dào mù qián wéi zhǐ， rén lèi suǒ shǐ yòng de yǔ yán， kě yǐ fēn wéi sān lèi： zì rán yǔ yán（ rú： yīng yǔ hé hàn yǔ）、 bàn xíng shì huà yǔ yán（ rú： shù xué de yǔ yán。 jí： zì rán yǔ yán jiā tè dìng de fú hào） hé xíng shì huà yǔ yán（ rú： luó ji de yǔ yán）。 běn wén cóng zì rán yǔ yán、 bàn xíng shì huà yǔ yán hé xíng shì huà yǔ yán de tè zhēng kàn luó ji xué de fā zhǎn。
zì rán yǔ yán wén zì de yī gè zhòng yào tè zhēng : rén men zài rì cháng shēng huó zhōng suǒ shǐ yòng de yǔ yán wén zì， kě yǐ fēn wéi pīn yīn yǔ yán wén zì hé fēi pīn yīn yǔ yán wén zì liǎng dà lèi。 yīng yǔ yǔ yán wén zì、 é yǔ yǔ yán wén zì、 fǎ yǔ yǔ yán wén zì、 dé yǔ yǔ yán wén zì、 yì dà lì yǔ yǔ yán wén zì、 xī bān yá yǔ yǔ yán wén zì děngdōu shì pīn yīn yǔ yán yǔ yán wén zì。 hàn yǔ yǔ yán wén zì shì yī zhǒng fēi pīn yīn yǔ yán yǔ yán wén zì。 bù guǎn shì pīn yīn yǔ yán yǔ yán wén zì hái shì fēi pīn yīn yǔ yán yǔ yán wén zì dū shǔ yú zì rán yǔ yán yǔ yán wén zì de fàn chóu。 rán 'ér， rèn hé yī zhǒng zì rán yǔ yán yǔ yán wén zì dōushì yī gè fēng fù de、 fù zá de “ fú hào ” xì tǒng。 zhè zhǒng fú hào xì tǒng bāo kuò yǔ yīn、 yǔ huì、 yǔ fǎ děng zuò wéi zǐ xì tǒng， měi yī zǐ xì tǒng yòu dū bāo kuò xǔ duō bù tóng tè diǎn de yǔ yán dān wèi， dān wèi hé dān wèi zhī jiān de guān xì cuò zōng fù zá， dàn yòu guī lǜ kě xún。 jiù měi yī gè yǔ yán dān wèi（ lì rú， yī gè cí） ér yán， tā de yǔ yīn xíng shì shì yǐ zhào yǔ yīn xì tǒng de guī zé gòu chéng de， tā de yì yì yǔ cí huì xì tǒng zhōng de xǔ duō fāng miàn fā shēng lián xì， tā de gōng néng shòu yǔ fǎ guī lǜ de zhī pèi。 yǔ yán dān wèi shì shēng yīn hé yì yì de jié hé。 yǔ yán dān wèi de shēng yīn suī rán qiān chā wàn bié， dàn shì gòu chéng bù tóng yǔ yán de jī chǔ（ yīn wèi） tōng cháng zhǐ yòu 40 gè zuǒ yòu。 zhè jiù shuō míng bù tóng de yǔ yīn de jī chǔ yīn wèi shì yòu qióng de。 yóu yú cí shì yóu yòu xiàn gè jī chǔ yīn wèi shēng chéng de， yú shì， gòu chéng rèn hé yī zhǒng zì rán yǔ yán yǔ yán wén zì de cí huì yě shì yòu qióng de。 cóng 'ér， yóu yòu xiàn gè cí gòu chéng de jù zǐ yě shì yòu qióng de。 lì rú， yīng yǔ yǔ yán wén zì yòu 26 gè zì mǔ zǔ chéng， yīng yǔ yǔ yán wén zì zhōng de cí shì yóu yòu xiàn gè zì mǔ de yòu xiàn cì zǔ hé 'ér chéng de， yīn cǐ， yīng yǔ yǔ yán wén zì de cí de gè shù shì yòu qióng de。 yīng yǔ yǔ yán wén zì de jù zǐ shì yóu yòu xiàn gè cí de yòu xiàn cì zǔ hé zài 'àn zhào yī dìng de guī zé shēng chéng de， cóng 'ér， yīng yǔ yǔ yán wén zì de jù zǐ de gè shù yě shì yòu qióng de。 yǐ cì lèi tuī yóu cǐ kě dé： yīng yǔ yǔ yán wén zì shì yī zhǒng yòu qióng de yǔ yán wén zì， hàn yǔ yǔ yán wén zì yě shì rú cǐ。 yīn wéi， hàn yǔ yǔ yán wén zì shì yóu piān bàng bù shǒu zǔ chéng de， suī rán hàn yǔ yǔ yán wén zì de piān bàng bù shǒu yào bǐ yīng yǔ yǔ yán wén zì de 26 gè zì mǔ duō dé duō， dàn tā yě zhǐ yòu yòu qióng duō gè。 hàn zì shì yóu yòu xiàn gè piān bàng bù shǒu de yòu xiàn cì zǔ hé shēng chéng de， yòu xiàn gè hàn zì de yòu xiàn cì zǔ hé zài 'àn zhào yī dìng de guī zé shēng chéng jù zǐ， děng děng。 zǒng zhī， rèn hé yī zhǒng zì rán yǔ yán wén zì dōushì yī zhǒng yòu qióng yǔ yán。
