng de suǒ yòu a hé b yòu zuì dà de h yuán sù x shǐ dé 　　<math>awedgexleb</math>。 　　 zhè gè yuán sù x shì a guān yú b de xiāng duì wěi bǔ yuán (pseudo-complement)， bìng zhǐ shì wéi <math>a ightarrowb</math>( huò <math>a ightarrowb</math>)。 　　 kě yǐ tōng guò rú xià yìng shè gěi chū děng jià dìng yì： duì yú h zhōng mǒu gè gù dìng de a， 　　<math>f_a:h oh</math> dìng yì wéi <math>f_a(x)=awedgex</math>。 　　 yòu jiè gé h shì heyting dài shù， dāng qiě jǐn dāng suǒ yòu yìng shè <math>f_a</math> dōushì dān diào de gā luó wǎ lián jiē de xià gòng 'è (adjoint)。 zài zhè zhǒng qíng kuàng xià gè zì de shàng gòng 'è <math>g_a</math> tōng guò <math>g_a(x)=(a ightarrowx)</math> gěi chū， zhè lǐ de <math> ightarrow</math> dìng yì tóng shàng。 　　 wán quán heyting dài shù shì shì wán quán gé de heyting dài shù。 　　 zài rèn hé heyting dài shù zhōng， nǐ kě yǐ tōng guò shè lì <math>lnotx=(x ightarrow0)</math> dìng yì mǒu gè yuán sù x de wěi bǔ yuán <math>lnotx</math>， zhè lǐ de 0 shì heyting dài shù de zuì xiǎo yuán sù。 　　heyting dài shù de yī gè yuán sù x jiào zuò zhèng guī de， rú guǒ <math>x=lnotlnotx</math>。 yuán sù x shì zhèng guī de， dāng qiě jǐn dāng duì yú heyting dài shù de mǒu gè yuán sù y yòu <math>x=lnoty</math>。 　　 xìng zhì 　　heyting dài shù zǒng shì fú hé fēn pèi lǜ。 zhè yòu shí bèi chén shù wéi gōng lǐ， dàn shí jì shàng kě yǐ cóng xiāng duì wěi bǔ yuán de cún zài xìng dé dào。 dào lǐ shì zuò wéi gā luó wǎ lián jiē de xià gòng 'è， <math>wedge</math> bǎo chí suǒ yòu xiàn cún de shàng què jiè。 suǒ yǐ fēn pèi lǜ jiù shì <math>wedge</math> duì 'èr yuán zuì xiǎo shàng jiè de bǎo chí。 　　 jìn yī bù de， tōng guò lèi sì de lùn zhèng， xià liè wú xiàn fēn pèi lǜ zài rèn hé wán quán heyting dài shù zhōng dōuchéng lì : 　　<math>xwedgeigveey=igvee{xwedgey:yiny}</math> 　　 duì yú h zhōng de rèn hé yuán sù x hé h de zǐ jí y。 　　 bù shì suǒ yòu heyting dài shù dū mǎn zú liǎng gè demorgan dìng lǜ。 dàn shì， duì yú suǒ yòu heyting dài shù h xià liè chén shù dōushì děng jià de : 　　h mǎn zú liǎng gè demorgan dìng lǜ。 　　 duì yú h zhōng de suǒ yòu xy yòu <math>lnot(xwedgey)=lnotxveelnoty</math>。 　　 duì yú h zhōng de suǒ yòu x yòu <math>lnotxveelnotlnotx=1</math>。 　　 duì yú h zhōng de suǒ yòu xy yòu <math>lnotlnot(xveey)=lnotlnotxveelnotlnoty</math>。 　　h de yī gè yuán sù x de wěi bǔ yuán shì jí hé <math>{y:ywedgex=0}</math> de shàng què jiè， bìng qiě shǔ yú zhè gè jí hé ( jiù shì shuō， <math>xwedgelnotx=0</math> chéng lì )。 　　 