| | jiǎn dān duō miàn tǐ de dǐng diǎn shù v、 miàn shù f jí lēng shù e jiān yòu guān xì
v+f-e=2
zhè gè gōng shì jiào 'ōu lā gōng shì。 gōng shì miáo shù liǎo jiǎn dān duō miàn tǐ dǐng diǎn shù、 miàn shù、 lēng shù tè yòu de guī lǜ。 | | ōu lā, ruì shì shù xué jiā, 13 suì jìn bā sài 'ěr dà xué dú shū, dé dào zhù míng shù xué jiā bèi nǔ lì de jīng xīn zhǐ dǎo . ōu lā shì kē xué shǐ shàng zuì duō chǎn de yī wèi jié chū de shù xué jiā, tā cóng 19 suì kāi shǐ fā biǎo lùn wén, zhí dào 76 suì, tā nà bù juàn de yī shēng, gòng xiě xià liǎo 886 běn shū jí hé lùn wén, qí zhōng zài shì shí fā biǎo liǎo 700 duō piān lùn wén。 bǐ dé bǎo kē xué yuàn wèile zhěng lǐ tā de zhù zuò, zhěng zhěng yòng liǎo 47 nián。
ōu lā zhù zuò jīng rén de gāo chǎn bìng bù shì 'ǒu rán de。 tā nà wán qiáng de yì lì hé zī zī bù juàn de zhì xué jīng shén, kě yǐ shǐ tā zài rèn hé bù liáng de huán jìng zhōng gōng zuò: tā cháng cháng bào zhe hái zǐ zài xī gài shàng wán chéng lùn wén。 jí shǐ zài tā shuāng mù shī míng hòu de 17 nián jiān, yě méi yòu tíng zhǐ duì shù xué de yán jiū, kǒu shù liǎo hǎo jǐ běn shū hé 400 yú piān de lùn wén。 dāng tā xiě chū liǎo jì suàn tiān wáng xīng guǐ dào de jì suàn yào lǐng hòu lí kāi liǎo rén shì。 ōu lā yǒng yuǎn shì wǒ men kě jìng de lǎo shī。
ōu lā yán jiū lùn zhù jīhū shè jí dào suǒ yòu shù xué fēn zhī, duì wù lǐ lì xué、 tiān wén xué、 dàn dào xué、 háng hǎi xué、 jiàn zhù xué、 yīnyuè dōuyòu yán jiū! yòu xǔ duō gōng shì、 dìng lǐ、 jiě fǎ、 hán shù、 fāng chéng、 cháng shù děng shì yǐ 'ōu lā míng zì mìng míng de。 ōu lā xiě de shù xué jiào cái zài dāng shí yī zhí bèi dāng zuò biāo zhǔn jiào chéng。 19 shì jì wěi dà de shù xué jiā gāo sī( gauss, 1777-1855) céng shuō guò “ yán jiū 'ōu lā de zhù zuò yǒng yuǎn shì liǎo jiě shù xué de zuì hǎo fāng fǎ ”。 ōu lā hái shì shù xué fú hào fā míng zhě, tā chuàng shè de xǔ duō shù xué fú hào, lì rú π, i, e, sin, cos, tg, Σ, f(x) děng děng, zhì jīn yán yòng。
ōu lā bù jǐn jiě jué liǎo huì xīng guǐ jì de jì suàn wèn tí, hái jiě jué liǎo shǐ niú dùn tóu tòng de yuè lí wèn tí。 duì zhù míng de“ gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí” de wán měi jiě dá kāi chuàng liǎo“ tú lùn” de yán jiū。 ōu lā fā xiàn, bù lùn shénme xíng zhuàng de tū duō miàn tǐ, qí dǐng diǎn shù v、 lēng shù e、 miàn shù f zhī jiān zǒng yòu guān xì v+f-e=2, cǐ shì chēng wéi 'ōu lā gōng shì。 v+f-e jí 'ōu lā shì xìng shù, yǐ chéng wéi“ tuò pū xué” de jī chǔ gài niàn。 nà me shénme shì“ tuò pū xué”? ōu lā shì rú hé fā xiàn zhè gè guān xì de? tā shì yòng shénme fāng fǎ yán jiū de? jīn tiān ràng wǒ men yán zhe 'ōu lā de zú jì, huái zhe chóng jìng de xīn qíng hé xīn shǎng de tài dù tàn suǒ zhè gè gōng shì ...... | | ( 1) shù xué guī lǜ: gōng shì miáo shù liǎo jiǎn dān duō miàn tǐ zhōng dǐng diǎn shù、 miàn shù、 lēng shǔzhī jiān tè yòu de guī lǜ
( 2) sī xiǎng fāng fǎ chuàng xīn: dìng lǐfà xiàn zhèng míng guò chéng zhōng, guān niàn shàng, jiǎ shè tā de biǎo miàn shì xiàng pí báomó zhì chéng de, kě suí yì lā shēn; fāng fǎ shàngjiàng dǐ miàn jiǎn diào, huà wéi píng miàn tú xíng( lì tǐ tú → píng miàn lā kāi tú)。
( 3) yǐn rù tuò pū xué: cóng lì tǐ tú dào lā kāi tú, gè miàn de xíng zhuàng、 cháng dù、 jù lí、 miàn jī děng yǔ dù liàng yòu guān de liàng fā shēng liǎo biàn huà, ér dǐng diǎn shù, miàn shù, lēng shù děng bù biàn。
dìng lǐ yǐn dǎo wǒ men jìn rù yī gè xīn jǐ hé xué lǐng yù: tuò pū xué。 wǒ men yòng yī zhǒng kě suí yì biàn xíng dàn bù dé sī pò huò zhānlián de cái liào( rú xiàng pí bō) zuò chéng de tú xíng, tuò pū xué jiù shì yán jiū tú xíng zài zhè zhǒng biàn xíng guò chéng zhōng de bù biàn de xìng zhì。
( 4) tí chū duō miàn tǐ fēn lèi fāng fǎ:
zài 'ōu lā gōng shì zhōng, f(p)=v+f-e jiào zuò 'ōu lā shì xìng shù。 ōu lā dìng lǐ gào sù wǒ men, jiǎn dān duō miàn tǐ f(p)=2。
chú jiǎn dān duō miàn tǐ wài, hái yòu fēi jiǎn dān duō miàn tǐ。 lì rú, jiāng cháng fāng tǐ wā qù yī gè dòng, lián jié dǐ miàn xiāng yìng dǐng diǎn dé dào de duō miàn tǐ。 tā de biǎo miàn bù néng jīng guò lián xù biàn xíng biàn wéi yī gè qiú miàn, ér néng biàn wéi yī gè huán miàn。 qí 'ōu lā shì xìng shù f(p)=16+16-32=0, jí dài yī gè dòng de duō miàn tǐ de 'ōu lā shì xìng shù wéi 0。
( 5) lì yòng ōu lā dìng lǐ kě jiě jué yī xiē shí jì wèn tí
rú: wèishénme zhèng duō miàn tǐ zhǐ yòu 5 zhǒng? zú qiú yǔ c60 de guān xì? fǒu yòu lēng shù wéi 7 de zhèng duō miàn tǐ? děng | ōu lā dìng lǐ de zhèng míng | fāng fǎ 1:( lì yòng jǐ hé huà bǎn)
zhú bù jiǎn shǎo duō miàn tǐ de lēng shù, fēn xī v+f-e
xiān yǐ jiǎn dān de sì miàn tǐ abcd wéi lì fēn xī zhèng fǎ。
qù diào yī gè miàn, shǐ tā biàn wéi píng miàn tú xíng, sì miàn tǐ dǐng diǎn shù v、 lēng shù v yǔ shèng xià de miàn shù f1 biàn xíng hòu dōuméi yòu biàn。 yīn cǐ, yào yán jiū v、 e hé f guān xì, zhǐ xū qù diào yī gè miàn biàn wéi píng miàn tú xíng, zhèng v+f1-e=1