bàn xíng shì huà yǔ yán de zhù yào tè zhēng : bàn xíng shì huà yǔ yán de zhǒng lèi hěn duō， wǒ men yǐ shù xué yǔ yán wéi lì lái fēn xī bàn xíng shì huà yǔ yán suǒ jù yòu de zhù yào tè zhēng。 shù xué yǔ yán shì zhǐ shù xué zhè yī xué kē tè yòu de yǔ yán。 suī rán shù xué yǔ yán yǔ zì rán yǔ yán yòu xǔ duō gòng tóng zhī chù， dàn shì， rèn hé yī gè shù xué fēn zhī de yǔ yán dōushì zài zì rán yǔ yán de jī chǔ shàng fù jiā yī xiē tè dìng de fú hào， tā men yǔ zì rán yǔ yán xiāng bǐ gèng jù xíng shì huà。 yīn cǐ， chēng tā wéi bàn xíng shì huà de yǔ yán。 zhè zhǒng bàn xíng shì huà de yǔ yán jù yòu yǐ xià sān gè zhòng yào tè zhēng：（ 1） wú qióng xìng yóu yú shù xué yán jiū de duì xiàng shì“ shù” yǔ“ liàng” zhè xiē wú qióng gài niàn。 ér yǔ zhī xiāng yìng de rèn hé yī zhǒng shù xué yǔ yán dōushì yī zhǒng wú qióng yǔ yán。 yīn cǐ， tā men jù yòu gèng qiáng de biǎo dá néng lì。 jiù ná zuì jiǎn dān de suàn shù yǔ yán lái shuō， tā yán jiū de duì xiàng shì 0,1， 2， …， n，… zhè xiē zì rán shù de xìng zhì。 chú cǐ zhī wài， tā hái bāo kuò ＋， · děng yòng lái biǎo shì zì rán shù jiā fǎ hé chéng fǎ yùn suàn de fú hào。 duì rèn yì de zì rán shù m hé n， rén mendōu kě yǐ jìn xíng liǎng gè zì rán shù de jiā fǎ（ m+n） hé chéng fǎ（ m·n） de yùn suàn。（ 2） tǒng yī xìng yóu yú shù xué yǔ yán zhōng shǐ yòng liǎo tè dìng de jì hào， cóng 'ér shǐ shù xué yǔ yán chéng wéi yī zhǒng bàn xíng shì huà de fú hào yǔ yán， zhè yàng yǐ lái， shù xué yǔ yán bǐ rèn hé yī zhǒng zì rán yǔ yán gèng jù yòu“ tǒng yī xìng”。 rú： zài rèn hé yī zhǒng zì rán yǔ yán biān zhù de píng miàn jǐ hé xué de jiào kē shū zhōng， fú hào“ △” dū biǎo shì sān jiǎo xíng。 zài rèn hé yī zhǒng zì rán yǔ yán biān zhù de wēi jī fēn de jiào cái zhōng， fú hào“ ∫” dū biǎo shì jī fēn。 yīn cǐ， shù xué yǔ yán zuò wéi yī zhǒng tè dìng de fú hào yǔ yán， yǔ zì rán yǔ yán xiāng bǐ， tā jiǎn dān、 zhí guān hé yán mì。 zài rú， shù xué mìng tí：“ liǎng gè shù hé de píng fāng děng yú zhè liǎng gè shù de píng fāng hé zài jiā shàng zhè liǎng gè shù chéng jī de 2 bèi”。 yòng tōng yòng de shù xué fú hào， jiù kě yǐ xíng shì dì biǎo shì wéi：
（ a＋ b） 2=a2＋ 2ab＋ b2
zhè lǐ de fú hào a hé b biǎo shì rèn yì de shù， fú hào“＋” biǎo shì jiā fǎ yùn suàn， ab biǎo shì a hé b zhè liǎng gè shù de chéng jī。 x2 biǎo shì x zì chéng， jí： x2=x·x。 zhè zhǒng xiě fǎ， quán shì jiè de zhōng xué shēng mendōu rèn shí。（ 3） kě cāo zuò xìng shù xué yǔ yán zuò wéi yī zhǒng tè dìng de fú hào yǔ yán， yǔ zì rán yǔ yán xiāng bǐ， tā yǔ suàn fǎ jiàn lì liǎo lián xì。 yīn cǐ， tā hái jù yòu“ kě cāo zuò xìng”。 fǎ guó shù xué jiā wéi dá tí chū： wǒ men kě yǐ yòng zì mǔ（ jí fú hào） biǎo shì yǐ zhī liàng hé wèi zhī liàng， bìng duì cǐ jìn xíng chún xíng shì de cāo zuò， yě jí wǒ men kě yǐ bǎi tuō wèn tí de jù tǐ nèi róng， ér cóng yī bān jiǎo dù zǒng jié chū pǔ biàn de suàn fǎ。 zhèng rú rén men suǒ shú xī de， wǒ men kě yǐ 'àn zhào yǐ xià de suàn fǎ qù qiú dé rèn hé yī gè yī yuán yī cì fāng chéng de jiě： ① qù fēn mǔ； ② qù kuò hào； ③ yí xiàng； ④ hé bìng tóng lèi xiàng； ⑤ tóng chú yǐ wèi zhī shù de xì shù。 yīn cǐ， xǔ duō shù xué jiādōu rèn wéi wán měi de fú hào xì tǒng cù jìn liǎo zhěng gè shù xué de fā zhǎn。 tè bié dì， shù xué jiā kè lāi yīn duì dài shù xué de qíng kuàng xiě dào： dài shù xué shàng de jìn bù shì yǐn jìn liǎo jiào hǎo de fú hào tǐ xì， zhè duì tā běn shēn hé fēn xī de fā zhǎn bǐ 16 shì jì jì shù de jìn bù yuǎn wéi zhòng yào。 shì shí shàng， cǎi qǔ liǎo zhè yī bù， cái shǐ dài shù yòu kě néng chéng wéi yī mén kē xué。”（《 gǔ jīn shù xué sī xiǎng》， dì yī cè， dì 301 yè） zhèng shì zài zhè zhǒng yì yì shàng， shù xué jiā dí duō nèi rèn wéi：“ hǎo de fú hào wǎng wǎng bàn suí zhe yì yú shǐ yòng tā men de suàn fǎ： wǒ men bǎ zhè lǐ jiě wéi jì suàn huò cháng guī de tuī lùn， jiù shì shuō yī dàn què dìng zhī hòu jiù shì yǒng yuǎn rú cǐ， duì tā men de yìng yòng jīhū shì zì dòng huà de， bù xū yào cóng tóu zuò qǐ， zhè yàng， jí wéi míng xiǎn dì jiǎn huà liǎo shù xué yǔ yán， bìng qiě kě yǐ jí zhōng zhù yì lì yú zhèng míng de jī běn yào sù。” yǔ cǐ xiāng fǎn，“ cháng cháng shì yóu yú quē fá néng gòu shuō qīng chǔ zhēn zhèng shí zhì de fú hào， shù xué de mǒu gè lǐng yù jiù dé bù dào fā zhǎn”（ zhèng yù xìn， dì 41 yè）。 shù xué yǔ yán yǔ rèn hé yī zhǒng zì rán yǔ yán xiāng bǐ jiào， chú liǎo jù yòu yǐ shàng tè diǎn wài， hái jù yòu wú qí yì xìng、 jiǎn míng xìng děng tè diǎn。
