|
|
tuò pū xué ， shì jìn dài fā zhǎn qǐ lái de yī gè yán jiū lián xù xìng xiàn xiàng de shù xué fēn zhī。 zhōng wén míng chēng qǐ yuán yú xī là yǔ Τοπολογία de yīn yì。 topology yuán yì wéi dì mào， yú 19 shì jì zhōng qī yóu kē xué jiā yǐn rù， dāng shí zhù yào yán jiū de shì chū yú shù xué fēn xī de xū yào 'ér chǎn shēng de yī xiē jǐ hé wèn tí。 fā zhǎn zhì jīn， tuò pū xué zhù yào yán jiū tuò pū kōng jiān zài tuò pū biàn huàn xià de bù biàn xìng zhì hé bù biàn liàng。
fēn zhī xué kē
diǎn jí tuò pū xué yòu chēng wéi yī bān tuò pū xué
zǔ hé tuò pū xué
dài shù tuò pū xué
wēi fēn tuò pū xué
jǐ hé tuò pū xué
tuò pū xué
tuò pū xué shì shù xué zhōng yī gè zhòng yào de、 jī chǔ de fēn zhī。 qǐ chū tā shì jǐ hé xué de yī zhī， yán jiū jǐ hé tú xíng zài lián xù biàn xíng xià bǎo chí bù biàn de xìng zhì ( suǒ wèi lián xù biàn xíng， xíng xiàng dì shuō jiù shì yǔn xǔ shēn suō hé niǔ qū děng biàn xíng， dàn bù xǔ gē duàn hé zhānhé )； xiàn zài yǐ fā zhǎn chéng wéi yán jiū lián xù xìng xiàn xiàng de shù xué fēn zhī。 yóu yú lián xù xìng zài shù xué zhōng de biǎo xiàn fāng shì yǔ yán jiū fāng fǎ de duō yàng xìng， tuò pū xué yòu fēn chéng yán jiū duì xiàng yǔ fāng fǎ gè yì de ruò gān fēn zhī。 zài tuò pū xué de yùn yù jiē duàn， 19 shì jì mò， jiù tuò pū yǐ chū xiàn diǎn jí tuò pū xué yǔ zǔ hé tuò pū xué liǎng gè fāng xiàng。 xiàn zài， qián zhě yǎn huà wéi yī bān tuò pū xué ， hòu zhě zé chéng wéi dài shù tuò pū xué 。 hòu lái， yòu xiāng jì chū xiàn liǎo wēi fēn tuò pǔ xué、 jǐ hé tuò pū xué děng fēn zhī。
zài shù xué shàng， guān yú gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí、 duō miàn tǐ de 'ōu lā dìng lǐ、 sì sè wèn tí děngdōu shì tuò pū xué fā zhǎn shǐ de zhòng yào wèn tí。
gē ní sī bǎo（ jīn 'é luó sī jiā lǐ níng gé lè） shì dōng pǔ lǔ shì de shǒu dū， pǔ lāi gé 'ěr hé héng guàn qí zhōng。 shí bā shì jì zài zhè tiáo hé shàng jiàn yòu qī zuò qiáo， jiāng hé zhōng jiān de liǎng gè dǎo hé hé 'àn lián jié qǐ lái。 rén men xián xiá shí jīng cháng zài zhè shàng biān sàn bù， yī tiān yòu rén tí chū： néng bù néng měi zuò qiáo dū zhǐ zǒu yī biàn， zuì hòu yòu huí dào yuán lái de wèi zhì。 zhè gè wèn tí kàn qǐ lái hěn jiǎn dān yòu hěn yòu qù de wèn tí xī yǐn liǎo dà jiā， hěn duō rén zài cháng shì gè zhǒng gè yàng de zǒu fǎ， dàn shuí yě méi yòu zuò dào。 kàn lái yào dé dào yī gè míng què、 lǐ xiǎng de dá 'àn hái bù nà me róng yì。
1736 nián， yòu rén dài zhe zhè gè wèn tí zhǎo dào liǎo dāng shí de dà shù xué jiā 'ōu lā， ōu lā jīng guò yī fān sī kǎo， hěn kuài jiù yòng yī zhǒng dú tè de fāng fǎ gěi chū liǎo jiě dá。 ōu lā bǎ zhè gè wèn tí shǒu xiān jiǎn huà， tā bǎ liǎng zuò xiǎo dǎo hé hé de liǎng 'àn fēn bié kàn zuò sì gè diǎn， ér bǎ qī zuò qiáo kàn zuò zhè sì gè diǎn zhī jiān de lián xiàn。 nà me zhè gè wèn tí jiù jiǎn huà chéng， néng bù néng yòng yī bǐ jiù bǎ zhè gè tú xíng huà chū lái。 jīng guò jìn yī bù de fēn xī， ōu lā dé chū jié lùn héng héng bù kě néng měi zuò qiáo dū zǒu yī biàn， zuì hòu huí dào yuán lái de wèi zhì。 bìng qiě gěi chū liǎo suǒ yòu néng gòu yī bǐ huà chū lái de tú xíng suǒ yìng jù yòu de tiáo jiàn。 zhè shì tuò pū xué de “ xiān shēng ”。
zài tuò pū xué de fā zhǎn lì shǐ zhōng， hái yòu yī gè zhù míng 'ér qiě zhòng yào de guān yú duō miàn tǐ de dìng lǐ yě hé 'ōu lā yòu guān。 zhè gè dìng lǐ nèi róng shì： rú guǒ yī gè tū duō miàn tǐ de dǐng diǎn shù shì v、 lēng shù shì e、 miàn shù shì f， nà me tā men zǒng yòu zhè yàng de guān xì： f+v-e=2。
gēn jù duō miàn tǐ de 'ōu lā dìng lǐ， kě yǐ dé chū zhè yàng yī gè yòu qù de shì shí： zhǐ cún zài wǔ zhǒng zhèng duō miàn tǐ。 tā men shì zhèng sì miàn tǐ、 zhèng liù miàn tǐ、 zhèng bā miàn tǐ、 zhèng shí 'èr miàn tǐ、 zhèng 'èr shí miàn tǐ。
zhù míng de“ sì sè wèn tí” yě shì yǔ tuò pū xué fā zhǎn yòu guān de wèn tí。 sì sè wèn tí yòu chēng sì sè cāi xiǎng， shì shì jiè jìn dài sān dà shù xué nán tí zhī yī。
sì sè cāi xiǎng de tí chū lái zì yīng guó。 1852 nián， bì yè yú lún dūn dà xué de fú nán xī sī . gé sī lǐ lái dào yī jiā kē yán dān wèi gǎo dì tú zhuósè gōng zuò shí， fā xiàn liǎo yī zhǒng yòu qù de xiàn xiàng：“ kàn lái， měi fú dì tú dōukě yǐ yòng sì zhǒng yán sè zhuósè， shǐ dé yòu gòng tóng biān jiè de guó jiādōu bèi zhe shàng bù tóng de yán sè。”
1872 nián， yīng guó dāng shí zuì zhù míng de shù xué jiā kǎi lì zhèng shì xiàng lún dūn shù xué xué huì tí chū liǎo zhè gè wèn tí， yú shì sì sè cāi xiǎng chéng liǎo shì jiè shù xué jiè guān zhù de wèn tí。 shì jiè shàng xǔ duō yī liú de shù xué jiādōu fēn fēn cān jiā liǎo sì sè cāi xiǎng de dà huì zhàn。 1878 ～ 1880 nián liǎng nián jiān， zhù míng lǜ shī jiān shù xué jiā kěn pǔ hé tài lè liǎng rén fēn bié tí jiāo liǎo zhèng míng sì sè cāi xiǎng de lùn wén， xuān bù zhèng míng liǎo sì sè dìng lǐ。 dàn hòu lái shù xué jiā hè wǔ dé yǐ zì jǐ de jīng què jì suàn zhǐ chū kěn pǔ de zhèng míng shì cuò wù de。 bù jiǔ， tài lè de zhèng míng yě bèi rén men fǒu dìng liǎo。 yú shì， rén men kāi shǐ rèn shí dào， zhè gè mào sì róng yì de tí mù， qí shí shì yī gè kě yǔ fèi mǎ cāi xiǎng xiāng pì měi de nán tí。
jìn rù 20 shì jì yǐ lái， kē xué jiā men duì sì sè cāi xiǎng de zhèng míng jī běn shàng shì 'àn zhào kěn pǔ de xiǎng fǎ zài jìn xíng。 diàn zǐ jì suàn jī wèn shì yǐ hòu， yóu yú yǎn suàn sù dù xùn sù tí gāo， jiā zhī rén jī duì huà de chū xiàn， dà dà jiā kuài liǎo duì sì sè cāi xiǎng zhèng míng de jìn chéng。 1976 nián， měi guó shù xué jiā 'ā pèi 'ěr yǔ hā kěn zài měi guó yī lì nuò sī dà xué de liǎng tái bù tóng de diàn zǐ jì suàn jī shàng， yòng liǎo 1200 gè xiǎo shí， zuò liǎo 100 yì pàn duàn， zhōng yú wán chéng liǎo sì sè dìng lǐ de zhèng míng。 bù guò bù shǎo shù xué jiā bìng bù mǎn zú yú jì suàn jī qǔ dé de chéng jiù， tā men rèn wéi yīnggāi yòu yī zhǒng jiǎn jié míng kuài de shū miàn zhèng míng fāng fǎ。
shàng miàn de jǐ gè lì zǐ suǒ jiǎng dedōu shì yī xiē hé jǐ hé tú xíng yòu guān de wèn tí， dàn zhè xiē wèn tí yòu yǔ chuán tǒng de jǐ hé xué bù tóng， ér shì yī xiē xīn de jǐ hé gài niàn。 zhè xiē jiù shì“ tuò pū xué ” de xiān shēng。
shénme shì tuò pū xué ？
tuò pū xué de yīng wén míng shì topology， zhí yì shì dì zhì xué， yě jiù shì hé yán jiū dì xíng、 dì mào xiāng lèi shìde yòu guān xué kē。 wǒ guó zǎo qī céng jīng fān yì chéng“ xíng shì jǐ hé xué”、“ lián xù jǐ hé xué”、“ yī duì yī de lián xù biàn huàn qún xià de jǐ hé xué”， dàn shì， zhè jǐ zhǒng yì míng dōubù dà hǎo lǐ jiě， 1956 nián tǒng yī de《 shù xué míng cí》 bǎ tā què dìng wéi tuò pū xué ， zhè shì 'àn yīn yì guò lái de。
tuò pū xué shì jǐ hé xué de yī gè fēn zhī， dàn shì zhè zhǒng jǐ hé xué yòu hé tōng cháng de píng miàn jǐ hé、 lì tǐ jǐ hé bù tóng。 tōng cháng de píng miàn jǐ hé huò lì tǐ jǐ hé yán jiū de duì xiàng shì diǎn、 xiàn、 miàn zhī jiān de wèi zhì guān xì yǐ jí tā men de dù liàng xìng zhì。 tuò pū xué duì yú yán jiū duì xiàng de cháng duǎn、 dà xiǎo、 miàn jī、 tǐ jī děng dù liàng xìng zhì hé shù liàng guān xì dōuwú guān。