( 1) qù diào yī tiáo lēng, jiù jiǎn shǎo yī gè miàn, v+f1-e bù biàn。 yǐ cì qù diào suǒ yòu de miàn, biàn wéi“ shù zhī xíng”。
( 2) cóng shèng xià de shù zhī xíng zhōng, měi qù diào yī tiáo lēng, jiù jiǎn shǎo yī gè dǐng diǎn, v+f1-e bù biàn, zhí zhì zhǐ shèng xià yī tiáo lēng。
yǐ shàng guò chéng v+f1-e bù biàn, v+f1-e=1, suǒ yǐ jiā shàng qù diào de yī gè miàn, v+f-e=2。
duì rèn yì de jiǎn dān duō miàn tǐ, yùn yòng zhè yàng de fāng fǎ, dōushì zhǐ shèng xià yī tiáo xiàn duàn。 yīn cǐ gōng shì duì rèn yì jiǎn dān duō miàn tǐ dōushì zhèng què de。
fāng fǎ 2: jì suàn duō miàn tǐ gè miàn nèi jiǎo hé
shè duō miàn tǐ dǐng diǎn shù v, miàn shù f, lēng shù e。 jiǎn diào yī gè miàn, shǐ tā biàn wéi píng miàn tú xíng( lā kāi tú) , qiú suǒ yòu miàn nèi jiǎo zǒng hé Σα
yī fāng miàn, zài yuán tú zhōng lì yòng gè miàn qiú nèi jiǎo zǒng hé。
shè yòu f gè miàn, gè miàn de biān shù wéi n1,n2, …, nf, gè miàn nèi jiǎo zǒng hé wéi:
Σα=[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+… +(nf-2)·1800]
=(n1+n2+… +nf-2f)·1800
=(2e-2f)·1800=(e-f)·3600( 1)
lìng yī fāng miàn, zài lā kāi tú zhōng lì yòng dǐng diǎn qiú nèi jiǎo zǒng hé。
shè jiǎn qù de yī gè miàn wéi n biān xíng, qí nèi jiǎo hé wéi (n-2)·1800, zé suǒ yòu v gè dǐng diǎn zhōng, yòu n gè dǐng diǎn zài biān shàng, v-n gè dǐng diǎn zài zhōng jiān。 zhōng jiān v-n gè dǐng diǎn chù de nèi jiǎo hé wéi (v-n)·3600, biān shàng de n gè dǐng diǎn chù de nèi jiǎo hé (n-2)·1800。
suǒ yǐ, duō miàn tǐ gè miàn de nèi jiǎo zǒng hé:
Σα=(v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=( v-2) ·3600.( 2)
yóu (1)(2) dé: (e-f)·3600=( v-2) ·3600
suǒ yǐ v+f-e=2. | ōu lā dìng lǐ de yùn yòng fāng fǎ | ( 1) fēn shì:
a ^ r/(a-b)(a-c)+b^ r/(b-c)(b-a)+c^ r/(c-a)(c-b)
dāng r=0,1 shí shì zǐ de zhí wéi 0
dāng r=2 shí zhí wéi 1
dāng r=3 shí zhí wéi a+b+c
( 2) fù shù
yóu e^ iθ=cosθ+isinθ, dé dào:
sinθ=( e^ iθ-e^ -iθ) /2i
cosθ=( e^ iθ+e^ -iθ) /2
( 3) sān jiǎo xíng
shè r wéi sān jiǎo xíng wài jiē yuán bàn jìng, r wéi nèi qiē yuán bàn jìng, d wéi wài xīn dào nèi xīn de jù lí, zé:
d^ 2=r^ 2-2rr
( 4) duō miàn tǐ
shè v wéi dǐng diǎn shù, e wéi lēng shù, f shì miàn shù, zé
v-e+f=2-2p
p wéi 'ōu lā shì xìng shù, lì rú
p=0 de duō miàn tǐ jiào dì líng lèi duō miàn tǐ
p=1 de duō miàn tǐ jiào dì yī lèi duō miàn tǐ
(5) duō biān xíng
shè yī gè 'èr wéi jǐ hé tú xíng de dǐng diǎn shù wéi v, huàfēn qū yù shù wéi ar, yī bǐ huà bǐ shù wéi b, zé yòu:
v+ar-b=1
( rú: jǔ xíng jiā shàng liǎng tiáo duì jiǎo xiàn suǒ zǔ chéng de tú xíng, v=5,ar=4,b=8)
(6). ōu lā dìng lǐ
zài tóng yī gè sān jiǎo xíng zhōng, tā de wài xīn circumcenter、 zhòng xīn gravity、 jiǔ diǎn yuán yuán xīn nine-point-center、 chuí xīn orthocenter gòng xiàn。
qí shí 'ōu lā gōng shì shì yòu hěn duō de, shàng miàn jǐn shì jǐ gè cháng yòng de。 | shǐ yòng ōu lā dìng lǐ jì suàn zú qiú wǔ biān xíng hé liù biān xíng shù | wèn: zú qiú biǎo miàn yóu wǔ biān xíng hé liù biān xíng de pí gé pīn chéng, jì suàn yī gòng yòu duō shǎo gè zhè yàng de wǔ biān xíng hé liù biān xíng?
dá: zú qiú shì duō miàn tǐ, mǎn zú 'ōu lā gōng shì f - e + v = 2, qí zhōng f,e,v fēn bié biǎo shì miàn , lēng , dǐng diǎn de gè shù
shè zú qiú biǎo miàn zhèng wǔ biān xíng ( hēi pí zǐ ) hé zhèng liù biān xíng ( bái pí zǐ ) de miàn gè yòu x gè hé y gè, nà me
miàn shù f= x+ y
lēng shù e= (5x+6y)/2( měi tiáo lēng yóu yī kuài hēi pí zǐ hé yī kuài bái pí zǐ gòng yòng)
dǐng diǎn shù v= (5x+6y)/3( měi gè dǐng diǎn yóu sān kuài pí zǐ gòng yòng)
yóu 'ōu lā gōng shì, x+ y- (5x+6y)/2+ (5x+6y)/3= 2, jiě dé x= 12
suǒ yǐ gòng yòu 12 kuài hēi pí zǐ
suǒ yǐ, hēi pí zǐ yī gòng yòu 12×5= 60 tiáo lēng, zhè 60 tiáo lēng dōushì yǔ bái pí zǐ féng hé zài yī qǐ de
duì yú bái pí zǐ lái shuō: měi kuài bái sè pí zǐ de 6 tiáo biān zhōng, yòu 3 tiáo biān yǔ hēi sè pí zǐ de biān féng zài yī qǐ, lìng 3 tiáo biān zé yǔ qí tā bái sè pí zǐ de biān féng zài yī qǐ, suǒ yǐ bái pí zǐ suǒ yòu biān de yī bàn shì yǔ hēi pí zǐ féng hé zài yī qǐ de
nà me bái pí zǐ jiù yīnggāi yī gòng yòu 60×2= 120 tiáo biān, 120÷6= 20
suǒ yǐ gòng yòu 20 kuài bái pí zǐ | | jiǎn dān duō miàn tǐ de dǐng diǎn shù V、 miàn shù F jí lēng shù E jiān yòu guān xì
V+F-E=2
zhè gè gōng shì jiào 'ōu lā gōng shì。 gōng shì miáo shù liǎo jiǎn dān duō miàn tǐ dǐng diǎn shù、 miàn shù、 lēng shù tè yòu de guī lǜ。 rèn shí 'ōu lā 'ōu lā, ruì shì shù xué jiā, 13 suì jìn bā sài 'ěr dà xué dú shū, dé dào zhù míng shù xué jiā bèi nǔ lì de jīng xīn zhǐ dǎo. ōu lā shì kē xué shǐ shàng zuì duō chǎn de yī wèi jié chū de shù xué jiā, tā cóng 19 suì kāi shǐ fā biǎo lùn wén, zhí dào 76 suì, tā nà bù juàn de yī shēng, gòng xiě xià liǎo 886 běn shū jí hé lùn wén, qí zhōng zài shì shí fā biǎo liǎo 700 duō piān lùn wén。 bǐ dé bǎo kē xué yuàn wèile zhěng lǐ tā de zhù zuò, zhěng zhěng yòng liǎo 47 nián。