lì shǐ shàng， dì yī gè yòu yì shí dì、 xì tǒng dì zài shù xué zhōng shǐ yòng zì mǔ de xué zhě shì shí liù shì jì fǎ guó shù xué jiā wéi dá。 tā de zhè yī gōng zuò bù jǐn tuī dòng liǎo dài shù xué de fā zhǎn， ér qiě duì shí qī shì jì de shù xué jiā hé luó ji xué jiā lāi bù ní cí qǐ fā hěn dà。 yīn cǐ， shǐ shù xué běn shēn yòu yī tào wán měi de、 tōng yòng de fú hào， chéng wéi lāi bù ní cí zài shù xué yán jiū zhōng de nǔ lì zhuī qiú。 yīn cǐ， lāi bù ní cí de gōng zuò， dǎo zhì liǎo tā zài shù xué fú hào fā zhǎn shǐ shàng zhàn jù zhuózhòng yào de dì wèi。 rú： lāi bù ní cí běn rén chuàng lì de wēi jī fēn fú hào tǐ xì。 zài tā de fú hào tǐ xì zhōng， dx biǎo shì x de wēi fēn， ddx hé dddx fēn bié biǎo shì x de 'èr jiē hé sān jiē wēi fēn。 tā hái yòng fú hào dmx lái biǎo shì x de n jiē wēi fēn， tè bié dì， tā bǎ fù hé hán shù de qiú dǎo fǎ zé biǎo shì chéng：
dy/dx=（ dy/dz）（ dz/dx）。
jìn guǎn zài chuàng jiàn wēi jī fēn de guò chéng zhōng， niú dùn yě céng chuàng lì liǎo lìng yī zhǒng bù tóng de fú hào tǐ xì。 yóu yú mín zú de piān jiàn， yīng guó de shù xué jiā céng zài hěn cháng de shí jiān nèi duì lāi bù ní cí de fú hào tǐ xì jìn xíng dǐ zhì bìng jiān chí cǎi yòng niú dùn de fú hào。 dàn zhōng yīn lāi bù ní cí de fú hào tǐ xì gèng wéi biàn lì， cóng 'ér dé dào liǎo pǔ biàn de yìng yòng bìng yī zhí yán yòng zhì jīn。
rán 'ér， wǒ guó zài xīn hài gé mìng zhī qián， yóu yú méi yòu cǎi yòng guó jì shàng tōng yòng de shù xué fú hào tǐ xì。 zhí dào 1906 nián， jīng shī dà xué táng shǐ yòng de jiào kē shū shàng， réng rán yòng tiān、 dì、 rén、 yuán biǎo shì wèi zhī shù， yòng fú hào“ ⊥” hé“ ｜” fēn bié biǎo shì jiā hé jiǎn， fēn shù zé zì shàng 'ér xià dú。 yīn cǐ， hán yòu sì gè wèi zhī shù x， y， z， w de duō xiàng shì
w2/5 － z3/3＋ x2y4/27
bèi biǎo shì chéng：
wǔ ? sān ? èr qī
yuán 'èr ? rén sān ^ tiān 'èr dì sì
zhè zhǒng biǎo shì fāng fǎ xiǎn rán shì jí bù fāng biàn de， yīn cǐ， yě jiù bì rán zāo dào táo tài（ zhèng yù xìn， dì 44 yè）。
zǒng zhī， shù xué fú hào bèi kàn chéng shù xué de yī gè zhòng yào zǔ chéng bù fēn。 shù xué de fā zhǎn zài hěn dà chéng dù shàng kě yǐ bèi rèn wéi shù xué yǔ yán de gēngxīn yǔ kuò zhǎn， ér zhè zhǒng bù duàn gēngxīn de shù xué yǔ yán yòu duì zì rán jiè de rèn shí yǔ gǎi zào tí gōng liǎo gèng wéi yòu lì de wǔ qì。
xíng shì huà yǔ yán jí qí tè zhēng : xíng shì huà yǔ yán de zhǒng lèi yě hěn duō。 wǒ men yǐ luó ji de yǔ yán wéi dài biǎo lái fēn xī xíng shì huà yǔ yán suǒ jù yòu de zhù yào tè zhēng。 jiàn lì luó ji de yǔ yán， shǐ luó ji xué xiàng shù xué nà yàng yě yòu yī tào wán měi de、 tōng yòng de fú hào， qí sī xiǎng yě kě yǐ zhuī sù dào lāi bù ní cí。 tā rèn wéi， wǒ men kě yǐ jiàn lì yī zhǒng pǔ biàn de、 méi yòu qí yì de yǔ yán， tōng guò zhè zhǒng yǔ yán， jiù kě yǐ bǎ tuī lǐ zhuǎn biàn wéi yǎn suàn。 yī dàn fā shēng zhēng lùn， wǒ men zhǐ yào zuò xià lái， ná chū zhǐ hé bǐ suàn yī suàn jiù xíng liǎo。 zhè lǐ， tā shí jì shàng tí chū liǎo shù lǐ luó ji de liǎng gè jī běn sī xiǎng： gòu zào xíng shì yǔ yán hé jiàn lì yǎn suàn。 