bù 'ěr dài shù zhǔn què de shì rú xià chéng lì de heyting dài shù： duì yú suǒ yòu x yòu <math>x=lnotlnotx</math>， huò děng jià de shuō， bù 'ěr dài shù zhǔn què de shì rú xià chéng lì de heyting dài shù： duì yú suǒ yòu x yòu <math>xveelnotx=1</math>。 zài zhè zhǒng qíng kuàng xià， yuán sù <math>a ightarrowb</math> děng jià yú <math>lnotaveeb</math>。 　　 zài rèn hé heyting dài shù zhōng， zuì xiǎo 0 hé zuì dà yuán sù 1 dōushì zhèng guī de。 　　 rèn hé heyting dài shù de zhèng guī yuán sù dū gòu chéng yī gè bù 'ěr dài shù。 chú fēi heyting dài shù de suǒ yòu yuán sù dōushì zhèng guī de， zhè gè bù 'ěr dài shù dōubù huì shì zhè gè heyting dài shù de zǐ gé， yīn wéi jiāo yùn suàn jiāng shì bù tóng de。 　　 lì zǐ 　　 suǒ yòu shì yòu jiè gé de quán xù jí hé yě shì heyting dài shù， zài zhè lǐ duì yú bù shì 0 de suǒ yòu a yòu <math>lnot0=1</math> hé <math>lnota=0</math>。 　　 suǒ yòu de tuò pū dū yǐ tā de kāi jí gé de xíng shì tí gōng wán quán heyting dài shù。 zài zhè zhǒng qíng kuàng xià， yuán sù <math>a ightarrowb</math> shì <math>a_c</math> hé b de bìng de nèi bù， zhè lǐ de <math>a_c</math> zhǐ shì kāi jí a de bǔ。 bù shì suǒ yòu wán quán heyting dài shù dōuyòu zhè zhǒng xíng shì。 zhè xiē wèn tí zài wú diǎn tuò pū xué zhōng yán jiū， zhè lǐ wán quán heyting dài shù yě jiào zuò frame huò locale。 　　 mìng tí zhí jué luó ji de lindenbaum dài shù shì heyting dài shù。 tā bèi dìng yì wéi suǒ yòu mìng tí luó ji gōng shì de jí hé， bìng tōng guò luó ji yùn hán lái pái xù : duì yú rèn hé liǎng gè gōng shì f hé g wǒ men yòu <math>fleg</math>， dāng qiě jǐn dāng <math>fmodelsg</math>。 zài zhè gè jiē duàn <math>le</math> zhǐ shì yòu fā heyting dài shù suǒ xū yào de piān xù de yù xù。 　　 yìng yòng yú zhí jué luó ji de heyting dài shù 　　arendheyting(1898 nián -1980 nián ) zì jǐ gǎn xīng qù yú yǐ zhè zhǒng lèi xíng de jié gòu lái chéng qīng zhí jué luó ji de jī chǔ dì wèi。 peirce dìng lǜ de 'àn lì shuō míng liǎo heyting dài shù de yǔ yì juésè。 méi yòu jiǎn dān de zhèng míng néng zhèng míng peirce dìng lǜ bù néng cóng zhí jué luó ji de jī běn dìng lǜ zhōng tuī dǎo chū lái。 　　heyting dài shù， cóng luó ji de lì chǎng lái shuō， běn zhì shàng shì pǔ tōng zhēn zhí xì tǒng de yī bān huà。 tóng qí tā xìng zhì yī qǐ， zuì dà yuán sù， zài luó ji zhōng jiào zuò <math> op</math>， shì ' zhēn ' de tóng yì cí， pǔ tōng 'èr zhí luó ji xì tǒng shì heyting dài shù de zuì jiǎn dān de lì zǐ， zài zhè gè dài shù zhōng liǎng gè yuán sù shì <math> op</math>( zhēn ) hé <math>ot</math>( jiǎ )。 