ōu lā zhù zuò jīng rén de gāo chǎn bìng bù shì 'ǒu rán de。 tā nà wán qiáng de yì lì hé zī zī bù juàn de zhì xué jīng shén, kě yǐ shǐ tā zài rèn hé bù liáng de huán jìng zhōng gōng zuò: tā cháng cháng bào zhe hái zǐ zài xī gài shàng wán chéng lùn wén。 jí shǐ zài tā shuāng mù shī míng hòu de 17 nián jiān, yě méi yòu tíng zhǐ duì shù xué de yán jiū, kǒu shù liǎo hǎo jǐ běn shū hé 400 yú piān de lùn wén。 dāng tā xiě chū liǎo jì suàn tiān wáng xīng guǐ dào de jì suàn yào lǐng hòu lí kāi liǎo rén shì。 ōu lā yǒng yuǎn shì wǒ men kě jìng de lǎo shī。
ōu lā yán jiū lùn zhù jīhū shè jí dào suǒ yòu shù xué fēn zhī, duì wù lǐ lì xué、 tiān wén xué、 dàn dào xué、 háng hǎi xué、 jiàn zhù xué、 yīnyuè dōuyòu yán jiū! yòu xǔ duō gōng shì、 dìng lǐ、 jiě fǎ、 hán shù、 fāng chéng、 cháng shù děng shì yǐ 'ōu lā míng zì mìng míng de。 ōu lā xiě de shù xué jiào cái zài dāng shí yī zhí bèi dāng zuò biāo zhǔn jiào chéng。 19 shì jì wěi dà de shù xué jiā gāo sī( Gauss, 1777-1855) céng shuō guò“ yán jiū 'ōu lā de zhù zuò yǒng yuǎn shì liǎo jiě shù xué de zuì hǎo fāng fǎ”。 ōu lā hái shì shù xué fú hào fā míng zhě, tā chuàng shè de xǔ duō shù xué fú hào, lì rú π, i, e, sin, cos, tg, Σ, f(x) děng děng, zhì jīn yán yòng。
ōu lā bù jǐn jiě jué liǎo huì xīng guǐ jì de jì suàn wèn tí, hái jiě jué liǎo shǐ niú dùn tóu tòng de yuè lí wèn tí。 duì zhù míng de“ gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí” de wán měi jiě dá kāi chuàng liǎo“ tú lùn” de yán jiū。 ōu lā fā xiàn, bù lùn shénme xíng zhuàng de tū duō miàn tǐ, qí dǐng diǎn shù V、 lēng shù E、 miàn shù F zhī jiān zǒng yòu guān xì V+F-E=2, cǐ shì chēng wéi 'ōu lā gōng shì。 V+F-E jí 'ōu lā shì xìng shù, yǐ chéng wéi“ tuò pū xué” de jī chǔ gài niàn。 nà me shénme shì“ tuò pū xué”? ōu lā shì rú hé fā xiàn zhè gè guān xì de? tā shì yòng shénme fāng fǎ yán jiū de? jīn tiān ràng wǒ men yán zhe 'ōu lā de zú jì, huái zhe chóng jìng de xīn qíng hé xīn shǎng de tài dù tàn suǒ zhè gè gōng shì ...... ōu lā dìng lǐ de yì yì( 1) shù xué guī lǜ: gōng shì miáo shù liǎo jiǎn dān duō miàn tǐ zhōng dǐng diǎn shù、 miàn shù、 lēng shǔzhī jiān tè yòu de guī lǜ
( 2) sī xiǎng fāng fǎ chuàng xīn: dìng lǐfà xiàn zhèng míng guò chéng zhōng, guān niàn shàng, jiǎ shè tā de biǎo miàn shì xiàng pí báomó zhì chéng de, kě suí yì lā shēn; fāng fǎ shàngjiàng dǐ miàn jiǎn diào, huà wéi píng miàn tú xíng( lì tǐ tú→ píng miàn lā kāi tú)。
( 3) yǐn rù tuò pū xué: cóng lì tǐ tú dào lā kāi tú, gè miàn de xíng zhuàng、 cháng dù、 jù lí、 miàn jī děng yǔ dù liàng yòu guān de liàng fā shēng liǎo biàn huà, ér dǐng diǎn shù, miàn shù, lēng shù děng bù biàn。
dìng lǐ yǐn dǎo wǒ men jìn rù yī gè xīn jǐ hé xué lǐng yù: tuò pū xué。 wǒ men yòng yī zhǒng kě suí yì biàn xíng dàn bù dé sī pò huò zhānlián de cái liào( rú xiàng pí bō) zuò chéng de tú xíng, tuò pū xué jiù shì yán jiū tú xíng zài zhè zhǒng biàn xíng guò chéng zhōng de bù biàn de xìng zhì。
( 4) tí chū duō miàn tǐ fēn lèi fāng fǎ:
zài 'ōu lā gōng shì zhōng, f(p)=V+F-E jiào zuò 'ōu lā shì xìng shù。 ōu lā dìng lǐ gào sù wǒ men, jiǎn dān duō miàn tǐ f(p)=2。
chú jiǎn dān duō miàn tǐ wài, hái yòu fēi jiǎn dān duō miàn tǐ。 lì rú, jiāng cháng fāng tǐ wā qù yī gè dòng, lián jié dǐ miàn xiāng yìng dǐng diǎn dé dào de duō miàn tǐ。 tā de biǎo miàn bù néng jīng guò lián xù biàn xíng biàn wéi yī gè qiú miàn, ér néng biàn wéi yī gè huán miàn。 qí 'ōu lā shì xìng shù f(p)=16+16-32=0, jí dài yī gè dòng de duō miàn tǐ de 'ōu lā shì xìng shù wéi 0。
( 5) lì yòng ōu lā dìng lǐ kě jiě jué yī xiē shí jì wèn tí
rú: wèishénme zhèng duō miàn tǐ zhǐ yòu 5 zhǒng? zú qiú yǔ C60 de guān xì? fǒu yòu lēng shù wéi 7 de zhèng duō miàn tǐ? děng ōu lā dìng lǐ de zhèng míng fāng fǎ 1:( lì yòng jǐ hé huà bǎn)
zhú bù jiǎn shǎo duō miàn tǐ de lēng shù, fēn xī V+F-E
xiān yǐ jiǎn dān de sì miàn tǐ ABCD wéi lì fēn xī zhèng fǎ。
qù diào yī gè miàn, shǐ tā biàn wéi píng miàn tú xíng, sì miàn tǐ dǐng diǎn shù V、 lēng shù E yǔ shèng xià de miàn shù F1 biàn xíng hòu dōuméi yòu biàn。 yīn cǐ, yào yán jiū V、 E hé F guān xì, zhǐ xū qù diào yī gè miàn biàn wéi píng miàn tú xíng, zhèng V+F1-E=1
( 1) qù diào yī tiáo lēng, jiù jiǎn shǎo yī gè miàn, V+F1-E bù biàn。 yǐ cì qù diào suǒ yòu de miàn, biàn wéi“ shù zhī xíng”。
( 2) cóng shèng xià de shù zhī xíng zhōng, měi qù diào yī tiáo lēng, jiù jiǎn shǎo yī gè dǐng diǎn, V+F1-E bù biàn, zhí zhì zhǐ shèng xià yī tiáo lēng。
yǐ shàng guò chéng V+F1-E bù biàn, V+F1-E=1, suǒ yǐ jiā shàng qù diào de yī gè miàn, V+F-E=2。
duì rèn yì de jiǎn dān duō miàn tǐ, yùn yòng zhè yàng de fāng fǎ, dōushì zhǐ shèng xià yī tiáo xiàn duàn。 yīn cǐ gōng shì duì rèn yì jiǎn dān duō miàn tǐ dōushì zhèng què de。
fāng fǎ 2: jì suàn duō miàn tǐ gè miàn nèi jiǎo hé
shè duō miàn tǐ dǐng diǎn shù V, miàn shù F, lēng shù E。 jiǎn diào yī gè miàn, shǐ tā biàn wéi píng miàn tú xíng( lā kāi tú) , qiú suǒ yòu miàn nèi jiǎo zǒng hé Σα
yī fāng miàn, zài yuán tú zhōng lì yòng gè miàn qiú nèi jiǎo zǒng hé。
shè yòu F gè miàn, gè miàn de biān shù wéi n1,n2,…, nF, gè miàn nèi jiǎo zǒng hé wéi:
