|
|
「 xuǎn zé gōng lǐ 」（ axiomofchoice） duì yī bān rén lái shuō， yě xǔ cóng lái méi yòu tīng guò； jí shǐ shì duì niàn shù lǐ kē de xué shēng lái shuō yě kě néng cóng lái wèi jiē chù guò， duō shì tīng duō yú yòng。 dàn zhè tiáo「 xuǎn zé gōng lǐ 」 què shì yī tiáo kùn rǎo zhěng gè shù xué jiè duō nián de gōng lǐ， ér tā de hé lǐ xìng fāng miàn， zhì jīn yě méi yòu yī gè dìng lùn。 yòu xiē rén rèn wéi tā shì míng xiǎn zhī zhì， jiǎn dān dé hěn。 dàn dāng xì wèi qí nèi róng jí qí yòng tú shí， bù dān fā xiàn tā miào yòng wú qióng， ér qiě huì kāi shǐ zhì yí zì jǐ duì zhè tiáo gōng lǐ de lǐ jiě chéng dù， shèn zhì kāi shǐ huái yí zhè tiáo gōng lǐ de zhēn què xìng。「 xuǎn zé gōng lǐ 」 biàn shì rú cǐ de yī tiáo lìng rén mí huò de gōng lǐ， xiàn zài wǒ men yī tóng kàn kàn tā jiū jìng shì shèn me。
「 xuǎn zé gōng lǐ 」 yòu hěn duō děng jià de xíng shì（ equivalentform）， yǐ xià yòng yī gè jiào jiǎn dān de miáo shù：
xuǎn zé gōng lǐ shè c wéi yī gè yóu fēi kōng jí hé suǒ zǔ chéng de jí hé。 nà me， wǒ men kě yǐ cóng měi yī gè zài c zhōng de jí hé zhōng， dū xuǎn zé yī gè yuán sù lái zǔ chéng yī gè xīn de jí hé。
wéi lìng dú zhě yòu jìn yī bù de liǎo jiě， yǐ xià shì yī xiē lì zǐ：
1. rú guǒ c wéi {1， 2， 3， … } de suǒ yòu fēi kòngzi jí de jí hé， nà me， wǒ men kě yǐ dìng yì yī gè xīn jí hé， shǐ dé tā de yuán sù wéi měi yī gè zài c zhōng de jí hé de zuì xiǎo yuán sù。
2a. rú guǒ c wéi suǒ yòu cháng dù yòu xiàn 'ér fēi líng de shí shù qū jiān， nà me， wǒ men kě yǐ dìng yì yī gè xīn jí hé， shǐ dé tā de yuán sù wéi měi yī gè c zhōng de qū jiān de zhōng jiān diǎn。
kàn lái yě suàn shì hé lǐ， dàn yǐ shàng de lì kě néng jiào shù xué huà、 jiào nán lǐ jiě， xiàn zài zài yòng gè jiào shí zài de lì zǐ，
3a. rú guǒ zài qián miàn fàng liǎo fàng zhì liǎo jǐ duī píng guǒ。 nà me， wǒ men kě yǐ zài měi duī zhòngxuǎn qǔ yī gè píng guǒ， zài bǎ tā men fàng zài xīn de yī duī nèi。
kàn liǎo zhè gè lì zǐ， kě néng lìng nǐ gèng jiā míng bái， bù guò yào liú yì de shì suǒ wèi「 jǐ duī」， kě néng shì wú xiàn duī， ér měi duī píng guǒ yě kě néng shì yòu wú xiàn gè de， nà me， kě yǐ huàn chéng
3b. rú guǒ zài qián miàn fàng liǎo fàng zhì liǎo wú xiàn duī píng guǒ， ér měi duī píng guǒ yě yòu wú xiàn gè。 nà me， wǒ men kě yǐ zài měi duī zhòngxuǎn qǔ yī gè píng guǒ， zài bǎ tā men fàng zài xīn de yī duī nèi。