yòng chōu xiàng de shù yǔ shuō， liǎng yuán sù bù 'ěr dài shù yě shì heyting dài shù。 　　 jīng diǎn yòu xiào de gōng shì shì zài zhè zhǒng bù 'ěr dài shù zhōng zài duì gōng shì de biàn liàng de rèn yì kě néng de zhēn jiǎ zhǐ pài xià yòu <math> op</math> zhí de gōng shì héng jiù shì shuō， tā men shì zài pǔ tōng zhēn zhí biǎo yì yì shàng de zhòng yán shì。 zhí jué yòu xiào de gōng shì shì zài rèn hé heyting dài shù zhōng zài duì gōng shì biàn liàng de zhí de rèn hé zhǐ pài xià yòu <math> op</math> zhí de gōng shì。 　　 nǐ kě yǐ gòu zào zài qí zhōng peirce dìng lǜ bù zǒng shì <math> op</math> de heyting dài shù。 kǎo lǜ sierpinski kōng jiān de kāi jí ( bù shì bù 'ěr dài shù de heyting dài shù de zuì jiǎn dān de lì zǐ )， bìng guān chá rú guǒ wǒ men shì yì p wéi、 q wéi <math>varnothing</math>， zé peirce dìng lǜ ((p → q)→ p)→ p de shì yì shì <math>{1} 　　e{0,1}= op</math>。 cóng wǒ men gāng cái suǒ shuō de， zhè bù néng shì zhí jué tuī dǎo chū lái de。 xiáng qíng cān jiàn curry-howard tóng gòu hé lèi xíng lùn。 No. 2 　　zài shù xué zhōng， Heyting dài shù shì gòu chéng duì bù 'ěr dài shù de tuī guǎng de tè shū de piān xù jí。 Heyting dài shù wéi zhí jué luó ji 'ér tí chū， tā shì zài qí zhōng pái zhōng lǜ yī bān bù chéng lì de luó ji。 wán quán heyting dài shù shì wú diǎn tuò pū xué yán jiū de zhōng xīn duì xiàng。 　　 xíng shì dìng yì 　　Heyting dài shù H shì mǎn zú rú xià tiáo jiàn de yòu jiè gé， duì yú zài H zhōng de suǒ yòu a hé b yòu zuì dà de H yuán sù x shǐ dé 　　<math>awedgexleb</math>。 　　 zhè gè yuán sù x shì a guān yú b de xiāng duì wěi bǔ yuán (pseudo-complement)， bìng zhǐ shì wéi <math>aRightarrowb</math>( huò <math>arightarrowb</math>)。 　　 kě yǐ tōng guò rú xià yìng shè gěi chū děng jià dìng yì： duì yú H zhōng mǒu gè gù dìng de a， 　　<math>f_a:HtoH</math> dìng yì wéi <math>f_a(x)=awedgex</math>。 　　 yòu jiè gé H shì Heyting dài shù， dāng qiě jǐn dāng suǒ yòu yìng shè <math>f_a</math> dōushì dān diào de gā luó wǎ lián jiē de xià gòng 'è (adjoint)。 zài zhè zhǒng qíng kuàng xià gè zì de shàng gòng 'è <math>g_a</math> tōng guò <math>g_a(x)=(aRightarrowx)</math> gěi chū， zhè lǐ de <math>Rightarrow</math> dìng yì tóng shàng。 　　 wán quán heyting dài shù shì shì wán quán gé de Heyting dài shù。 　　 zài rèn hé Heyting dài shù zhōng， nǐ kě yǐ tōng guò shè lì <math>lnotx=(xRightarrow0)</math> dìng yì mǒu gè yuán sù x de wěi bǔ yuán <math>lnotx</math>， zhè lǐ de 0 shì Heyting dài shù de zuì xiǎo yuán sù。 　　