Σα=[(n1-2)·180 dù +(n2-2)·180 dù +… +(nF-2)·180 dù ]
=(n1+n2+… +nF-2F)·180 dù
=(2E-2F)·180 dù =(E-F)·360 dù( 1)
lìng yī fāng miàn, zài lā kāi tú zhōng lì yòng dǐng diǎn qiú nèi jiǎo zǒng hé。
shè jiǎn qù de yī gè miàn wéi n biān xíng, qí nèi jiǎo hé wéi (n-2)·180 jiǎo, zé suǒ yòu V gè dǐng diǎn zhōng, yòu n gè dǐng diǎn zài biān shàng, V-n gè dǐng diǎn zài zhōng jiān。 zhōng jiān V-n gè dǐng diǎn chù de nèi jiǎo hé wéi (V-n)·360 dù, biān shàng de n gè dǐng diǎn chù de nèi jiǎo hé (n-2)·180 dù。
suǒ yǐ, duō miàn tǐ gè miàn de nèi jiǎo zǒng hé:
Σα=(V-n)·360 dù +(n-2)·180 dù +(n-2)·180 dù
=( V-2) ·360 dù( 2)
yóu (1)(2) dé: (E-F)·360 dù =( V-2) ·360 dù
suǒ yǐ V+F-E=2.
fāng fǎ 3 yòng tuò pǔ xué fāng fǎ zhèng míng 'ōu lā gōng shì
tú cháng shì yī xià yòng tuò pǔ xué fāng fǎ zhèng míng guān yú duō miàn tǐ de miàn、 lēng、 dǐng diǎn shù de 'ōu lā gōng shì。
ōu lā gōng shì: duì yú rèn yì duō miàn tǐ( jí gè miàn dōushì píng miàn duō biān xíng bìng qiě méi yòu dòng de lì tǐ), jiǎ shè F, E hé V fēn bié biǎo shì miàn, lēng( huò biān), jiǎo( huò dǐng) de gè shù, nà mò
F-E+V=2。
zhèng míng rú tú( tú shì lì fāng tǐ, dàn zhèng míng shì yī bān de, shì“ tuò pǔ” de):
( 1) bǎ duō miàn tǐ( tú zhōng ①) kàn chéng biǎo miàn shì bó xiàng pí de zhōng kōng lì tǐ。
( 2) qù diào duō miàn tǐ de yī gè miàn, jiù kě yǐ wán quán lā kāi pū zài píng miàn shàng 'ér dé dào yī gè píng miàn zhōng de zhí xiàn xíng, xiàng tú zhōng ② de yàng zǐ。 jiǎ shè F ′, E′ hé V′ fēn bié biǎo shì zhè gè píng miàn tú xíng de( jiǎn dān) duō biān xíng、 biān hé dǐng diǎn de gè shù, wǒ men zhǐ xū zhèng míng F′ -E′ +V′ =1。
( 3) duì yú zhè gè píng miàn tú xíng, jìn xíng sān jiǎo xíng fēn gē, yě jiù shì shuō, duì yú hái bù shì sān jiǎo xíng de duō biān xíng lù xù yǐn jìn duì jiǎo xiàn, yī zhí dào chéng wéi yī xiē sān jiǎo xíng wéi zhǐ, xiàng tú zhōng ③ de yàng zǐ。 měi yǐn jìn yī tiáo duì jiǎo xiàn, F′ hé E′ gè zēng jiā 1, ér V′ què bù biàn, suǒ yǐ F′ -E′ +V′ bù biàn。 yīn cǐ dāng wán quán fēn gē chéng sān jiǎo xíng de shí hòu, F′ -E′ +V′ de zhí réng rán méi yòu biàn。 yòu xiē sān jiǎo xíng yòu yī biān huò liǎng biān zài píng miàn tú xíng de biān jiè shàng。
( 4) rú guǒ mǒu yī gè sān jiǎo xíng yòu yī biān zài biān jiè shàng, lì rú tú ④ zhōng de △ ABC, qù diào zhè gè sān jiǎo xíng de bù shǔ yú qí tā sān jiǎo xíng de biān, jí AC, zhè yàng yě jiù qù diào liǎo△ ABC。 zhè yàng F′ hé E′ gè jiǎn qù 1 ér V′ bù biàn, suǒ yǐ F′ -E′ +V′ yě méi yòu biàn。
( 5) rú guǒ mǒu yī gè sān jiǎo xíng yòu 'èr biān zài biān jiè shàng, lì rú tú ⑤ zhōng de△ DEF, qù diào zhè gè sān jiǎo xíng de bù shǔ yú qí tā sān jiǎo xíng de biān, jí DF hé EF, zhè yàng jiù qù diào△ DEF。 zhè yàng F′ jiǎn qù 1, E′ jiǎn qù 2, V′ jiǎn qù 1, yīn cǐ F′ -E′ +V′ réng méi yòu biàn。
( 6) zhè yàng jì xù jìn xíng, zhí dào zhǐ shèng xià yī gè sān jiǎo xíng wéi zhǐ, xiàng tú zhōng ⑥ de yàng zǐ。 zhè shí F′ =1, E′ =3, V′ =3, yīn cǐ F′ -E′ +V′ =1-3+3=1。
( 7) yīn wéi yuán lái tú xíng shì lián zài yī qǐ de, zhōng jiān yǐn jìn de gè zhǒng biàn huà yě bù pò huài zhè shì shí, yīn cǐ zuì hòu tú xíng hái shì lián zài yī qǐ de, suǒ yǐ zuì hòu bù huì shì fēn sàn zài xiàng wài de jǐ gè sān jiǎo xíng, xiàng tú zhōng ⑦ nà yàng。
( 8) rú guǒ zuì hòu shì xiàng tú zhōng ⑧ de yàng zǐ, wǒ men kě yǐ qù diào qí zhōng de yī gè sān jiǎo xíng, yě jiù shì qù diào 1 gè sān jiǎo xíng, 3 gè biān hé 2 gè dǐng diǎn。 yīn cǐ F′ -E′ +V′ réng rán méi yòu biàn。
jí F′ -E′ +V′ =1
chéng lì, yú shì 'ōu lā gōng shì:
F-E+V=2
dé zhèng。 ōu lā dìng lǐ de yùn yòng fāng fǎ( 1) fēn shì:
a^ r/(a-b)(a-c)+b^ r/(b-c)(b-a)+c^ r/(c-a)(c-b)
dāng r=0,1 shí shì zǐ de zhí wéi 0
dāng r=2 shí zhí wéi 1
dāng r=3 shí zhí wéi a+b+c
( 2) fù shù
yóu e^ iθ=cosθ+isinθ, dé dào:
sinθ=( e^ iθ-e^ -iθ) /2i
cosθ=( e^ iθ+e^ -iθ) /2
( 3) sān jiǎo xíng
shè R wéi sān jiǎo xíng wài jiē yuán bàn jìng, r wéi nèi qiē yuán bàn jìng, d wéi wài xīn dào nèi xīn de jù lí, zé:
d^ 2=R^ 2-2Rr
( 4) duō miàn tǐ
shè v wéi dǐng diǎn shù, e wéi lēng shù, f shì miàn shù, zé
v-e+f=2-2p
p wéi 'ōu lā shì xìng shù, lì rú
p=0 de duō miàn tǐ jiào dì líng lèi duō miàn tǐ
p=1 de duō miàn tǐ jiào dì yī lèi duō miàn tǐ
(5) duō biān xíng
shè yī gè 'èr wéi jǐ hé tú xíng de dǐng diǎn shù wéi V, huàfēn qū yù shù wéi Ar, yī bǐ huà bǐ shù wéi B, zé yòu:
V+Ar-B=1
( rú: jǔ xíng jiā shàng liǎng tiáo duì jiǎo xiàn suǒ zǔ chéng de tú xíng, V=5,Ar=4,B=8)
(6). ōu lā dìng lǐ
zài tóng yī gè sān jiǎo xíng zhōng, tā de wài xīn Circumcenter、 zhòng xīn Gravity、 jiǔ diǎn yuán yuán xīn Nine-point-center、 chuí xīn Orthocenter gòng xiàn。
qí shí 'ōu lā gōng shì shì yòu hěn duō de, shàng miàn jǐn shì jǐ gè cháng yòng de。 shǐ yòng ōu lā dìng lǐ jì suàn zú qiú wǔ biān xíng hé liù biān xíng shù wèn: zú qiú biǎo miàn yóu wǔ biān xíng hé liù biān xíng de pí gé pīn chéng, jì suàn yī gòng yòu duō shǎo gè zhè yàng de wǔ biān xíng hé liù biān xíng?
