| | connes de fēi jiāo huàn jǐ hé xué 2005-12-2414:22:38
zài 2001 nián 1 yuè 24 rì jǔ xíng de ruì diǎn huáng jiā kē xué yuàn quán tǐ huì yì jué dìng jiāng 2001 nián dù de crafoord jiǎng shòu yú
gāo děng kē xué yán jiū yuàn (ihes) hé fǎ lán xī xué yuàn (coll`egedefrance) de jiào shòu， shù xué jiā alain
connes， biǎo zhāng tā zài suàn zǐ dài shù lǐng yù zuò chū liǎo zhòng yào gōng zuò bìng qiě hé tā rén yī qǐ kāi chuàng liǎo fēi jiāo huàn jǐ hé
zhè yī fēn zhī .
fǎ guó shù xué jiā alainconnes zài suàn zǐ dài shù lǐ lùn zhōng kāi tuò liǎo xīn de yán jiū tú jìng， bìng qiě shì fēi jiāo huàn jǐ hé de
chuàng shǐ rén zhī yī . duì yú zhè yī quán xīn de shù xué lǐng yù de jiàn lì connes de zuò yòng shì jué dìng xìng de .
[ fǎ guó shù xué huì huì kān gazettedesmath'ematiciens zài 2002 nián 10 yuè ( zǒng dì 94 hào ) fā biǎo liǎo george
skandalis guān yú fēi jiāo huàn jǐ hé de yī piān jiǎn jiè .skandalis shì xī là rén， gāo zhōng shí dài fù fǎ guó qiú xué， zài
bā lí de louis-le-grand zhōng xué hé rì hòu dé dào fields jiǎng de pierre-louislions yǐ jí
jean-christopheyoccoz tóng bān， cǐ hòu jìn rù bā lí gāo shī xué xí，
zài wǎng hòu gēn alainconnes zuò bó shì lùn wén， shì connes de dì yī gè xué shēng。 90 nián icm zuò yāo qǐng bào gào， mù qián
shì bā lí qī dà jiào shòu ,bourbaki
suǒ yòu [,,] zhōng de wén zì jūn wéi yì zhù。 gǎn xiè nán kāi dà xué féng huì tāo lǎo shī de bāng zhù .
--
heiti{alainconnes de fēi jiāo huàn jǐ hé xué ： pǔ sān yuán zǔ de gài niàn }songti
shénme shì alainconnes de fēi jiāo huàn jǐ hé xué ？ shǒu xiān， wǒ men yòu cóng jǐ hé， tiáohé fēn xī， wù lǐ， nǎi zhì shù
lùn zhōng lái de zhòng duō lì zǐ
dots zuì zhòng yào de chū fā diǎn shì wù lǐ : wǒ men xī wàng bǎ xiāng duì lùn ( yě jiù shì lí màn jǐ hé ) hé liàng zǐ lì xué ( yě jiù shì
fēi jiāo huàn de jié gòu ) jié hé zài yī qǐ .
zài zhè lǐ wǒ jiāng jiè shào zhè yī lǐ lùn de ruò gān fāng miàn。 běn zhì shàng zhè shì yī piān fēi jì shù xìng de wén zì . rú guǒ zài yòu xiē dì fāng
wǒ shì yòng liǎo yī xiē zhuān mén de shù yǔ
de huà， nà shì xī wàng néng gòu duì shú xī hánghuà de dú zhě yòu suǒ bāng zhù， dàn shì duì yú bù shú xī zhè xiē de dú zhě lái shuō， zhè
yě bù huì chéng wéi yī gè zhàng 'ài .
duì yú ( jú bù ) jǐn kōng jiān zhè gè gài niàn， $c^*$ dài shù lǐ lùn gěi chū liǎo yī gè hěn hǎo de fēi jiāo huàn de lèi bǐ : wǒ men huí gù
yī xià， suǒ wèi $c^*$ dài shù $a$ shǒu
xiān shì yī gè banach dài shù， qí shàng jù yòu yī gè duì hé (involution)$amapstoa^*$( gòng 'è xiàn xìng bìng qiě duì
$a,bina$ mǎn zú $(ab)^*=b^*a^*)$,
cǐ wài yào qiú duì yú suǒ yòu de $aina$, wǒ men yòu $|a^*a|=|a|^2$.
oindent suǒ yòu de jiāo huàn $c^*$ dài shù quán tǐ qià hǎo jiù shì suǒ yòu ( jú bù ) jǐn de tuò pū kōng jiān shàng de ( zài wú qióng yuǎn
qū xiàng yú 0 de ) lián xù hán shù gòu chéng de banach dài shù quán tǐ
[ zhè shì gel'fand-naimark dìng lǐ ]. yīn cǐ wǒ men kě yǐ bǎ fēi jiāo huàn de $c^*$ dài shù shì wéi “ fēi jiāo huàn de ( jú bù
) jǐn kōng jiān ” .
connes de fēi jiāo huàn jǐ hé de mùdì jiù shì xiǎng bǎ yī xiē jǐ hé de gōng jù yìng yòng dào yī xiē zì rán de fēi jiāo huàn $c^*$ dài shù
shàng . wǒ men kě yǐ bǎ zhè xiē
$c^*$ dài shù shì wéi“ fēi jiāo huàn wēi fēn liú xíng” . yòu yī xiē gōng jù shì kě yǐ zhí jiē bān dào fēi jiāo huàn de kuàng jià lǐ de， bǐ
rú xiàng liàng cóng lǐ lùn，
duì yìng dào [ yòu xiàn ] shè yǐng mó lǐ lùn， kě yǐ yóu k- lǐ lùn lái kè huá .derham shàng tóng diào yào bān guò qù jiù shāo wēi kùn nán yī
diǎn，
tā de fēi jiāo huàn duì yìng shì connes de xún huán shàng tóng tiáolǐ lùn ([ yī bān lái shuō， dà jiā chéng rèn boristsygan shì hé con
nes xiāng hù dú lì fā zhǎn
chū zhè yī tào lǐ lùn de ]， nà shì fēi jiāo huàn jǐ hé zuì zǎo de chéng gōng zhī yī . yī bù yī bù de ,connes zài zhè gè xún huán tóng diào
de kuàng jià lǐ miàn
gòu zào liǎo jī běn bì liàn (fundamentalcycle), wēi fēn xíng shì , lián luò , yǐ jí ruò gān jǐ hé zhōng cháng yòng gài niàn de fēi jiāo
huàn duì yìng。
wǒ men zài yán jiū zhōng xī wàng néng gòu duì yī xiē [ zài suàn zǐ dài shù yán jiū zhōng yǐ zhī de ] zì rán de lì zǐ yìng yòng nà xiē jǐ hé de guān
diǎn：
--- yòu xiàn shēng chéng qún de duì 'ǒu . shè $gamma$ shì yī gè qún。 wǒ men kě yǐ zì rán de yòu yī gè dài shù $mathbbg
amma$ yǔ zhī xiāng guān lián： yǐ $(u_g)_{gingamma}$ wéi
jī de fù xiàn xìng kōng jiān , qí shàng de chéng fǎ dìng yì wéi $u_gu_h=u_$( duì yú $g,hingamma$). tā zài hil
bert kōng jiān $ell^2(gamma)$ shàng de zhèng zé biǎo shì
(regularrepresentation) de bì bāo $c^*_r(gamma)$ shì yī gè $c^*$ dài shù , chēng wéi $gamma$ de yuē
huà $c^*$ dài shù (reduced$c^*$-algebra).
zhù yì zài yòu xiē qíng kuàng xià wǒ men hái kě yǐ yán jiū duì $mathbbgamma$ zuò lìng wài yī zhǒng wán bèi huà dé dào de $c^*$
dài shù , yě jiù shì tā de bāo luò $c^*$ dài shù ,
chēng wéi jí dà $c^*$ dài shù。 dāng $gamma$ wéi yī gè jiāo huàn qún de shí hòu , dài shù $c^*_r(gamma)$ yě jiù shì $ga
mma$ de pontrjagyn( páng tè lǐ yà jīn ) duì 'ǒu ,
( jǐn ) qún $(hat{gamma})$ shàng de lián xù hán shù dài shù。 rú guǒ gèng jìn yī bù $gamma$ shì yòu xiàn shēng chéng de , nà me
$(hat{gamma})$ jiù shì yī gè liú xíng ( yī gè huán miàn )。
rú guǒ $gamma$ shì fēi jiāo huàn , dàn tóng shí hái bǎo chí shì yòu xiàn shēng chéng de huà , wǒ men kě yǐ hěn zì rán dì bǎ $c^*$ dài shù $c
^*_r(gamma)$ kàn zuò yī gè fēi jiāo huàn liú xíng。
--- jiāo chā jī (crossedproduct). dāng qún $gamma$ tōng guò zì tóng gòu de fāng shì zài dài shù a shàng zuò yòng shí , wǒ men kě
yǐ tōng guò xià miàn de fāng fǎ gòu zào yī gè xīn de
dài shù : bǎ $gamma$ de yuán sù $g$ zài $a$ shàng de zuò yòng jì wéi $amapstog.a(aina)$, nà me yóu $a$ hé $
mathbbgamma$ àn zhào guī zé $u_ga=(g.a)u_g$
shēng chéng de dài shù jiù chēng wéi $a$ hé $gamma$ de jiāo chā jī $a>!!!lhdgamma$.[ zài guó nèi de yī xiē dài shù shū
shàng zhè yě chēng wéi bàn zhí jī ]
wǒ men gǎn xīng qù de shì dāng $a$ shì liú xíng $v$ shàng de lián xù hán shù dài shù , ér ( yòu xiàn shēng chéng ) qún $gamma$ shì tōng guò $v$
shàng de wēi fēn tóng pēi de fāng shì zài $a$ shàng zuò yòng de qíng xíng。
zuì jiǎn dān de qíng kuàng jiù shì suǒ wèi“ fēi jiāo huàn huán miàn” , yòu dà liàng de jì suàn dōushì yǐ tā wéi duì xiàng jìn xíng de。 [connes
fā biǎo de dì yī piān guān yú fēi jiāo huàn
jǐ hé de wén zhāng $c^*$-alg`ebresetg'eom'etriediff'erentielle.c.r.acad.