jǔ lì lái shuō， zài tōng cháng de píng miàn jǐ hé lǐ， bǎ píng miàn shàng de yī gè tú xíng bān dào lìng yī gè tú xíng shàng， rú guǒ wán quán chónghé， nà me zhè liǎng gè tú xíng jiào zuò quán děng xíng。 dàn shì， zài tuò pū xué lǐ suǒ yán jiū de tú xíng， zài yùn dòng zhōng wú lùn tā de dà xiǎo huò zhě xíng zhuàng dū fā shēng biàn huà。 zài tuò pū xué lǐ méi yòu bù néng wān qū de yuán sù， měi yī gè tú xíng de dà xiǎo、 xíng zhuàng dōukě yǐ gǎi biàn。 lì rú， qián miàn jiǎng de 'ōu lā zài jiě jué gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí de shí hòu， tā huà de tú xíng jiù bù kǎo lǜ tā de dà xiǎo、 xíng zhuàng， jǐn kǎo lǜ diǎn hé xiàn de gè shù。 zhè xiē jiù shì tuò pū xué sī kǎo wèn tí de chū fā diǎn。
tuò pū xìng zhì yòu nà xiē ní？ shǒu xiān wǒ men jiè shào tuò pū děng jià， zhè shì bǐ jiào róng yì lǐ jiě de yī gè tuò pū xìng zhì。
zài tuò pū xué lǐ bù tǎo lùn liǎng gè tú xíng quán děng de gài niàn， dàn shì tǎo lùn tuò pū děng jià de gài niàn。 bǐ rú， jìn guǎn yuán hé fāng xíng、 sān jiǎo xíng de xíng zhuàng、 dà xiǎo bù tóng， zài tuò pū biàn huàn xià， tā mendōu shì děng jià tú xíng。 zuǒ tú de sān yàng dōng xī jiù shì tuò pū děng jià de， huàn jù huà jiǎng， jiù shì cóng tuò pū xué de jiǎo dù kàn， tā men shì wán quán yī yàng de。
zài yī gè qiú miàn shàng rèn xuǎn yī xiē diǎn yòng bù xiāng jiāo de xiàn bǎ tā men lián jiē qǐ lái， zhè yàng qiú miàn jiù bèi zhè xiē xiàn fēn chéng xǔ duō kuài。 zài tuò pū biàn huàn xià， diǎn、 xiàn、 kuài de shù mù réng hé yuán lái de shù mù yī yàng， zhè jiù shì tuò pū děng jià。 yī bān dì shuō， duì yú rèn yì xíng zhuàng de bì qū miàn， zhǐ yào bù bǎ qū miàn sī liè huò gē pò， tā de biàn huàn jiù shì tuò pū biàn huàn， jiù cún zài tuò pū děng jià。
yīnggāi zhǐ chū， huán miàn bù jù yòu zhè gè xìng zhì。 bǐ rú xiàng zuǒ tú nà yàng， bǎ huán miàn qiē kāi， tā bù zhì yú fēn chéng xǔ duō kuài， zhǐ shì biàn chéng yī gè wān qū de yuán tǒng xíng， duì yú zhè zhǒng qíng kuàng， wǒ men jiù shuō qiú miàn bù néng tuò pū de biàn chéng huán miàn。 suǒ yǐ qiú miàn hé huán miàn zài tuò pū xué zhōng shì bù tóng de qū miàn。
zhí xiàn shàng de diǎn hé xiàn de jié hé guān xì、 shùn xù guān xì， zài tuò pū biàn huàn xià bù biàn， zhè shì tuò pū xìng zhì。 zài tuò pū xué zhōng qū xiàn hé qū miàn de bì hé xìng zhì yě shì tuò pū xìng zhì。
wǒ men tōng cháng jiǎng de píng miàn、 qū miàn tōng cháng yòu liǎng gè miàn， jiù xiàng yī zhāng zhǐ yòu liǎng gè miàn yī yàng。 dàn dé guó shù xué jiā mò bǐ wū sī (1790～ 1868) zài 1858 nián fā xiàn liǎo mò bǐ wū sī qū miàn。 zhè zhǒng qū miàn jiù bù néng yòng bù tóng de yán sè lái tú mǎn liǎng gè cè miàn。
tuò pū biàn huàn de bù biàn xìng、 bù biàn liàng hái yòu hěn duō， zhè lǐ bù zài jiè shào。
tuò pū xué jiàn lì hòu， yóu yú qí tā shù xué xué kē de fā zhǎn xū yào， tā yě dé dào liǎo xùn sù de fā zhǎn。 tè bié shì lí màn chuàng lì lí màn jǐ hé yǐ hòu， tā bǎ tuò pū xué gài niàn zuò wéi fēn xī hán shù lùn de jī chǔ， gèng jiā cù jìn liǎo tuò pū xué de jìn zhǎn。
èr shí shì jì yǐ lái， jí hé lùn bèi yǐn jìn liǎo tuò pū xué ， wéi tuò pū xué kāi tuò liǎo xīn de miàn mào。 tuò pū xué de yán jiū jiù biàn chéng liǎo guān yú rèn yì diǎn jí de duì yìng de gài niàn。 tuò pū xué zhōng yī xiē xū yào jīng què huà miáo shù de wèn tí dōukě yǐ yìng yòng jí hé lái lùn shù。
yīn wéi dà liàng zì rán xiàn xiàng jù yòu lián xù xìng， suǒ yǐ tuò pū xué jù yòu guǎng fàn lián xì gè zhǒng shí jì shì wù de kě néng xìng。 tōng guò tuò pū xué de yán jiū， kě yǐ chǎn míng kōng jiān de jí hé jié gòu， cóng 'ér zhǎng wò kōng jiān zhī jiān de hán shù guān xì。 běn shì jì sān shí nián dài yǐ hòu， shù xué jiā duì tuò pū xué de yán jiū gèng jiā shēn rù， tí chū liǎo xǔ duō quán xīn de gài niàn。 bǐ rú， yī zhì xìng jié gòu gài niàn、 chōu xiàng jù gài niàn hé jìn sì kōng jiān gài niàn děng děng。 yòu yī mén shù xué fēn zhī jiào zuò wēi fēn jǐ hé， shì yòng wēi fēn gōng jù lái yán jiū qǔ xiàn、 qū miàn děng zài yī diǎn fù jìn de wān qū qíng kuàng， ér tuò pū xué shì yán jiū qū miàn de quán jú lián xì de qíng kuàng， yīn cǐ， zhè liǎng mén xué kē yīnggāi cún zài mǒu zhǒng běn zhì de lián xì。 1945 nián， měi jí zhōng guó shù xué jiā chén shěng shēn jiàn lì liǎo dài shù tuò pū hé wēi fēn jǐ hé de lián xì， bìng tuī jìn liǎo zhěng tǐ jǐ hé xué de fā zhǎn。
tuò pū xué fā zhǎn dào jīn tiān， zài lǐ lùn shàng yǐ jīng shí fēn míng xiǎn fēn chéng liǎo liǎng gè fēn zhī。 yī gè fēn zhī shì piān zhòng yú yòng fēn xī de fāng fǎ lái yán jiū de， jiào zuò diǎn jí tuò pū xué ， huò zhě jiào zuò fēn xī tuò pū xué 。 lìng yī gè fēn zhī shì piān zhòng yú yòng dài shù fāng fǎ lái yán jiū de， jiào zuò dài shù tuò pū。 xiàn zài， zhè liǎng gè fēn zhī yòu yòu tǒng yī de qū shì。
tuò pū xué qǐ chū jiào xíng shì fēn xī xué， zhè shì g ． w． lāi bù ní cí 1679 nián tí chū de míng cí。 tuò pū xué zhè gè cí ( zhōng wén shì yīn yì ) shì j． b． lì sī tíng 1847 nián tí chū de， yuán zì xī là wén wèi zhì、 xíng shì yǔ xué wèn。
1851 nián qǐ， b． lí màn zài fù biàn hán shù de yán jiū zhōng tí chū， wèile yán jiū hán shù、 yán jiū jī fēn， jiù bì xū yán jiū xíng shì fēn xī xué。 cóng cǐ kāi shǐ liǎo tuò pū xué de xì tǒng yán jiū。
zǔ hé tuò pū xué de diàn jī rén shì h． páng jiā lāi。 tā shì zài fēn xī xué hé lì xué de gōng zuò zhōng， tè bié shì guān yú fù hán shù de dān zhí huà hé guān yú wēi fēn fāng chéng jué dìng de qū xiàn de yán jiū zhōng， yǐn xiàng tuò pū xué wèn tí。 tā tàn tǎo liǎo sān wéi liú xíng de tuò pū fēn lèi wèn tí， tí chū liǎo zhù míng de páng jiā lāi cāi xiǎng。
tuò pū xué de lìng yī yuān yuán shì fēn xī xué de yán mì huà。 shí shù de yán gé dìng yì tuī dòng liǎo g． kāng tuō 'ěr cóng 1873 nián qǐ xì tǒng dì zhǎn kāi liǎo 'ōu shì kōng jiān zhōng de diǎn jí de yán jiū， dé chū xǔ duō tuò pū gài niàn。 rú： jù diǎn、 kāi jí、 lián tōng xìng děng。 zài diǎn jí lùn de sī xiǎng yǐng xiǎng xià， fēn xī xué zhōng chū xiàn liǎo fàn hán shù ( jí hán shù de hán shù ) de gài niàn。 bǎ hán shù jí kàn chéng yī zhǒng jǐ hé duì xiàng bìng tǎo lùn qí zhōng de jí xiàn， zhè zhōng yú dǎo zhì liǎo chōu xiàng kōng jiān de guān niàn。
tuò pū wèn tí de yī xiē chū děng lì zǐ：
kē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí ( yī bǐ huá wèn tí )。 yī gè sàn bù zhě zěn yàng cái néng zǒu biàn qī zuò qiáo 'ér měi zuò qiáo zhǐ jīng guò yī cì ? zhè gè 18 shì jì de zhì lì yóu xì， bèi l． ōu lā jiǎn huà wéi yòng xì xiàn huà chū de wǎng luò néng fǒu yī bǐ huá chū de wèn tí， rán hòu tā zhèng míng liǎo zhè shì gēn běn bàn bù dào de。 yī gè wǎng luò néng fǒu bèi yī bǐ huà chū， yǔ xiàn tiáo de cháng duǎn qū zhí wú guān， zhǐ jué dìng yú qí zhōng de diǎn yǔ xiàn de lián jiē fāng shì。 shè xiǎng yī gè wǎng luò shì yòng róu ruǎn 'ér yòu tánxìng de cái liào zhì zuò de， zài tā bèi wān qū、 lā shēn hòu， néng fǒu yī bǐ huà chū de xìng zhì shì bù huì gǎi biàn de。