Heyting dài shù de yī gè yuán sù x jiào zuò zhèng guī de， rú guǒ <math>x=lnotlnotx</math>。 yuán sù x shì zhèng guī de， dāng qiě jǐn dāng duì yú Heyting dài shù de mǒu gè yuán sù y yòu <math>x=lnoty</math>。 　　 xìng zhì 　　Heyting dài shù zǒng shì fú hé fēn pèi lǜ。 zhè yòu shí bèi chén shù wéi gōng lǐ， dàn shí jì shàng kě yǐ cóng xiāng duì wěi bǔ yuán de cún zài xìng dé dào。 dào lǐ shì zuò wéi gā luó wǎ lián jiē de xià gòng 'è， <math>wedge</math> bǎo chí suǒ yòu xiàn cún de shàng què jiè。 suǒ yǐ fēn pèi lǜ jiù shì <math>wedge</math> duì 'èr yuán zuì xiǎo shàng jiè de bǎo chí。 　　 jìn yī bù de， tōng guò lèi sì de lùn zhèng， xià liè wú xiàn fēn pèi lǜ zài rèn hé wán quán Heyting dài shù zhōng dōuchéng lì : 　　<math>xwedgebigveeY=bigvee{xwedgey:yinY}</math> 　　 duì yú H zhōng de rèn hé yuán sù x hé H de zǐ jí Y。 　　 bù shì suǒ yòu Heyting dài shù dū mǎn zú liǎng gè DeMorgan dìng lǜ。 dàn shì， duì yú suǒ yòu Heyting dài shù H xià liè chén shù dōushì děng jià de : 　　H mǎn zú liǎng gè DeMorgan dìng lǜ。 　　 duì yú H zhōng de suǒ yòu xy yòu <math>lnot(xwedgey)=lnotxveelnoty</math>。 　　 duì yú H zhōng de suǒ yòu x yòu <math>lnotxveelnotlnotx=1</math>。 　　 duì yú H zhōng de suǒ yòu xy yòu <math>lnotlnot(xveey)=lnotlnotxveelnotlnoty</math>。 　　H de yī gè yuán sù x de wěi bǔ yuán shì jí hé <math>{y:ywedgex=0}</math> de shàng què jiè， bìng qiě shǔ yú zhè gè jí hé ( jiù shì shuō， <math>xwedgelnotx=0</math> chéng lì )。 　　 bù 'ěr dài shù zhǔn què de shì rú xià chéng lì de Heyting dài shù： duì yú suǒ yòu x yòu <math>x=lnotlnotx</math>， huò děng jià de shuō， bù 'ěr dài shù zhǔn què de shì rú xià chéng lì de Heyting dài shù： duì yú suǒ yòu x yòu <math>xveelnotx=1</math>。 zài zhè zhǒng qíng kuàng xià， yuán sù <math>aRightarrowb</math> děng jià yú <math>lnotaveeb</math>。 　　 zài rèn hé Heyting dài shù zhōng， zuì xiǎo 0 hé zuì dà yuán sù 1 dōushì zhèng guī de。 　　 rèn hé Heyting dài shù de zhèng guī yuán sù dū gòu chéng yī gè bù 'ěr dài shù。 chú fēi Heyting dài shù de suǒ yòu yuán sù dōushì zhèng guī de， zhè gè bù 'ěr dài shù dōubù huì shì zhè gè Heyting dài shù de zǐ gé， yīn wéi jiāo yùn suàn jiāng shì bù tóng de。 　　 lì zǐ 　　 suǒ yòu shì yòu jiè gé de quán xù jí hé yě shì Heyting dài shù， zài zhè lǐ duì yú bù shì 0 de suǒ yòu a yòu <math>lnot0=1</math> hé <math>lnota=0</math>。 　　 suǒ yòu de tuò pū dū yǐ tā de kāi jí gé de xíng shì tí gōng wán quán Heyting dài shù。 zài zhè zhǒng qíng kuàng xià， yuán sù <math>ARightarrowB</math> shì <math>A_c</math> hé B de bìng de nèi bù， zhè lǐ de <math>A_c</math> zhǐ shì kāi jí A de bǔ。 