dàn shì， duì yú tā suǒ shè xiǎng de yǔ yán， tā yào qiú：“ tā néng zhè yàng dì xíng chéng hé pái liè fú hào， shǐ dé tā néng biǎo dá yī xiē sī xiǎng， huò zhě shuō shǐ dé tā men zhī jiān jù yòu hé zhè xiē sī xiǎng zhī jiān de guān xì xiāng tóng de guān xì。 yī gè biǎo dá shì shì yī xiē fú hào de zǔ hé， zhè xiē fú hào néng biǎo xiàng bèi biǎo shì de shì wù， biǎo dá shì de guī lǜ rú xià： rú guǒ bèi biǎo shì de nà gè shì wù de guān niàn shì yóu yī xiē shì wù de yī xiē guān niàn zǔ chéng de， nà me nà gè shì wù de biǎo dá shì yě shì yóu zhè xiē shì wù de fú hào zǔ chéng de。”（ zhāng jiā lóng， dì 46-47 yè） lāi bù ní cí de zhè xiē lùn shù， shí jì shàng jiù shì yào jiāng luó ji xíng shì huà。 bù guò lāi bù ní cí méi yòu shí xiàn tā de liǎng gè shè xiǎng。 1879 nián， luó ji xué jiā fú léi gé fā biǎo liǎo míng zhù de《 gài niàn wén zì héng héng yī zhǒng mó fǎng suàn shù yǔ yán gòu zào de chún sī wéi de xíng shì yǔ yán》。 zài zhè běn shū zhōng， fú léi gé jiè jiàn liǎo liǎng zhǒng yǔ yán， yī zhǒng shì chuán tǒng luó ji shǐ yòng de yǔ yán， lìng yī zhǒng shì suàn shù de yǔ yán。 cóng 'ér chéng gōng dì gòu zào liǎo yī zhǒng luó ji de xíng shì yǔ yán， jí： yī zhǒng biǎo yì de fú hào yǔ yán， bìng qiě yòng zhè zhǒng yǔ yán jiàn lì liǎo yī gè yī jiē wèi cí yǎn suàn xì tǒng， shí xiàn liǎo lāi bù ní cí tí chū jiàn lì yī zhǒng pǔ biàn yǔ yán de sī xiǎng。 qí shí， zài lāi bù ní cí zhī qián， cóng yà lǐ shì duō dé kāi shǐ， duì luó ji xué de yán jiū suǒ shǐ yòng de yǔ yán jiù shì yī zhǒng bàn xíng shì huà de yǔ yán。 zhè zhǒng bàn xíng shì huà de yǔ yán jiù shì yòng zì mǔ biǎo dá yī bān gài niàn。 rú， yà lǐ shì duō dé zài《 qián fēn xī piān》 zhōng yòng zì mǔ lái biǎo dá yī bān gài niàn， gěi chū liǎo sān duàn lùn de tuī lǐ xíng shì。 cóng luó ji de guān diǎn kàn， sān duàn lùn zuì zhòng yào de fāng miàn shì tā de xíng shì。 yī gè sān duàn lùn tuī lǐ shì fǒu yòu xiào， wán quán jué dìng yú tā de xíng shì。 xià miàn de tuī lǐ
? suǒ yòu de zhí wù dōushì xū yào yáng guāng de，
（ 2） suǒ yòu de zhí wù dōushì shēng wù，
（ 3） suǒ yǐ， yòu xiē shēng wù shì xū yào yáng guāng de。
jiù shì yī gè sān duàn lùn de jù tǐ lì zǐ。 rú guǒ yòng sān gè zì mǔ p、 s hé m fēn bié biǎo shì zhè gè sān duàn lùn de dà xiàng（ yáng guāng）、 xiǎo xiàng（ shēng wù） hé zhōng xiàng（ zhí wù）， nà me zhè gè sān duàn lùn de qián tí hé jié lùn de tuī lǐ xíng shì jiù kě yǐ xíng shì de biǎo shì rú xià：
map
mas
sip
tā shì dì sān gé de aai shì。 zhè gè tuī lǐ zài qián tí de zhù xiàng fēi kōng de tiáo jiàn xià yòu xiào（ sòng wén jiān， dì 149 ～ 151 yè）。 dàn shì， zhè lǐ de sān gè zì mǔ p、 s hé m hái kě yǐ yòng lái biǎo shì qí tā de gài niàn。
zài fú léi gé gòu zào de xíng shì yǔ yán zhōng， tā yòng“ ? héng” biǎo shì pàn duàn fú hào， yòng“ ? ﹁ héng” biǎo shì fǒu dìng fú hào， yòng“ ≡” biǎo shì nèi róng tǒng yī fú hào， yòng“ f（ a）” biǎo shì hán shù fú hào， děng děng。 yīn cǐ，“ lǐ sì yòu sǐ” kě yǐ biǎo shì wéi： ? héng f（ a）。 fú léi gé shǐ yòng zhè xiē fú hào， bù jǐn biǎo dá liǎo tuī lǐ de xíng shì hé guī zé， ér qiě hái chéng gōng gòu zào liǎo dì yī gè chū bù zì zú dì luó ji yǎn suàn xì tǒng。 dàn shì， tā shǐ yòng de fú hào bù lì yú yìn shuà。 1910-1913 nián， luó sù hé huái tè hǎi fā biǎo liǎo《 shù xué yuán lǐ》。 zài zhè bù luó ji zhù zuò zhōng， tā men gǎi jìn liǎo fú léi gé de biǎo shù fāng shì， fā zhǎn hé wán shàn liǎo fú léi gé de xíng shì yǔ yán hé xíng shì tuī lǐ xì tǒng。
xiàn zài， yī gè yī jiē wèi cí yǎn suàn xì tǒng de xíng shì yǔ yán， tōng cháng shì zài mìng tí yǎn suàn xì tǒng de xíng shì yǔ yán l0（ jiǎn chēng： mìng tí yǔ yán） de jī chǔ shàng jiàn lì qǐ lái de。 yī gè mìng tí de xíng shì yǔ yán l0 yī bān yóu liǎng bù fēn zǔ chéng。（ 1） xíng shì yǔ yán l0 de zì mǔ biǎo， jí l0 de chū shǐ fú hào；（ 2） xíng shì yǔ yán l0 de xíng shì guī zé。 xià miàn gěi chū de shì yī zhǒng cháng yòng de mìng tí de xíng shì yǔ yán l0。
