| | | yě chēng hǎi lún qín jiǔ sháo gōng shì ”。 shè sān jiǎo xíng de sān biān cháng wéi a、 b、 c， p=a+b+c2， zé sān jiǎo xíng miàn jī △ =p(p-a)(p-b)(p-c)。 cǐ gōng shì yóu xī là shù xué jiā hǎi lún fā xiàn， gù míng。 zhōng guó nán sòng shù xué jiā qín jiǔ sháo fā xiàn lèi sì gōng shì△ =14c 2a 2-c 2+a 2-b 22 2。 tā bǎ sān jiǎo xíng sān biān fēn bié jiào zuò dà xié、 zhōng xié hé xiǎo xié， gù gāi shì yě chēng sān xié qiú jī gōng shì。 | | hǎi lún gōng shì yòu yì zuò xī lún gōng shì、 hǎi lóng gōng shì、 xī luó gōng shì、 hǎi lún － qín jiǔ sháo gōng shì， chuán shuō shì gǔ dài de xù lā gǔ guó wáng xī lún（ heron, yě chēng hǎi lóng） èr shì fā xiàn de gōng shì， lì yòng sān jiǎo xíng de sān tiáo biān cháng lái qiú qǔ sān jiǎo xíng miàn jī。 dàn gēn jù morriskline zài 1908 nián chū bǎn de zhù zuò kǎo zhèng， zhè tiáo gōng shì qí shí shì 'ā jī mǐ dé suǒ fā xiàn， yǐ tuō xī lún 'èr shì de míng fā biǎo（ wèi chá zhèng）。 wǒ guó sòng dài de shù xué jiā qín jiǔ sháo yě tí chū liǎo “ sān xié qiú jī shù”， tā yǔ hǎi lún gōng shì jī běn yī yàng。
jiǎ shè yòu yī gè sān jiǎo xíng， biān cháng fēn bié wéi a、 b、 c， sān jiǎo xíng de miàn jī s kě yóu yǐ xià gōng shì qiú dé：
s= √ [p(p-a)(p-b)(p-c)]
ér gōng shì lǐ de p wéi bàn zhōu cháng：
p=(a+b+c)/2
héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng
zhù： "metrica"(《 dù liàng lùn》 ) shǒu chāo běn zhōng yòng s zuò wéi bàn zhōu cháng， suǒ yǐ
s=√ [p(p-a)(p-b)(p-c)] hé s=√ [s(s-a)(s-b)(s-c)] liǎng zhǒng xiě fǎ dōushì kě yǐ de， dàn duō yòng p zuò wéi bàn zhōu cháng。
héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng
yóu yú rèn hé n biān de duō biān xíng dōukě yǐ fēn gē chéng n-2 gè sān jiǎo xíng， suǒ yǐ hǎi lún gōng shì kě yǐ yòng zuò qiú duō biān xíng miàn jī de gōng shì。 bǐ rú shuō cèliáng tǔ dì de miàn jī de shí hòu， bù yòng cè sān jiǎo xíng de gāo， zhǐ xū cè liǎng diǎn jiān de jù lí， jiù kě yǐ fāng biàn dì dǎo chū dá 'àn。
zhèng míng（ 1）：
yǔ hǎi lún zài tā de zhù zuò "metrica"(《 dù liàng lùn》 ) zhōng de yuán shǐ zhèng míng bù tóng， zài cǐ wǒ men yòng sān jiǎo gōng shì hé gōng shì biàn xíng lái zhèng míng。 shè sān jiǎo xíng de sān biān a、 b、 c de duì jiǎo fēn bié wéi a、 b、 c， zé yú xián dìng lǐ wéi
cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
s=1/2*ab*sinc
=1/2*ab*√ (1-cos^2c)
=1/2*ab*√ [1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√ [4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√ [(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√ [(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√ [(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
shè p=(a+b+c)/2
zé p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
shàng shì =√ [(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√ [p(p-a)(p-b)(p-c)]
suǒ yǐ， sān jiǎo xíng abc miàn jī s=√ [p(p-a)(p-b)(p-c)]
zhèng míng（ 2）：