sci.pariss'er.a-b290(1980),a599-a604
zhù yào chǔlǐ de jiù shì zhè gè lì zǐ , zhè piān wén zhāng zài 'èr shí nián hòu yóu tā zì jǐ fān yì chéng yīng wén hep-th/0101093]
oindent wǒ men jì $u={zinmathbb;|z|=1}$； qún $gamma=mathbb$ zài $u$ shàng zuò
yòng shì wú lǐ xuánzhuàn $n.z=e^{2ipin heta}z$, qí zhōng
$ hetainmathbbackslashmathbb$. wǒ men jì $u=u_1,v:zmapstoz$,$vin
a=c(u)$. róng yì kàn dào ,
jiāo chā jī $a>!!!lhdz$ jiù shì yóu liǎng gè mǎn zú $vu=e^{2ipi heta}uv$ de yǒu suàn zǐ shēng chéng de fàn $
c^*$ dài shù (universal$c^*$-algebra).
oindent zhè gè dài shù bèi chēng wéi fēi jiāo huàn huán miàn de lǐ yóu shì： dāng $ heta=0$ de shí hòu , wǒ men dé dào yī gè jiāo
huàn de dài shù , yě jiù shì yóu liǎng gè jiāo huàn de yǒu suàn zǐ shēng chéng de fàn $c^*$ dài shù
$c^*(mathbb^2)=c(hat{mathbb^2})=c(mathbb^2)$.
jiāo chā jī de yī gè fēi cháng zhòng yào de biàn tǐ shì xià miàn de
--- yè zhuàng jié gòu (foliation) de $c^*$ dài shù . zhè shì yī gè jī běn de lì zǐ , zài guò qù de 'èr shí duō nián lǐ miàn yī zhí
yǐn dǎo zhe zhè yī lǐng yù de fā zhǎn .
zhè lǐ de duì xiàng shì yóu v shàng yī gè yè zhuàng jié gòu $f$ de yè (leaf) de kōng jiān gòu chéng de“ fēi jiāo huàn liú xíng” . rú guǒ wǒ men
kǎo chá yī gè héng jié ( kāi ) jí m, wǒ men fā xiàn ,
suǒ xū yào yán jiū de shì $m$ shàng zài wú qióng yuǎn diǎn qū yú líng de lián xù hán shù dài shù $c_0(m)$ hé yī gè wēi fēn tóng pēi ( nǐ ) qún
de jiāo chā jī .
wèile bǎ jǐ hé de gōng jù yìng yòng dào fēi jiāo huàn de kuàng jià zhōng qù , wǒ men cháng shì bǎ liú xíng $v$ shàng de jǐ hé liàng tōng guò v shàng de mǒu
gè hán shù dài shù biǎo dá chū lái ,
ér bù shè jí gāi dài shù de jiāo huàn xìng .
yǐ lí màn liú xíng shàng de fú hào chā suàn zǐ (signatureoperator) huò zhě dirac suàn zǐ zuò wéi mó xíng ,alain
connes tí chū bǎ yī gè sān yuán zǔ $(h,a,d)$ zuò wéi yán jiū de chū fā diǎn ,
zhè lǐ $h$ shì yī gè $hilbert$ kōng jiān ,$a$ shì $h$ shàng lián xù [ yě jiù shì yòu jiè ] xiàn xìng suàn zǐ dài shù $mathcal
(h)$ de yī gè zǐ dài shù , ér $d$ shì $h$ shàng de yī gè zì gòng 'è wú jiè
suàn zǐ , wǒ men yào qiú tā jù yòu jǐn de yù jiě shì (resolvant). zhè yàng de yī gè sān yuán zǔ bèi chēng wéi pǔ sān yuán zǔ [conne
s zì jǐ de wén zhāng lǐ miàn yī bān bǎ zhè gè xiě chéng $(a,h,d)$,
jiù shì cóng dài shù $a$ chū fā， kǎo lǜ tā zài hilbert kōng jiān $h$ shàng de yī gè biǎo shì ]. wǒ men yào zuò de shì qíng jiù shì yào duì
wǒ men de
zhè gè sān yuán zǔ jiā shàng yī dìng de tiáo jiàn shǐ dé jì suàn kě yǐ jìn xíng , ér qiě mǎn zú tiáo jiàn de lì zǐ yào zú gòu duō . yī bān lái shuō ,
zài bù tóng de chǎng hé suǒ fù de tiáo jiàn
shì bù tóng de , zhè yě shuō míng liǎo zhè yī lǐ lùn de fēng fù duō cǎi .
jiāo huàn qíng xíng xià de fēi jiāo huàn jǐ hé
shè $v$ shì yī gè jǐn riemann liú xíng , wǒ men jì v shàng de lián xù hán shù dài shù wéi $c(v)$.
shè d shì yī gè“ hǎo” de yī jiē tuǒ yuán wēi fēn suàn zǐ , wéi míng què qǐ jiàn , wǒ men kě yǐ qǔ $d$ wéi fú hào chā suàn zǐ $d=d+d^
*$. wǒ men jiāng $d$ shì zuò zài píng fāng kě jī
de wēi fēn xíng shì quán tǐ gòu chéng de hilbert kōng jiān $h$ shàng de wú jiè zì gòng 'è bìng qiě jù yòu jǐn de yù jiě shì de suàn zǐ . wǒ men
kǎo lǜ $c(v)$ tōng guò [ zhú diǎn ] chéng fǎ zài $h$ shàng zuò yòng ,
hěn róng yì dé dào , duì yú $finc(v)$, suàn zǐ
$[d,f]=df-fd$
oindent dāng qiě jǐn dāng $f$ shì yī gè lipschitz hán shù de shí hòu cái shì yòu jiè de . bìng qiě $|[d,f]|$ děng yú
$f$ de lipschitz cháng shù . shì shí shàng , rú guǒ $f$ shì $c^1$ de huà ,
nà me $[d,f]$ qí shí jiù shì $df$ duì yìng de clifford chéng fǎ suàn zǐ .
zài zhè lǐ , wǒ men zhù yì dào , shàng miàn de shù jù kě yǐ bǎ $v$ shàng de dù liàng ( yě jiù shì tā de riemann jié gòu ) wán quán què dìng
xià lái . shí jì shàng liǎng diǎn jiān de jù lí kě yǐ yòng
$$d(a,b)=sup{|f(a)-f(b)|,finc(v);|[d,f]|leq1}$$
oindent gěi chū . tóng yàng wǒ men yě kě yǐ hěn róng yì dì dé dào $v$ shàng de $c^infty$ jié gòu , yīn wéi yī gè $fin
c(v)$ shì $c^infty$ de dāng qiě jǐn dāng tā zài wēi fēn suàn zǐ $delta:
fmapsto[|d|,f]$ de $c^infty$ dìng yì yù zhōng , yě jiù shì shuō , duì yú rèn yì de $n$, tā zài $delta$ de $n
$ cì fù hé $delta^{circn}$ zhōng . zhè lǐ $|d|$
biǎo shì $d$ de mó , yě jiù shì mǎn zú $|d|^2=d^*d=d^2$ de zhèng suàn zǐ . shí jì shàng ,$|d|$ shì yī gè jù yòu shù zhí zhù
xiàng zhēng (scalarprinciplesymbol) de nǐ wēi fēn suàn zǐ
( duì yú yī gè yú qiē xiàng liàng $xi$ jiù shì chéng shàng $|xi|$ de chéng fǎ ).$|d|$ hé yī gè líng jiē nǐ wēi fēn suàn zǐ de jiāo
huàn zǐ shì yī gè líng jiē de nǐ wēi fēn suàn zǐ , yīn cǐ shì yòu jiè de .
yīngdāng zhù yì dào yóu wǒ men de pǔ sān yuán zǔ kě yǐ dé dào yī gè líng jiē nǐ wēi fēn suàn zǐ de dài shù！ shì shí shàng , nà xiē yóu $c^
infty(v)$ de yuán sù hé $|d|$ zuò jiāo huàn zǐ dé dào de
suàn zǐ dū jù yòu shù zhí zhù xiàng zhēng ( zài píng tǎn de qíng xíng tā men běn shēn jiù shì shù zhí de ). wèile dé dào zài [ wēi fēn ] xíng shì cóng shàng
zuò yòng de líng jiē wēi fēn suàn zǐ , wǒ men zhǐ xū kǎo lǜ
$h$ shàng de bāo hán $c^infty(v)$ hé yǐ jí suǒ yòu jiāo huàn zǐ $[d,f](finc^infty(v))$, bìng qiě duì yú hé $
|d|$ de jiāo huàn zǐ zuò yòng wěn dìng de zuì xiǎo de zǐ suàn zǐ dài shù , jì wéi
$mathcal_0$. wǒ men yě róng yì zhǎo dào jiē wéi [ fù shù ]$m$ de nǐ wēi fēn suàn zǐ : jiù shì nà xiē xíng wéi $p(d^2+1
)^{m/2}$ de suàn zǐ , qí zhōng $pinmathcal_0$.