dá: zú qiú shì duō miàn tǐ, mǎn zú 'ōu lā gōng shì F- E+ V= 2, qí zhōng F,E,V fēn bié biǎo shì miàn , lēng , dǐng diǎn de gè shù
shè zú qiú biǎo miàn zhèng wǔ biān xíng ( hēi pí zǐ ) hé zhèng liù biān xíng ( bái pí zǐ ) de miàn gè yòu x gè hé y gè, nà me
miàn shù F= x+ y
lēng shù E= (5x+6y)/2( měi tiáo lēng yóu yī kuài hēi pí zǐ hé yī kuài bái pí zǐ gòng yòng)
dǐng diǎn shù V= (5x+6y)/3( měi gè dǐng diǎn yóu sān kuài pí zǐ gòng yòng)
yóu 'ōu lā gōng shì, x+ y- (5x+6y)/2+ (5x+6y)/3= 2,
jiě dé x= 12。 suǒ yǐ, gòng yòu 12 kuài hēi pí zǐ
suǒ yǐ, hēi pí zǐ yī gòng yòu 12×5= 60 tiáo lēng, zhè 60 tiáo lēng dōushì yǔ bái pí zǐ féng hé zài yī qǐ de
duì yú bái pí zǐ lái shuō: měi kuài bái sè pí zǐ de 6 tiáo biān zhōng, yòu 3 tiáo biān yǔ hēi sè pí zǐ de biān féng zài yī qǐ, lìng 3 tiáo biān zé yǔ qí tā bái sè pí zǐ de biān féng zài yī qǐ。
suǒ yǐ bái pí zǐ suǒ yòu biān de yī bàn shì yǔ hēi pí zǐ féng hé zài yī qǐ de
nà me bái pí zǐ jiù yīnggāi yī gòng yòu 60×2= 120 tiáo biān, 120÷6= 20
suǒ yǐ gòng yòu 20 kuài bái pí zǐ
( huò zhě, měi yī gè liù biān xíng de liù tiáo biān dū yǔ qí tā de sān gè liù biān xíng de sān tiáo biān hé sān gè wǔ biān xíng de sān tiáo biān lián jiē; měi yī gè wǔ biān xíng de wǔ tiáo biān dū yǔ qí tā de wǔ gè liù biān xíng de wǔ tiáo biān lián jiē
suǒ yǐ, wǔ biān xíng de gè shù x=3y/5。
zhī qián qiú dé x=12, suǒ yǐ y=20)
jīng jì xué zhōng de“ ōu lā dìng lǐ ”
zài xī fāng jīng jì xué lǐ, chǎn liàng hé shēng chǎn yào sù L、 K de guān xì biǎo shù wéi Q= Q(L, K), rú guǒ jù tǐ de hán shù xíng shì shì yī cì qí cì de, nà me jiù yòu: Q= L(ðQ/ðL)+ K(ðQ/ðK), huàn jù huà shuō, chǎn pǐn fēn pèi jìng jìn qǔ jué yú Q néng fǒu biǎo shì wéi yī gè yī cì qí cì hán shù xíng shì。
yīn wéi ðQ/ðL= MPL= w/P bèi shì wéi láo dòng duì chǎn liàng de gòng xiàn, ðQ/ðK= MPK= r/P bèi shì wéi zī běn duì chǎn liàng de gòng xiàn, yīn cǐ, cǐ shì bèi jiě shì wéi“ chǎn pǐn fēn pèi jìng jìn dìng lǐ”, yě jiù shì suǒ yòu chǎn pǐn dōubèi suǒ yòu de yào sù qià hǎo fēn pèi wán 'ér méi yòu shèng yú。 yīn wéi xíng shì shàng fú hé shù xué ōu lā dìng lǐ , suǒ yǐ chēng wéi ōu lā dìng lǐ 。
【 tóng yú lǐ lùn zhōng de " ōu lā dìng lǐ "】
shè a,m ∈ N,(a,m)=1, zé a^(f(m)) ≡ 1(modm)
( zhù :f(m) zhǐ mó m de jiǎn xì gè shù ) ōu lā gōng shì zài shù xué lì shǐ shàng yòu hěn duō gōng shì dōushì 'ōu lā( LeonhardEuler gōng yuán 1707-1783 nián ) fā xiàn de, tā mendōu jiào zuò 'ōu lā gōng shì, tā men fēn sàn zài gè gè shù xué fēn zhī zhī zhōng。
1、 fù biàn hán shù lùn lǐ de 'ōu lā gōng shì:
e^ix=cosx+isinx, e shì zì rán duì shù de dǐ, i shì xū shù dān wèi。
tā jiāng sān jiǎo hán shù de dìng yì yù kuò dà dào fù shù, jiàn lì liǎo sān jiǎo hán shù hé zhǐ shù hán shù de guān xì, tā zài fù biàn hán shù lùn lǐ zhàn yòu fēi cháng zhòng yào de dì wèi。
jiāng gōng shì lǐ de x huàn chéng -x, dé dào:
e^-ix=cosx-isinx, rán hòu cǎi yòng liǎng shì xiāng jiā jiǎn de fāng fǎ dé dào:
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i), cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
zhè liǎng gè yě jiào zuò 'ōu lā gōng shì。 jiāng e^ix=cosx+isinx zhōng de x qǔ zuò ∏ jiù dé dào:
e^i∏ +1=0.