bù shì suǒ yòu wán quán Heyting dài shù dōuyòu zhè zhǒng xíng shì。 zhè xiē wèn tí zài wú diǎn tuò pū xué zhōng yán jiū， zhè lǐ wán quán Heyting dài shù yě jiào zuò frame huò locale。 　　 mìng tí zhí jué luó ji de Lindenbaum dài shù shì Heyting dài shù。 tā bèi dìng yì wéi suǒ yòu mìng tí luó ji gōng shì de jí hé， bìng tōng guò luó ji yùn hán lái pái xù : duì yú rèn hé liǎng gè gōng shì F hé G wǒ men yòu <math>FleG</math>， dāng qiě jǐn dāng <math>FmodelsG</math>。 zài zhè gè jiē duàn <math>le</math> zhǐ shì yòu fā Heyting dài shù suǒ xū yào de piān xù de yù xù。 　　 yìng yòng yú zhí jué luó ji de Heyting dài shù 　　ArendHeyting(1898 nián -1980 nián ) zì jǐ gǎn xīng qù yú yǐ zhè zhǒng lèi xíng de jié gòu lái chéng qīng zhí jué luó ji de jī chǔ dì wèi。 Peirce dìng lǜ de 'àn lì shuō míng liǎo Heyting dài shù de yǔ yì juésè。 méi yòu jiǎn dān de zhèng míng néng zhèng míng Peirce dìng lǜ bù néng cóng zhí jué luó ji de jī běn dìng lǜ zhōng tuī dǎo chū lái。 　　Heyting dài shù， cóng luó ji de lì chǎng lái shuō， běn zhì shàng shì pǔ tōng zhēn zhí xì tǒng de yī bān huà。 tóng qí tā xìng zhì yī qǐ， zuì dà yuán sù， zài luó ji zhōng jiào zuò <math>top</math>， shì ' zhēn ' de tóng yì cí， pǔ tōng 'èr zhí luó ji xì tǒng shì Heyting dài shù de zuì jiǎn dān de lì zǐ， zài zhè gè dài shù zhōng liǎng gè yuán sù shì <math>top</math>( zhēn ) hé <math>bot</math>( jiǎ )。 yòng chōu xiàng de shù yǔ shuō， liǎng yuán sù bù 'ěr dài shù yě shì Heyting dài shù。 　　 jīng diǎn yòu xiào de gōng shì shì zài zhè zhǒng bù 'ěr dài shù zhōng zài duì gōng shì de biàn liàng de rèn yì kě néng de zhēn jiǎ zhǐ pài xià yòu <math>top</math> zhí de gōng shì héng jiù shì shuō， tā men shì zài pǔ tōng zhēn zhí biǎo yì yì shàng de zhòng yán shì。 zhí jué yòu xiào de gōng shì shì zài rèn hé Heyting dài shù zhōng zài duì gōng shì biàn liàng de zhí de rèn hé zhǐ pài xià yòu <math>top</math> zhí de gōng shì。 　　 nǐ kě yǐ gòu zào zài qí zhōng Peirce dìng lǜ bù zǒng shì <math>top</math> de Heyting dài shù。 kǎo lǜ Sierpinski kōng jiān de kāi jí ( bù shì bù 'ěr dài shù de Heyting dài shù de zuì jiǎn dān de lì zǐ )， bìng guān chá rú guǒ wǒ men shì yì P wéi {1}、 Q wéi <math>varnothing</math>， zé Peirce dìng lǜ ((P→ Q)→ P)→ P de shì yì shì <math>{1}ne{0,1}=top</math>。 cóng wǒ men gāng cái suǒ shuō de， zhè bù néng shì zhí jué tuī dǎo chū lái de。 xiáng qíng cān jiàn Curry-Howard tóng gòu hé lèi xíng lùn。