xiàn zài , wǒ men yào gěi chū yī gè yóu pǔ sān yuán zǔ chū fā zhí jiē kě yǐ dìng yì de qiáng dà de gōng jù : fēi jiāo huàn liú shù , huò zhě jiào wo
dzicki liú shù /
nǐ wēi fēn suàn zǐ p de liú shù yóu yī gè“ jú bù gōng shì” gěi chū :
$$resp=(2pi)^{-dimv}int_vs_p$$
zhè lǐ $s_p$ shì yī gè yóu $p$ de ( quán ) xiàng zhēng gěi chū de $v$ shàng de cèduó : duì yú $xinv$,$s_p(x)$ shì $p$(
zài $v$ de rèn hé yī gè zuò biāo kǎ lǐ miàn ) de $-dim(v)$ jiē xiàng zhēng zài
$x$ diǎn de yú qiē kōng jiān de qiú miàn shàng de píng jūn . zhè gè liú shù yòu hěn duō de chǎn shù fāng shì . duì yú wǒ men lái shuō , zuì hǎo yòng de
shì xià miàn zhè gè : yòng $tr$ jì $h$ shàng jì lèi suàn zǐ (traceclassoperator)
lǐ xiǎng shàng de jì . nà me zài $
e(z)$ zú gòu dà de shí hòu ( bǐ rú $
e(z)>dim(v)+m$, qí zhōng $m=-
e(-p
text{ de jiē }))$ yòu dìng yì de hán shù
$$zmapstotr(p(d^2+1)^{-z/2})$$
oindent jù yòu yī gè dào $mathbb$ shàng de jǐn yòu dān zhòng jí diǎn de yà chún yán tuò . zhè yàng $res(p)$ jiù shì zhè
gè hán shù zài 0 diǎn de liú shù . zhòng yào de shì ,wodzicki liú shù yóu wǒ men de pǔ sān yuán zǔ
wán quán què dìng , ér qiě zhè gè liú shù shì yī gè jì : duì yú rèn yì liǎng gè nǐ wēi fēn suàn zǐ , wǒ men yòu $respq=res
qp$. tóng shí , zhè hái shì $v$ shàng de nǐ wēi fēn suàn zǐ dài shù shàng wéi yī de
jì .
yóu wodzicki liú shù , wǒ men xī wàng néng gòu bǎ $v$ de jī běn bì liàn (fundamentalcycle), yě jiù shì $v$ shàng zuì gāo
cì wēi fēn xíng shì de jī fēn , biǎo shì chū lái . wǒ men jiǎ shè
$v$ de wéi shù $n$ shì 4 de bèi shù , zài zhè zhǒng qíng kuàng xià , wēi fēn xíng shì cóng shì liǎng gè zǐ cóng (hodge* suàn zǐ de tè zhēng kōng jiān
) de zhèng jiāo zhí hé $e_-opluse_+$, ér fú hào chā suàn zǐ
zài zhè yī fēn jiě xià shì qí (impair) de ( tā bǎ $e_+$ yìng dào $e_-$, bǎ $e_-$ yìng dào $e_+$). wǒ men yòng $varep
dìng yì de fēn cì (graduation) suàn zǐ , qí zhōng $xi_pm$ shì $e_pm$ de yī gè jié miàn . duì yú $f_0,f_1,dot
s,f_ninc^infty$, wǒ men yòu
$$int_vf_0df_1dotsdf_n=pi^nres(varepsilonf_0[d,f_1]dots
[d,f_n](d^2+1)^{-n/2}).$$
oindent zài zhè gè gōng shì zhōng chū xiàn de suàn zǐ $varepsilonf_0[d,f_1]dots
[d,f_n](d^2+1)^{-n/2}$ shì $-n$ jiē de . zhè xiē suàn zǐ de wodzicki liú shù yě kě yǐ bèi kàn zuò
yī gè dixmier jì , zhè shì yī gè dìng yì zài bǐ jì lèi suàn zǐ shāo dà yī diǎn de suàn zǐ lǐ xiǎng shàng de yī gè zhèng dìng jì .
--
--------------------------------
cogitoergosum.
fēi jiāo huàn jǐ hé de gōng lǐ
duì yú jiāo huàn qíng xíng de tǎo lùn shǐ wǒ men kě yǐ bǎ jiā zài pǔ sān yuán zǔ shàng de tiáo jiàn míng què xià lái :
a)$a$ zhōng shǐ dé $[d,f]$ yòu jiè de yuán sù $f$ gòu chéng yī gè chóu mì jí . yīn wéi $d$ de yù jiě shì shì yòu jiè de , zhè jiù shì
yóu baaj-julg jiàn lì de kasparov lǐ lùn de yī gè
wú jiè de bǎn běn . wǒ men chēng $(h,a,d)$ shì yī gè wú jiè fredholm mó .
oindent zài zhè yàng yī gè mó shàng kě yǐ dìng yì yī gè jiě xī zhǐ biāo (analyticindex), jiù shì yī gè yóu $a$ de k
- lǐ lùn dào $mathbb$ de tài shè (morphism).
yī gè zì rán de wèn tí jiù shì jì suàn zhè gè tóng tài .
b)$d$ de yù jiě shì zài yī gè schatten lèi $c_p$ zhōng , yě jiù shì shuō $(d^2+1)^{-p/2}$ shì yī gè jì lèi suàn zǐ .
zhè shí hòu wǒ men chēng sān yuán zǔ $(h,a,d)$ shì
$p$- kě hé ($p-$summable) de , bìng qiě dìng yì $(h,a,d)$ de wéi shù wéi $inf{p;
(d^2+1)^{-1/2}inc_p}$. yī gè yào ruò dé duō de tiáo jiàn shì
duì yú $s>0,exp(-sd^2)$ shì jì lèi suàn zǐ . zhè gè shí hòu wǒ men chēng $(h,a,d)$ shì $ heta$- kě hé de .
oindent duì yú zhè liǎng zhǒng qíng kuàng , wǒ mendōu kě yǐ xiě chū yī gè zhǐ biāo gōng shì (indexformula): wǒ men kě yǐ
lì yòng suàn zǐ de jì xiě chū dài shù ${aina;[d,a] ext{ yòu jiè }}$ shàng de yī gè
xún huán shàng liàn (cycliccocycle), tā jiāng qǐ dào atiyah-singer gōng shì zhōng zhǐ biāo lèi de zuò yòng .
c) wǒ men kě yǐ jiā gèng duō de xiàn zhì , bǐ rú kě yǐ jiǎ shè :
--$(h,a,d)$ shì $p$- kě hé de；
--$a$ zhōng suǒ yòu duì yú dǎo zǐ $delta:fmapsto[|d|,f]$ guāng huá $(c^infty)$ de yuán sù gòu chéng yī gè
chóu mì zǐ dài shù $mathcal$；
-- duì yú $mathcal(h)$ zhōng bāo hán $mathcal$ yǐ jí suǒ yòu jiāo huàn zǐ $[d,f](fin
mathcal)$, bìng qiě duì yú $delta$ zuò yòng wěn dìng de zuì xiǎo de zǐ dài shù lǐ de yuán sù $p$,
duì $
e(z)$ zú gòu dà de shí hòu dìng yì de hán shù $zmapstotr(p(d^2+1)^{-z/2})$ zài zhěng gè fù píng miàn $m
athbb$ shàng yòu yī gè zhǐ yòu dān zhòng jí diǎn de yà chún yán tuò .
oindent zài zhè zhǒng qíng xíng xià , wǒ men kě yǐ yòng xíng rú $zmapstotr(p(d^2+1)^{-z/2})$ de hán shù de yà
chún yán tuò de liú shù bǎ zhǐ biāo gōng shì xiě chū lái； ér jì rán zhè gè gōng shì shì
wán quán yòng liú shù xiě chū lái de , yīn cǐ tā jiù jù yòu mǒu zhǒng“ gāng xìng” : rú guǒ wǒ men zài $d$ shàng jiā shàng yī gè yòu xiàn zhì suàn zǐ
de rǎo dòng , gōng shì bù biàn . duì yú liú xíng shàng yī gè
( nǐ ) wēi fēn suàn zǐ $d$ de qíng xíng , zhè gè gōng shì zhǐ hé $d$ de quán xiàng zhēng yòu guān , wǒ men chēng zhè gè gōng shì shì jú bù de .