zhè gè héng děng shì yě jiào zuò 'ōu lā gōng shì, tā shì shù xué lǐ zuì lìng rén zháomí de yī gè gōng shì, tā jiāng shù xué lǐ zuì zhòng yào de jǐ gè shù xué lián xì dào liǎo yī qǐ: liǎng gè chāo yuè shù: zì rán duì shù de dǐ e, yuánzhōulǜ∏, liǎng gè dān wèi: xū shù dān wèi i hé zì rán shù de dān wèi 1, yǐ jí shù xué lǐ cháng jiàn de 0。 shù xué jiā men píng jià tā shì“ shàng dì chuàng zào de gōng shì”, wǒ men zhǐ néng kàn tā 'ér bù néng lǐ jiě tā。
2、 tuò pū xué lǐ de 'ōu lā gōng shì:
V+F-E=X(P), V shì duō miàn tǐ P de dǐng diǎn gè shù, F shì duō miàn tǐ P de miàn shù, E shì duō miàn tǐ P de lēng de tiáo shù ,X(P) shì duō miàn tǐ P de 'ōu lā shì xìng shù。
rú guǒ P kě yǐ tóng pēi yú yī gè qiú miàn( kě yǐ tōng sú dì lǐ jiě wéi néng chuī zhàng chéng yī gè qiú miàn), nà me X(P)=2, rú guǒ P tóng pēi yú yī gè jiē yòu h gè huán bǐng de qiú miàn, nà me X(P)=2-2h。
X(P) jiào zuò P de tuò pū bù biàn liàng, shì tuò pū xué yán jiū de fàn wéi。
3、 chū děng shù lùn lǐ de 'ōu lā gōng shì:
ōu lā φ hán shù: φ(n) shì suǒ yòu xiǎo yú n de zhèng zhěng shù lǐ, hé n hù sù de zhěng shù de gè shù。 n shì yī gè zhèng zhěng shù。
ōu lā zhèng míng liǎo xià miàn zhè gè shì zǐ:
rú guǒ n de biāo zhǔn sù yīn zǐ fēn jiě shì shì p1^a1*p2^a2*…… *pm*am, qí zhōng zhòng pj(j=1,2,…… ,m) dōushì sù shù, ér qiě liǎng liǎng bù děng。 zé yòu
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…… (1-1/pm)
lì yòng róng chì yuán lǐ kě yǐ zhèng míng tā。
dìng lǐ: zhèng zhěng shù a yǔ n hù zhì, zé a^φ(n) chú yǐ n yú 1
zhèng míng: shè jí hé {A1,A2,...,Am} wéi mó n de yī gè suō xì( ruò zhěng shù A1,A2,...,Am mó n fēn bié duì yìng 0,1,2,...,n-1 zhōng suǒ yòu m gè yǔ n hù sù de zì rán shù , zé chēng jí hé {A1,A2,...,Am} wéi mó n de yī gè suō xì)
zé {aA1,aA2,...,aAm} yě shì mó n de yī gè suō xì( rú guǒ aAx yǔ aAy(x bù děng yú y) chú yǐ n yú shù xiāng tóng, zé a(Ax-Ay) shì n de bèi shù, zhè xiǎn rán bù kě néng)
jí A1*A2*A3*…… Am≡ aA1*aA2*…… aAm(modn)( zhè lǐ m=φ(n))
liǎng biān yuē qù A1*A2*A3*…… Am jí dé 1≡ a^φ(n)( modn) | | duì yú hù zhì de zhěng shù a hé n, yòu a^φ(n)≡ 1(modn)
zhèng míng:
shǒu xiān zhèng míng xià miàn zhè gè mìng tí:
duì yú jí hé Zn={x1,x2,...,xφ(n)}, qí zhōng xi(i=1,2,… φ(n)) shì bù dà yú n qiē yǔ n hù sù de shù, jí n de yī gè huà jiǎn shèng yú xì, huò chēng jiǎn xì, huò chēng suō xì ), kǎo lǜ jí hé S={a*x1(modn),a*x2(modn),...,a*xφ(n)(modn)}
zé S=Zn
1) yóu yú a,n hù zhì, xi yě yǔ n hù zhì, zé a*xi yě yī dìng yú p hù zhì, yīn cǐ
rèn yì xi, a*xi(modn) bì rán shì Zn de yī gè yuán sù
2) duì yú Zn zhōng liǎng gè yuán sù xi hé xj, rú guǒ xi ≠ xj
zé a*xi(modn)≠ a*xi(modn), zhè gè yóu a、 p hù zhì hé xiāo qù lǜ kě yǐ dé chū。
suǒ yǐ, hěn míng xiǎn, S=Zn
jì rán zhè yàng, nà me
( a*x1×a*x2×...×a*xφ(n)) (modn)
=( a*x1(modn)×a*x2(modn)×...×a*xφ(n)(modn)) (modn)
=( x1×x2×...×xφ(n)) (modn)
kǎo lǜ shàng miàn děng shì zuǒ biān hé yòu biān
zuǒ biān děng yú (a*( x1×x2×...×xφ(n)) )(modn)
yòu biān děng yú x1×x2×...×xφ(n)) (modn)
ér x1×x2×...×xφ(n)(modn) hé n hù zhì
gēn jù xiāo qù lǜ, kě yǐ cóng děng shì liǎng biān yuē qù, jiù dé dào:
a^φ(n)≡ 1(modn)
tuī lùn: duì yú hù zhì de shù a、 n, mǎn zú a^(φ(n)+1)≡ a(modn)
fèi mǎ dìng lǐ :
a shì bù néng bèi zhì shù p zhěng chú de zhèng zhěng shù, zé yòu a^(p-1)≡ 1(modp)
zhèng míng zhè gè dìng lǐ fēi cháng jiǎn dān, yóu yú φ(p)=p-1, dài rù ōu lā dìng lǐ jí kě zhèng míng。
tóng yàng yòu tuī lùn: duì yú bù néng bèi zhì shù p zhěng chú de zhèng zhěng shù a, yòu a^p≡ a(modp) | ōu lā dìng lǐ de zhèng míng | fāng fǎ 1:( lì yòng jǐ hé huà bǎn)
zhú bù jiǎn shǎo duō miàn tǐ de lēng shù, fēn xī V+F-E
xiān yǐ jiǎn dān de sì miàn tǐ ABCD wéi lì fēn xī zhèng fǎ。
qù diào yī gè miàn, shǐ tā biàn wéi píng miàn tú xíng, sì miàn tǐ dǐng diǎn shù V、 lēng shù E yǔ shèng xià de miàn shù F1 biàn xíng hòu dōuméi yòu biàn。 yīn cǐ, yào yán jiū V、 E hé F guān xì, zhǐ xū qù diào yī gè miàn biàn wéi píng miàn tú xíng, zhèng V+F1-E=1
( 1) qù diào yī tiáo lēng, jiù jiǎn shǎo yī gè miàn, V+F1-E bù biàn。 yǐ cì qù diào suǒ yòu de miàn, biàn wéi“ shù zhī xíng”。
( 2) cóng shèng xià de shù zhī xíng zhōng, měi qù diào yī tiáo lēng, jiù jiǎn shǎo yī gè dǐng diǎn, V+F1-E bù biàn, zhí zhì zhǐ shèng xià yī tiáo lēng。
yǐ shàng guò chéng V+F1-E bù biàn, V+F1-E=1, suǒ yǐ jiā shàng qù diào de yī gè miàn, V+F-E=2。
duì rèn yì de jiǎn dān duō miàn tǐ, yùn yòng zhè yàng de fāng fǎ, dōushì zhǐ shèng xià yī tiáo xiàn duàn。 yīn cǐ gōng shì duì rèn yì jiǎn dān duō miàn tǐ dōushì zhèng què de。
fāng fǎ 2: jì suàn duō miàn tǐ gè miàn nèi jiǎo hé
shè duō miàn tǐ dǐng diǎn shù V, miàn shù F, lēng shù E。 jiǎn diào yī gè miàn, shǐ tā biàn wéi píng miàn tú xíng( lā kāi tú) , qiú suǒ yòu miàn nèi jiǎo zǒng hé Σα
yī fāng miàn, zài yuán tú zhōng lì yòng gè miàn qiú nèi jiǎo zǒng hé。
shè yòu F gè miàn, gè miàn de biān shù wéi n1,n2,…, nF, gè miàn nèi jiǎo zǒng hé wéi:
Σα=[(n1-2)·180 dù +(n2-2)·180 dù +… +(nF-2)·180 dù ]
=(n1+n2+… +nF-2F)·180 dù
=(2E-2F)·180 dù =(E-F)·360 dù( 1)
lìng yī fāng miàn, zài lā kāi tú zhōng lì yòng dǐng diǎn qiú nèi jiǎo zǒng hé。
shè jiǎn qù de yī gè miàn wéi n biān xíng, qí nèi jiǎo hé wéi (n-2)·180 jiǎo, zé suǒ yòu V gè dǐng diǎn zhōng, yòu n gè dǐng diǎn zài biān shàng, V-n gè dǐng diǎn zài zhōng jiān。 zhōng jiān V-n gè dǐng diǎn chù de nèi jiǎo hé wéi (V-n)·360 dù, biān shàng de n gè dǐng diǎn chù de nèi jiǎo hé (n-2)·180 dù。
suǒ yǐ, duō miàn tǐ gè miàn de nèi jiǎo zǒng hé:
Σα=(V-n)·360 dù +(n-2)·180 dù +(n-2)·180 dù
=( V-2) ·360 dù( 2)
yóu (1)(2) dé: (E-F)·360 dù =( V-2) ·360 dù
suǒ yǐ V+F-E=2.