zhè gè biàn shì「 xuǎn zé gōng lǐ 」。 kàn lái yě hěn hé lǐ， jì rán měi yī duī yě shì yòu píng guǒ de， dāng rán kě yǐ zài měi yī duī zhòngxuǎn zé yī gè píng guǒ chū lái， bù lùn měi duī de píng guǒ shù mùdì duō shǎo， hé duī shù de duō shǎo，「 yīnggāi」 yě néng zuò dào。
dàn zài zhè duī píng guǒ zhōng， jiū jìng xuǎn zé nà yī gè ní？ huò xǔ yòu rén huì shuō：「 suí biàn yī gè biàn kě！」 dàn shèn me shì「 suí biàn」 ní？ kě fǒu jù tǐ diǎn chén shù chū lái ní？ zhè gè「 suí biàn」 de fāng fǎ shì fǒu bì rán cún zài ní？ rú guǒ shù xué huà diǎn kàn wèn tí， gēn jù「 xuǎn zé gōng lǐ 」，
2b. rú guǒ c wéi suǒ yòu cháng dù fēi líng de shí shù qū jiān， nà me， wǒ men kě yǐ dìng yì yī gè xīn jí hé， shǐ dé tā de yuán sù wéi měi yī gè c zhōng de qū jiān zhōng de diǎn。
rú guǒ zǎi xì de kàn 2b，「 měi yī gè c zhōng de qū jiān zhōng de diǎn」， nà yī diǎn ní？ zuì dà de nà yī diǎn？ zuì xiǎo de nà yī diǎn？ zhōng jiān de nà yī diǎn？ tōng tōng yě bù cún zài， yīn wéi「 cháng dù fēi líng de shí shù qū jiān」 shì bāo kuò liǎo cháng dù wú xiàn de qū jiān， nà biàn kě néng méi yòu liǎo suǒ wèi「 zuì dà」、「 zuì xiǎo」 huò「 zhōng jiān」 děng gài niàn。 nà me， rú hé jù tǐ dì chén shù chū fāng fǎ ní？ zhè gè fāng fǎ huì bù huì bù cún zài ní？
kě néng yòu rén rèn wéi， jí shǐ shì bù néng chén shù chū fāng fǎ， yě bù néng fǒu dìng huò fàng qì zhè gōng lǐ， yīn wéi zài shù xué shàng yòu hěn duō「 cún zài xìng dìng lǐ」（ existencetheorems）， dōushì zhǐ zhǐ chū mǒu shì jiàn de cún zài xìng， ér bù néng jù tǐ miáo shù xún qiú de fāng fǎ， lì rú： zhōng zhí dìng lǐ（ meanvaluetheorem） jí luò 'ěr dìng lǐ（ rolle'stheorem）， dōushì yǐ zhèng míng shì zhēn què de cún zài xìng dìng lǐ， suǒ yǐ zhǐ yào néng zhèng míng zhè gōng lǐ shì zhēn què， biàn kě yǐ jì xù shǐ yòng。
lìng wài， bù néng jù tǐ chén shù chū fāng fǎ， yě yòu kě néng shì kuò xiàn yú rén lèi zài yǔ yán shàng de zhàng 'ài， yě jí shì shuō， zhǐ shì bù néng yòng rén lèi de yǔ yán biǎo dá 'ér yǐ， zhèng rú zuì wěi dà de wén xué jiā， yě zhǐ shì yòng tā men rèn wéi zuì shìdàng de yǔ jù lái biǎo dá， kě néng shòu dào yǔ yán xiàn zhì， bù néng wán quán fǎn yìng tā men nèi xīn de sī xiǎng， zhèng suǒ wèi「 bù néng yán yù」。
dàn「 xuǎn zé gōng lǐ 」 dāng rán bù shì zhè bān jiǎn dān， tā de bù kě sī yì， tā de qí miào yòng fǎ， yǐ jí tā suǒ dǎo zhì de jiēguǒ， dào xiàn zài cái shì kāi shǐ。