d) zài yòu xiē shí hòu , wǒ men kě yǐ bǎ“ suàn zǐ $d$ shì yī gè yī jiē wēi fēn” zhè yī shì shí biǎo dá chū lái . wèicǐ wǒ men shuō $[
d,f]$ shì jú bù de . zài“ jiāo huàn” jǐ hé de qíng xíng xià ,
zhè zhǒng jú bù xìng biǎo xiàn wéi $[d,f]$ hé hán shù duì yìng de chéng fǎ suàn zǐ shì kě jiāo huàn de； dàn shì hěn xiǎn rán de zhè gè dìng yì zài
fēi jiāo huàn de kuàng jià xià bù hǎo shǐ : dài shù $mathcal$ de yuán sù běn shēn
bì xū shì jú bù de . shòu dào tomita lǐ lùn de qǐ fā ,connes gěi chū liǎo yī gè jú bù xìng de fēi jiāo huàn biǎo shù : wǒ men shè yòu
yī gè gòng 'è xiàn xìng suàn zǐ $j:h
ightarrowh$ mǎn zú
$j^2=pmid$ bìng qiě $jmathcalj^$ hé $mathcal$ kě jiāo huàn . wǒ men shuō $tin
mathcal(h)$ shì jú bù de , rú guǒ $t$ hé $jmathcalj^$
kě jiāo huàn . zài $h$ shì liú xíng $v$ shàng de xiān wéi cóng $s$ de $l^2$ jié miàn kōng jiān de jiāo huàn qíng xíng xià ,$j$ jiù shì $s$ de yī
gè shí jié gòu , ér $jmathcalj^=mathcal$.
heiti{ zuì hòu wǒ men lái tǎo lùn sān gè fēi jiāo huàn de lì zǐ }songti
1. yòu xiàn shēng chéng de lí sàn qún $gamma$
wǒ men qǔ $h=ell^2(gamma),a=c^*_r(gamma)$ zài shàng miàn tōng guò píng yí (translation) zuò yòng ; suàn zǐ $
|d|$ jiù shì suàn zǐ $ximapstoellxi$,
qí zhōng $ell:gamma
ightarrowmathbb_+$ shì yī gè cháng dù hán shù , yě jiù shì shuō tā mǎn zú $ell(
gh)leqell(g)+ell(h)$.
zhù yì dào $u_g^|d|u_g-|d|$ shì yī gè lián xù de chéng fǎ suàn zǐ , tā de mó wéi $ell(g)$, suǒ yǐ
$[|d|,u_g]=u_g(u_g^|d|u_g-|d|)$
oindent yě shì lián xù de . yǔ cǐ tóng shí , kě yǐ zhèng míng $(h,a,|d|)$ shì p- kě hé de dāng qiě jǐn dāng qún $gamma$
( duì yú cháng dù $ell$ ér yán ) shì duō xiàng shì zēngzhǎng de ,
yīn cǐ shì jīhū mì líng de [ zhè shì gromov-milnor dìng lǐ , jīhū mì líng jí zhǐ yòu yī gè yòu xiàn zhǐ shù de mì líng zǐ qún ].
zài lìng yī fāng miàn , dāng $ell$
shì cí de cháng dù de shí hòu , zhè gè mó zǒng shì $ heta$- kě hé de .
oindent wǒ men zhǐ gòu zào liǎo $d$ de mó $|d|$. tā gěi chū liǎo guān yú dù liàng de xìn xī , dàn shì wǒ men hái xū yào $d$ de
xiàngwèi (phase) de xìn xī ( zhè shì yòng lái jué dìng zhǐ biāo de ).
zài yòu xiē qíng kuàng xià , zhè shì kě yǐ gěi chū de . bǐ rú dāng qún $gamma$ zài yī kē shù (tree), huò zhě yī gè bruhat-tit
s shà (building) shàng zuò yòng de shí hòu ,
wǒ men jiù kě yǐ gòu zào chū xiāng yìng de duì xiàng .
2. yè zhuàng jié gòu de héng jié fú hào chā suàn zǐ
zhè shì connes yǔ moscovici hé zuò zài yī xì liè wén zhāng zhōng chù lǐ de duì xiàng . wǒ men kǎo lǜ yī gè xiāng duì jiǎn dān de qíng xíng :
zài yī gè $c^infty$ de $n$ wéi liú xíng $m$ shàng
yòu yī gè kě shù de wēi fēn tóng pēi qún $gamma$. rú guǒ wǒ men yào zài zhè gè kuàng jià xià gòu zào fú hào chā suàn zǐ , nà me suǒ yù
dào de dì yī gè wèn tí jiù shì , yī bān shuō lái ,
$m$ shàng bù cún zài yī gè guān yú $gamma$ bù biàn de dù liàng , suǒ yǐ wǒ men wú fǎ gòu zào yī gè zhù xiàng zhēng guān yú $gamma$
bù biàn de tuǒ yuán wēi fēn suàn zǐ . wèicǐ ,connes hé
moscovici kǎo chá $m$ shàng suǒ yòu dù liàng gòu chéng de kōng jiān , yě jiù shì yú qiē cóng shàng suǒ yòu biāo jià de jí hé mó diào $o(n)$ de
zuò yòng dé dào de shāng . rán hòu wǒ men gòu zào yī gè
duì yú $m$ shàng suǒ yòu wēi fēn tóng pēi“ jīhū bù biàn” de chāo tuǒ yuán (hypoelliptic) nǐ wēi fēn suàn zǐ $d$.
oindent zhè gè suàn zǐ yóu gōng shì $d|d|=q$ suǒ kè huá , qí zhōng $q=d^*_vd_v-d_vd^*_v+d_t
+d^*_t$. zhè lǐ $d_v$ shì yī gè“ zòng xiàng (vertical)” ( yě jiù shì
yán zhe xiān wéi huà $p
ightarrowm$ de xiān wéi fāng xiàng ) de qiú dǎo suàn zǐ , ér $d_t$ shì xiāng duì yú zhè gè xiān wéi huà de yī
gè“ héng jié” qiú dǎo suàn zǐ .
oindent wǒ men kě yǐ zhèng míng zhè yàng dé dào de sān yuán zǔ $(h,a,d)$ mǎn zú shàng miàn c) zhōng suǒ liè de suǒ yòu tiáo jiàn . yīn
cǐ wǒ men jiù néng gòu dé dào yī gè jú bù zhǐ biāo gōng shì .
wèile fāng biàn zhè gè shàng bì liàn de jì suàn ,connes hé moscovici yǐn jìn liǎo yī gè fēi jiāo huàn yě fēi shàng jiāo huàn de hopf dài
shù $mathcal_n$, tā de yuán sù shì $mathbb^n$
shàng de“ héng jié xiàng liàng chǎng” (transversalvectorfileds), zài zhè lǐ qǐ“ liàng zǐ duìchèn qún” (quantum
symmetrygroup) de zuò yòng .
zhù yì lèi sì de hopf dài shù yě bèi connes hé kreimer yòng zài zǔ zhì zhòng zhèng huà lǐ lùn zhōng de jì suàn shàng .
3. fēi jiāo huàn huán miàn
zài zhè gè qíng kuàng xià , suǒ yòu de jì suàn dōushì míng liǎo de : wǒ men yào yòng de hilbert kōng jiān shì $h=ell^2(mathbb
^2)oplusell^2(mathbb^2)$.
yóu mǎn zú jiāo huàn guān xì $vu=e^{2ipin heta}uv$ de yǒu suàn zǐ $u,v$ shēng chéng de dài shù $a$ zài měi yī gè bù fēn
$ell^2(mathbb^2)$ yǐ tóng yàng de gōng shì
$$u(e_{n,m})=e_{n+1,m};;;v(e_{n,m})=e^{2ipin heta}e_{n,m+1}$$
oindent zuò yòng , zhè lǐ $(e_{n,m})_{n,minmathbb}$ shì $ell^2(mathbb^2)$ de biāo
zhǔn hilbert jī . suàn zǐ $d$ qǔ wéi
d=igl{(}egin
0&partial^*
partial&0
endigr{)}
oindent zhè lǐ $partial$ shì yóu $partial(e_{n,m})=(n+im)e_{n,m}$ dìng yì de suàn zǐ .
oindent yǔ cǐ tóng shí wǒ men yě yòu gòng 'è xiàn xìng suàn zǐ $j$, zài měi gè bù fēn $ell^2(mathbb^2)$ yǐ
gōng shì $je_{n,m}=e^{2nmipi heta}$ zuò yòng .
zhè yàng suàn zǐ $d$ jiù 'àn zhào shàng miàn d) de miáo shù chéng wéi yī gè wēi fēn .
oindent zhè gè lì zǐ gěi chū liǎo yī xiē fēi cháng piào liàng de jì suàn , bìng qiě yī zhí zuò wéi jiǎn yàn zhè yī lǐ lùn de dà liàng gōng
jù de shì yàn chǎng . qí zhōng yòu yī xiē bèi zhèng shí shì fēi cháng jīng xì de ,
yàng yī gè jiēguǒ : rú guǒ $ heta$ shì chāo yuè shù de huà , nà me
fēi jiāo huàn huán miàn shàng de yòu xiàn shè yǐng mó de yang-mills zuò yòng liàng de lín jiè zhí (criticalvalue) hé mó de wéi shù $
d$ de xíng rú $summ_k(q_k hetq-p_k)=d,m_k,
p_k,q_kinmathbb,m_k>0,p_k heta-q_k>0$ de fēn chāi yī yī duì yìng ].
dà liàng de zì rán de lì zǐ yǐ jīng , huò zhě zhèng zài bèi yán jiū zhe . háo wú yí wèn , wǒ men jǐn jǐn chù zài zhè yī lǐ lùn fā zhǎn de chū shǐ
jiē duàn …… | | Connes de fēi jiāo huàn jǐ hé xué 2005-12-2414:22:38
zài 2001 nián 1 yuè 24 rì jǔ xíng de ruì diǎn huáng jiā kē xué yuàn quán tǐ huì yì jué dìng jiāng 2001 nián dù de Crafoord jiǎng shòu yú
gāo děng kē xué yán jiū yuàn (IHES) hé fǎ lán xī xué yuàn (Coll`egedeFrance) de jiào shòu， shù xué jiā Alain
Connes， biǎo zhāng tā zài suàn zǐ dài shù lǐng yù zuò chū liǎo zhòng yào gōng zuò bìng qiě hé tā rén yī qǐ kāi chuàng liǎo fēi jiāo huàn jǐ hé
zhè yī fēn zhī .
fǎ guó shù xué jiā AlainConnes zài suàn zǐ dài shù lǐ lùn zhōng kāi tuò liǎo xīn de yán jiū tú jìng， bìng qiě shì fēi jiāo huàn jǐ hé de
chuàng shǐ rén zhī yī . duì yú zhè yī quán xīn de shù xué lǐng yù de jiàn lì Connes de zuò yòng shì jué dìng xìng de .