fāng fǎ 3 yòng tuò pǔ xué fāng fǎ zhèng míng 'ōu lā gōng shì
tú cháng shì yī xià yòng tuò pǔ xué fāng fǎ zhèng míng guān yú duō miàn tǐ de miàn、 lēng、 dǐng diǎn shù de 'ōu lā gōng shì。
ōu lā gōng shì: duì yú rèn yì duō miàn tǐ( jí gè miàn dōushì píng miàn duō biān xíng bìng qiě méi yòu dòng de lì tǐ), jiǎ shè F, E hé V fēn bié biǎo shì miàn, lēng( huò biān), jiǎo( huò dǐng) de gè shù, nà mò
F-E+V=2。
zhèng míng rú tú( tú shì lì fāng tǐ, dàn zhèng míng shì yī bān de, shì“ tuò pǔ” de):
( 1) bǎ duō miàn tǐ( tú zhōng①) kàn chéng biǎo miàn shì bó xiàng pí de zhōng kōng lì tǐ。
( 2) qù diào duō miàn tǐ de yī gè miàn, jiù kě yǐ wán quán lā kāi pū zài píng miàn shàng 'ér dé dào yī gè píng miàn zhōng de zhí xiàn xíng, xiàng tú zhōng② de yàng zǐ。 jiǎ shè F′, E′ hé V′ fēn bié biǎo shì zhè gè píng miàn tú xíng de( jiǎn dān) duō biān xíng、 biān hé dǐng diǎn de gè shù, wǒ men zhǐ xū zhèng míng F′ -E′ +V′ =1。
( 3) duì yú zhè gè píng miàn tú xíng, jìn xíng sān jiǎo xíng fēn gē, yě jiù shì shuō, duì yú hái bù shì sān jiǎo xíng de duō biān xíng lù xù yǐn jìn duì jiǎo xiàn, yī zhí dào chéng wéi yī xiē sān jiǎo xíng wéi zhǐ, xiàng tú zhōng③ de yàng zǐ。 měi yǐn jìn yī tiáo duì jiǎo xiàn, F′ hé E′ gè zēng jiā 1, ér V′ què bù biàn, suǒ yǐ F′ -E′ +V′ bù biàn。 yīn cǐ dāng wán quán fēn gē chéng sān jiǎo xíng de shí hòu, F′ -E′ +V′ de zhí réng rán méi yòu biàn。 yòu xiē sān jiǎo xíng yòu yī biān huò liǎng biān zài píng miàn tú xíng de biān jiè shàng。
( 4) rú guǒ mǒu yī gè sān jiǎo xíng yòu yī biān zài biān jiè shàng, lì rú tú④ zhōng de△ ABC, qù diào zhè gè sān jiǎo xíng de bù shǔ yú qí tā sān jiǎo xíng de biān, jí AC, zhè yàng yě jiù qù diào liǎo△ ABC。 zhè yàng F′ hé E′ gè jiǎn qù 1 ér V′ bù biàn, suǒ yǐ F′ -E′ +V′ yě méi yòu biàn。
( 5) rú guǒ mǒu yī gè sān jiǎo xíng yòu 'èr biān zài biān jiè shàng, lì rú tú⑤ zhōng de△ DEF, qù diào zhè gè sān jiǎo xíng de bù shǔ yú qí tā sān jiǎo xíng de biān, jí DF hé EF, zhè yàng jiù qù diào△ DEF。 zhè yàng F′ jiǎn qù 1, E′ jiǎn qù 2, V′ jiǎn qù 1, yīn cǐ F′ -E′ +V′ réng méi yòu biàn。
( 6) zhè yàng jì xù jìn xíng, zhí dào zhǐ shèng xià yī gè sān jiǎo xíng wéi zhǐ, xiàng tú zhōng⑥ de yàng zǐ。 zhè shí F′ =1, E′ =3, V′ =3, yīn cǐ F′ -E′ +V′ =1-3+3=1。
( 7) yīn wéi yuán lái tú xíng shì lián zài yī qǐ de, zhōng jiān yǐn jìn de gè zhǒng biàn huà yě bù pò huài zhè shì shí, yīn cǐ zuì hòu tú xíng hái shì lián zài yī qǐ de, suǒ yǐ zuì hòu bù huì shì fēn sàn zài xiàng wài de jǐ gè sān jiǎo xíng, xiàng tú zhōng⑦ nà yàng。
( 8) rú guǒ zuì hòu shì xiàng tú zhōng⑧ de yàng zǐ, wǒ men kě yǐ qù diào qí zhōng de yī gè sān jiǎo xíng, yě jiù shì qù diào 1 gè sān jiǎo xíng, 3 gè biān hé 2 gè dǐng diǎn。 yīn cǐ F′ -E′ +V′ réng rán méi yòu biàn。
jí F′ -E′ +V′ =1
chéng lì, yú shì 'ōu lā gōng shì:
F-E+V=2
dé zhèng。 | shǐ yòng ōu lā dìng lǐ jì suàn zú qiú wǔ biān xíng hé liù biān xíng shù | wèn: zú qiú biǎo miàn yóu wǔ biān xíng hé liù biān xíng de pí gé pīn chéng, jì suàn yī gòng yòu duō shǎo gè zhè yàng de wǔ biān xíng hé liù biān xíng?