l0 de chū shǐ fú hào：
jiá lèi： p， q， r， s， p0， q0， r0， s0， p1，…；
yǐ lèi： ?， ù， ú， ?， ?；
bǐng lèi：（，）。
chū shǐ fú hào xiāng dāng yú zì rán yǔ yán zhōng fú hào de zì mǔ biǎo。 xíng shì yǔ yán l0 shí jì shàng yòu kě shù kě qióng duō gè fú hào zǔ chéng， jí： l0= ｛ ?， ù， ú， ?， ?，（，）， p， q， r， s， p0， q0， r0， s0， p1，… ｝。 bù zuò jiě shì shí， wǒ men zhǐ néng cóng tā men de wài xíng hé tā men suǒ zhàn jù de kōng jiān shàng qù rèn shí tā men。 cóng wài xíng shàng， wǒ men kě yǐ qū bié chū“ p” yǔ“ q” bù tóng，“ ?” yǔ“ ú” bù tóng děng děng。 jīng jiě shì hòu， jiá lèi fú hào biǎo shì kě shù wú qióng duō gè mìng tí biàn xiàng， yǐ lèi fú hào shì zhēn zhí lián jié cí。“ ?” chēng wéi fǒu dìng cí，“ ù” chēng wéi xī qǔ cí，“ ú” chēng wéi hé qǔ cí，“ ?” chēng wéi yùn hán cí，“ ?” chēng wéi děng zhí cí。 bìng 'àn xià biǎo duì tā men jìn xíng jiě shì。
pq?ppùqpúqp?qp?q
zhēn zhēn jiǎ zhēn zhēn zhēn zhēn
zhēn jiǎ jiǎ jiǎ zhēn jiǎ jiǎ
jiǎ zhēn zhēn jiǎ zhēn zhēn jiǎ
jiǎ jiǎ zhēn jiǎ jiǎ zhēn zhēn
bǐng lèi fú hào fēn bié shì： zuǒ kuò hào hé yòu kuò hào， tā men qǐ biāo diǎn de zuò yòng。
yī gè pīn yīn yǔ yán， dāng tā de zì mǔ biǎo gěi dìng yǐ hòu， rén men jiù kě yǐ suí yì dì duì zì mǔ biǎo zhōng de zì mǔ jìn xíng pái liè。 dàn shì， zhè yàng suí yì pái liè chū lái de fú hào xù liè， bìng bù yī dìng dōuyòu yì yì。 yú shì， rén men yòu guī dìng liǎo yī xiē pīn yīn de guī zé， shǐ dé yòng zhè xiē guī zé pái liè chū lái fú hào xù liè yòu yì yì， jí biǎo shì zì huò zhě biǎo shì yī dìng de yì yì（ jí jù zǐ）。 duì yú mìng tí yǔ yán l0 lái shuō， l0 de chū shǐ fú hào suǒ zǔ chéng de fú hào xù liè duì wǒ men lái shuō， bìng fēi dōuyòu yì yì。 wǒ men yě jiāng guī dìng yī xiē guī zé， shǐ dé 'àn wǒ men de guī zé xíng chéng de fú hào xù liè yòu yì yì， fǒu zé jiù wú yì yì。
l0 de xíng chéng guī zé：
jiá： rèn yī jiá lèi fú hào shì yī hé shì gōng shì；
yǐ： rú guǒ yòu qióng fú hào xù liè x shì hé shì gōng shì， zé ?x yě shì hé shì gōng shì；
bǐng： rú guǒ yòu qióng fú hào xù liè x hé y dōushì hé chéng gōng shì， zé（ xùy），（ xúy），（ x?y） hé（ x?y） yědōu shì hé chéng gōng shì；
dīng： zhǐ yòu shì hé yǐ shàng sān tiáo de fú hào xù liè cái shì hé chéng gōng shì， jiǎn chēng wéi gōng shì。
zhè lǐ， xíng chéng guī zé jiá guī dìng： mìng tí biàn xiàng p， q， r děngdōu shì gōng shì， zhè lèi gōng shì yě jiào zuò yuán zǐ gōng shì， yīn wéi tā men bù néng zài fēn jiě。 yǐ hé bǐng dōushì yóu yuán zǐ gōng shì shēng chéng de， yīn cǐ tā men yě bèi chēng wéi fù hé gōng shì， yǐ lèi gōng shì jiào zuò fǒu dìng shì， ér bǐng lèi gōng shì fēn bié jiào zuò hé qǔ shì、 xī qǔ shì、 yùn hán shì hé děng zhí shì， dīng shì xiàn zhì xìng guī zé， shuō míng nǎ xiē fú hào xù liè bù shì gōng shì。
zài mìng tí yǔ yán l0 de chū shǐ fú hào zhōng， wèishénme yào yòu mìng tí biàn xiàng、 zhēn zhí lián jié cí hé kuò hào zhè sān lèi fú hào ní？ yīn wéi zhé xué jiā zhēng lùn de wèn tí dōushì yī xiē yòng zì rán yǔ yán miáo shù de yǔ jù。 zài zhè xiē yǔ jù zhōng， mìng tí yòu shì zuì jiǎn dān de xíng shì。 rú“ yà lǐ shì duō dé shì zhé xué jiā”。 yào bǎ zhè lèi mìng tí zhuǎn huà chéng jì suàn， jiù xū yào bǎ jù tǐ de mìng tí chōu xiàng huà。 xiàng shù xué nà yàng， bǎ yī xiē jù tǐ de liàng chōu xiàng huà。 rú： 1 gè píng guǒ huò zhě 2 gè xiāng jiāo huò zhě 3 gè lí děng， bǎ zhè xiē jù tǐ de liàng chōu xiàng huà hòu， yòng yī gè biàn liàng x biǎo shì。 