[ fǎ guó shù xué huì huì kān Gazettedesmath'ematiciens zài 2002 nián 10 yuè ( zǒng dì 94 hào ) fā biǎo liǎo George
Skandalis guān yú fēi jiāo huàn jǐ hé de yī piān jiǎn jiè .Skandalis shì xī là rén， gāo zhōng shí dài fù fǎ guó qiú xué， zài
bā lí de Louis-le-Grand zhōng xué hé rì hòu dé dào Fields jiǎng de Pierre-LouisLions yǐ jí
Jean-ChristopheYoccoz tóng bān， cǐ hòu jìn rù bā lí gāo shī xué xí，
zài wǎng hòu gēn AlainConnes zuò bó shì lùn wén， shì Connes de dì yī gè xué shēng。 90 nián ICM zuò yāo qǐng bào gào， mù qián
shì bā lí qī dà jiào shòu ,Bourbaki
suǒ yòu [,,] zhōng de wén zì jūn wéi yì zhù。 gǎn xiè nán kāi dà xué féng huì tāo lǎo shī de bāng zhù .
--
heiti{AlainConnes de fēi jiāo huàn jǐ hé xué ： pǔ sān yuán zǔ de gài niàn }songti
shénme shì AlainConnes de fēi jiāo huàn jǐ hé xué ？ shǒu xiān， wǒ men yòu cóng jǐ hé， tiáohé fēn xī， wù lǐ， nǎi zhì shù
lùn zhōng lái de zhòng duō lì zǐ
dots zuì zhòng yào de chū fā diǎn shì wù lǐ : wǒ men xī wàng bǎ xiāng duì lùn ( yě jiù shì lí màn jǐ hé ) hé liàng zǐ lì xué ( yě jiù shì
fēi jiāo huàn de jié gòu ) jié hé zài yī qǐ .
zài zhè lǐ wǒ jiāng jiè shào zhè yī lǐ lùn de ruò gān fāng miàn。 běn zhì shàng zhè shì yī piān fēi jì shù xìng de wén zì . rú guǒ zài yòu xiē dì fāng
wǒ shì yòng liǎo yī xiē zhuān mén de shù yǔ
de huà， nà shì xī wàng néng gòu duì shú xī hánghuà de dú zhě yòu suǒ bāng zhù， dàn shì duì yú bù shú xī zhè xiē de dú zhě lái shuō， zhè
yě bù huì chéng wéi yī gè zhàng 'ài .
duì yú ( jú bù ) jǐn kōng jiān zhè gè gài niàn， $C^*$ dài shù lǐ lùn gěi chū liǎo yī gè hěn hǎo de fēi jiāo huàn de lèi bǐ : wǒ men huí gù
yī xià， suǒ wèi $C^*$ dài shù $A$ shǒu
xiān shì yī gè Banach dài shù， qí shàng jù yòu yī gè duì hé (involution)$amapstoa^*$( gòng 'è xiàn xìng bìng qiě duì
$a,binA$ mǎn zú $(ab)^*=b^*a^*)$,
cǐ wài yào qiú duì yú suǒ yòu de $ainA$, wǒ men yòu $|a^*a|=|a|^2$.
noindent suǒ yòu de jiāo huàn $C^*$ dài shù quán tǐ qià hǎo jiù shì suǒ yòu ( jú bù ) jǐn de tuò pū kōng jiān shàng de ( zài wú qióng yuǎn
qū xiàng yú 0 de ) lián xù hán shù gòu chéng de Banach dài shù quán tǐ
[ zhè shì Gel'fand-Naimark dìng lǐ ]. yīn cǐ wǒ men kě yǐ bǎ fēi jiāo huàn de $C^*$ dài shù shì wéi“ fēi jiāo huàn de ( jú bù
) jǐn kōng jiān” .
Connes de fēi jiāo huàn jǐ hé de mùdì jiù shì xiǎng bǎ yī xiē jǐ hé de gōng jù yìng yòng dào yī xiē zì rán de fēi jiāo huàn $C^*$ dài shù
shàng . wǒ men kě yǐ bǎ zhè xiē
$C^*$ dài shù shì wéi“ fēi jiāo huàn wēi fēn liú xíng” . yòu yī xiē gōng jù shì kě yǐ zhí jiē bān dào fēi jiāo huàn de kuàng jià lǐ de， bǐ
rú xiàng liàng cóng lǐ lùn，
duì yìng dào [ yòu xiàn ] shè yǐng mó lǐ lùn， kě yǐ yóu K- lǐ lùn lái kè huá .deRham shàng tóng diào yào bān guò qù jiù shāo wēi kùn nán yī
diǎn，
tā de fēi jiāo huàn duì yìng shì Connes de xún huán shàng tóng tiáolǐ lùn ([ yī bān lái shuō， dà jiā chéng rèn BorisTsygan shì hé Con
nes xiāng hù dú lì fā zhǎn
chū zhè yī tào lǐ lùn de ]， nà shì fēi jiāo huàn jǐ hé zuì zǎo de chéng gōng zhī yī . yī bù yī bù de ,Connes zài zhè gè xún huán tóng diào
de kuàng jià lǐ miàn
gòu zào liǎo jī běn bì liàn (fundamentalcycle), wēi fēn xíng shì , lián luò , yǐ jí ruò gān jǐ hé zhōng cháng yòng gài niàn de fēi jiāo
huàn duì yìng。
wǒ men zài yán jiū zhōng xī wàng néng gòu duì yī xiē [ zài suàn zǐ dài shù yán jiū zhōng yǐ zhī de ] zì rán de lì zǐ yìng yòng nà xiē jǐ hé de guān
diǎn：
--- yòu xiàn shēng chéng qún de duì 'ǒu . shè $Gamma$ shì yī gè qún。 wǒ men kě yǐ zì rán de yòu yī gè dài shù $mathbbG
amma$ yǔ zhī xiāng guān lián： yǐ $(u_g)_{ginGamma}$ wéi
jī de fù xiàn xìng kōng jiān , qí shàng de chéng fǎ dìng yì wéi $u_gu_h=u_$( duì yú $g,hinGamma$). tā zài Hil
bert kōng jiān $ell^2(Gamma)$ shàng de zhèng zé biǎo shì
(regularrepresentation) de bì bāo $C^*_r(Gamma)$ shì yī gè $C^*$ dài shù , chēng wéi $Gamma$ de yuē
huà $C^*$ dài shù (reduced$C^*$-algebra).
zhù yì zài yòu xiē qíng kuàng xià wǒ men hái kě yǐ yán jiū duì $mathbbGamma$ zuò lìng wài yī zhǒng wán bèi huà dé dào de $C^*$
dài shù , yě jiù shì tā de bāo luò $C^*$ dài shù ,
chēng wéi jí dà $C^*$ dài shù。 dāng $Gamma$ wéi yī gè jiāo huàn qún de shí hòu , dài shù $C^*_r(Gamma)$ yě jiù shì $Ga
mma$ de Pontrjagyn( páng tè lǐ yà jīn ) duì 'ǒu ,
( jǐn ) qún $(hat{Gamma})$ shàng de lián xù hán shù dài shù。 rú guǒ gèng jìn yī bù $Gamma$ shì yòu xiàn shēng chéng de , nà me
$(hat{Gamma})$ jiù shì yī gè liú xíng ( yī gè huán miàn )。
rú guǒ $Gamma$ shì fēi jiāo huàn , dàn tóng shí hái bǎo chí shì yòu xiàn shēng chéng de huà , wǒ men kě yǐ hěn zì rán dì bǎ $C^*$ dài shù $C
^*_r(Gamma)$ kàn zuò yī gè fēi jiāo huàn liú xíng。
--- jiāo chā jī (crossedproduct). dāng qún $Gamma$ tōng guò zì tóng gòu de fāng shì zài dài shù A shàng zuò yòng shí , wǒ men kě
yǐ tōng guò xià miàn de fāng fǎ gòu zào yī gè xīn de
dài shù : bǎ $Gamma$ de yuán sù $g$ zài $A$ shàng de zuò yòng jì wéi $amapstog.a(ainA)$, nà me yóu $A$ hé $
mathbbGamma$ àn zhào guī zé $u_ga=(g.a)u_g$
shēng chéng de dài shù jiù chēng wéi $A$ hé $Gamma$ de jiāo chā jī $A>!!!lhdGamma$.[ zài guó nèi de yī xiē dài shù shū
shàng zhè yě chēng wéi bàn zhí jī ]
wǒ men gǎn xīng qù de shì dāng $A$ shì liú xíng $V$ shàng de lián xù hán shù dài shù , ér ( yòu xiàn shēng chéng ) qún $Gamma$ shì tōng guò $V$
shàng de wēi fēn tóng pēi de fāng shì zài $A$ shàng zuò yòng de qíng xíng。
zuì jiǎn dān de qíng kuàng jiù shì suǒ wèi“ fēi jiāo huàn huán miàn” , yòu dà liàng de jì suàn dōushì yǐ tā wéi duì xiàng jìn xíng de。 [Connes
fā biǎo de dì yī piān guān yú fēi jiāo huàn
jǐ hé de wén zhāng $C^*$-alg`ebresetg'eom'etriediff'erentielle.C.R.Acad.