ōu lā de duō miàn tǐ gōng shì yǔ qū miàn de fēn lèi。 ōu lā fā xiàn， bù lùn shénme xíng zhuàng de tū duō miàn tǐ， qí dǐng diǎn shù、 lēng shù、 miàn shù zhī jiān zǒng yòu zhè gè guān xì。 yóu cǐ kě zhèng míng zhèng duō miàn tǐ zhǐ yòu wǔ zhǒng。 rú guǒ duō miàn tǐ bù shì tū de 'ér chéng kuàng xíng（ tú 33）， zé bù guǎn kuàng de xíng zhuàng rú hé， zǒng yòu。 zhè shuō míng， tū xíng yǔ kuàng xíng zhī jiān yòu bǐ cháng duǎn qū zhí gèng běn zhì de chā bié， tōng sú dì shuō， kuàng xíng lǐ yòu gè dòng。
zài lián xù biàn xíng xià， tū tǐ de biǎo miàn kě yǐ biàn chéng qiú miàn， kuàng de biǎo miàn kě yǐ biàn chéng huán miàn（ lún tāi miàn）。 zhè liǎng zhě dōubù néng tōng guò lián xù biàn xíng hù biàn（ tú 34）。 zài lián xù biàn xíng xià fēng mén qū miàn yòu duō shǎo zhǒng bù tóng lèi xíng？ zěn yàng jiàn bié tā men？ zhè céng shì 19 shì jì hòu bàn yè tuò pū xué yán jiū de zhù yào wèn tí。
niǔ jié wèn tí。 kōng jiān zhōng yī tiáo zì shēn bù xiāng jiāo de fēng bì qū xiàn， huì fā shēng dǎ jié xiàn xiàng。 yào wèn yī gè jié néng fǒu jiě kāi（ jí néng fǒu biàn xíng chéng píng fàng de yuán juàn）， huò zhě wèn liǎng gè jié néng fǒu hù biàn（ rú tú 35 zhōng liǎng gè sān yè jié néng fǒu hù biàn）。 tóng shí gěi chū yán gé zhèng míng， nà yuǎn bù shì jiàn róng yì de shì liǎo。
bù xiàn wèn tí（ qiàn rù wèn tí）。 yī gè fù zá de wǎng luò néng fǒu bù zài píng miàn shàng 'ér yòu bù zì xiāng jiāo chā？ zuò yìn zhì diàn lù shí zì rán huì pèng dào zhè gè wèn tí。 tú 36 zuǒ miàn de tú， bǎ yī tiáo duì jiǎo xiàn yí dào fāng xíng wài miàn jiù kě yǐ bù zài píng miàn shàng。 dàn tú 37 zhōng liǎng gè tú què wú lùn zěn yàng yí dòng dōubù néng bù zài píng miàn shàng。 1930 nián k• kù lā tuō fū sī jī zhèng míng， yī gè wǎng luò shì fǒu néng qiàn rù píng miàn， jiù kàn qí zhōng shì fǒu bù hán yòu zhè liǎng gè tú zhī yī。
yǐ shàng zhè xiē lì zǐ shuō míng， jǐ hé tú xíng hái yòu yī xiē bù néng yòng chuán tǒng de jǐ hé fāng fǎ lái yán jiū de xìng zhì。 zhè xiē xìng zhì yǔ cháng dù、 jiǎo dù wú guān， tā men suǒ biǎo xiàn de shì tú xíng zhěng tǐ jié gòu fāng miàn de tè zhēng。 zhè zhǒng xìng zhì jiù shì tú xíng de suǒ wèi tuò pū xìng zhì。
tuò pū xué de yóu lái
jǐ hé tuò pū xué shì shí jiǔ shì jì xíng chéng de yī mén shù xué fēn zhī， tā shǔ yú jǐ hé xué de fàn chóu。 yòu guān tuò pū xué de yī xiē nèi róng zǎo zài shí bā shì jì jiù chū xiàn liǎo。 nà shí hòu fā xiàn yī xiē gū lì de wèn tí， hòu lái zài tuò pū xué de xíng chéng zhōng zhàn zhe zhòng yào de dì wèi。
zài shù xué shàng， guān yú gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí、 duō miàn tǐ de 'ōu lā dìng lǐ、 sì sè wèn tí děngdōu shì tuò pū xué fā zhǎn shǐ de zhòng yào wèn tí。
gē ní sī bǎo（ jīn 'é luó sī jiā lǐ níng gé lè） shì dōng pǔ lǔ shì de shǒu dū， pǔ lāi gé 'ěr hé héng guàn qí zhōng。 shí bā shì jì zài zhè tiáo hé shàng jiàn yòu qī zuò qiáo， jiāng hé zhōng jiān de liǎng gè dǎo hé hé 'àn lián jié qǐ lái。 rén men xián xiá shí jīng cháng zài zhè shàng biān sàn bù， yī tiān yòu rén tí chū： néng bù néng měi zuò qiáo dū zhǐ zǒu yī biàn， zuì hòu yòu huí dào yuán lái de wèi zhì。 zhè gè wèn tí kàn qǐ lái hěn jiǎn dān yòu hěn yòu qù de wèn tí xī yǐn liǎo dà jiā， hěn duō rén zài cháng shì gè zhǒng gè yàng de zǒu fǎ， dàn shuí yě méi yòu zuò dào。 kàn lái yào dé dào yī gè míng què、 lǐ xiǎng de dá 'àn hái bù nà me róng yì。
1736 nián， yòu rén dài zhe zhè gè wèn tí zhǎo dào liǎo dāng shí de dà shù xué jiā 'ōu lā， ōu lā jīng guò yī fān sī kǎo， hěn kuài jiù yòng yī zhǒng dú tè de fāng fǎ gěi chū liǎo jiě dá。 ōu lā bǎ zhè gè wèn tí shǒu xiān jiǎn huà， tā bǎ liǎng zuò xiǎo dǎo hé hé de liǎng 'àn fēn bié kàn zuò sì gè diǎn， ér bǎ qī zuò qiáo kàn zuò zhè sì gè diǎn zhī jiān de lián xiàn。 nà me zhè gè wèn tí jiù jiǎn huà chéng， néng bù néng yòng yī bǐ jiù bǎ zhè gè tú xíng huà chū lái。 jīng guò jìn yī bù de fēn xī， ōu lā dé chū jié lùn héng héng bù kě néng měi zuò qiáo dū zǒu yī biàn， zuì hòu huí dào yuán lái de wèi zhì。 bìng qiě gěi chū liǎo suǒ yòu néng gòu yī bǐ huà chū lái de tú xíng suǒ yìng jù yòu de tiáo jiàn。 zhè shì tuò pū xué de“ xiān shēng”。
zài tuò pū xué de fā zhǎn lì shǐ zhōng， hái yòu yī gè zhù míng 'ér qiě zhòng yào de guān yú duō miàn tǐ de dìng lǐ yě hé 'ōu lā yòu guān。 zhè gè dìng lǐ nèi róng shì： rú guǒ yī gè tū duō miàn tǐ de dǐng diǎn shù shì v、 lēng shù shì e、 miàn shù shì f， nà me tā men zǒng yòu zhè yàng de guān xì： f+v-e=2。
gēn jù duō miàn tǐ de 'ōu lā dìng lǐ， kě yǐ dé chū zhè yàng yī gè yòu qù de shì shí： zhǐ cún zài wǔ zhǒng zhèng duō miàn tǐ。 tā men shì zhèng sì miàn tǐ、 zhèng liù miàn tǐ、 zhèng bā miàn tǐ、 zhèng shí 'èr miàn tǐ、 zhèng 'èr shí miàn tǐ。
zhù míng de“ sì sè wèn tí” yě shì yǔ tuò pū xué fā zhǎn yòu guān de wèn tí。 sì sè wèn tí yòu chēng sì sè cāi xiǎng， shì shì jiè jìn dài sān dà shù xué nán tí zhī yī。
sì sè cāi xiǎng de tí chū lái zì yīng guó。 1852 nián， bì yè yú lún dūn dà xué de fú nán xī sī . gé sī lǐ lái dào yī jiā kē yán dān wèi gǎo dì tú zhuósè gōng zuò shí， fā xiàn liǎo yī zhǒng yòu qù de xiàn xiàng：“ kàn lái， měi fú dì tú dōukě yǐ yòng sì zhǒng yán sè zhuósè， shǐ dé yòu gòng tóng biān jiè de guó jiādōu bèi zhe shàng bù tóng de yán sè。”
1872 nián， yīng guó dāng shí zuì zhù míng de shù xué jiā kǎi lì zhèng shì xiàng lún dūn shù xué xué huì tí chū liǎo zhè gè wèn tí， yú shì sì sè cāi xiǎng chéng liǎo shì jiè shù xué jiè guān zhù de wèn tí。 shì jiè shàng xǔ duō yī liú de shù xué jiādōu fēn fēn cān jiā liǎo sì sè cāi xiǎng de dà huì zhàn。 1878～ 1880 nián liǎng nián jiān， zhù míng lǜ shī jiān shù xué jiā kěn pǔ hé tài lè liǎng rén fēn bié tí jiāo liǎo zhèng míng sì sè cāi xiǎng de lùn wén， xuān bù zhèng míng liǎo sì sè dìng lǐ。 dàn hòu lái shù xué jiā hè wǔ dé yǐ zì jǐ de jīng què jì suàn zhǐ chū kěn pǔ de zhèng míng shì cuò wù de。 bù jiǔ， tài lè de zhèng míng yě bèi rén men fǒu dìng liǎo。 yú shì， rén men kāi shǐ rèn shí dào， zhè gè mào sì róng yì de tí mù， qí shí shì yī gè kě yǔ fèi mǎ cāi xiǎng xiāng pì měi de nán tí。
jìn rù 20 shì jì yǐ lái， kē xué jiā men duì sì sè cāi xiǎng de zhèng míng jī běn shàng shì 'àn zhào kěn pǔ de xiǎng fǎ zài jìn xíng。 diàn zǐ jì suàn jī wèn shì yǐ hòu， yóu yú yǎn suàn sù dù xùn sù tí gāo， jiā zhī rén jī duì huà de chū xiàn， dà dà jiā kuài liǎo duì sì sè cāi xiǎng zhèng míng de jìn chéng。 1976 nián， měi guó shù xué jiā 'ā pèi 'ěr yǔ hā kěn zài měi guó yī lì nuò sī dà xué de liǎng tái bù tóng de diàn zǐ jì suàn jī shàng， yòng liǎo 1200 gè xiǎo shí， zuò liǎo 100 yì pàn duàn， zhōng yú wán chéng liǎo sì sè dìng lǐ de zhèng míng。 bù guò bù shǎo shù xué jiā bìng bù mǎn zú yú jì suàn jī qǔ dé de chéng jiù， tā men rèn wéi yīnggāi yòu yī zhǒng jiǎn jié míng kuài de shū miàn zhèng míng fāng fǎ。
shàng miàn de jǐ gè lì zǐ suǒ jiǎng dedōu shì yī xiē hé jǐ hé tú xíng yòu guān de wèn tí， dàn zhè xiē wèn tí yòu yǔ chuán tǒng de jǐ hé xué bù tóng， ér shì yī xiē xīn de jǐ hé gài niàn。 zhè xiē jiù shì“ tuò pū xué ” de xiān shēng。