wǒ guó sòng dài de shù xué jiā qín jiǔ sháo yě tí chū liǎo“ sān xié qiú jī shù”。 tā yǔ hǎi lún gōng shì jī běn yī yàng， qí shí zài《 jiǔ zhāng suàn shù》 zhōng， yǐ jīng yòu qiú sān jiǎo xíng gōng shì“ dǐ chéng gāo de yī bàn”， zài shí jì zhàngliáng tǔ dì miàn jī shí， yóu yú tǔ dì de miàn jī bìng bù shì de sān jiǎo xíng， yào zhǎo chū tā lái bìng fēi yì shì。 suǒ yǐ tā men xiǎng dào liǎo sān jiǎo xíng de sān tiáo biān。 rú guǒ zhè yàng zuò qiú sān jiǎo xíng de miàn jī yě jiù fāng biàn duō liǎo。 dàn shì zěn yàng gēn jù sān biān de cháng dù lái qiú sān jiǎo xíng de miàn jī？ zhí dào nán sòng， wǒ guó zhù míng de shù xué jiā jiǔ sháo tí chū liǎo“ sān xié qiú jī shù”。
qín jiǔ sháo tā bǎ sān jiǎo xíng de sān tiáo biān fēn bié chēng wéi xiǎo xié、 zhōng xié hé dà xié。“ shù” jí fāng fǎ。 sān xié qiú jī shù jiù shì yòng xiǎo xié píng fāng jiā shàng dà xié píng fāng， sòng dào xié píng fāng， qǔ xiāng jiǎn hòu yú shù de yī bàn， zì chéng 'ér dé yī gè shù xiǎo xié píng fāng chéng yǐ dà xié píng fāng， sòng dào shàng miàn dé dào de nà gè。 xiāng jiǎn hòu yú shù bèi 4 chú féng suǒ dé de shù zuò wéi“ shí”， zuò 1 zuò wéi“ yú”， kāi píng fāng hòu jí dé miàn jī。
suǒ wèi“ shí”、“ yú” zhǐ de shì， zài fāng chéng px2=qk,p wéi“ yú”， q wéi“ shí”。 yǐ△、 a,b,c biǎo shì sān jiǎo xíng miàn jī、 dà xié、 zhōng xié、 xiǎo xié， suǒ yǐ
q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]
dāng p ＝ 1 shí，△ 2＝ q,
s△ =√ {1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}
yīn shì fēn jiě dé
1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8s(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
yóu cǐ kě dé：
s△ =√ [p(p-a)(p-b)(p-c)]
qí zhōng p=1/2(a+b+c)
zhè yǔ hǎi lún gōng shì wán quán yī zhì， suǒ yǐ zhè yī gōng shì yě bèi chēng wéi“ hǎi lún－ qín jiǔ sháo gōng shì”。 | | hǎi lún gōng shì yòu yì zuò xī lún gōng shì、 hǎi lóng gōng shì、 xī luó gōng shì、 hǎi lún－ qín jiǔ sháo gōng shì， chuán shuō shì gǔ dài de xù lā gǔ guó wáng xī lún
（ Heron, yě chēng hǎi lóng） èr shì fā xiàn de gōng shì， lì yòng sān jiǎo xíng de sān tiáo biān cháng lái qiú qǔ sān jiǎo xíng miàn jī。 dàn gēn jù MorrisKline zài 1908 nián chū bǎn de zhù zuò kǎo zhèng， zhè tiáo gōng shì qí shí shì 'ā jī mǐ dé suǒ fā xiàn， yǐ tuō xī lún 'èr shì de míng fā biǎo（ wèi chá zhèng）。 wǒ guó sòng dài de shù xué jiā qín jiǔ sháo yě tí chū liǎo“ sān xié qiú jī shù”， tā yǔ hǎi lún gōng shì jī běn yī yàng。
jiǎ shè yòu yī gè sān jiǎo xíng， biān cháng fēn bié wéi a、 b、 c， sān jiǎo xíng de miàn jī S kě yóu yǐ xià gōng shì qiú dé：
S=√ [p(p-a)(p-b)(p-c)]
ér gōng shì lǐ de p wéi bàn zhōu cháng：
p=(a+b+c)/2
héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng
zhù 1： "Metrica"(《 dù liàng lùn》 ) shǒu chāo běn zhōng yòng s zuò wéi bàn zhōu cháng， suǒ yǐ
S=√ [p(p-a)(p-b)(p-c)] hé S=√ [s(s-a)(s-b)(s-c)] liǎng zhǒng xiě fǎ dōushì kě yǐ de， dàn duō yòng p zuò wéi bàn zhōu cháng。
héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng héng