sci.ParisS'er.A-B290(1980),A599-A604
zhù yào chǔlǐ de jiù shì zhè gè lì zǐ , zhè piān wén zhāng zài 'èr shí nián hòu yóu tā zì jǐ fān yì chéng yīng wén hep-th/0101093]
noindent wǒ men jì $U={zinmathbb;|z|=1}$； qún $Gamma=mathbb$ zài $U$ shàng zuò
yòng shì wú lǐ xuánzhuàn $n.z=e^{2ipintheta}z$, qí zhōng
$thetainmathbbbackslashmathbb$. wǒ men jì $u=u_1,v:zmapstoz$,$vin
A=C(U)$. róng yì kàn dào ,
jiāo chā jī $A>!!!lhdZ$ jiù shì yóu liǎng gè mǎn zú $vu=e^{2ipitheta}uv$ de yǒu suàn zǐ shēng chéng de fàn $
C^*$ dài shù (universal$C^*$-algebra).
noindent zhè gè dài shù bèi chēng wéi fēi jiāo huàn huán miàn de lǐ yóu shì： dāng $theta=0$ de shí hòu , wǒ men dé dào yī gè jiāo
huàn de dài shù , yě jiù shì yóu liǎng gè jiāo huàn de yǒu suàn zǐ shēng chéng de fàn $C^*$ dài shù
$C^*(mathbb^2)=C(hat{mathbb^2})=C(mathbb^2)$.
jiāo chā jī de yī gè fēi cháng zhòng yào de biàn tǐ shì xià miàn de
--- yè zhuàng jié gòu (foliation) de $C^*$ dài shù . zhè shì yī gè jī běn de lì zǐ , zài guò qù de 'èr shí duō nián lǐ miàn yī zhí
yǐn dǎo zhe zhè yī lǐng yù de fā zhǎn .
zhè lǐ de duì xiàng shì yóu V shàng yī gè yè zhuàng jié gòu $F$ de yè (leaf) de kōng jiān gòu chéng de“ fēi jiāo huàn liú xíng” . rú guǒ wǒ men
kǎo chá yī gè héng jié ( kāi ) jí M, wǒ men fā xiàn ,
suǒ xū yào yán jiū de shì $M$ shàng zài wú qióng yuǎn diǎn qū yú líng de lián xù hán shù dài shù $C_0(M)$ hé yī gè wēi fēn tóng pēi ( nǐ ) qún
de jiāo chā jī .
wèile bǎ jǐ hé de gōng jù yìng yòng dào fēi jiāo huàn de kuàng jià zhōng qù , wǒ men cháng shì bǎ liú xíng $V$ shàng de jǐ hé liàng tōng guò V shàng de mǒu
gè hán shù dài shù biǎo dá chū lái ,
ér bù shè jí gāi dài shù de jiāo huàn xìng .
yǐ lí màn liú xíng shàng de fú hào chā suàn zǐ (signatureoperator) huò zhě Dirac suàn zǐ zuò wéi mó xíng ,Alain
Connes tí chū bǎ yī gè sān yuán zǔ $(H,A,D)$ zuò wéi yán jiū de chū fā diǎn ,
zhè lǐ $H$ shì yī gè $Hilbert$ kōng jiān ,$A$ shì $H$ shàng lián xù [ yě jiù shì yòu jiè ] xiàn xìng suàn zǐ dài shù $mathcal
(H)$ de yī gè zǐ dài shù , ér $D$ shì $H$ shàng de yī gè zì gòng 'è wú jiè
suàn zǐ , wǒ men yào qiú tā jù yòu jǐn de yù jiě shì (resolvant). zhè yàng de yī gè sān yuán zǔ bèi chēng wéi pǔ sān yuán zǔ [Conne
s zì jǐ de wén zhāng lǐ miàn yī bān bǎ zhè gè xiě chéng $(A,H,D)$,
jiù shì cóng dài shù $A$ chū fā， kǎo lǜ tā zài Hilbert kōng jiān $H$ shàng de yī gè biǎo shì ]. wǒ men yào zuò de shì qíng jiù shì yào duì
wǒ men de
zhè gè sān yuán zǔ jiā shàng yī dìng de tiáo jiàn shǐ dé jì suàn kě yǐ jìn xíng , ér qiě mǎn zú tiáo jiàn de lì zǐ yào zú gòu duō . yī bān lái shuō ,
zài bù tóng de chǎng hé suǒ fù de tiáo jiàn
shì bù tóng de , zhè yě shuō míng liǎo zhè yī lǐ lùn de fēng fù duō cǎi .
jiāo huàn qíng xíng xià de fēi jiāo huàn jǐ hé
shè $V$ shì yī gè jǐn Riemann liú xíng , wǒ men jì V shàng de lián xù hán shù dài shù wéi $C(V)$.
shè D shì yī gè“ hǎo” de yī jiē tuǒ yuán wēi fēn suàn zǐ , wéi míng què qǐ jiàn , wǒ men kě yǐ qǔ $D$ wéi fú hào chā suàn zǐ $D=d+d^
*$. wǒ men jiāng $D$ shì zuò zài píng fāng kě jī
de wēi fēn xíng shì quán tǐ gòu chéng de Hilbert kōng jiān $H$ shàng de wú jiè zì gòng 'è bìng qiě jù yòu jǐn de yù jiě shì de suàn zǐ . wǒ men
kǎo lǜ $C(V)$ tōng guò [ zhú diǎn ] chéng fǎ zài $H$ shàng zuò yòng ,
hěn róng yì dé dào , duì yú $finC(V)$, suàn zǐ
$[D,f]=Df-fD$
noindent dāng qiě jǐn dāng $f$ shì yī gè Lipschitz hán shù de shí hòu cái shì yòu jiè de . bìng qiě $|[D,f]|$ děng yú
$f$ de Lipschitz cháng shù . shì shí shàng , rú guǒ $f$ shì $C^1$ de huà ,
nà me $[D,f]$ qí shí jiù shì $df$ duì yìng de Clifford chéng fǎ suàn zǐ .
zài zhè lǐ , wǒ men zhù yì dào , shàng miàn de shù jù kě yǐ bǎ $V$ shàng de dù liàng ( yě jiù shì tā de Riemann jié gòu ) wán quán què dìng
xià lái . shí jì shàng liǎng diǎn jiān de jù lí kě yǐ yòng
$$d(a,b)=sup{|f(a)-f(b)|,finC(V);|[D,f]|leq1}$$
noindent gěi chū . tóng yàng wǒ men yě kě yǐ hěn róng yì dì dé dào $V$ shàng de $C^infty$ jié gòu , yīn wéi yī gè $fin
C(V)$ shì $C^infty$ de dāng qiě jǐn dāng tā zài wēi fēn suàn zǐ $delta:
fmapsto[|D|,f]$ de $C^infty$ dìng yì yù zhōng , yě jiù shì shuō , duì yú rèn yì de $n$, tā zài $delta$ de $n
$ cì fù hé $delta^{circn}$ zhōng . zhè lǐ $|D|$
biǎo shì $D$ de mó , yě jiù shì mǎn zú $|D|^2=D^*D=D^2$ de zhèng suàn zǐ . shí jì shàng ,$|D|$ shì yī gè jù yòu shù zhí zhù
xiàng zhēng (scalarprinciplesymbol) de nǐ wēi fēn suàn zǐ
( duì yú yī gè yú qiē xiàng liàng $xi$ jiù shì chéng shàng $|xi|$ de chéng fǎ ).$|D|$ hé yī gè líng jiē nǐ wēi fēn suàn zǐ de jiāo
huàn zǐ shì yī gè líng jiē de nǐ wēi fēn suàn zǐ , yīn cǐ shì yòu jiè de .
yīngdāng zhù yì dào yóu wǒ men de pǔ sān yuán zǔ kě yǐ dé dào yī gè líng jiē nǐ wēi fēn suàn zǐ de dài shù！ shì shí shàng , nà xiē yóu $C^
infty(V)$ de yuán sù hé $|D|$ zuò jiāo huàn zǐ dé dào de
suàn zǐ dū jù yòu shù zhí zhù xiàng zhēng ( zài píng tǎn de qíng xíng tā men běn shēn jiù shì shù zhí de ). wèile dé dào zài [ wēi fēn ] xíng shì cóng shàng
zuò yòng de líng jiē wēi fēn suàn zǐ , wǒ men zhǐ xū kǎo lǜ
$H$ shàng de bāo hán $C^infty(V)$ hé yǐ jí suǒ yòu jiāo huàn zǐ $[D,f](finC^infty(V))$, bìng qiě duì yú hé $
|D|$ de jiāo huàn zǐ zuò yòng wěn dìng de zuì xiǎo de zǐ suàn zǐ dài shù , jì wéi
$mathcal_0$. wǒ men yě róng yì zhǎo dào jiē wéi [ fù shù ]$m$ de nǐ wēi fēn suàn zǐ : jiù shì nà xiē xíng wéi $P(D^2+1
)^{m/2}$ de suàn zǐ , qí zhōng $Pinmathcal_0$.
