| | xiān wéi cóng lǐ lùn
1946 nián měi guó de sī dīng lù tè、 měi jí huá rén chén shěng shēn、 fǎ guó de 'ài lè sī màn gòng tóng tí chū xiān wéi cóng de lǐ lùn
shù xué shàng , tè bié shì zài tuò pū xué zhōng， yī gè xiān wéi cóng (fiber/fibrebundle) shì yī gè jú bù kàn lái xiàng liǎng gè kōng jiān de zhí jī de kōng jiān， dàn shì zhěng tǐ kě néng yòu bù tóng de jié gòu。 měi gè xiān wéi cóng yòu gè lián xù mǎn shè
π?:e → b
shǐ dé e duì yú mǒu gè f( chēng wéi xiān wéi kōng jiān ) jú bù kàn lái xiàng zhí jī kōng jiān
b×f
( zhè lǐ jú bù biǎo shì zài b shàng jú bù。 ) yī gè kě yǐ zhěng tǐ shàng rú cǐ biǎo dá de cóng ( tōng guò yī gè bǎo chí π de tóng pēi ) jiào zuò píng fán cóng。 cóng de lǐ lùn jiàn lì zài rú hé yòng yī xiē bǐ zhè gè zhí jiē de dìng yì gèng jiǎn dān de fāng fǎ biǎo dá cóng bù shì píng fán cóng de yì yì de wèn tí zhī shàng。
xiān wéi cóng kuò zhǎn liǎo shǐ liàng cóng， shǐ liàng cóng de zhù yào shí lì jiù shì liú xíng de qiē cóng。 tā men zài wēi fēn tuò pū hé wēi fēn jǐ hé lǐng yù yòu zhe zhòng yào de zuò yòng。 tā men yě shì guī fàn chǎng lùn de jī běn gài niàn。
xíng shì huà dìng yì
yī gè xiān wéi cóng yóu sì yuán zǔ (e,b,π,f) zǔ chéng , qí zhōng e,b,f shì tuò pū kōng jiān 'ér π?:e→ b shì yī gè lián xù mǎn shè， mǎn zú xià miàn gěi chū de jú bù píng fán tiáo jiàn。 b chēng wéi cóng de jī kōng jiān， e chēng wéi zǒng kōng jiān , ér f chēng wéi xiān wéi。 yìng shè π chēng wéi tóu yǐng yìng shè . xià miàn wǒ men jiǎ dìng jī kōng jiān b shì lián tōng de。
wǒ men yào qiú duì yú b zhōng de měi gè x, cún zài yī gè x de kāi lín yù u， shǐ dé π?1(u) shì tóng pēi yú jī kōng jiān u×f de , bìng mǎn zú π zhuǎn guò qù jiù biàn chéng dào dì yī gè yīn zǐ de tóu yǐng。 yě jiù shì yī xià de tú kě jiāo huàn :
qí zhōng proj1?:u×f→ u shì zì rán tóu yǐng 'ér φ?:π?1(u)→ u×f shì yī gè tóng pēi。 suǒ yòu {(ui,φi)} de jí hé chēng wèicóng de jú bù píng fán huà。
duì yú b zhōng měi gè x, yuán xiàng π?1(x) hé f tóng pēi bìng chēng wéi x shàng de xiān wéi . yī gè xiān wéi cóng (e,b,π,f) jīng cháng jì wéi
yǐ yǐn rù yī gè kōng jiān de duǎn qiàdàng xù liè。 zhù yì měi gè xiān wéi cóng π?:e→ b dōushì yī gè kāi yìng shè , yīn wéi jī kōng jiān de tóu yǐng shì kāi yìng shè。 suǒ yǐ b yòu yóu yìng shè π jué dìng de shāng tuò pū .