yóu yú rèn hé n biān de duō biān xíng dōukě yǐ fēn gē chéng n-2 gè sān jiǎo xíng， suǒ yǐ hǎi lún gōng shì kě yǐ yòng zuò qiú duō biān xíng miàn jī de gōng shì。 bǐ rú shuō cèliáng tǔ dì de miàn jī de shí hòu， bù yòng cè sān jiǎo xíng de gāo， zhǐ xū cè liǎng diǎn jiān de jù lí， jiù kě yǐ fāng biàn dì dǎo chū dá 'àn。
zhèng míng（ 1）：
yǔ hǎi lún zài tā de zhù zuò "Metrica"(《 dù liàng lùn》 ) zhōng de yuán shǐ zhèng míng bù tóng， zài cǐ wǒ men yòng sān jiǎo gōng shì hé gōng shì biàn xíng lái zhèng míng。 shè sān jiǎo xíng de sān biān a、 b、 c de duì jiǎo fēn bié wéi A、 B、 C， zé yú xián dìng lǐ wéi
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√ (1-cos^2C)
=1/2*ab*√ [1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√ [4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√ [(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√ [(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√ [(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
shè p=(a+b+c)/2
zé p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
shàng shì =√ [(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√ [p(p-a)(p-b)(p-c)]
suǒ yǐ， sān jiǎo xíng ABC miàn jī S=√ [p(p-a)(p-b)(p-c)]
zhèng míng（ 2）：
wǒ guó sòng dài de shù xué jiā qín jiǔ sháo yě tí chū liǎo“ sān xié qiú jī shù”。 tā yǔ hǎi lún gōng shì jī běn yī yàng， qí shí zài《 jiǔ zhāng suàn shù》 zhōng， yǐ jīng yòu qiú sān jiǎo xíng gōng shì“ dǐ chéng gāo de yī bàn”， zài shí jì zhàngliáng tǔ dì miàn jī shí， yóu yú tǔ dì de miàn jī bìng bù shì de sān jiǎo xíng， yào zhǎo chū tā lái bìng fēi yì shì。 suǒ yǐ tā men xiǎng dào liǎo sān jiǎo xíng de sān tiáo biān。 rú guǒ zhè yàng zuò qiú sān jiǎo xíng de miàn jī yě jiù fāng biàn duō liǎo。 dàn shì zěn yàng gēn jù sān biān de cháng dù lái qiú sān jiǎo xíng de miàn jī？ zhí dào nán sòng， wǒ guó zhù míng de shù xué jiā jiǔ sháo tí chū liǎo“ sān xié qiú jī shù”。
qín jiǔ sháo tā bǎ sān jiǎo xíng de sān tiáo biān fēn bié chēng wéi xiǎo xié、 zhōng xié hé dà xié。“ shù” jí fāng fǎ。 sān xié qiú jī shù jiù shì yòng xiǎo xié píng fāng jiā shàng dà xié píng fāng， sòng dào xié píng fāng， qǔ xiāng jiǎn hòu yú shù de yī bàn， zì chéng 'ér dé yī gè shù xiǎo xié píng fāng chéng yǐ dà xié píng fāng， sòng dào shàng miàn dé dào de nà gè。 xiāng jiǎn hòu yú shù bèi 4 chú féng suǒ dé de shù zuò wéi“ shí”， zuò 1 zuò wéi“ yú”， kāi píng fāng hòu jí dé miàn jī。
suǒ wèi“ shí”、“ yú” zhǐ de shì， zài fāng chéng px2=qk,p wéi“ yú”， Q wéi“ shí”。 yǐ△、 a,b,c biǎo shì sān jiǎo xíng miàn jī、 dà xié、 zhōng xié、 xiǎo xié， suǒ yǐ
q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]
dāng P＝ 1 shí，△ 2＝ q,
S△ =√ {1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}
yīn shì fēn jiě dé
1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
yóu cǐ kě dé：
S△ =√ [p(p-a)(p-b)(p-c)]
qí zhōng p=1/2(a+b+c)
zhè yǔ hǎi lún gōng shì wán quán yī zhì， suǒ yǐ zhè yī gōng shì yě bèi chēng wéi“ hǎi lún－ qín jiǔ sháo gōng shì”。
S=c/2* gēn hào xià a^-{(a^-b^+c^)/2c}^. qí zhōng c>b>a.