yào zhèng míng xuǎn zé gōng lǐ ， bìng fēi yī jiàn róng yì de shì， qí zhōng yī gè yuán yīn shì xuǎn zé gōng lǐ bù dān shì yī tiáo jiǎn dān de shù xué mìng tí， ér shì qiān shè jiào jī céng de shù xué ── jí hé lùn。 ér jí hé lùn zhèng jiù shì shù xué de jī chǔ lǐ lùn， suǒ yǐ zài zhèng míng shí， gōng jù yě huì jiào shǎo。
bù shǎo de shù xué jiā céng yě cháng shì zhèng míng xuǎn zé gōng lǐ ， tā men xī wàng yòng zuì jī běn de gōng jù lái zuò zhèng míng， dàn wǎng wǎng zài zhè xiē zhèng míng zhōng， dū yòng liǎo yī xiē bìng bù jī běn de lǐ lùn， lì rú：「 liáng xù yuán lǐ」（ well-orderingprinciple） jí「 zuǒ 'ēn yǐn lǐ」（ zorn'slemma），
liáng xù yuán lǐ suǒ yòu jí hé yě shì liáng xù jí。 huàn jù huà shuō， duì měi yī gè jí hé lái shuō， dū cún zài yī zhǒng pái xù fāng fǎ， shǐ dé tā de suǒ yòu zǐ jí yě yòu jí xiǎo yuán sù。
zuǒ 'ēn yǐn lǐ ruò yī piān xù jí shì guī nà xù jí， nà me， tā bì rán cún zài zuì dà yuán sù。 huàn jù huà shuō， rú guǒ zài yī gè piān xù jí de měi yī tiáo liàn zhōng dū cún zài zhù shàng jiè， zhè piān xù jí bì cún zài zuì dà yuán sù。
zhè xiē lǐ lùn， jí shǐ zhǐ shì cóng zì miàn de jiě shì， yě bù róng yì pàn duàn tā de zhēn què xìng， ér shì shí shàng，「 liáng xù yuán lǐ」 jí「 zuǒ 'ēn yǐn lǐ」 shì bù néng yòng jī běn gōng jù zhèng míng de。 zhí zhì xiàn shí wèicǐ， yě méi yòu rén néng yòng jī běn gōng jù lái zhèng míng「 xuǎn zé gōng lǐ 」。
gèng yòu qù de jiēguǒ shì yuán lái「 xuǎn zé gōng lǐ 」、「 liáng xù yuán lǐ」 jí「 zuǒ 'ēn yǐn lǐ」 dōushì děng jià de mìng tí， yě jiù shì shuō tā men shì zài miáo shù tóng yī yàng de shì jiàn。 duō nián yǐ lái， suǒ fā xiàn de「 xuǎn zé gōng lǐ 」 de děng jià mìng tí shí zài bù shǎo， wǎng zhù bìng méi yòu tǒng jì guò， mǒu xiē de shū jí kě xiě chū yuē 30 gè děng jià mìng tí， wǎng zhù yì sōu jí liǎo bù fēn děng jià mìng tí（ yīng wén bǎn） kě gōng wǎng yǒu cān kǎo， ér rén lèi zhǐ shì zài zhè xiē mìng tí yǔ mìng tí jiān dōu dōu zhuǎn zhuǎn。
yóu cǐ kě zhī， yào zài shù xué shàng zhèng míng huò fǒu zhèng「 xuǎn zé gōng lǐ 」 bìng fēi yì shì， suǒ yǐ shù xué jiā biàn zhuǎn yí mù biāo， cóng luó ji xì tǒng zhōng kàn kàn tā de xiāng róng xìng。 ér shì shí shàng， jīng zhèng míng suǒ dé， xiàn zài wǒ men cháng yòng de zf gōng lǐ xì tǒng yǔ「 xuǎn zé gōng lǐ 」 shì xiāng róng de， yě jiù shì shuō yòng zf gōng lǐ xì tǒng bù néng dé chū「 xuǎn zé gōng lǐ 」 de luó ji máo dùn。 rú guǒ wǒ men xuǎn zé jiē nà「 xuǎn zé gōng lǐ 」， zé biàn yòu yī tào bāo hán「 xuǎn zé gōng lǐ 」 de gōng lǐ xì tǒng， yī bān chēng「 zfc gōng lǐ xì tǒng」； fǒu zé， biàn bù jiē nà tā zài gōng lǐ xì tǒng zhī nèi， zài néng bǎ tā zhèng míng zhī qián， yě bù néng jiē shòu tā shì yī「 dìng lǐ」。