yī gè guāng huá xiān wéi cóng shì yī gè zài guāng huá liú xíng de fàn chóu nèi de xiān wéi cóng 。 yě jiù shì， e,b,f dū bì xū shì guāng huá liú xíng 'ér suǒ yòu shàng miàn yòng dào de hán shù dū bì xū shì guāng huá yìng shè。 zhè shì xiān wéi cóng yán jiū hé shǐ yòng de tōng cháng huán jìng。
lì zǐ
lìng e=b×f bìng lìng π?:e→ b wéi duì dì yī gè yīn zǐ de tóu yǐng， zé e shì b shàng de cóng . zhè lǐ e bù jǐn shì jú bù de jī 'ér qiě shì zhěng tǐ de jī。 rèn hé zhè yàng de xiān wéi cóng chēng wéi píng fán cóng .
mò bǐ wū sī dài shì yuán shàng de fēi píng fán cóng。
zuì jiǎn dān de fēi píng fán cóng de lì zǐ kě néng yào suàn mò bǐ wū sī dài (m?biusstrip). mò bǐ wū sī dài shì yī gè yǐ yuán wéi jī kōng jiān b bìng yǐ xiàn duàn wéi xiān wéi f de cóng。 duì yú yī diǎn de lín yù shì yī duàn yuán hú； zài tú zhōng， jiù shì qí zhōng yī gè fāng kuài de cháng。 yuán xiàng π?1(u) zài tú zhōng shì gè ( yòu xiē niǔ zhuǎn de ) qiē piàn， 4 gè fāng kuài kuān yī gè fāng kuài cháng。 tóng pēi φ bǎ u de yuán xiàng yìng dào zhù miàn de yī kuài : wān qū dàn bù niǔ zhuǎn .
xiāng yìng de píng fán cóng b×f kàn qǐ lái xiàng yī gè yuán zhù , dàn shì mò bǐ wū sī dài yòu gè zhěng tǐ shàng de niǔ zhuǎn。 zhù yì zhè gè niǔ zhuǎn zhǐ yòu zhěng tǐ shàng cái néng kàn chū lái； jú bù kàn lái mò bǐ wū sī dài hé yuán zhù wán quán yī yàng ( zài qí zhōng rèn hé yī gè shù zhí de qiē yī dāo huì chǎn shēng tóng yàng de kōng jiān ).
yī gè lèi sì de fēi píng fán cóng shì kè lāi yīn píng， tā kě yǐ kàn zuò shì yī gè " niǔ zhuǎn " de yuán zài lìng yī gè yuán shàng de cóng。 xiāng yìng de píng fán cóng shì yī gè huán， s1×s1.
yī gè fù gài kōng jiān shì yī gè yǐ lí sàn kōng jiān wéi xiān wéi de xiān wéi cóng 。
xiān wéi cóng de yī gè tè lì， jiào zuò shǐ liàng cóng , shì nà xiē xiān wéi wéi shǐ liàng kōng jiān de cóng ( yào chéng wéi yī gè shǐ liàng cóng， cóng de jié gòu qún héng jiàn xià miàn héng bì xū shì yī gè xiàn xìng qún )。 shǐ liàng cóng de zhòng yào shí lì bāo kuò guāng huá liú xíng de qiē cóng hé yú qiē cóng。
lìng yī gè xiān wéi cóng de tè lì jiào zuò zhù cóng。 gèng duō de lì zǐ cān kàn gāi tiáo mù。
yī gè qiú cóng shì yī gè xiān wéi wéi n- qiú de xiān wéi cóng 。 gěi dìng yī gè yòu dù liàng de shǐ liàng cóng ( lì rú lí màn liú xíng de qiē cóng ), kě yǐ gòu zào yī gè xiāng yìng de dān wèi qiú cóng , qí zài yī diǎn x de xiān wéi shì suǒ yòu ex de dān wèi shǐ liàng de jí hé .