gēn jù hǎi lún gōng shì ， wǒ men kě yǐ jiāng qí jì xù tuī guǎng zhì sì biān xíng de miàn jī yùn suàn。 rú xià tí：
yǐ zhī sì biān xíng ABCD wéi yuán de nèi jiē sì biān xíng， qiě AB=BC=4,CD=2,DA=6， qiú sì biān xíng ABCD de miàn jī
zhè lǐ yòng hǎi lún gōng shì de tuī guǎng
S yuán nèi jiē sì biān xíng = gēn hào xià (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（ qí zhōng p wéi zhōu cháng yī bàn， a,b,c,d, wéi 4 biān）
dài rù jiě dé s=8√ 3
hǎi lún gōng shì de jǐ zhǒng lìng zhèng jí qí tuī guǎng
guān yú sān jiǎo xíng de miàn jī jì suàn gōng shì zài jiě tí zhōng zhù yào yìng yòng de yòu：
shè△ ABC zhōng， a、 b、 c fēn bié wéi jiǎo A、 B、 C de duì biān， ha wéi a biān shàng de gāo， R、 r fēn bié wéi△ ABC wài jiē yuán、 nèi qiē yuán de bàn jìng， p=(a+b+c), zé
S△ ABC=1/2aha=1/2ab×sinC=1/2rp
=2R2sinAsinBsinC=
=
qí zhōng， S△ ABC= jiù shì zhù míng de hǎi lún gōng shì ， zài xī là shù xué jiā hǎi lún de zhù zuò《 cè dì shù》 zhōng yòu jìzǎi。
hǎi lún gōng shì zài jiě tí zhōng yòu shí fēn zhòng yào de yìng yòng。
yī、 hǎi lún gōng shì de biàn xíng
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
èr、 hǎi lún gōng shì de zhèng míng
zhèng yī gòu gǔ dìng lǐ
fēn xī： xiān cóng sān jiǎo xíng zuì jī běn de jì suàn gōng shì S△ ABC=aha/2 rù shǒu， yùn yòng gòu gǔ dìng lǐ tuī dǎo chū hǎi lún gōng shì 。
zhèng míng： rú tú ha ⊥ BC， gēn jù gòu gǔ dìng lǐ， dé :
x=y=
ha===
∴ S△ ABC=aha=a×=
cǐ shí S△ ABC wéi biàn xíng④， gù dé zhèng。
zhèng 'èr： sī shì dìng lǐ
fēn xī： zài zhèng yī de jī chǔ shàng yùn yòng sī shì dìng lǐ zhí jiē qiú chū ha。
sī shì dìng lǐ :△ ABC biān BC shàng rèn qǔ yī diǎn D，
ruò BD=u， DC=v,AD=t. zé
t2=
zhèng míng： yóu zhèng yī kě zhī， u=v=
∴ ha2=t2=－
∴ S△ ABC=aha=a×
=
cǐ shí wéi S△ ABC de biàn xíng⑤， gù dé zhèng。
zhèng sān： yú xián dìng lǐ
fēn xī： yóu biàn xíng② S= kě zhī， yùn yòng yú xián dìng lǐ c2=a2+b2－ 2abcosC duì qí jìn xíng zhèng míng。
zhèng míng： yào zhèng míng S=
zé yào zhèng S=
=
=ab×sinC
cǐ shí S=ab×sinC wéi sān jiǎo xíng jì suàn gōng shì， gù dé zhèng。
zhèng sì： héng děng shì
fēn xī： kǎo lǜ yùn yòng S△ ABC=rp， yīn wéi yòu sān jiǎo xíng nèi jiē yuán bàn jìng chū xiàn， kě kǎo lǜ yìng yòng sān jiǎo hán shù de héng děng shì。
héng děng shì： ruò ∠ A+∠ B+∠ C=180 nà me
tg·tg+tg·tg+tg·tg=1
zhèng míng： rú tú， tg=①
tg=②
tg=③
gēn jù héng děng shì， dé：
++=
①②③ dài rù， dé：
∴ r2(x+y+z)=xyz④
rú tú kě zhī： a ＋ b－ c=(x+z)＋ (x+y)－ (z+y)=2x
∴ x= tóng lǐ： y=z=
dài rù④， dé： r2·=
liǎng biān tóng chéng yǐ， dé：