bù guò， zhè gè zhēng lùn yǐ rán wèi wán， yīn wéi duì yú zhè tiáo gōng lǐ bù zhǐ shì jiē nà hé bù jiē nà de wèn tí， rú guǒ fàng qì zhè tiáo gōng lǐ， yòu hěn duō měi hǎo qiě hū hé「 cháng lǐ」 de jiēguǒ huì tóng shí bèi fàng qì； dàn tā shí jì shàng yòu yǔ hěn duō「 cháng lǐ」 dà bù xié diào。
qí zhōng yī gè wéi rén shú shí de bù hé hū cháng lǐ de jiēguǒ shì「 bā ná hè─ tǎ sī jī suì lùn」（ banach-tarskiparadox）， huò chēng「 fēn qiú wèn tí」。 zhè gè suì lùn kě yǐ shuō shì wéi fǎn liǎo wù lǐ xué dìng lǜ， yīn wéi zhè gè suì lùn shuō kě yǐ bǎ yī gè dān wèi qiú tǐ（ bàn jìng wéi 1） fēn chéng yòu xiàn fèn， zuì shǎo kě fēn chéng wǔ fèn， rán hòu tòu guò yī xiē gāng tǐ yùn dòng， jí xuánzhuàn hé píng yí， zài chóngxīn zǔ hé， bù guò zài zǔ hé hòu， jìng rán chéng wéi liǎng gè dān wèi qiú tǐ， yě jí shì tǐ jī zēng jiā liǎo yī bèi， ér zhè gè suì lùn de zhèng míng shì bì xū lì yòng dào「 xuǎn zé gōng lǐ 」 de。 yě jiù shì shuō， rú guǒ wǒ men xuǎn zé jiē nà「 xuǎn zé gōng lǐ 」， zé「 bā ná hè─ tǎ sī jī suì lùn」 biàn shì yī tiáo dìng lǐ， dàn xiàn shí zhōng yòu zhè gè kě néng má？
zhè qí shí yě shì qiān shè lìng yī gè shù xué gài niàn── kě cè jí hé（ measurableset）。「 bā ná hè─ tǎ sī jī suì lùn」 biàn shì cún zài bù kě cè jí hé de jiēguǒ。 rú guǒ wǒ men jiē nà「 xuǎn zé gōng lǐ 」， zé wǒ men bì xū jiē nà bù kě cè jí hé。 ruò wǒ men bù jiē nà「 xuǎn zé gōng lǐ 」， zé kě shè suǒ yòu jí hé jiē shì「 lè bèi gé kě cè de」（ lebesguemeasurable）， ér zhè gè jiǎ shè yě kě néng shì jiào hé hū cháng lǐ。
zǒng kuò 'ér yán，「 xuǎn zé gōng lǐ 」 shì yī tiáo shí fēn zhēng yì xìng de mìng tí， yī bān de shù xué jiādōu jiē shòu zhè tiáo gōng lǐ， yīn wéi kě yǐ cóng 'ér dé chū hěn duō yòu yòng de jiēguǒ， fǎn zhèng shǐ yòng zhè gōng lǐ shì méi yòu luó ji máo dùn de。 dàn duì yú luó ji jiā huò jí hé lùn jiā lái shuō， zhè shì yī gè bì xū jiě jué de wèn tí， yòu xiē rén huì jiàn yì yòng jiào ruò de「 kě shù xuǎn zé gōng lǐ 」（ countablechoice） lái dài tì， ér què shí yòu hěn duō jiēguǒ shì kě yǐ lì yòng kě shù xuǎn zé gōng lǐ lái zhèng míng de， bù guò zhè yàng zhǐ shì zàn shí huí bì wèn tí， ér qiě yǐ rán yòu xiē jiēguǒ shì bì xū yòng dào「 xuǎn zé gōng lǐ 」 de。