shénme shì tuò pū xué ？
tuò pū xué de yīng wén míng shì topology， zhí yì shì dì zhì xué， yě jiù shì hé yán jiū dì xíng、 dì mào xiāng lèi shìde yòu guān xué kē。 wǒ guó zǎo qī céng jīng fān yì chéng“ xíng shì jǐ hé xué”、“ lián xù jǐ hé xué”、“ yī duì yī de lián xù biàn huàn qún xià de jǐ hé xué”， dàn shì， zhè jǐ zhǒng yì míng dōubù dà hǎo lǐ jiě， 1956 nián tǒng yī de《 shù xué míng cí》 bǎ tā què dìng wéi tuò pū xué ， zhè shì 'àn yīn yì guò lái de。
tuò pū xué shì jǐ hé xué de yī gè fēn zhī， dàn shì zhè zhǒng jǐ hé xué yòu hé tōng cháng de píng miàn jǐ hé、 lì tǐ jǐ hé bù tóng。 tōng cháng de píng miàn jǐ hé huò lì tǐ jǐ hé yán jiū de duì xiàng shì diǎn、 xiàn、 miàn zhī jiān de wèi zhì guān xì yǐ jí tā men de dù liàng xìng zhì。 tuò pū xué duì yú yán jiū duì xiàng de cháng duǎn、 dà xiǎo、 miàn jī、 tǐ jī děng dù liàng xìng zhì hé shù liàng guān xì dōuwú guān。
jǔ lì lái shuō， zài tōng cháng de píng miàn jǐ hé lǐ， bǎ píng miàn shàng de yī gè tú xíng bān dào lìng yī gè tú xíng shàng， rú guǒ wán quán chónghé， nà me zhè liǎng gè tú xíng jiào zuò quán děng xíng。 dàn shì， zài tuò pū xué lǐ suǒ yán jiū de tú xíng， zài yùn dòng zhōng wú lùn tā de dà xiǎo huò zhě xíng zhuàng dū fā shēng biàn huà。 zài tuò pū xué lǐ méi yòu bù néng wān qū de yuán sù， měi yī gè tú xíng de dà xiǎo、 xíng zhuàng dōukě yǐ gǎi biàn。 lì rú， qián miàn jiǎng de 'ōu lā zài jiě jué gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí de shí hòu， tā huà de tú xíng jiù bù kǎo lǜ tā de dà xiǎo、 xíng zhuàng， jǐn kǎo lǜ diǎn hé xiàn de gè shù。 zhè xiē jiù shì tuò pū xué sī kǎo wèn tí de chū fā diǎn。
tuò pū xìng zhì yòu nà xiē ní？ shǒu xiān wǒ men jiè shào tuò pū děng jià， zhè shì bǐ jiào róng yì lǐ jiě de yī gè tuò pū xìng zhì。
zài tuò pū xué lǐ bù tǎo lùn liǎng gè tú xíng quán děng de gài niàn， dàn shì tǎo lùn tuò pū děng jià de gài niàn。 bǐ rú， jìn guǎn yuán hé fāng xíng、 sān jiǎo xíng de xíng zhuàng、 dà xiǎo bù tóng， zài tuò pū biàn huàn xià， tā mendōu shì děng jià tú xíng。 zuǒ tú de sān yàng dōng xī jiù shì tuò pū děng jià de， huàn jù huà jiǎng， jiù shì cóng tuò pū xué de jiǎo dù kàn， tā men shì wán quán yī yàng de。
zài yī gè qiú miàn shàng rèn xuǎn yī xiē diǎn yòng bù xiāng jiāo de xiàn bǎ tā men lián jiē qǐ lái， zhè yàng qiú miàn jiù bèi zhè xiē xiàn fēn chéng xǔ duō kuài。 zài tuò pū biàn huàn xià， diǎn、 xiàn、 kuài de shù mù réng hé yuán lái de shù mù yī yàng， zhè jiù shì tuò pū děng jià。 yī bān dì shuō， duì yú rèn yì xíng zhuàng de bì qū miàn， zhǐ yào bù bǎ qū miàn sī liè huò gē pò， tā de biàn huàn jiù shì tuò pū biàn huàn， jiù cún zài tuò pū děng jià。
yīnggāi zhǐ chū， huán miàn bù jù yòu zhè gè xìng zhì。 bǐ rú xiàng zuǒ tú nà yàng， bǎ huán miàn qiē kāi， tā bù zhì yú fēn chéng xǔ duō kuài， zhǐ shì biàn chéng yī gè wān qū de yuán tǒng xíng， duì yú zhè zhǒng qíng kuàng， wǒ men jiù shuō qiú miàn bù néng tuò pū de biàn chéng huán miàn。 suǒ yǐ qiú miàn hé huán miàn zài tuò pū xué zhōng shì bù tóng de qū miàn。
zhí xiàn shàng de diǎn hé xiàn de jié hé guān xì、 shùn xù guān xì， zài tuò pū biàn huàn xià bù biàn， zhè shì tuò pū xìng zhì。 zài tuò pū xué zhōng qū xiàn hé qū miàn de bì hé xìng zhì yě shì tuò pū xìng zhì。
wǒ men tōng cháng jiǎng de píng miàn、 qū miàn tōng cháng yòu liǎng gè miàn， jiù xiàng yī zhāng zhǐ yòu liǎng gè miàn yī yàng。 dàn dé guó shù xué jiā mò bǐ wū sī (1790～ 1868) zài 1858 nián fā xiàn liǎo mò bǐ wū sī qū miàn。 zhè zhǒng qū miàn jiù bù néng yòng bù tóng de yán sè lái tú mǎn liǎng gè cè miàn。
tuò pū biàn huàn de bù biàn xìng、 bù biàn liàng hái yòu hěn duō， zhè lǐ bù zài jiè shào。
tuò pū xué jiàn lì hòu， yóu yú qí tā shù xué xué kē de fā zhǎn xū yào， tā yě dé dào liǎo xùn sù de fā zhǎn。 tè bié shì lí màn chuàng lì lí màn jǐ hé yǐ hòu， tā bǎ tuò pū xué gài niàn zuò wéi fēn xī hán shù lùn de jī chǔ， gèng jiā cù jìn liǎo tuò pū xué de jìn zhǎn。
èr shí shì jì yǐ lái， jí hé lùn bèi yǐn jìn liǎo tuò pū xué ， wéi tuò pū xué kāi tuò liǎo xīn de miàn mào。 tuò pū xué de yán jiū jiù biàn chéng liǎo guān yú rèn yì diǎn jí de duì yìng de gài niàn。 tuò pū xué zhōng yī xiē xū yào jīng què huà miáo shù de wèn tí dōukě yǐ yìng yòng jí hé lái lùn shù。
yīn wéi dà liàng zì rán xiàn xiàng jù yòu lián xù xìng， suǒ yǐ tuò pū xué jù yòu guǎng fàn lián xì gè zhǒng shí jì shì wù de kě néng xìng。 tōng guò tuò pū xué de yán jiū， kě yǐ chǎn míng kōng jiān de jí hé jié gòu， cóng 'ér zhǎng wò kōng jiān zhī jiān de hán shù guān xì。 běn shì jì sān shí nián dài yǐ hòu， shù xué jiā duì tuò pū xué de yán jiū gèng jiā shēn rù， tí chū liǎo xǔ duō quán xīn de gài niàn。 bǐ rú， yī zhì xìng jié gòu gài niàn、 chōu xiàng jù gài niàn hé jìn sì kōng jiān gài niàn děng děng。 yòu yī mén shù xué fēn zhī jiào zuò wēi fēn jǐ hé， shì yòng wēi fēn gōng jù lái yán jiū qǔ xiàn、 qū miàn děng zài yī diǎn fù jìn de wān qū qíng kuàng， ér tuò pū xué shì yán jiū qū miàn de quán jú lián xì de qíng kuàng， yīn cǐ， zhè liǎng mén xué kē yīnggāi cún zài mǒu zhǒng běn zhì de lián xì。 1945 nián， měi jí zhōng guó shù xué jiā chén shěng shēn jiàn lì liǎo dài shù tuò pū hé wēi fēn jǐ hé de lián xì， bìng tuī jìn liǎo zhěng tǐ jǐ hé xué de fā zhǎn。
tuò pū xué fā zhǎn dào jīn tiān， zài lǐ lùn shàng yǐ jīng shí fēn míng xiǎn fēn chéng liǎo liǎng gè fēn zhī。 yī gè fēn zhī shì piān zhòng yú yòng fēn xī de fāng fǎ lái yán jiū de， jiào zuò diǎn jí tuò pū xué ， huò zhě jiào zuò fēn xī tuò pū xué 。 lìng yī gè fēn zhī shì piān zhòng yú yòng dài shù fāng fǎ lái yán jiū de， jiào zuò dài shù tuò pū。 xiàn zài， zhè liǎng gè fēn zhī yòu yòu tǒng yī de qū shì。
tuò pū xué zài fàn hán fēn xī、 lǐ qún lùn、 wēi fēn jǐ hé、 wēi fēn fāng chéng 'é qí tā xǔ duō shù xué fēn zhī zhōng dōuyòu guǎng fàn de yìng yòng。
cān kǎo zī liào： http://www.ikepu.com/maths/maths_branch/topology_total qí tā shù xué fēn zhī xué kē
suàn shù、 chū děng dài shù、 gāo děng dài shù、 shù lùn、 ōu shì jǐ hé、 fēi 'ōu jǐ hé、 jiě xī jǐ hé、 wēi fēn jǐ hé、 dài shù jǐ hé xué、 shè yǐng jǐ hé xué、 tuò pū xué 、 fēn xíng jǐ hé、 wēi jī fēn xué、 shí biàn hán shù lùn、 gàilǜ hé shù lǐ tǒng jì、 fù biàn hán shù lùn、 fàn hán fēn xī、 piān wēi fēn fāng chéng、 cháng wēi fēn fāng chéng、 shù lǐ luó ji、 mó hú shù xué、 yùn chóu xué、 jì suàn shù xué、 tū biàn lǐ lùn、 shù xué wù lǐ xué