r2·=
liǎng biān kāi fāng， dé： r·=
zuǒ biān r·=r·p=S△ ABC yòu biān wéi hǎi lún gōng shì biàn xíng①， gù dé zhèng。
zhèng wǔ： bàn jiǎo dìng lǐ
bàn jiǎo dìng lǐ： tg=
tg=
tg=
zhèng míng： gēn jù tg==∴ r=×y①
tóng lǐ r=×z② r=×x③
① ×② ×③ , dé： r3=×xyz
∵ yóu zhèng yī， x==－ c=p－ c
y==－ a=p－ a
z==－ b=p－ b
∴ r3=∴ r=
∴ S△ ABC=r·p= gù dé zhèng。
sān、 hǎi lún gōng shì de tuī guǎng
yóu yú zài shí jì yìng yòng zhōng， wǎng wǎng xū jì suàn sì biān xíng de miàn jī， suǒ yǐ xū yào duì hǎi lún gōng shì jìn xíng tuī guǎng。 yóu yú sān jiǎo xíng nèi jiē yú yuán， suǒ yǐ cāi xiǎng hǎi lún gōng shì de tuī guǎng wéi： zài rèn yì nèi jiē yǔ yuán de sì biān xíng ABCD zhōng， shè p=, zé S sì biān xíng =
xiàn gēn jù cāi xiǎng jìn xíng zhèng míng。
zhèng míng： rú tú， yán cháng DA， CB jiāo yú diǎn E。
shè EA=eEB=f
∵∠ 1+∠ 2=180 ∠ 2+∠ 3=180
∴∠ 1=∠ 3∴△ EAB ～△ ECD
∴ ===
jiě dé： e=① f=②
yóu yú S sì biān xíng ABCD=S△ EAB
jiāng①，② gēn b= dài rù gōng shì biàn xíng④， dé：
∴ S sì biān xíng ABCD=
suǒ yǐ， hǎi lún gōng shì de tuī guǎng dé zhèng。
sì、 hǎi lún gōng shì de tuī guǎng de yìng yòng
hǎi lún gōng shì de tuī guǎng zài shí jì jiě tí zhōng yòu zhe guǎng fàn de yìng yòng， tè bié shì zài yòu guān yuán nèi jiē sì biān xíng de gè zhǒng zōng hé tí zhōng， zhí jiē yùn yòng hǎi lún gōng shì de tuī guǎng wǎng wǎng shì bèi gōng bàn。
lì tí： rú tú， sì biān xíng ABCD nèi jiē yú yuán O zhōng， SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.
qiú： sì biān xíng kě néng wéi děng yāo tī xíng。
jiě： shè BC=x
yóu hǎi lún gōng shì de tuī guǎng， dé：
(4－ x)(2＋ x)2=27
x4－ 12x2－ 16x＋ 27=0
x2(x2 héng 1)－ 11x(x－ 1)－ 27(x－ 1)=0
(x－ 1)(x3＋ x2－ 11x－ 27)=0
x=1 huò x3＋ x2－ 11x－ 27=0
dāng x=1 shí， AD=BC=1
∴ sì biān xíng kě néng wéi děng yāo tī xíng。
zài chéng xù zhōng shí xiàn (VBS):
Dima,b,c,p,s
a=inputbox(" shū rù sān jiǎo xíng dì yī biān ")
a=cint(a)
b=inputbox(" shū rù sān jiǎo xíng dì 'èr biān ")
b=cint(b)
c=inputbox(" shū rù sān jiǎo xíng dì sān biān ")
c=cint(c)
p=(a+b+c)/2
s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
msgboxs,," sān jiǎo xíng miàn jī "
zài VC zhōng shí xiàn
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{
inta,b,c,s;
printf(" shū rù dì yī biān n");
scanf("%d",&a);
printf(" shū rù dì 'èr biān n");
scanf("%d",&b);
printf(" shū rù dì sān biān n");
scanf("%d",&c);
s=(a+b+c)/2;
printf(" miàn jī wéi :%fn",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
}
hǎi lún gōng shì | | | qióng jǔ fǎ | hǎi lún dìng lǐ | |
|
|
|