jié miàn
xiān wéi cóng de jié miàn (section huò zhě crosssection) shì yī gè lián xù yìng shè f?:b→ e shǐ dé π(f(x))=x duì yú suǒ yòu b zhōng de x chéng lì。 yīn wéi cóng tōng cháng méi yòu quán jú yòu dìng yì de jié miàn， lǐ lùn de yī gè zhòng yào zuò yòng jiù shì jiǎn yàn hé zhèng míng tā men de cún zài xìng。 zhè dǎo zhì liǎo dài shù tuò pū de tè zhēng lèi lǐ lùn。
jié miàn jīng cháng zhǐ bèi jú bù de dìng yì ( tè bié shì dāng quán jú jié miàn bù cún zài shí )。 xiān wéi cóng de jú bù jié miàn shì yī gè lián xù yìng shè f?:u→ e qí zhōng u shì yī gè b zhōng de kāi jí 'ér π(f(x))=x duì suǒ yòu u zhōng de x chéng lì。 ruò (u,φ) shì yī gè jú bù píng fán huà tú， zé jú bù jié miàn zài u shàng zǒng shì cún zài de。 zhè zhǒng jié miàn hé lián xù yìng shè u→ f yòu 1-1 duì yìng。 jié miàn de jí hé zǔ chéng yī gè céng (sheaf)。
jié gòu qún (structuregroups) hé zhuǎn huàn hán shù (transitionfunctions)
xiān wéi cóng jīng cháng yòu yī gè duìchèn qún miáo shù chóngdié de tú zhī jiān de jiān róng tiáo jiàn。 tè bié de， lìng g wéi yī gè tuò pū qún， tā lián xù de cóng zuǒ biān zuò yòng zài xiān wéi kōng jiān f shàng。 bù shī yī bān xìng de， wǒ men kě yǐ yào qiú g yòu xiào de zuò yòng zài f shàng， yǐ biàn bǎ tā kàn chéng shì f de tóng pēi qún。 cóng de yī gè g- tú jí (e,b,π,f) shì yī gè jú bù píng fán huà， shǐ dé duì rèn hé liǎng gè chóngdié de tú (ui,φi) hé (uj,φj) hán shù
kě yǐ zhè yàng gěi chū :
qí zhōng shì yī gè chēng wéi biàn huà hán shù de lián xù yìng shè。 liǎng gè g- tú jí děng xiào rú guǒ tā men de bìng yě shì yī gè g- tú jí。 yī gè g- cóng shì yī gè yòu g- tú jí děng jià lèi de xiān wéi cóng 。 qún g chéng wéi gāi cóng de jié gòu qún .
zài guāng huá fàn chóu zhōng， yī gè g- cóng shì yī gè guāng huá xiān wéi cóng ， qí zhōng g shì yī gè lǐ qún 'ér xiāng yìng de zài f shàng de zuò yòng shì guāng huá de bìng qiě biàn huàn hán shù dōushì guāng huá yìng shè。
biàn huàn hán shù tij mǎn zú yǐ xià tiáo jiàn
tii(x)=1
tij(x)=tji(x)?1
tik(x)=tij(x)tjk(x)
zhè sān gè tiáo jiàn yòng dào chóngdié de sān yuán zǔ shàng jiào zuò yú liàn tiáo jiàn cocyclecondition( jiàn ?ech shàng tóng diào ).