dàn x běn shēn shì yī gè chōu xiàng de liàng。 zhè lǐ de x kě yǐ dài biǎo 1 gè píng guǒ， yě kě yǐ dài biǎo 2 gè xiāng jiāo， dāng rán yě kě yǐ biǎo shì 3 gè lí。 xiàn zài， wǒ men yòng fú hào p、 q děng lái biǎo shì yòng zì rán yǔ yán miáo shù de mìng tí， yīn cǐ， duì tā men de jiě shì shì bù gù de。 xū yào zhù yì： yóu yú p、 q děng biǎo shì de bù shì shù liàng， wèile yǔ shù xué biàn liàng xiāng qū bié， rén men bǎ tā men jiào zuò mìng tí biàn xiàng， ér bù jiào mìng tí biàn liàng。 lìng wài， duì rèn yì de liǎng gè shù x hé y lái shuō， wǒ mendōu néng zuò x hé y de jiā fǎ x+y yùn suàn。 duì mìng tí biàn xiàng p hé q lái shuō， wǒ men gěi mìng tí lián jié cí yǐ gù dìng de fú hào， jiāng zhè xiē fú hào zuò wéi mìng tí zhī jiān de yùn suàn fú hào huò suàn zǐ。 ér kuò hào de shǐ yòng zhǐ shì wèile shū xiě de fāng biàn， zhèng rú wǒ men zài suàn shù de sì zé yùn suàn zhōng yě shǐ yòng kuò hào yī yàng。 hái yòu yī diǎn zhí dé yī tí， wǒ men suǒ shǐ yòng de mìng tí biàn xiàng fú hào p， q děng biǎo shì huò zhēn huò jiǎ de mìng tí， yòng lián jié cí yùn suàn suǒ dé dào de jiēguǒ， réng rán shì biǎo shì huò zhēn huò jiǎ de mìng tí。 zhè yī diǎn yě qià hǎo shì shù xué jì suàn jiēguǒ duì、 cuò de tǐ xiàn。
mìng tí yǔ yán zhǐ néng jiāng zhé xué jiā tǎo lùn de wèn tí zuò yī zhǒng zuì jiǎn dān de xíng shì chǔlǐ。 suí zhe yán jiū de bù duàn shēn rù， wǒ men xū yào duì zhé xué jiā tǎo lùn wèn tí shí， suǒ shǐ yòng de jī běn dān wèi héng héng mìng tí jì xù fēn xī。 fēn xī chū yǔ jù zhōng suǒ hán de gè tǐ cí、 wèi cí（ jí guān xì cí） hé liàng cí děng， cóng 'ér jiē shì jiǎn dān mìng tí de xíng shì jié gòu。 yīn cǐ， zài xíng shì yǔ yán l0 de jī chǔ shàng zēng jiā shìdàng de fú hào， jiù kě yǐ jiàn lì qǐ yī jiē（ xíng shì） yǔ yán l1。
l1 de chū shǐ fú hào：
jiá lèi： v， v0， v1， v2，…；
yǐ lèi： ?， ù， ú， ?， ?；
bǐng lèi：（，）；
dīng lèi： "， $；
wù lèi： duì yú měi gè dà yú děng yú 1 de zì rán shù n， pn， qn， rn…（ kě yǐ méi yòu）；
jǐ lèi： c， c0， c1， c2，…（ kě yǐ méi yòu）。
zhè lǐ， jiá lèi fú hào biǎo shì kě shù wú qióng duō gè gè tǐ biàn xiàng， yǐ lèi fú hào biǎo shì luó ji lián jié cí， bǐng lèi fú hào biǎo shì jì shù xìng fú hào， dīng lèi fú hào biǎo shì liàng cí， qí zhōng（ "） wéi quán chēng liàng cí fú hào，（ $） wéi cún zài liàng cí fú hào， wù lèi fú hào biǎo shì wú qióng duō gè n yuán wèi cí huò guān xì fú hào， jǐ lèi fú hào biǎo shì wú qióng duō gè gè tǐ cháng xiàng。 lìng wài， zài yī gè yī jiē yǔ yán l1 de chū shǐ fú hào zhōng， yùn suàn fú kě yǐ yòu yě kě yǐ méi yòu， zhè lǐ wǒ men gěi chū de shì yī gè méi yòu yùn suàn fú hào de yī jiē yǔ yán。
rú guǒ wǒ men yuē dìng yòng a0 biǎo shì jiá～ dīng lèi zhōng suǒ yòu fú hào de jí hé， yòng s biǎo shì wù lèi hé jǐ lèi suǒ yòu fú hào de jí hé， s kě yǐ shì kōng jí， bìng qiě a0 hé s shì bù jiāo de， jí： a0?s=?。 wèicǐ， wǒ men chēng as=a0ès wéi yóu s suǒ què dìng de yī gè yī jiē yǔ yán l1 de fú hào jí。
duì rèn hé yī gè yī jiē yǔ yán l1 lái shuō， a0 dōushì bù biàn de， suǒ yǐ jiá～ dīng lèi fú hào yòu jiào zuò luó ji fú hào。 s shì kě biàn de， wù～ jǐ lèi fú hào yòu jiào zuò fēi luó ji fú hào。 gěi dìng s， yě jiù què dìng liǎo yī gè yī jiē yǔ yán l1。 s bù tóng， suǒ què dìng de yī jiē yǔ yán yě bù tóng。 wǒ men shuō gěi dìng yī gè yī jiē yǔ yán l1， jiù shì gěi dìng liǎo l1 de fú hào jí hé s。
l1 de xíng chéng guī zé：
jiá： gè tǐ biàn xiàng hé s zhōng de gè tǐ cháng xiàng tǒng chēng s xiàng， s xiàng yòng t huò jiā xià biāo biǎo shì；
yǐ： rú guǒ t0， t1，…， tn-1 dōushì s xiàng， ér rn shì s zhōng de rèn yī n yuán guān xì fú hào， nà me rn（ t0， t1，…， tn-1） shì yī gè l1 biǎo dá shì；