shù xué zhōng yī gè zhòng yào de、 jī chǔ de fēn zhī。 qǐ chū tā shì jǐ hé xué de yī zhī， 1955.)</font> yán jiū jǐ hé tú xíng zài lián xù biàn xíng xià bǎo chí bù biàn de xìng zhì ( suǒ wèi lián xù biàn xíng， xíng xiàng dì shuō jiù shì yǔn xǔ shēn suō hé niǔ qū děng biàn xíng， dàn bù xǔ gē duàn hé zhānhé ); xiàn zài yǐ fā zhǎn chéng wéi yán jiū lián xù xìng xiàn xiàng de shù xué fēn zhī。 yóu yú lián xù xìng zài shù xué zhōng de biǎo xiàn fāng shì yǔ yán jiū fāng fǎ de duō yàng xìng， tuò pū xué yòu fēn chéng yán jiū duì xiàng yǔ fāng fǎ gè yì de ruò gān fēn zhī。 zài tuò pū xué de yùn yù jiē duàn， běi jīng， 19 shì jì mò， jiù yǐ chū xiàn diǎn jí tuò pū xué yǔ zǔ hé tuò pū xué liǎng gè fāng xiàng。 xiàn zài qián zhě yǐ yǎn huà chéng yī bān tuò pū xué ， 1952. j.l. kǎi lāi zhù， hòu zhě zé chéng wéi dài shù tuò pū xué 。 hòu lái， princetonuniv.press， yòu xiāng jì chū xiàn liǎo wēi fēn tuò pū xué 、 jǐ hé tuò pū xué děng fēn zhī。 foundationsofalgebraictopology， tuò pū xué zhù yào shì yóu yú fēn xī xué hé jǐ hé xué de xū yào 'ér fā zhǎn qǐ lái de， 1979.) s.eilenbergandn.steenrod， tā zì 30 nián dài yǐ lái de dà fā zhǎn， london， yóu qí shì tā de chéng guǒ yǔ fāng fǎ duì yú shù xué de gè gè lǐng yù de bù duàn shèn tòu， shì 20 shì jì lǐ lùn shù xué fā zhǎn zhōng de yī gè míng xiǎn tè zhēng。
tuò pū wèn tí de yī xiē chū děng lì zǐ
kē ní sī bǎo de qī qiáo wèn tí（ yī bǐ huà wèn tí） kē ní sī bǎo shì dōng pǔ lǔ shì shǒu fǔ， (m.a.armstrong， pǔ lāi gé 'ěr hé héng guàn qí zhōng， shàng yòu qī zuò qiáo（ jiàn tú lùn）。 běi jīng， yī gè sàn bù zhě zěn yàng cái néng zǒu biàn qī zuò qiáo 'ér měi zuò qiáo zhǐ jīng guò yī cì？ zhè gè 18 shì jì de zhì lì yóu xì， sūn yǐ fēng yì：《 jī chǔ tuò pū xué 》， bèi l. ōu lā jiǎn huà wéi yòng xì xiàn huà chū de wǎng luò néng fǒu yī bǐ huà chū de wèn tí， rán hòu tā zhèng míng zhè shì gēn běn bàn bù dào de。 yī gè wǎng luò zhī néng fǒu yī bǐ huà chū， shàng hǎi， yǔ xiàn tiáo de cháng duǎn qū zhí wú guān， zhǐ jué dìng yú qí zhōng de diǎn yǔ xiàn de lián jiē fāng shì。 <br><fontsize="-1"> cān kǎo shū mù </font> <fontsize="-1"> jiāng zé hán zhù：《 tuò pū xué yǐn lùn》， shè xiǎng yī gè wǎng luò shì yòng róu ruǎn 'ér yòu tánxìng de cái liào zhì zuò de， zài tā bèi wān qū、 lā shēn hòu， néng fǒu yī bǐ huà chū de xìng zhì shì bù huì gǎi biàn de。
ōu lā de duō miàn tǐ gōng shì yǔ qū miàn de fēn lèi ōu lā fā xiàn， bù lùn shénme xíng zhuàng de tū duō miàn tǐ， wéi cóng liàng biàn dào zhì biàn de zhuǎn huà tí gōng gè zhǒng shù xué mó shì。 qí dǐng diǎn shù υ、 lēng shù e、 miàn shù ƒ zhī jiān zǒng yòu zhè gè guān xì。 cóng zhè gè gōng shì kě yǐ zhèng míng zhèng duō miàn tǐ zhǐ yòu wǔ zhǒng（ jiàn zhèng duō miàn tǐ）。 zài xì tǒng lǐ lùn、 duì cè lùn、 guī huá lùn、 wǎng luò lùn zhōng tuò pū xué yědōu yòu zhòng yào yìng yòng。 zhí dé zhù yì de shì， rú guǒ duō miàn tǐ bù shì tū de 'ér chéng kuàng xíng（ tú 1）， yě bù guǎn kuàng de xíng zhuàng rú hé， zǒng yòu。 zhè shuō míng， tū xíng yǔ kuàng xíng zhī jiān yòu bǐ cháng duǎn qū zhí gèng běn zhì de chā bié， rú tuò pū sī de guān niàn dà dà tuò guǎng liǎo jīng diǎn de tuò pū kōng jiān guān niàn。 tōng sú de shuō fǎ shì kuàng xíng lǐ yòu gè dòng。
zài lián xù biàn xíng xià， tū tǐ de biǎo miàn kě yǐ biàn wéi qiú miàn， kuàng de biǎo miàn kě yǐ biàn wéi huán miàn（ lún tāi miàn）。 lì rú yòu guān bù dìng fāng chéng zhěng shù xièshù mù gū jì de wéi yī cāi xiǎng hé mò dé 'ěr cāi xiǎng de zhèng míng（ jiàn http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%b4%fa%ca%fd%ca%fd%c2%dbltarget=_blank> dài shù shù lùn）。 zhè liǎng zhě què bù néng tōng guò lián xù biàn xíng hù biàn。 zài lián xù biàn xíng xià fēng bì qū miàn yòu duō shǎo zhǒng bù tóng lèi xíng？ xiàn dài dài shù jǐ hé xué yǐ wán quán shǐ yòng shàng tóng diào de yǔ yán， zěn yàng jiàn bié tā men？ zhè céng shì 19 shì jì hòu bàn yè tuò pū xué yán jiū de zhù yào wèn tí。 bǎ qū miàn biàn xíng chéng duō miàn tǐ hòu de 'ōu lā shù υ-e+ƒ zài qí zhōng qǐ zhe guān jiàn de zuò yòng（ jiàn bì qū miàn de fēn lèi）。
sì sè wèn tí zài píng miàn huò qiú miàn shàng huì zhì dì tú， bìng qiě xíng chéng liǎo liǎng gè xīn de dài shù xué fēn zhī： tóng diào dài shù yǔ dài shù <i>k</i> lǐ lùn。 yòu gōng gòng biān jiè xiàn de qū yù yòng bù tóng de yán sè jiā yǐ qū bié。 tuò pū xué de xū yào dà dà cì jī liǎo chōu xiàng dài shù xué de fā zhǎn， 19 shì jì zhōng qī， lái zì dài shù tuò pū de céng lùn yǐ jīng chéng wéi jī běn gōng jù。 rén men cóng jīng yàn cāi xiǎng yòng sì zhǒng yán sè jiù zú yǐ gěi suǒ yòu de dì tú shàng sè。 zhèng míng zhè gè cāi xiǎng de cháng shì， què yán xù liǎo 100 duō nián， dào 1976 nián cái chū xiàn liǎo yī gè jiè zhù yú jì suàn jī de zhèng míng。 zhù míng de 'ā dì yà － xīn gé zhǐ biāo dìng lǐ bǎ suàn zǐ de jiě xī zhǐ biāo yǔ liú xíng de shì xìng lèi lián xì qǐ lái， rú guǒ bù shì zài píng miàn shàng 'ér shì zài lún tāi miàn shàng huà dì tú， sì sè jiù bù gòu liǎo， jiù shì liú xíng shàng de cháng wēi fēn fāng chéng lùn。 yào qī sè cái gòu。 yòng xiàng pí zuò yī gè qū miàn mó xíng， wēi fēn yìng shè de jié gòu wěn dìng xìng lǐ lùn hé qí diǎn lǐ lùn yǐ fā zhǎn chéng wéi zhòng yào de fēn zhī xué kē。 rán hòu suí yì niǔ qū， nòng dé shān luán qǐ fú， cù jìn liǎo fēn xī xué xiàng liú xíng shàng de fēn xī xué ( yòu chēng dà fàn wéi fēn xī xué ) fā zhǎn。 zhè duì qí shàng de dì tú zhuósè háo wú yǐng xiǎng， suǒ yǐ zhè yán sè shù yě shì qū miàn zài lián xù biàn xíng xià bù biàn de xìng zhì。
niǔ jié wèn tí kōng jiān zhōng yī tiáo zì shēn bù xiāng jiāo de fēng bì qū xiàn， huì fā shēng dǎ jié xiàn xiàng。 3o nián dài j. lè léi hé j.p. shào dé 'ěr bǎ l.e.j. bù láo wēi 'ěr de bù dòng diǎn dìng lǐ hé yìng shè dù lǐ lùn tuī guǎng dào bā ná hè kōng jiān xíng chéng liǎo tuò pū dù lǐ lùn。 yào wèn yī gè jié néng fǒu jiě kāi（ jí néng fǒu biàn xíng chéng píng fàng de yuán juàn）， huò zhě wèn liǎng gè jié néng fǒu hù biàn（ lì rú， tú 2 zhōng de liǎng gè sān yè jié néng fǒu hù biàn）， bìng qiě bù zhǐ zuò gè mó xíng shì shì， hái yào gěi chū zhèng míng， nà jiù yuǎn bù shì jiàn róng yì de shì liǎo（ jiàn niǔ jié lǐ lùn）。
wéi shù wèn tí shénme shì qū xiàn？ pǔ sù de guān niàn shì diǎn dòng chéng xiàn， duì tuò pū xué yě shí fēn zhòng yào。 suí yī gè cān shù（ shí jiān） lián xù biàn huà de dòng diǎn suǒ miáo chū de guǐ jì jiù shì qū xiàn。 kě shì， g. pí yà nuò zài 1890 nián jìng zào chū yī tiáo zhè yàng de“ qū xiàn”， tā tián mǎn zhěng gè zhèng fāng xíng！ zhè jī fā liǎo guān yú wéi shù gài niàn de shēn rù tàn tǎo， jīng guò 20～ 30 nián cái qǔ dé guān jiàn xìng de tū pò（ jiàn wéi shù）。 bìng qǐ shì liǎo chù lǐ wēi fēn liú xíng de wān bǔ shù。
bù xiàn wèn tí（ qiàn rù wèn tí） yī gè fù zá de wǎng luò néng fǒu bù zài píng miàn shàng 'ér bù zì xiāng jiāo chā？ zuò yìn shuà diàn lù shí zì rán huì pèng dào zhè gè wèn tí。 mò 'ěr sī lǐ lùn hòu lái yòu yòng yú tuò pū xué zhōng， tú 3 zhōng zuǒ miàn de tú bǎ yī gēn duì jiǎo xiàn yí dào fāng xíng wài miàn jiù kě yǐ bù zài píng miàn shàng， dàn tú 4 liǎng gè tú què wú lùn zěn yàng nuó dòng dōubù néng bù zài píng miàn shàng。 bǎ liú xíng shàng guāng huá hán shù de lín jiè diǎn de zhǐ shù yǔ liú xíng běn shēn de bèi dì shù lián xì qǐ lái， 1930 nián k. kù lā tuō fū sī jī zhèng míng， yī gè wǎng luò shì fǒu néng qiàn rù píng miàn， wèile yán jiū lí màn liú xíng shàng de cè dì xiàn， jiù kàn qí zhōng shì fǒu bù hán yòu zhè liǎng gè tú zhī yī。