yī gè zhù cóng shì yī gè g- cóng， qí xiān wéi kě yǐ rèn wéi shì g běn shēn， bìng qiě yòu yī gè zài quán kōng jiān shàng de g de yòu zuò yòng bǎo chí xiān wéi bù biàn。 | | xianweicong
xiān wéi cóng
fibrebundle
kě yǐ kàn zuò shì tuò pū chéng jī de tuī guǎng。 xiān wéi cóng gài niàn chǎn shēng yú wēi fēn jǐ hé de yán jiū。 xiān wéi cóng de xì tǒng yán jiū shǐ yú 20 shì jì 30 nián dài， tā bù jǐn zài tuò pū xué hé wēi fēn jǐ hé xué zhōng zhàn yòu zhòng yào dì wèi， yě bèi guǎng fàn yìng yòng yú qí tā shù xué hé wù lǐ xué fēn zhī。
xiān wéi cóng gài niàn jiǎ shè kōng jiān □ shì kōng jiān□ hé□ de tuò pū chéng jī。 shè□ :□ =□ ×□→□ wéi xiàng dì yī gè chéng jī yīn zǐ de tóu yǐng yìng shè , zé duì yú rèn yì□□□□□□，□ -1(□ ) jūn tóng pēi yú□。 yīn cǐ□ kě kàn zuò bèi fēn jiě wéi yī zú “□ xiān wéi ” {□ -1(□ )} de lián hé tǐ。 zhè xiē“ xiān wéi” xiāng hù lián hé de fāng shì shì 'àn zhào yǐ zhī de chéng jī tuò pū shí xiàn de□。 xiān wéi cóng gài niàn shì jiāng zhè zhǒng kǎo lǜ zuò rú xià tuī guǎng。 shè□ ,□ ,□ shì tuò pū kōng jiān ,□ :□→□ shì lián xù yìng shè。 ruò duì yú rèn yì□□□□□ ,□ -1(□ ) jūn tóng pēi yú□ , zé shuō□ bèi xiān wéi huà wéi yī gè yǐ□ wéi xiān wéi xíng de cóng。 yī bān shuō lái ,□ bù shì□ yǔ□ de tuò pū chéng jī。 dàn jiǎ shè“ jú bù dì” shì tuò pū chéng jī , jí shè□ zhōng měi yī diǎn□ jūn yòu bāo hán□ de yī gè kāi jí□□□ , hé yī gè bǎ□ -1(□□ ) tóng pēi dì yìng chéng□□ ×□ de yìng shè□□ ,□□□ shǐ dé duì měi gè□□□□□□ ,□□ bǎ□ -1(□ ) yìng wéi□ ×□ ,□ shì zhè xiē {□ -1(□□ )} de bìng jí， yīn cǐ□ kě kàn zuò shì yóu zhè xiē tuò pū chéng jī {□□ ×□ } pīn nián qǐ lái de。 dāng□□□□□ ≠□ shí ,□□ ×□ hé□□ ×□ de pīn nián fāng shì rú xià : duì měi duì□， rú guǒ□， jí□， jiù jiāng (□ ,□□ ) hé (□ ,□□ ) nián qǐ lái ,□□ ·□□ shì bǎ□ ×□ yìng wéi□ ×□ de tuò pū biàn huàn , suǒ yǐ tā jué dìng□ de yī gè tuò pū biàn huàn□□ (□ )。 zhè lǐ□□ (□ )·□□ =□□， yīn cǐ□□ ×□ hé□□ ×□ de pīn nián jiù kě yǐ kàn zuò shì jiè zhù yú yī gè lián xù yìng shè□ lái zuò de， qí zhōng□ shì□ de yī gè tuò pū biàn huàn qún , zhè xiē□□ chēng wéi zhuǎn yí hán shù。 yīn 'ér jiù shuō yòu liǎo yī gè xiān wéi cóng (□，□，□，□，□ ), zhè lǐ□ chēng wéi quán kōng jiān ,□ wéi dǐ kōng jiān，□ wéi xiān wéi xíng，□ wéi tóu yǐng，□ wéi gòu zào qún。
lì rú， mài bǐ wū sī dài shì zuì jiǎn dān de fēi tuò pū chéng jī de xiān wéi cóng 。 tā yóu yī tiáo jǔ xíng cháng dài jiāng qí yī duì biān zhōng zhī yī niǔ zhuǎn 180° hòu yǔ lìng yī biān zhānhé 'ér dé ( jiàn bì qū miàn de fēn lèi、 tuò pū kōng jiān )。 yě kě kàn zuò jiāng yī zhí xiàn duàn zhōng diǎn fàng zài yī gè yuán zhōu shàng yán cǐ yuán zhōu yí dòng yī zhōu de tóng shí， shǐ gāi xiàn duàn fānzhuàn 180° ér chéng。 zhè shì yī gè xiān wéi cóng , qí quán kōng jiān□ wéi mài bǐ wū sī dài， dǐ kōng jiān□ wéi yuán zhōu， xiān wéi xíng□ wéi xiàn duàn， gòu zào qún□ wéi□ de yī gè zhì shǎo bāo hán guān yú zhōng diǎn de fǎn shè zài nèi de tuò pū biàn huàn qún ,□ :□→□ zé shì jiāng měi gēn zhí mǔ xiàn yìng wéi yǔ□ zhī jiāo diǎn de yìng shè。