bǐng： rú guǒ a shì s biǎo dá shì， nà me ?a yě shì；
dīng： rú guǒ a hé b dōushì s biǎo dá shì， nà me（ aùb），（ aúb），（ a?b） hé（ a?b） yědōu shì；
wù： rú guǒ a shì yī gè s biǎo dá shì， ér x shì yī gè gè tǐ biàn xiàng， nà me "xa hé $xa dōushì s biǎo dá shì；
jǐ： zhǐ yòu shì hé yǐ shàng yǐ～ wù sì tiáo de fú hào xù liè cái shì s biǎo dá shì。
qí zhōng： àn zhào guī zé yǐ xíng chéng de l1 biǎo dá shì jiào zuò yuán zǐ gōng shì。 àn zhào guī zé bǐng xíng chéng de l1 biǎo dá shì ?a jiào zuò a de fǒu dìng shì。 yóu guī zé dīng xíng chéng de biǎo dá shì fēn bié jiào zuò a hé b de hé qǔ shì、 xī qǔ shì、 yùn hán shì hé děng zhí shì。 yóu guī zé wù xíng chéng de biǎo dá shì "xa hé $xa fēn bié jiào zuò a de quán chēng shì hé cún zài shì。
zǒng zhī， zài luó ji xué zhōng， xíng shì yǔ yán zuì hé xīn de sī xiǎng shì bǎ zì rán yǔ yán miáo shù de yǔ jù chōu xiàng huà、 fú hào huà。 jí： yòng fú hào biǎo shì kè guān shì jiè zhōng huò zhēn huò jiǎ de mìng tí。 zhè yàng jiàn lì qǐ lái de xíng shì yǔ yán， chú liǎo jù yòu shù xué yǔ yán suǒ jù yòu de yī bān tè zhēng wài， tā hái jù yòu lí sàn xìng hé dì guī xìng。 zhè shǐ dé xíng shì yǔ yán kě yǐ jiè zhù yú mǒu xiē shù xué de fāng fǎ jìn xíng yán jiū， rú gōng lǐ huà fāng fǎ hé jí hé lùn mó xíng fāng fǎ。
zhì cǐ， wǒ men jiù kě yǐ jiāng zì rán yǔ yán biǎo shù de lùn duàn：“ shì shàng jué méi yòu wú yuán wú gù de 'ài， yě méi yòu wú yuán wú gù de hèn” yòng yī jiē yǔ yán l1 de fú hào kè huà chū lái。
zhè gè lùn duàn zuì jiǎn dān de biǎo shì fāng fǎ wéi： p（ 1）
cóng tuī lǐ de jiǎo dù kàn， wǒ men hái yìng gāi bǎ zhè gè lùn duàn de biǎo shì xíng shì zài xì fēn， zài zhè gè yì yì shàng，（ 1） shì yòu kě yǐ biǎo shì wéi：
méi yòu wú yuán wú gù de 'ài yě méi yòu wú yuán wú gù de hèn （ 2）
（ 1） shì yǐ bèi fēn xī chéng liǎng gè mìng tí。
（ 2） shì yòu kě yǐ zài xì fēn wéi：
? cún zài wú yuán wú gù de 'ài ù cún zài wú yuán wú gù de hèn（ 3）
（ 2） shì zhōng de fǒu dìng cí bèi fēn xī chū lái liǎo。 rú guǒ lìng p biǎo shì：“ cún zài wú yuán wú gù de 'ài”， lìng q biǎo shì：“ cún zài wú yuán wú gù de hèn”， zé（ 3） bèi xíng shì de biǎo shì wéi：
?pù?q
rú guǒ jiāng（ 3） shì zhōng de cún zài liàng cí fēn xī chū lái，（ 3） shì yòu kě yǐ biǎo shì wéi：
?$x（ wú yuán wú gù de 'ài（ x）） ù?$y（ wú yuán wú gù de hèn（ y））（ 4）
rú guǒ jiāng（ 4） shì zhōng 'ài hé hèn de gài niàn fēn xī chū lái，（ 4） shì yòu kě yǐ biǎo shì wéi：
?$x（ ài（ x） ù? yòu yuán gù（ x）） ù?$y（ hèn（ y） ù? yòu yuán gù（ y））（ 5）
rú guǒ jiāng（ 5） shì zhōng 'ài hé hèn de yuán yīn fēn xī chū lái，（ 5） shì yòu kě yǐ biǎo shì wéi：
?$x（ ài（ x） ù?$z yuán gù（ x， z）） ù?$y（ hèn（ y） ù?$w yuán gù（ y， w））（ 6）
zài lìng f biǎo shì yī yuán wèi cí“ ài”， h biǎo shì yī yuán wèi cí“ hèn”， lìng g biǎo shì 'èr yuán wèi cí“ yuán gù”， zé（ 6） shì yòu kě yǐ xíng shì de biǎo shì wéi：
?$x（ f（ x） ù?$zg（ x， z）） ù?$y（ h（ y） ù?$wg（ y， w））（ 7）
zhè yàng yǐ lái， zài mìng tí yǔ yán l0 zhōng， wǒ men bǎ lùn duàn“ shì shàng jué méi yòu wú yuán wú gù de 'ài， yě méi yòu wú yuán wú gù de hèn” xíng shì dì biǎo shì wéi： ?pù?q。 zài yī jiē yǔ yán l1 zhōng， wǒ men kě yǐ bǎ lùn duàn“ shì shàng jué méi yòu wú yuán wú gù de 'ài， yě méi yòu wú yuán wú gù de hèn” jìn yī bù dì biǎo shì wéi（ 7） shì。