xiàng liàng chǎng wèn tí kǎo lǜ guāng huá qū miàn shàng de lián xù de qiē xiàng liàng chǎng， jí zài qū miàn de měi yī diǎn fàng yī gè yǔ qū miànxiàng qiē de xiàng liàng， bìng qiě qí fēn bù shì lián xù de。 tuò pū xué de zhòng yào xìng， qí zhōng xiàng liàng děng yú
0
de dì fāng jiào zuò qí diǎn。 lì rú， dì qiú biǎo miàn shàng měi diǎn de fēng sù xiàng liàng jiù zǔ chéng yī gè suí shí jiān biàn huà de qiē xiàng liàng chǎng， tuò pū xué duì yú lián xù xìng shù xué zì rán shì dài yòu gēn běn yì yì de， ér qí diǎn jiù shì dāng shí méi fēng de dì fāng。 cóng zhí guān jīng yàn kàn chū， <br><fontsize="4"face=" hēi tǐ "><aname=" tuò pū xué yǔ qí tā xué kē de guān xì "> tuò pū xué yǔ qí tā xué kē de guān xì lián xù xìng yǔ lí sàn xìng zhè duì máo dùn zài zì rán xiàn xiàng yǔ shè huì xiàn xiàng zhōng pǔ biàn cún zài zhe， qiú miàn shàng de lián xù qiē xiàng liàng chǎng yī dìng yòu qí diǎn， qū bié yú dài shù wèi hěn zhòng de tóng lún lùn。 ér huán miàn shàng què kě yǐ zào chū méi yòu qí diǎn de xiàng liàng chǎng。
jìn yī bù fēn xī， měi gè qí diǎn yòu yī gè“ zhǐ shù”， jí dāng dòng diǎn rào tā yī zhōu shí， fā xiàn sì wéi 'ōu shì kōng jiān jìng hái yòu bù tóng xún cháng de wēi fēn jié gòu。 dòng diǎn chù de xiàng liàng zhuǎn de juàn shù； cǐ zhǐ shù yòu zhèng fù， shì dòng diǎn rào xíng fāng xiàng yǔ xiàng liàng zhuàndòng fāng xiàng xiāng tóng huò xiāng fǎn 'ér dìng ( tú 5)。 páng jiā lāi fā xiàn， jǐ hé de kè tí、 jǐ hé de fāng fǎ qǔ dé bù shǎo jìn zhǎn。 qiú miàn shàng qiē xiàng liàng chǎng， zhǐ yào qí diǎn gè shù shì yòu xiàn de， zhè xiē qí diǎn de zhǐ shù de dài shù hé（ zhèng fù yào xiāng xiāo） héng děng yú 2； ér huán miàn shàng de zé héng děng yú 0（ jiàn qū miàn）。 zhè 2 yǔ 0 qià shì nà liǎng gè qū miàn de 'ōu lā shù， j.w. mǐ 'ěr nuò děng rén fā zhǎn liǎo chù lǐ wēi fēn liú xíng de jī běn fāng fǎ ── wān bǔ shù， zhè bù shì 'ǒu rán de qiǎo hé。
bù dòng diǎn wèn tí kǎo lǜ yī gè qū miàn dào zì shēn de lián xù biàn huàn（ yìng shè）， jí qū miàn de měi yī diǎn bèi yí dào gāi qū miàn shàng de xīn de wèi zhì， lián xù shì zhǐ hù xiāng lín jìn de diǎn bèi yí dào hù xiāng lín jìn de diǎn。 bù néng fù yǐ rèn hé wēi fēn jié gòu de liú xíng yòu bèi rén gòu zuò chū lái， xīn jiù wèi zhì xiāng tóng de diǎn jiào zuò zhè biàn huàn de bù dòng diǎn。 suí hòu， měi gè bù dòng diǎn yě yòu gè“ zhǐ shù”， hái yòu bù tóng xún cháng de wēi fēn jié gòu。 jí dāng dòng diǎn rào tā yī zhōu shí， 1956 nián j.w. mǐ 'ěr nuò fā xiàn qī wéi qiú miàn shàng chú liǎo tōng cháng de wēi fēn jié gòu zhī wài， cóng dòng diǎn zhǐ xiàng qí xiàng diǎn de xiàng liàng zhuàndòng de juàn shù。 tóng shí yě cì jī liǎo dài shù tuò pū xué de jìn yī bù fā zhǎn。 tuò pū xué jiā men fā xiàn， qū miàn dào zì shēn de yìng shè de bù dòng diǎn gè shù rú guǒ shì yòu xiàn de， tā men de zhǐ shù de dài shù hé bù huì yīn duì zhè yìng shè zuò xì wēi de xiū gǎi 'ér gǎi biàn， yīn 'ér kě cóng zhè yìng shè de mǒu xiē cū lüè de tè zhēng jì suàn chū lái。 tè bié shì duì yú shí xīn yuán shàng de yìng shè， zhǐ shù hé héng wéi 1， suǒ yǐ shí xīn yuán dào zì shēn de yìng shè zǒng yòu bù dòng diǎn。 h. huì tè ní 1935 nián gěi chū liǎo wēi fēn liú xíng de yī bān dìng yì， zhè lèi dìng lǐ duì yú zhèng míng shù xué zhōng gè zhǒng fāng chéng de jiě de cún zài xìng fēi cháng yòu yòng（ jiàn bù dòng diǎn lǐ lùn）。
yǐ shàng zhè xiē lì zǐ qǐ shì liǎo： jǐ hé tú xíng hái yòu yī xiē bù néng yòng chuán tǒng de jǐ hé fāng fǎ lái yán jiū de xìng zhì。 zhè xiē xìng zhì yǔ cháng dù、 jiǎo dù wú guān， tā men suǒ biǎo xiàn de shì tú xíng zhěng tǐ jié gòu fāng miàn de tè zhēng。 zhè zhǒng xìng zhì yě jiù shì tú xíng de suǒ wèi tuò pū xìng zhì。 cóng lǐ lùn shàng yě nòng qīng liǎo，
tuò pū xué suǒ tán lùn de jǐ hé tú xíng， shì dài shù tuò pū xué de yòu lì wǔ qì。 bù xiàn yú xiàn shí kōng jiān zhōng de xíng tǐ。 dài shù xìng zhì què dū yǔ tóng diào huò shàng tóng diào shí fēn xiāng xiàng， rú wù lǐ xué zhōng yī gè xì tǒng de suǒ yòu kě néng de zhuàng tài zǔ chéng suǒ wèi zhuàng tài kōng jiān， jiù shì yī gè guǎng yì de jǐ hé tú xíng。 tuò pū xué shì yán jiū lián xù xìng de。 biàn huà de lián xù xìng， yì sī shì tā bǎ lín jìn de diǎn biàn chéng lín jìn de diǎn。 cóng 50 nián dài mò zài dài shù jǐ hé xué hé wēi fēn tuò pū xué de yǐng xiǎng xià chǎn shēng liǎo lǐ lùn， yīn cǐ tú xíng bì xū jù yòu mǒu zhǒng jié gòu yǐ biǎo xiàn diǎn yǔ diǎn zhī jiān de lín jìn guān xì。 wéi qí hòu tuò pū xué de tū fēi měng jìn kāipì liǎo dào lù。 guī dìng liǎo měi liǎng diǎn jiān de jù lí bìng yòng jù lí dà xiǎo lái biǎo shì lín jìn guān xì de diǎn jí chēng wéi dù liàng kōng jiān。 zài tóng lún qún de jì suàn shàng qǔ dé tū pò， zuì jiǎn dān de lì zǐ shì 'ōu shì kōng jiān。 1950 nián j.p. sài 'ěr lì yòng j. lè léi wéi yán jiū xiān wéi cóng de tóng diào lùn 'ér fā zhǎn qǐ lái de pǔ xù liè zhè gè dài shù gōng jù， rán 'ér zài mǒu xiē chǎng hé wèi bì néng guī dìng chū hé yòng de jù lí， yīn 'ér chǎn shēng liǎo tuò pū kōng jiān yǔ lián xù yìng shè de gài niàn（ jiàn tuò pū kōng jiān）。 tuò pū xué zhōng zhuózhòng yán jiū de shì zì rán kē xué hé shù xué zhōng zuì cháng jiàn de jǐ lèi tuò pū kōng jiān， rú liú xíng（ guāng huá qū miàn de tuī guǎng）、 fù xíng（ duō miàn tǐ de tuī guǎng） děng（ jiàn liú xíng、 cw fù xíng、 tóng diào lùn）。
qián miàn suǒ shuō de jǐ hé tú xíng de lián xù biàn xíng， què qiē de hán yì shì tóng pēi。 rú guǒ yìng shè ƒ:a →
b
shì tú xíng a de diǎn yǔ tú xíng
b
de diǎn zhī jiān de yī duì yī de duì yìng， ér qiě ƒ tóng tā de nì yìng shè ƒ-1:
b
→ a dōushì lián xù de， qí yuán sù shì cóng <i>n</i> wéi qiú miàn dào gāi kōng jiān de yìng shè de tóng lún lèi， jiù shuō tú xíng a yǔ tú xíng
b
tóng pēi。 zhè shí cóng tuò pū xué de guān diǎn kàn a yǔ
b
de jié gòu xiāng tóng， bù bì jiā yǐ qū bié。 lì rú， sān jiǎo xíng yǔ yuán xíng tóng pēi； ér zhí xiàn yǔ yuán zhōu bù tóng pēi， zhí dào jīn tiān， yīn wéi zhí xiàn wā qù yī diǎn hòu bù lián tōng， ér yuán zhōu wā qù yī diǎn hòu réng lián tōng。
tuò pū xué de yī gè diǎn xíng wèn tí， shì wèn liǎng gè gěi dìng de jǐ hé tú xíng shì fǒu tóng pēi； yǐn shēn yī xià， shì yào bǎ tú xíng 'àn zhào tóng pēi yǔ fǒu jiā yǐ fēn lèi， tā men bǎ dài shù tuò pū xué de jī běn jīng shén gài kuò wéi： bǎ tuò pū wèn tí zhuǎn huà wéi dài shù wèn tí， bìng zhǎo chū kè huà měi yī gè lèi de tè zhēng。 yī bān de xiǎng fǎ shì， fù yú měi gè tú xíng yǐ yī xiē liàng（ guǎng yì de liàng kě yǐ shì shù， rú wéi shù、 ōu lā shù， kě yǐ shì dài shù jié gòu， rú qún、 huán， yě kě yǐ shì xìng zhì， <br> suí zhe chōu xiàng dài shù xué de xīng qǐ， rú lián tōng xìng、 jǐn xìng）， shǐ dé tóng pēi de tú xíng jù yòu xiāng tóng de liàng。 zhè yàng de liàng chēng wéi tuò pū bù biàn liàng huò tóng pēi bù biàn liàng（ ōu lā duō miàn tǐ gōng shì zhōng de shù υ、 e、 ƒ dōubù shì tóng pēi bù biàn liàng， chéng wéi yǐn rén zhǔ mùdì xué kē。 ér 'ōu lā shù υ-e+ƒ zé shì）。 tuò pū bù biàn liàng bāng zhù jiàn bié bù tóng pēi de tú xíng， bìng kāi chuàng liǎo bù dòng diǎn lǐ lùn。 rú qiú miàn yǔ huán miàn de 'ōu lā shǔbù tóng， yǐn jìn liǎo tóng wéi liú xíng zhī jiān de yìng shè de dù yǐ yán jiū tóng lún fēn lèi， tā men jiù bù tóng pēi。