qí xìng kōng jiān yī lèi zhòng yào de xiān wéi cóng 。 shè□ wéi tuò pū qún□ de yī gè bì zǐ qún ,□ zài□ zhōng de zuǒ péi jí zǔ chéng shāng kōng jiān□ /□ , shè□ :□→□ /□ wéi shāng yìng shè， zé zài shìdàng tiáo jiàn xià (□ ,□□ ,□ /□ ,□ ,□ ) chéng wéi yī gè xiān wéi cóng ， qiě□ zuò yòng zài□ /□ shàng shì kě qiān de biàn huàn qún。
qiē cóng lìng yī lèi zhòng yào de xiān wéi cóng 。 shè М shì yī gè shí□ wéi wēi fēn liú xíng，□□ (М) wéi М zài diǎn□ chù de qiē kōng jiān， jiāng suǒ yòu {□□ (М)} yòng zì rán fāng shì bìng qǐ lái， dé yī gè 2□ wéi wēi fēn liú xíng□□ (М)， shè□ :□ (М)→ М wéi jiāng□□ (М) yìng chéng□， zé dé xiān wéi cóng □ (М),□ ,М，□□ ,□□ (□，□ )， chēng wéi М de qiē cóng。 lèi sì dì， hái kě dìng yì М shàng de gè xíng zhāng liàng cóng。
xiàng liàng cóng yǐ xiàn xìng kōng jiān wéi xiān wéi xíng， yī bān xiàn xìng qún wéi gòu zào qún de xiān wéi cóng chēng wéi xiàng liàng cóng。 qiē cóng shì zuì cháng jiàn de zhòng yào de xiàng liàng cóng， jiāng xiàng liàng kōng jiān de yùn suàn shī yú xiàng liàng cóng de xiān wéi， biàn dé xiàng liàng cóng de yùn suàn。 lì rú yóu zhí hé yǔ zhāng liàng jī dé tóng dǐ de xiàng liàng cóng de huì tè ní hé□ yǔ zhāng liàng jī□。
cóng de yòu dǎo zhuǎn yí hán shù zú ｛□□ ｝ biǎo dá liǎo jú bù chéng jī pīn nián wéi zhěng tǐ de quán mào， yīn cǐ tā kè huà liǎo cóng jié gòu。 shè gěi liǎo lián xù yìng shè□ :□□→□， zé hán shù zú {□□□□ } shì□□ shàng de yī zú zhuǎn yí hán shù， cóng 'ér què dìng□□ shàng jù yòu xiāng tóng xiān wéi xíng hé gòu zào qún de xiān wéi cóng ， chēng wéi yòu dǎo cóng。 fǎng jǐn kōng jiān shàng xiāng hù tóng lún de yìng shè yòu dǎo xiāng tóng de cóng。
zhù xiān wéi cóng jiǎn chēng zhù cóng。 ruò xiān wéi cóng de xiān wéi xíng jiù shì gòu zào qún□， bìng qiě□ zài xiān wéi□ shàng de zuò yòng shì zuǒ píng yí , zé cǐ xiān wéi cóng chēng wéi zhù□ cóng。 rèn yī yǐ□ wéi gòu zào qún de xiān wéi cóng jué dìng yī gè jù yòu xiāng tóng zhuǎn yí hán shù zú de zhù□ cóng， chēng wéi xiāng pèi de zhù□ cóng。 yóu yú xiān wéi cóng | | | zhù xiān wéi cóng | xiān wéi cóng lùn | yòu dǎo xiān wéi cóng | xiān wéi cóng lǐ lùn | | děng jià xiān wéi cóng | píng fán xiān wéi cóng | xiāng bàn de xiān wéi cóng | fù jiě xī xiān wéi cóng | | xiān wéi cóng tuò pū xué | jú bù píng fán xiān wéi cóng | shén jīng jié nèi xiān wéi cóng | |
|
|
|