zhù míng zhé xué jiā jiān shù xué jiā luó sù（ bertrandrussell） céng shuō guò：「 yóu wú xiàn duì wà zǐ zhōng， měi duì xuǎn zé yī zhǐ chū lái de huà， wǒ men xū yào 『 xuǎn zé gōng lǐ 』， dàn rú guǒ huàn zhuǎn shì xié de huà， nà biàn bù bì liǎo。」 yīn wéi xié shì kě yǐ fēn zuǒ yòu de， wà zǐ zé liǎng zhǐ méi shèn me fēn bié， bù zhī rú hé xuǎn zé。 lìng wài， rú guǒ zhǐ dé yòu xiàn duì wà zǐ， zài luó ji shàng shì kě yǐ bù yòng「 xuǎn zé gōng lǐ 」 de。
bāng ná（ jerrybona） yě céng shuō guò：「『 xuǎn zé gōng lǐ 』 míng xiǎn shì zhèng què de；『 liáng xù yuán lǐ』 míng xiǎn shì bù zhèng què de；『 zuǒ sī yǐn lǐ』 yòu yòu shuí kě jué dìng ní？」 zhè gè suī rán shì yī gè xiào huà， dàn cóng cǐ kě zhī dào rén de zhí jué bìng bù yī dìng gēn cóng shù xué de sī wéi。 zài shù xué shàng， zhè sān gè mìng tí shì děng jià de， dàn duì yú「 xuǎn zé gōng lǐ 」， hěn duō shù xué jiā yě zhí jué tā shì zhèng què de； duì yú「 liáng xù yuán lǐ」， hěn duō shù xué jiā yě rèn wéi cún zài wèn tí； duì yú「 zuǒ sī yǐn lǐ」 zé fù zá dé hěn duō shù xué jiā yě bù néng dān píng zhí jué zuò pàn duàn。
「 xuǎn zé gōng lǐ 」 què shì yī tiáo mí yàng de gōng lǐ， suī rán kàn sì shí fēn xiǎn qiǎn， dàn què yòu qí miào de gōng néng， shèn zhì yòu chāo hū cháng lǐ de jiēguǒ。 yòu xiē rén duì tā tóu yǐ xìn rèn yī piào， yòu xiē rén zé bào huái yí tài dù。 yòu guān zhè tiáo gōng lǐ de tǎo lùn hé yán jiū， xiāng xìn hái huì jì xù， nà biàn kàn kàn shù xué jiā rú hé bǎ tā jiě jué。 zuì hòu， wǎng zhù yòng luó sù de yī jù huà zuò jié shù， tā zài tán jí「 xuǎn zé gōng lǐ 」 shí céng shuō：
「 qǐ xiān tā sì hū shì míng bái de； dàn nǐ yù duō sī kǎo tā， yóu zhè gōng lǐ dé chū de tuī lùn jiù hǎo xiàng biàn dé yù qí guài； zuì hòu nǐ wán quán bù míng bái tā de yì sī dào dǐ shì shèn me liǎo。」 |
|
xuǎn zé gōng lǐ
axiomofchoice
xuǎn zé gōng lǐ 【 nài yān of yóu chéng ní ; cháng yún， jiǎ pí ~a]
jí hé lùn zhōng de yī tiáo gōng lǐ， jí duì rèn hé fēi kōng jí hé cù F， cún zài
hán shù f， shǐ dé duì F zhōng de rèn hé jí hé S， jūn yòu f(S) ‘ S(f chēng
wéi F shàng de jǔ zé jiá pān (choi yōu funCtion))· duì yú yòu xiàn jí cù F，
xuǎn zé gōng lǐ kě cóng jí hé lùn ( rú zài xì tǒng ZF zhōng ) de qí tā gōng lǐ tuī chū .