xiàn zài , wǒ men yào gěi chū yī gè yóu pǔ sān yuán zǔ chū fā zhí jiē kě yǐ dìng yì de qiáng dà de gōng jù : fēi jiāo huàn liú shù , huò zhě jiào Wo
dzicki liú shù /
nǐ wēi fēn suàn zǐ P de liú shù yóu yī gè“ jú bù gōng shì” gěi chū :
$$resP=(2pi)^{-dimV}int_Vs_P$$
zhè lǐ $s_P$ shì yī gè yóu $P$ de ( quán ) xiàng zhēng gěi chū de $V$ shàng de cèduó : duì yú $xinV$,$s_P(x)$ shì $P$(
zài $V$ de rèn hé yī gè zuò biāo kǎ lǐ miàn ) de $-dim(V)$ jiē xiàng zhēng zài
$x$ diǎn de yú qiē kōng jiān de qiú miàn shàng de píng jūn . zhè gè liú shù yòu hěn duō de chǎn shù fāng shì . duì yú wǒ men lái shuō , zuì hǎo yòng de
shì xià miàn zhè gè : yòng $Tr$ jì $H$ shàng jì lèi suàn zǐ (traceclassoperator)
lǐ xiǎng shàng de jì . nà me zài $Re(z)$ zú gòu dà de shí hòu ( bǐ rú $Re(z)>dim(V)+m$, qí zhōng $m=-Re(-P
text{ de jiē }))$ yòu dìng yì de hán shù
$$zmapstoTr(P(D^2+1)^{-z/2})$$
noindent jù yòu yī gè dào $mathbb$ shàng de jǐn yòu dān zhòng jí diǎn de yà chún yán tuò . zhè yàng $res(P)$ jiù shì zhè
gè hán shù zài 0 diǎn de liú shù . zhòng yào de shì ,Wodzicki liú shù yóu wǒ men de pǔ sān yuán zǔ
wán quán què dìng , ér qiě zhè gè liú shù shì yī gè jì : duì yú rèn yì liǎng gè nǐ wēi fēn suàn zǐ , wǒ men yòu $resPQ=res
QP$. tóng shí , zhè hái shì $V$ shàng de nǐ wēi fēn suàn zǐ dài shù shàng wéi yī de
jì .
yóu Wodzicki liú shù , wǒ men xī wàng néng gòu bǎ $V$ de jī běn bì liàn (fundamentalcycle), yě jiù shì $V$ shàng zuì gāo
cì wēi fēn xíng shì de jī fēn , biǎo shì chū lái . wǒ men jiǎ shè
$V$ de wéi shù $n$ shì 4 de bèi shù , zài zhè zhǒng qíng kuàng xià , wēi fēn xíng shì cóng shì liǎng gè zǐ cóng (Hodge* suàn zǐ de tè zhēng kōng jiān
) de zhèng jiāo zhí hé $E_-oplusE_+$, ér fú hào chā suàn zǐ
zài zhè yī fēn jiě xià shì qí (impair) de ( tā bǎ $E_+$ yìng dào $E_-$, bǎ $E_-$ yìng dào $E_+$). wǒ men yòng $varep
dìng yì de fēn cì (graduation) suàn zǐ , qí zhōng $xi_pm$ shì $E_pm$ de yī gè jié miàn . duì yú $f_0,f_1,dot
s,f_ninC^infty$, wǒ men yòu
$$int_Vf_0df_1dotsdf_n=pi^nres(varepsilonf_0[D,f_1]dots
[D,f_n](D^2+1)^{-n/2}).$$
noindent zài zhè gè gōng shì zhōng chū xiàn de suàn zǐ $varepsilonf_0[D,f_1]dots
[D,f_n](D^2+1)^{-n/2}$ shì $-n$ jiē de . zhè xiē suàn zǐ de Wodzicki liú shù yě kě yǐ bèi kàn zuò
yī gè Dixmier jì , zhè shì yī gè dìng yì zài bǐ jì lèi suàn zǐ shāo dà yī diǎn de suàn zǐ lǐ xiǎng shàng de yī gè zhèng dìng jì .
--
--------------------------------
CogitoErgoSum.
fēi jiāo huàn jǐ hé de gōng lǐ
duì yú jiāo huàn qíng xíng de tǎo lùn shǐ wǒ men kě yǐ bǎ jiā zài pǔ sān yuán zǔ shàng de tiáo jiàn míng què xià lái :
a)$A$ zhōng shǐ dé $[D,f]$ yòu jiè de yuán sù $f$ gòu chéng yī gè chóu mì jí . yīn wéi $D$ de yù jiě shì shì yòu jiè de , zhè jiù shì
yóu Baaj-Julg jiàn lì de Kasparov lǐ lùn de yī gè
wú jiè de bǎn běn . wǒ men chēng $(H,A,D)$ shì yī gè wú jiè Fredholm mó .
noindent zài zhè yàng yī gè mó shàng kě yǐ dìng yì yī gè jiě xī zhǐ biāo (analyticindex), jiù shì yī gè yóu $A$ de K
- lǐ lùn dào $mathbb$ de tài shè (morphism).
yī gè zì rán de wèn tí jiù shì jì suàn zhè gè tóng tài .
b)$D$ de yù jiě shì zài yī gè Schatten lèi $C_p$ zhōng , yě jiù shì shuō $(D^2+1)^{-p/2}$ shì yī gè jì lèi suàn zǐ .
zhè shí hòu wǒ men chēng sān yuán zǔ $(H,A,D)$ shì
$p$- kě hé ($p-$summable) de , bìng qiě dìng yì $(H,A,D)$ de wéi shù wéi $inf{p;
(D^2+1)^{-1/2}inC_p}$. yī gè yào ruò dé duō de tiáo jiàn shì
duì yú $s>0,exp(-sD^2)$ shì jì lèi suàn zǐ . zhè gè shí hòu wǒ men chēng $(H,A,D)$ shì $theta$- kě hé de .
noindent duì yú zhè liǎng zhǒng qíng kuàng , wǒ mendōu kě yǐ xiě chū yī gè zhǐ biāo gōng shì (indexformula): wǒ men kě yǐ
lì yòng suàn zǐ de jì xiě chū dài shù ${ainA;[D,a]text{ yòu jiè }}$ shàng de yī gè
xún huán shàng liàn (cycliccocycle), tā jiāng qǐ dào Atiyah-Singer gōng shì zhōng zhǐ biāo lèi de zuò yòng .
c) wǒ men kě yǐ jiā gèng duō de xiàn zhì , bǐ rú kě yǐ jiǎ shè :
--$(H,A,D)$ shì $p$- kě hé de；
--$A$ zhōng suǒ yòu duì yú dǎo zǐ $delta:fmapsto[|D|,f]$ guāng huá $(C^infty)$ de yuán sù gòu chéng yī gè
chóu mì zǐ dài shù $mathcal$；
-- duì yú $mathcal(H)$ zhōng bāo hán $mathcal$ yǐ jí suǒ yòu jiāo huàn zǐ $[D,f](fin
mathcal)$, bìng qiě duì yú $delta$ zuò yòng wěn dìng de zuì xiǎo de zǐ dài shù lǐ de yuán sù $P$,
duì $Re(z)$ zú gòu dà de shí hòu dìng yì de hán shù $zmapstoTr(P(D^2+1)^{-z/2})$ zài zhěng gè fù píng miàn $m
athbb$ shàng yòu yī gè zhǐ yòu dān zhòng jí diǎn de yà chún yán tuò .
noindent zài zhè zhǒng qíng xíng xià , wǒ men kě yǐ yòng xíng rú $zmapstoTr(P(D^2+1)^{-z/2})$ de hán shù de yà
chún yán tuò de liú shù bǎ zhǐ biāo gōng shì xiě chū lái； ér jì rán zhè gè gōng shì shì
wán quán yòng liú shù xiě chū lái de , yīn cǐ tā jiù jù yòu mǒu zhǒng“ gāng xìng” : rú guǒ wǒ men zài $D$ shàng jiā shàng yī gè yòu xiàn zhì suàn zǐ
de rǎo dòng , gōng shì bù biàn . duì yú liú xíng shàng yī gè
( nǐ ) wēi fēn suàn zǐ $D$ de qíng xíng , zhè gè gōng shì zhǐ hé $D$ de quán xiàng zhēng yòu guān , wǒ men chēng zhè gè gōng shì shì jú bù de .