xǔ duō zhòng yào de jǐ hé xiàn xiàng， dài shù tuò pū xué " dài shù tuò pū xué l.e.j. bù láo wēi 'ěr zài 1910～ 1912 nián jiān tí chū liǎo yòng dān chún yìng shè bī jìn lián xù yìng shè de fāng fǎ， xū yào yòng lián xù yìng shè lái miáo shù， xí guàn shàng yě kàn chéng yī bān tuò pū xué de fēn zhī。 yīn cǐ lián xù yìng shè yě shì tuò pū xué de zhù yào yán jiū duì xiàng。 yī gè diǎn xíng de wèn tí， zài sì wéi páng jiā lāi cāi xiǎng de zhèng míng zhōng fā huī liǎo zuò yòng。 shì wèn liǎng gè gěi dìng de yìng shè shì fǒu tóng lún， yǐ r.h. bīn wéi dài biǎo de měi guó xué pài de gōng zuò jiā shēn liǎo duì liú xíng de rèn shí， jí wèn liǎng gè yìng shè h0， h1:a→
b
néng fǒu yòng lián xù dì suí shí jiān t gǎi biàn de yī zú yìng shè lián jié qǐ lái。 yǔ qián xiāng fǎng， cóng tóng lún wèn tí chǎn shēng liǎo tóng lún bù biàn liàng de gài niàn。 lì rú， <br> ōu shì kōng jiān zhōng de diǎn jí de yán jiū， cóng yuán zhōu dào yuán zhōu de liǎng gè yìng shè shì fǒu tóng lún， gōng lǐ huà de yī bān tuò pū xué wǎn jìn de fā zhǎn kě jiàn <ahref=http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%d2%bb%b0%e3%cd%d8%c6%cb%d1%a7ltarget=_blank> yī bān tuò pū xué </a>。 jué dìng yú tā men de“ dù”（ jí dāng dòng diǎn rào xíng yī zhōu shí qí xiàng diǎn rào xíng de juàn shù） shì fǒu xiāng tóng， jǐn huà wèn tí hé dù liàng huà wèn tí yě dé dào liǎo shēn rù de yán jiū。“ dù” jiù shì yī gè tóng lún bù biàn liàng。
fā zhǎn jiǎn shǐ
tuò pū xué qǐ chū jiào xíng shì fēn xī xué， zhè shì g.w. lāi bù ní cí 1679 nián tí chū de míng cí ( zhōng wén yì chéng xíng shì， xíng zhǐ yī gè tú xíng běn shēn de xìng zhì， shì zhǐ yī gè tú xíng yǔ qí zǐ tú xíngxiàng duì de xìng zhì， jīng guò 20 shì jì 30 nián dài zhōng qī qǐ bù 'ěr bā jī xué pài de bǔ chōng（ yī zhì xìng kōng jiān、 fǎng jǐn xìng děng） hé zhěng lǐ， niǔ jié hé qiàn rù wèn tí jiù shì shì de wèn tí )。 suí hòu bō lán xué pài hé sū lián xué pài duì tuò pū kōng jiān de jī běn xìng zhì（ fēn lí xìng、 jǐn xìng、 lián tōng xìng děng） zuò liǎo xì tǒng de yán jiū。 l. ōu lā 1736 nián jiě jué liǎo qī qiáo wèn tí， 1750 nián fā biǎo liǎo duō miàn tǐ gōng shì ;c.f. gāo sī 1833 nián zài diàn dòng lì xué zhōng yòng xiàn jī fēn dìng yì liǎo kōng jiān zhōng liǎng tiáo fēng bì qū xiàn de huán rào shù。 tuò pū xué zhè gè cí（ zhōng wén shì yīn yì） shì j.b. lì sī tíng tí chū de (1847)， yuán zì xī là wén ( wèi zhì、 xíng shì ) yǔ ( xué wèn )。 zhè shì méng yá jiē duàn。
1851 nián qǐ， b. lí màn zài fù hán shù de yán jiū zhōng tí chū liǎo lí màn miàn de jǐ hé gài niàn， bìng qiě qiáng diào， wèile yán jiū hán shù、 yán jiū jī fēn， jiù bì xū yán jiū xíng shì fēn xī xué。 cóng cǐ kāi shǐ liǎo tuò pū xué de xì tǒng yán jiū， zài diǎn jí lùn de sī xiǎng yǐng xiǎng xià， lí màn běn rén jiě jué liǎo kě dìng xiàng bì qū miàn de tóng pēi fēn lèi wèn tí。 rú jù diǎn（ jí xiàn diǎn）、 kāi jí、 bì jí、 chóu mì xìng、 lián tōng xìng děng。 zài jǐ hé xué de yán jiū zhōng lí màn míng què tí chū n wéi liú xíng de gài niàn (1854)。 dé chū xǔ duō tuò pū gài niàn，
zǔ hé tuò pū xué de diàn jī rén shì h. páng jiā lāi。 tā shì zài fēn xī xué hé lì xué de gōng zuò zhōng， tè bié shì guān yú fù hán shù de dān zhí huà hé guān yú wēi fēn fāng chéng jué dìng de qū xiàn de yán jiū zhōng， yǐn xiàng tuò pū xué wèn tí de， dàn tā de fāng fǎ yòu shí bù gòu yán mì， tā de zhù yào xīng qù zài n wéi liú xíng。 zài 1895～ 1904 nián jiān， tā chuàng lì liǎo yòng pōu fēn yán jiū liú xíng de jī běn fāng fǎ。 tā yǐn jìn liǎo xǔ duō bù biàn liàng： jī běn qún、 tóng diào、 bèi dì shù、 náo xì shù， bìng tí chū liǎo jù tǐ jì suàn de fāng fǎ。 tā yǐn jìn liǎo xǔ duō bù biàn liàng： jī běn qún、 tóng diào、 bèi dì shù、 náo xì shù， tā tàn tǎo liǎo sān wéi liú xíng de tuò pū fēn lèi wèn tí， tí chū liǎo zhù míng de páng jiā lāi cāi xiǎng。 tā liú xià de fēng fù sī xiǎng yǐng xiǎng shēn yuǎn， dàn tā de fāng fǎ yòu shí bù gòu yán mì， guò duō dì yǐ lài jǐ hé zhí guān。 tè bié shì guān yú fù hán shù de dān zhí huà hé guān yú wēi fēn fāng chéng jué dìng de qū xiàn de yán jiū zhōng，
tuò pū xué de lìng yī yuān yuán shì fēn xī xué de yán mì huà。 tā shì zài fēn xī xué hé lì xué de gōng zuò zhōng， shí shù de yán gé dìng yì tuī dòng g. kāng tuō 'ěr cóng 1873 nián qǐ xì tǒng dì zhǎn kāi liǎo 'ōu shì kōng jiān zhōng de diǎn jí de yán jiū， dé chū xǔ duō tuò pū gài niàn， rú jù diǎn（ jí xiàn diǎn）、 kāi jí、 bì jí、 chóu mì xìng、 lián tōng xìng děng。 zài diǎn jí lùn de sī xiǎng yǐng xiǎng xià， fēn xī xué zhōng chū xiàn liǎo fàn hán shù（ jí hán shù de hán shù） de guān niàn， bǎ hán shù jí kàn chéng yī zhǒng jǐ hé duì xiàng bìng tǎo lùn qí zhōng de jí xiàn。 zhè zhōng yú dǎo zhì chōu xiàng kōng jiān de guān niàn。 zhè yàng， b. lí màn zài fù hán shù de yán jiū zhōng tí chū liǎo lí màn miàn de jǐ hé gài niàn， dào 19、 20 shì jì zhī jiāo， yǐ jīng xíng chéng liǎo zǔ hé tuò pū xué yǔ diǎn jí tuò pū xué zhè liǎng gè yán jiū fāng xiàng。 zhè shì méng yá jiē duàn。
yī bān tuò pū xué zuì zǎo yán jiū chōu xiàng kōng jiān de shì m.-r. fú léi xiē， zài 1906 nián yǐn jìn liǎo dù liàng kōng jiān de gài niàn。 f. háo sī duō fū zài《 jí lùn dà gāng》（ 1914） zhōng yòng kāi lín yù dìng yì liǎo bǐ jiào yī bān de tuò pū kōng jiān， biāo zhì zhe yòng gōng lǐ huà fāng fǎ yán jiū lián xù xìng de yī bān tuò pū xué de chǎn shēng。 l. ōu lā 1736 nián jiě jué liǎo qī qiáo wèn tí， suí hòu bō lán xué pài hé sū lián xué pài duì tuò pū kōng jiān de jī běn xìng zhì（ fēn lí xìng、 jǐn xìng、 lián tōng xìng děng） zuò liǎo xì tǒng de yán jiū。 jīng guò 20 shì jì 30 nián dài zhōng qī qǐ bù 'ěr bā jī xué pài de bǔ chōng（ yī zhì xìng kōng jiān、 fǎng jǐn xìng děng） hé zhěng lǐ， yī bān tuò pū xué qū yú chéng shú， chéng wéi dì 'èr cì shì jiè dà zhàn hòu shù xué yán jiū de gòng tóng jī chǔ。 cóng qí fāng fǎ hé jiēguǒ duì yú shù xué de yǐng xiǎng kàn， jǐn tuò pū kōng jiān hé wán bèi dù liàng kōng jiān de lǐ lùn shì zuì zhòng yào de。 jǐn huà wèn tí hé dù liàng huà wèn tí yě dé dào liǎo shēn rù de yán jiū。 gōng lǐ huà de yī bān tuò pū xué wǎn jìn de fā zhǎn kě jiàn yī bān tuò pū xué 。
ōu shì kōng jiān zhōng de diǎn jí de yán jiū， lì rú， yī zhí shì tuò pū xué de zhòng yào bù fēn， yǐ fā zhǎn chéng yī bān tuò pū xué yǔ dài shù tuò pū xué jiāo huì de lǐng yù， yě kě kàn zuò jǐ hé tuò pū xué de yī bù fēn。 50 nián dài yǐ lái， jí wèn liǎng gè yìng shè， yǐ r.h. bīn wéi dài biǎo de měi guó xué pài de gōng zuò jiā shēn liǎo duì liú xíng de rèn shí， shì wèn liǎng gè gěi dìng de yìng shè shì fǒu tóng lún， zài sì wéi páng jiā lāi cāi xiǎng de zhèng míng zhōng fā huī liǎo zuò yòng。 cóng pí yà nuò qū xiàn yǐn qǐ de wéi shù jí lián xù tǒng de yán jiū， xí guàn shàng yě kàn chéng yī bān tuò pū xué de fēn zhī。