xuǎn zé gōng lǐ shì yóu E.Zermel。 (1904) míng què dì biǎo shù de，
dàn céng bèi xǔ duō shù xué jiā suǒ fǎn duì . qí yuán yīn shǒu xiān shì yóu yú tā bù tóng yú
jí hé lùn qí yú gōng lǐ de chún cún zài tè xìng， qí cì shì yóu yú tā de yī xiē bù
kě jiē shòu de， shèn zhì yǔ zhí jué “ tōng cháng yì yì ” xiāng máo dùn de tuī lùn . rú yóu
xuǎn zé gōng lǐ kě tuī chū : shí shù de Lebesgue bù kě cè jí de cún zài ;
qiú B de sān fēn tǐ de cún zài :
chǒu =uIU… kǒu u。，
B yī V; rì… rì V.，
chǒu =xl rì… rì X。 +，，
shǐ dé U: yǔ X， quán děng (l(i cù n) qiě Vj yǔ X， +， quán děng
(l cù j cù m). yīn cǐ， qiú B kě fēn wèiyòu qióng duō gè bù fēn Xl，…，
gē shí .， tā men kě zài kōng jiān zhōng yí dòng 'ér xíng chéng liǎng gè yǔ tā xiāng děng de qiú .
xǔ duō yǔ xuǎn zé gōng lǐ děng jià de gōng shè suí hòu xiāng jì bèi fā xiàn . qí zhōng
yòu :l) zào xù yǔ qín (well yī orderingtheorem): zài rèn hé jí
hé XL cún zài quán xù R sān XxX， shǐ dé rèn hé fēi kōng jí hé U rén X
bāo hán zài guān xì R yì yì xià de zuì xiǎo yuán sù ;2) jí dà yuán lǐ
(maximalityprindple)(Zorn yǐn lǐ (Zornlemma)):
rú guǒ piān xù jí X de rèn hé quán xù zǐ jí U dōuyòu 1 jiè， zé X bāo
hán jí dà yuán ;3) jù yòu dān wèi yuán de rèn hé fēi píng fán gé dōuyòu jí dà lǐ
xiǎng ;4) jǐn zhì tuò pū kōng jiān de jī shì jǐn zhì de ;5) rèn hé wú qióng jí hé
X jù yòu yǔ XxX xiāng tóng de jī shù .
xuǎn zé gōng lǐ bìng bù yǔ jí hé lùn ( lì rú， xì tǒng ZF) de qí tā gōng
lǐ xiāng máo dùn， bìng qiě rú guǒ tā men bù máo dùn， zé xuǎn zé gōng lǐ biàn bù kě néng
yóu tā men dǎo chū . xuǎn zé gōng lǐ zài jīng diǎn shù xué zhōng yǐ bèi guǎng fàn dì cǎi
yòng . rú tā yòng yú yǐ xià dìng lǐ :l) zì yóu qún de měi gè zǐ qún dōushì zì
yóu de ;2) dài shù yù de dài shù bì bāo cún zài qiě zài tóng gòu yì yì xià shì wéi
yī de ;3) měi gè xiàng liàng kōng jiān dōuyòu yī gè jī . tā yě yòng yú :4) yī
gè hán shù zài yī diǎn chù lián xù de liǎng gè dìng yì de děng jià xìng (。 yī zhàn dìng yì hé
xù liè jí xiàn dìng yì ) hé yòng yú zhèng míng 5)Lebesgue cèduó de kě shù kě
jiā xìng . zuì hòu liǎng gè dìng lǐ shì cóng kě shù xuǎn zé gōng lǐ dé chū de ( gōng lǐ de
biǎo shù bāo hán jí cù F de kě shù xìng tiáo jiàn ). yǐ jīng zhèng míng， rú guǒ ZF bù
máo dùn， zé dìng lǐ l) yī 5) bù kě néng zài ZF zhōng tuī chū .
rén men yǐ jīng gòu zào liǎo yī gè mǎn zú kě shù xuǎn zé gōng lǐ de jí hé lùn
mó xíng bìng qiě zài gāi mó xíng zhōng měi gè shù jí dōushì LebesgUe kě cè de .
zhè gè mó xíng shì zài xì tǒng ZF yǔ cún zài bù kě dá jī shù de gōng lǐ bù máo
dùn de jiǎ shè xià gòu zào chū lái de .
|
|
| shù xué | piān xù guān xì | bǎi kē dà quán | |
|
|
| yà xuǎn zé gōng lǐ | fàn hán fēn xī yǔ xuǎn zé gōng lǐ | | xuǎn zé gōng lǐ jí guǎng yì lián xù tǒng jiǎ shè hé jí hé lùn gōng lǐ de xié diào xìng | |
|