dá: zú qiú shì duō miàn tǐ, mǎn zú 'ōu lā gōng shì F- E+ V= 2, qí zhōng F,E,V fēn bié biǎo shì miàn , lēng , dǐng diǎn de gè shù
shè zú qiú biǎo miàn zhèng wǔ biān xíng ( hēi pí zǐ ) hé zhèng liù biān xíng ( bái pí zǐ ) de miàn gè yòu x gè hé y gè, nà me
miàn shù F= x+ y
lēng shù E= (5x+6y)/2( měi tiáo lēng yóu yī kuài hēi pí zǐ hé yī kuài bái pí zǐ gòng yòng)
dǐng diǎn shù V= (5x+6y)/3( měi gè dǐng diǎn yóu sān kuài pí zǐ gòng yòng)
yóu 'ōu lā gōng shì, x+ y- (5x+6y)/2+ (5x+6y)/3= 2,
jiě dé x= 12。 suǒ yǐ, gòng yòu 12 kuài hēi pí zǐ
suǒ yǐ, hēi pí zǐ yī gòng yòu 12×5= 60 tiáo lēng, zhè 60 tiáo lēng dōushì yǔ bái pí zǐ féng hé zài yī qǐ de
duì yú bái pí zǐ lái shuō: měi kuài bái sè pí zǐ de 6 tiáo biān zhōng, yòu 3 tiáo biān yǔ hēi sè pí zǐ de biān féng zài yī qǐ, lìng 3 tiáo biān zé yǔ qí tā bái sè pí zǐ de biān féng zài yī qǐ。
suǒ yǐ bái pí zǐ suǒ yòu biān de yī bàn shì yǔ hēi pí zǐ féng hé zài yī qǐ de
nà me bái pí zǐ jiù yīnggāi yī gòng yòu 60×2= 120 tiáo biān, 120÷6= 20
suǒ yǐ gòng yòu 20 kuài bái pí zǐ
( huò zhě, měi yī gè liù biān xíng de liù tiáo biān dū yǔ qí tā de sān gè liù biān xíng de sān tiáo biān hé sān gè wǔ biān xíng de sān tiáo biān lián jiē; měi yī gè wǔ biān xíng de wǔ tiáo biān dū yǔ qí tā de wǔ gè liù biān xíng de wǔ tiáo biān lián jiē
suǒ yǐ, wǔ biān xíng de gè shù x=3y/5。
zhī qián qiú dé x=12, suǒ yǐ y=20)
jīng jì xué zhōng de“ ōu lā dìng lǐ ”
zài xī fāng jīng jì xué lǐ, chǎn liàng hé shēng chǎn yào sù L、 K de guān xì biǎo shù wéi Q= Q(L, K), rú guǒ jù tǐ de hán shù xíng shì shì yī cì qí cì de, nà me jiù yòu: Q= L(ðQ/ðL)+ K(ðQ/ðK), huàn jù huà shuō, chǎn pǐn fēn pèi jìng jìn qǔ jué yú Q néng fǒu biǎo shì wéi yī gè yī cì qí cì hán shù xíng shì。
yīn wéi ðQ/ðL= MPL= w/P bèi shì wéi láo dòng duì chǎn liàng de gòng xiàn, ðQ/ðK= MPK= r/P bèi shì wéi zī běn duì chǎn liàng de gòng xiàn, yīn cǐ, cǐ shì bèi jiě shì wéi“ chǎn pǐn fēn pèi jìng jìn dìng lǐ”, yě jiù shì suǒ yòu chǎn pǐn dōubèi suǒ yòu de yào sù qià hǎo fēn pèi wán 'ér méi yòu shèng yú。 yīn wéi xíng shì shàng fú hé shù xué ōu lā dìng lǐ , suǒ yǐ chēng wéi ōu lā dìng lǐ 。
【 tóng yú lǐ lùn zhōng de " ōu lā dìng lǐ "】
shè a,m∈ N,(a,m)=1, zé a^(f(m))≡ 1(modm)
( zhù :f(m) zhǐ mó m de jiǎn xì gè shù ) | | zài shù xué lì shǐ shàng yòu hěn duō gōng shì dōushì 'ōu lā( LeonhardEuler gōng yuán 1707-1783 nián ) fā xiàn de, tā mendōu jiào zuò 'ōu lā gōng shì, tā men fēn sàn zài gè gè shù xué fēn zhī zhī zhōng。
1、 fù biàn hán shù lùn lǐ de 'ōu lā gōng shì:
e^ix=cosx+isinx, e shì zì rán duì shù de dǐ, i shì xū shù dān wèi。
tā jiāng sān jiǎo hán shù de dìng yì yù kuò dà dào fù shù, jiàn lì liǎo sān jiǎo hán shù hé zhǐ shù hán shù de guān xì, tā zài fù biàn hán shù lùn lǐ zhàn yòu fēi cháng zhòng yào de dì wèi。
jiāng gōng shì lǐ de x huàn chéng -x, dé dào:
e^-ix=cosx-isinx, rán hòu cǎi yòng liǎng shì xiāng jiā jiǎn de fāng fǎ dé dào:
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i), cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
zhè liǎng gè yě jiào zuò 'ōu lā gōng shì。 jiāng e^ix=cosx+isinx zhōng de x qǔ zuò∏ jiù dé dào:
e^i∏ +1=0.
zhè gè héng děng shì yě jiào zuò 'ōu lā gōng shì, tā shì shù xué lǐ zuì lìng rén zháomí de yī gè gōng shì, tā jiāng shù xué lǐ zuì zhòng yào de jǐ gè shù xué lián xì dào liǎo yī qǐ: liǎng gè chāo yuè shù: zì rán duì shù de dǐ e, yuánzhōulǜ∏, liǎng gè dān wèi: xū shù dān wèi i hé zì rán shù de dān wèi 1, yǐ jí shù xué lǐ cháng jiàn de 0。 shù xué jiā men píng jià tā shì“ shàng dì chuàng zào de gōng shì”, wǒ men zhǐ néng kàn tā 'ér bù néng lǐ jiě tā。
2、 tuò pū xué lǐ de 'ōu lā gōng shì:
V+F-E=X(P), V shì duō miàn tǐ P de dǐng diǎn gè shù, F shì duō miàn tǐ P de miàn shù, E shì duō miàn tǐ P de lēng de tiáo shù ,X(P) shì duō miàn tǐ P de 'ōu lā shì xìng shù。
rú guǒ P kě yǐ tóng pēi yú yī gè qiú miàn( kě yǐ tōng sú dì lǐ jiě wéi néng chuī zhàng chéng yī gè qiú miàn), nà me X(P)=2, rú guǒ P tóng pēi yú yī gè jiē yòu h gè huán bǐng de qiú miàn, nà me X(P)=2-2h。
X(P) jiào zuò P de tuò pū bù biàn liàng, shì tuò pū xué yán jiū de fàn wéi。
3、 chū děng shù lùn lǐ de 'ōu lā gōng shì:
ōu lā φ hán shù: φ(n) shì suǒ yòu xiǎo yú n de zhèng zhěng shù lǐ, hé n hù sù de zhěng shù de gè shù。 n shì yī gè zhèng zhěng shù。
ōu lā zhèng míng liǎo xià miàn zhè gè shì zǐ:
rú guǒ n de biāo zhǔn sù yīn zǐ fēn jiě shì shì p1^a1*p2^a2*…… *pm*am, qí zhōng zhòng pj(j=1,2,…… ,m) dōushì sù shù, ér qiě liǎng liǎng bù děng。 zé yòu
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…… (1-1/pm)
lì yòng róng chì yuán lǐ kě yǐ zhèng míng tā。
dìng lǐ: zhèng zhěng shù a yǔ n hù zhì, zé a^φ(n) chú yǐ n yú 1
zhèng míng: shè jí hé {A1,A2,...,Am} wéi mó n de yī gè suō xì( ruò zhěng shù A1,A2,...,Am mó n fēn bié duì yìng 0,1,2,...,n-1 zhōng suǒ yòu m gè yǔ n hù sù de zì rán shù , zé chēng jí hé {A1,A2,...,Am} wéi mó n de yī gè suō xì)
zé {aA1,aA2,...,aAm} yě shì mó n de yī gè suō xì( rú guǒ aAx yǔ aAy(x bù děng yú y) chú yǐ n yú shù xiāng tóng, zé a(Ax-Ay) shì n de bèi shù, zhè xiǎn rán bù kě néng)
jí A1*A2*A3*…… Am≡ aA1*aA2*…… aAm(modn)( zhè lǐ m=φ(n))
liǎng biān yuē qù A1*A2*A3*…… Am jí dé 1≡ a^φ(n)( modn) | | - : Euler's Theorem
| | ōu lā dìng lǐ zhèng míng | duō miàn tǐ 'ōu lā dìng lǐ | ōu lā dìng lǐ de zhèng míng | ōu lā dìng lǐ de yì yì | ōu lā dìng lǐ de yùn yòng fāng fǎ | |
|
|
|