d) zài yòu xiē shí hòu , wǒ men kě yǐ bǎ“ suàn zǐ $D$ shì yī gè yī jiē wēi fēn” zhè yī shì shí biǎo dá chū lái . wèicǐ wǒ men shuō $[
D,f]$ shì jú bù de . zài“ jiāo huàn” jǐ hé de qíng xíng xià ,
zhè zhǒng jú bù xìng biǎo xiàn wéi $[D,f]$ hé hán shù duì yìng de chéng fǎ suàn zǐ shì kě jiāo huàn de； dàn shì hěn xiǎn rán de zhè gè dìng yì zài
fēi jiāo huàn de kuàng jià xià bù hǎo shǐ : dài shù $mathcal$ de yuán sù běn shēn
bì xū shì jú bù de . shòu dào Tomita lǐ lùn de qǐ fā ,Connes gěi chū liǎo yī gè jú bù xìng de fēi jiāo huàn biǎo shù : wǒ men shè yòu
yī gè gòng 'è xiàn xìng suàn zǐ $J:HrightarrowH$ mǎn zú
$J^2=pmid$ bìng qiě $JmathcalJ^$ hé $mathcal$ kě jiāo huàn . wǒ men shuō $Tin
mathcal(H)$ shì jú bù de , rú guǒ $T$ hé $JmathcalJ^$
kě jiāo huàn . zài $H$ shì liú xíng $V$ shàng de xiān wéi cóng $S$ de $L^2$ jié miàn kōng jiān de jiāo huàn qíng xíng xià ,$J$ jiù shì $S$ de yī
gè shí jié gòu , ér $JmathcalJ^=mathcal$.
heiti{ zuì hòu wǒ men lái tǎo lùn sān gè fēi jiāo huàn de lì zǐ }songti
1. yòu xiàn shēng chéng de lí sàn qún $Gamma$
wǒ men qǔ $H=ell^2(Gamma),A=C^*_r(Gamma)$ zài shàng miàn tōng guò píng yí (translation) zuò yòng ; suàn zǐ $
|D|$ jiù shì suàn zǐ $ximapstoellxi$,
qí zhōng $ell:Gammarightarrowmathbb_+$ shì yī gè cháng dù hán shù , yě jiù shì shuō tā mǎn zú $ell(
gh)leqell(g)+ell(h)$.
zhù yì dào $u_g^|D|u_g-|D|$ shì yī gè lián xù de chéng fǎ suàn zǐ , tā de mó wéi $ell(g)$, suǒ yǐ
$[|D|,u_g]=u_g(u_g^|D|u_g-|D|)$
noindent yě shì lián xù de . yǔ cǐ tóng shí , kě yǐ zhèng míng $(H,A,|D|)$ shì p- kě hé de dāng qiě jǐn dāng qún $Gamma$
( duì yú cháng dù $ell$ ér yán ) shì duō xiàng shì zēngzhǎng de ,
yīn cǐ shì jīhū mì líng de [ zhè shì Gromov-Milnor dìng lǐ , jīhū mì líng jí zhǐ yòu yī gè yòu xiàn zhǐ shù de mì líng zǐ qún ].
zài lìng yī fāng miàn , dāng $ell$
shì cí de cháng dù de shí hòu , zhè gè mó zǒng shì $theta$- kě hé de .
noindent wǒ men zhǐ gòu zào liǎo $D$ de mó $|D|$. tā gěi chū liǎo guān yú dù liàng de xìn xī , dàn shì wǒ men hái xū yào $D$ de
xiàngwèi (phase) de xìn xī ( zhè shì yòng lái jué dìng zhǐ biāo de ).
zài yòu xiē qíng kuàng xià , zhè shì kě yǐ gěi chū de . bǐ rú dāng qún $Gamma$ zài yī kē shù (tree), huò zhě yī gè Bruhat-Tit
s shà (building) shàng zuò yòng de shí hòu ,
wǒ men jiù kě yǐ gòu zào chū xiāng yìng de duì xiàng .
2. yè zhuàng jié gòu de héng jié fú hào chā suàn zǐ
zhè shì Connes yǔ Moscovici hé zuò zài yī xì liè wén zhāng zhōng chù lǐ de duì xiàng . wǒ men kǎo lǜ yī gè xiāng duì jiǎn dān de qíng xíng :
zài yī gè $C^infty$ de $n$ wéi liú xíng $M$ shàng
yòu yī gè kě shù de wēi fēn tóng pēi qún $Gamma$. rú guǒ wǒ men yào zài zhè gè kuàng jià xià gòu zào fú hào chā suàn zǐ , nà me suǒ yù
dào de dì yī gè wèn tí jiù shì , yī bān shuō lái ,
$M$ shàng bù cún zài yī gè guān yú $Gamma$ bù biàn de dù liàng , suǒ yǐ wǒ men wú fǎ gòu zào yī gè zhù xiàng zhēng guān yú $Gamma$
bù biàn de tuǒ yuán wēi fēn suàn zǐ . wèicǐ ,Connes hé
Moscovici kǎo chá $M$ shàng suǒ yòu dù liàng gòu chéng de kōng jiān , yě jiù shì yú qiē cóng shàng suǒ yòu biāo jià de jí hé mó diào $O(n)$ de
zuò yòng dé dào de shāng . rán hòu wǒ men gòu zào yī gè
duì yú $M$ shàng suǒ yòu wēi fēn tóng pēi“ jīhū bù biàn” de chāo tuǒ yuán (hypoelliptic) nǐ wēi fēn suàn zǐ $D$.
noindent zhè gè suàn zǐ yóu gōng shì $D|D|=Q$ suǒ kè huá , qí zhōng $Q=d^*_Vd_V-d_Vd^*_V+d_t
+d^*_t$. zhè lǐ $d_V$ shì yī gè“ zòng xiàng (vertical)” ( yě jiù shì
yán zhe xiān wéi huà $PrightarrowM$ de xiān wéi fāng xiàng ) de qiú dǎo suàn zǐ , ér $d_t$ shì xiāng duì yú zhè gè xiān wéi huà de yī
gè“ héng jié” qiú dǎo suàn zǐ .
noindent wǒ men kě yǐ zhèng míng zhè yàng dé dào de sān yuán zǔ $(H,A,D)$ mǎn zú shàng miàn c) zhōng suǒ liè de suǒ yòu tiáo jiàn . yīn
cǐ wǒ men jiù néng gòu dé dào yī gè jú bù zhǐ biāo gōng shì .
wèile fāng biàn zhè gè shàng bì liàn de jì suàn ,Connes hé Moscovici yǐn jìn liǎo yī gè fēi jiāo huàn yě fēi shàng jiāo huàn de Hopf dài
shù $mathcal_n$, tā de yuán sù shì $mathbb^n$
shàng de“ héng jié xiàng liàng chǎng” (transversalvectorfileds), zài zhè lǐ qǐ“ liàng zǐ duìchèn qún” (quantum
symmetrygroup) de zuò yòng .
zhù yì lèi sì de Hopf dài shù yě bèi Connes hé Kreimer yòng zài zǔ zhì zhòng zhèng huà lǐ lùn zhōng de jì suàn shàng .
3. fēi jiāo huàn huán miàn
zài zhè gè qíng kuàng xià , suǒ yòu de jì suàn dōushì míng liǎo de : wǒ men yào yòng de Hilbert kōng jiān shì $H=ell^2(mathbb
^2)oplusell^2(mathbb^2)$.
yóu mǎn zú jiāo huàn guān xì $vu=e^{2ipintheta}uv$ de yǒu suàn zǐ $u,v$ shēng chéng de dài shù $A$ zài měi yī gè bù fēn
$ell^2(mathbb^2)$ yǐ tóng yàng de gōng shì
$$u(E_{n,m})=E_{n+1,m};;;v(E_{n,m})=e^{2ipintheta}E_{n,m+1}$$
noindent zuò yòng , zhè lǐ $(E_{n,m})_{n,minmathbb}$ shì $ell^2(mathbb^2)$ de biāo
zhǔn Hilbert jī . suàn zǐ $D$ qǔ wéi
D=Bigl{(}begin
0&partial^*
partial&0
endBigr{)}
noindent zhè lǐ $partial$ shì yóu $partial(E_{n,m})=(n+im)E_{n,m}$ dìng yì de suàn zǐ .
noindent yǔ cǐ tóng shí wǒ men yě yòu gòng 'è xiàn xìng suàn zǐ $J$, zài měi gè bù fēn $ell^2(mathbb^2)$ yǐ
gōng shì $JE_{n,m}=e^{2nmipitheta}$ zuò yòng .
zhè yàng suàn zǐ $D$ jiù 'àn zhào shàng miàn d) de miáo shù chéng wéi yī gè wēi fēn .
noindent zhè gè lì zǐ gěi chū liǎo yī xiē fēi cháng piào liàng de jì suàn , bìng qiě yī zhí zuò wéi jiǎn yàn zhè yī lǐ lùn de dà liàng gōng
jù de shì yàn chǎng . qí zhōng yòu yī xiē bèi zhèng shí shì fēi cháng jīng xì de ,
yàng yī gè jiēguǒ : rú guǒ $theta$ shì chāo yuè shù de huà , nà me
fēi jiāo huàn huán miàn shàng de yòu xiàn shè yǐng mó de Yang-Mills zuò yòng liàng de lín jiè zhí (criticalvalue) hé mó de wéi shù $
d$ de xíng rú $summ_k(q_kthetq-p_k)=d,m_k,
p_k,q_kinmathbb,m_k>0,p_ktheta-q_k>0$ de fēn chāi yī yī duì yìng ].
dà liàng de zì rán de lì zǐ yǐ jīng , huò zhě zhèng zài bèi yán jiū zhe . háo wú yí wèn , wǒ men jǐn jǐn chù zài zhè yī lǐ lùn fā zhǎn de chū shǐ
jiē duàn…… |
|
|