dàn shì， zài l1 zhōng， rén men réng rán bù néng chǔlǐ xiàng“ yà lǐ shì duō dé kě néng shì zhé xué jiā” zhè lèi mìng tí。 yào chù lǐ zhè lèi mìng tí， zhǐ xū jiāng yī jiē yǔ yán l1（ huò mìng tí yǔ yán l0） jìn xíng kuò chōng。 jí zài l1（ huò l0） de jī chǔ shàng， zēng jiā mó tài suàn zǐ“ kě néng”， xíng shì dì jì zuò ◇。 yú shì， wǒ men yòu dé dào liǎo chǔlǐ mó tài yǔ jù de xíng shì yǔ yán l1è｛◇｝。 zài cǐ jī chǔ shàng， rén men yòu chuàng lì liǎo mó tài luó ji de gè lèi xíng shì xì tǒng。 cóng mìng tí yǔ yán l0 dào yī jiē yǔ yán l1， zài dào mó tài yǔ yán l1è｛◇｝ de zhè yī guò chéng， lèi sì yú shù jí de kuò chōng。 jí： rén men zuì xiān rèn shí hé shǐ yòng de shù dōushì yī xiē zì rán shù（ jí： zhèng zhěng shù）， rú 1， 2，…， n děng děng。 suǒ yòu zì rán shù jí de quán tǐ jì zuò n。 suí hòu rén men rèn shí liǎo shù líng， jí： 0。 yóu yú shēng chǎn hé shēng huó de xū yào， zài yǐn rù fù shù de gài niàn zhī hòu， shù jí jiù suí zhī kuò dà。 yú shì， jiù yòu liǎo zhěng shù jí z。 jí： zhěng shù jí bāo kuò： zì rán shù（ zhèng zhěng shù）、 líng hé fù zhěng shù。
yì jí：
z=｛ 1， 2， 3，…， n，…｝ è｛ 0｝ è｛…， -n，…， -3， -2， -1｝
=｛…， -n，…， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3，…， n，…｝
suí hòu， rén men bǎ zhěng shù jiā mì， yǐn rù liǎo fēn shù de gài niàn， lì rú， zài 1 hé 2 zhī jiān jiā rù liǎo 1/2。 zài cǐ jī chǔ shàng， zhěng shù jí z jiù bèi kuò dà dào liǎo yòu lǐ shù jí q。 zuì hòu， zài yòu lǐ shù jí de jī chǔ shàng， yòu zēng jiā liǎo wú lǐ shù， yòu lǐ shù jí bèi kuò chōng dào liǎo shí shù jí r。 jí：
nízíqír。
zǒng zhī， suí zhe shēng chǎn hé shēng huó de xū yào， shù jí zài bù duàn kuò dà。 tóng lǐ， suí zhe duì luó ji xué de shēn rù yán jiū， luó ji suǒ shǐ yòng de xíng shì yǔ yán de fú hào jí yě zài zhú bù kuò dà， bìng yóu cǐ dé dào liǎo bù tóng de xíng shì yǔ yán。
jié lùn : gēn jù yǐ shàng fēn xī kě yǐ dé chū：（ 1） cóng yà lǐ shì duō dé kāi shǐ， zhí dào lāi bù ní cí shè xiǎng yào jiàn lì yī zhǒng“ pǔ biàn yǔ yán”（ jí： xíng shì yǔ yán）， zhè yī shè xiǎng hòu yóu fú léi gé wán chéng。 zhè yī shí qī duì luó ji xué de yán jiū zhù yào cǎi yòng de shì bàn xíng shì huà yǔ yán。（ 2） fú léi gé zhī hòu de luó ji xué yán jiū shǐ yòng de shì xíng shì yǔ yán。 yóu cǐ kě yǐ tuī chū： luó ji xué de fā zhǎn zài hěn dà chéng dù shàng kě yǐ bèi rèn wéi shì luó ji yǔ yán de gēngxīn yǔ kuò zhǎn。（ 3） 20 shì jì chū zhī qián， yóu yú zhōng guó yī zhí wèi néng shǐ yòng zì mǔ biǎo shì biàn liàng， yě wèi néng shǐ yòng zì mǔ biǎo shì gài niàn。 zhè bù jǐn zǔ 'ài liǎo shù xué zài zhōng guó de fā zhǎn， yě zǔ 'ài liǎo luó ji xué zài zhōng guó de chǎn shēng。 suǒ yǐ， 20 shì jì chū zhī qián， zhōng guó méi yòu luó ji。 zhè lǐ de luó ji， jì shì zhǐ yà lǐ shì duō dé yì yì xià de luó ji yě shì zhǐ lāi bù ní cí yì yì shàng de luó ji。（ 4） rú shàng jiàn lì qǐ lái de luó ji yǔ yán， bèi kàn chéng luó ji xué yán jiū de liǎng dà zhī zhù zhī yī， bìng qiě luó ji xué de fā zhǎn， zài hěn dà chéng dù shàng bèi rèn wéi shì luó ji xué suǒ shǐ yòng de yǔ yán de kuò zhǎn。 ér zhè zhǒng bù duàn kuò zhǎn de luó ji yǔ yán yòu duì rén men de sī wéi hé tuī lǐ tí gōng liǎo gèng wéi yòu lì de gōng jù。 yīn cǐ， cóng yǔ yán fā zhǎn de guān diǎn kàn， 21 shì jì luó ji xué de fā zhǎn réng rán yǐ lài yú luó ji yǔ yán de fā zhǎn。 yě jiù shì shuō， 21 shì jì luó ji xué yào qǔ dé cháng zú de fā zhǎn， shǒu xiān， yán jiū luó ji xué suǒ shǐ yòng de yǔ yán bì xū qǔ dé cháng zú de fā zhǎn。 dàn shì， zhè zhǒng fā zhǎn shì fǒu hái jiàn lì zài xiàn yòu xíng shì yǔ yán de jī chǔ shàng， zhè shì yòu dài yú luó ji xué yán jiū zhě men shēn rù yán jiū de yī gè zhòng yào de wèn tí。 rú， jiāng lái“ xíng shì huà” de yì yì shì fǒu hái shì wǒ men zhè piān wén zhāng zhōng dì sān bù fēn jiè shào de nèi róng děng děng， zhè xiē wèn tí dōuyòu dài yú 21 shì jì de luó ji xué gōng zuò zhě men shēn rù yán jiū。 |
|
|