dài shù tuò pū xué l.e.j. bù láo wēi 'ěr zài 1910～ 1912 nián jiān tí chū liǎo yòng dān chún yìng shè bī jìn lián xù yìng shè de fāng fǎ， xǔ duō zhòng yào de jǐ hé xiàn xiàng， yòng yǐ zhèng míng liǎo bù tóng wéi de 'ōu shì kōng jiān bù tóng pēi， tā men jiù bù tóng pēi。 yǐn jìn liǎo tóng wéi liú xíng zhī jiān de yìng shè de dù yǐ yán jiū tóng lún fēn lèi， bìng kāi chuàng liǎo bù dòng diǎn lǐ lùn。 tā shǐ zǔ hé tuò pū xué zài gài niàn jīng què、 lùn zhèng yán mì fāng miàn dá dào liǎo yīngyǒu de biāo zhǔn， ér 'ōu lā shù υ-e+ƒ> zé shì）。 chéng wéi yǐn rén zhǔ mùdì xué kē。 jǐn jiē zhe， j.w. yà lì shān dà 1915 nián zhèng míng liǎo bèi dì shù yǔ náo xì shù de tuò pū bù biàn xìng。 rú lián tōng xìng、 jǐn xìng），
suí zhe chōu xiàng dài shù xué de xīng qǐ， 1925 nián zuǒ yòu a.e. nuò tè tí yì bǎ zǔ hé tuò pū xué jiàn lì zài qún lùn de jī chǔ shàng， zài tā de yǐng xiǎng xià h. huò pǔ fū 1928 nián dìng yì liǎo tóng diào qún。 cóng cǐ zǔ hé tuò pū xué zhú bù yǎn biàn chéng lì yòng chōu xiàng dài shù de fāng fǎ yán jiū tuò pū wèn tí de dài shù tuò pū xué 。 rú wéi shù、 ōu lā shù， s. ài lún bó gé yǔ n.e. sī tíng luó dé 1945 nián yǐ gōng lǐ huà de fāng shì zǒng jié liǎo dāng shí de tóng diào lùn， hòu xiě chéng《 dài shù tuò pū xué jī chǔ》 (1952)， duì yú dài shù tuò pū xué de chuán bō、 yìng yòng hé jìn yī bù fā zhǎn qǐ liǎo jù dà de tuī dòng zuò yòng。 tā men bǎ dài shù tuò pū xué de jī běn jīng shén gài kuò wéi： bǎ tuò pū wèn tí zhuǎn huà wéi dài shù wèn tí， tōng guò jì suàn lái qiú jiě。 tóng diào qún， yǐ jí zài 30 nián dài yǐn jìn de shàng tóng diào huán， dōushì cóng tuò pū dào dài shù de guò dù（ jiàn tóng diào lùn）。 zhí dào jīn tiān， sān jiǎo xíng yǔ yuán xíng tóng pēi； ér zhí xiàn yǔ yuán zhōu bù tóng pēi， tóng diào lùn（ bāo kuò shàng tóng diào） suǒ tí gōng de bù biàn liàng réng shì tuò pū xué zhōng zuì yì yú jì suàn de， yīn 'ér yě zuì cháng yòng de。 bù bì jiā yǐ qū bié。
tóng lún lùn yán jiū kōng jiān de yǐ jí yìng shè de tóng lún fēn lèi。 w. hè wéi cí 1935～ 1936 nián jiān yǐn jìn liǎo tuò pū kōng jiān de n wéi tóng lún qún， qí yuán sù shì cóng n wéi qiú miàn dào gāi kōng jiān de yìng shè de tóng lún lèi， ér qiě <i>ƒ</i> tóng tā de nì yìng shè ƒ-1:<b><i>b</i></b>→ <i>a dōushì lián xù de， yī wéi tóng lún qún qià shì jī běn qún。 tóng lún qún tí gōng liǎo cóng tuò pū dào dài shù de lìng yī zhǒng guò dù， què qiē de hán yì shì tóng pēi。 qí jǐ hé yì yì bǐ tóng diào qún gèng míng xiǎn， qián miàn suǒ shuō de jǐ hé tú xíng de lián xù biàn xíng， dàn shì jí nán jì suàn。 tóng lún qún de jì suàn， tè bié shì qiú miàn de tóng lún qún de jì suàn wèn tí cì jī liǎo tuò pū xué de fā zhǎn， chǎn shēng liǎo fēng fù duō cǎi de lǐ lùn hé fāng fǎ。 1950 nián j.p. sài 'ěr lì yòng j. lè léi wéi yán jiū xiān wéi cóng de tóng diào lùn 'ér fā zhǎn qǐ lái de pǔ xù liè zhè gè dài shù gōng jù， zuì jiǎn dān de lì zǐ shì 'ōu shì kōng jiān。 zài tóng lún qún de jì suàn shàng qǔ dé tū pò， wéi qí hòu tuò pū xué de tū fēi měng jìn kāipì liǎo dào lù。
cóng 50 nián dài mò zài dài shù jǐ hé xué hé wēi fēn tuò pū xué de yǐng xiǎng xià chǎn shēng liǎo k lǐ lùn， jiě jué liǎo guān yú liú xíng de yī xì liè tuò pū wèn tí kāi shǐ， chū xiàn liǎo hǎo jǐ zhǒng guǎng yì tóng diào lùn。 tā mendōu shì cóng tuò pū dào dài shù de guò dù， jiù shì yī gè guǎng yì de jǐ hé tú xíng。 jìn guǎn jǐ hé yì yì gè bù xiāng tóng， rú wù lǐ xué zhōng yī gè xì tǒng de suǒ yòu kě néng de zhuàng tài zǔ chéng suǒ wèi zhuàng tài kōng jiān， dài shù xìng zhì què dū yǔ tóng diào huò shàng tóng diào shí fēn xiāng xiàng， shì dài shù tuò pū xué de yòu lì wǔ qì。 cóng lǐ lùn shàng yě nòng qīng liǎo， tóng diào lùn（ pǔ tōng de hé guǎng yì de） běn zhì shàng shì tóng lún lùn de yī bù fēn。
cóng wēi fēn tuò pū xué dào jǐ hé tuò pū xué wēi fēn tuò pū xué shì yán jiū wēi fēn liú xíng yǔ wēi fēn yìng shè de tuò pū xué 。 zhè xiē xìng zhì yǔ cháng dù、 jiǎo dù wú guān， j.-l. lā gé lǎng rì、 b. lí màn、 h. páng jiā lāi zǎo jiù zuò guò wēi fēn liú xíng de yán jiū； suí zhe dài shù tuò pū xué hé wēi fēn jǐ hé xué de jìn bù， yǐ shàng zhè xiē lì zǐ qǐ shì liǎo： jǐ hé tú xíng hái yòu yī xiē bù néng yòng chuán tǒng de jǐ hé fāng fǎ lái yán jiū de xìng zhì。 zài 30 nián dài chóngxīn xīng qǐ。 h. huì tè ní 1935 nián gěi chū liǎo wēi fēn liú xíng de yī bān dìng yì， bìng zhèng míng tā zǒng néng qiàn rù gāo wéi 'ōu shì kōng jiān zuò wéi guāng huá de zǐ liú xíng。 wèile yán jiū wēi fēn liú xíng shàng de xiàng liàng chǎng， tā hái tí chū liǎo xiān wéi cóng de gài niàn， cóng 'ér shǐ xǔ duō jǐ hé wèn tí dū yǔ shàng tóng diào（ shì xìng lèi） hé tóng lún wèn tí lián xì qǐ lái liǎo。
1953 nián r. tuō mǔ de xié biān lǐ lùn ( jiàn wēi fēn tuò pū xué ) kāi chuàng liǎo wēi fēn tuò pū xué yǔ dài shù tuò pū xué bìng jiān yuè jìn de jú miàn， xǔ duō kùn nán de wēi fēn tuò pū wèn tí bèi huà chéng dài shù tuò pū wèn tí 'ér dé dào jiě jué， tóng shí yě cì jī liǎo dài shù tuò pū xué de jìn yī bù fā zhǎn。 cóng dòng diǎn zhǐ xiàng qí xiàng diǎn de xiàng liàng zhuàndòng de juàn shù。 1956 nián j.w. mǐ 'ěr nuò fā xiàn qī wéi qiú miàn shàng chú liǎo tōng cháng de wēi fēn jié gòu zhī wài， hái yòu bù tóng xún cháng de wēi fēn jié gòu。 měi gè bù dòng diǎn yě yòu gè“ zhǐ shù”， suí hòu， bù néng fù yǐ rèn hé wēi fēn jié gòu de liú xíng yòu bèi rén gòu zuò chū lái， zhè xiē dū xiǎn shì tuò pū liú xíng、 wēi fēn liú xíng yǐ jí jiè yú qí jiān de fēn duàn xiàn xìng liú xíng zhè sān gè fàn chóu yòu jù dà de chā bié， wēi fēn tuò pū xué yě cóng cǐ bèi gōng rèn wéi yī gè dú lì de tuò pū xué fēn zhī。 1960 nián s. sī méi 'ěr zhèng míng liǎo wǔ wéi yǐ shàng wēi fēn liú xíng de páng jiā lāi cāi xiǎng。 j.w. mǐ 'ěr nuò děng rén fā zhǎn liǎo chù lǐ wēi fēn liú xíng de jī běn fāng fǎ── wān bǔ shù， shǐ wǔ wéi yǐ shàng liú xíng de fēn lèi wèn tí yì zhú bù qū xiàng dài shù huà。
jìn xiē nián lái， yòu guān liú xíng de yán jiū zhōng， jǐ hé de kè tí、 jǐ hé de fāng fǎ qǔ dé bù shǎo jìn zhǎn。 tū chū de lǐng yù rú liú xíng de shàng shù sān dà fàn chóu zhī jiān de guān xì yǐ jí sān wéi、 sì wéi liú xíng de fēn lèi。 80 nián dài chū de zhòng dà chéng guǒ yòu： zhèng míng liǎo sì wéi páng jiā lāi cāi xiǎng， fā xiàn sì wéi 'ōu shì kōng jiān jìng hái yòu bù tóng xún cháng de wēi fēn jié gòu。 zhè zhǒng zhǒng yán jiū， tōng cháng fàn chēng jǐ hé tuò pū xué ， yǐ qiáng diào qí jǐ hé sè cǎi， ér huán miàn shàng què kě yǐ zào chū méi yòu qí diǎn de xiàng liàng chǎng。 qū bié yú dài shù wèi hěn zhòng de tóng lún lùn。
tuò pū xué yǔ qí tā xué kē de guān xì lián xù xìng yǔ lí sàn xìng zhè duì máo dùn zài zì rán xiàn xiàng yǔ shè huì xiàn xiàng zhōng pǔ biàn cún zài zhe， shù xué yě kě yǐ cū lüè dì fēn wéi lián xù xìng de yǔ lí sàn xìng de liǎng dà mén lèi。 tuò pū xué duì yú lián xù xìng shù xué zì rán shì dài yòu gēn běn yì yì de， duì yú lí sàn xìng shù xué yě qǐ zhe jù dà de tuī jìn zuò yòng。 lì rú， tuò pū xué de jī běn nèi róng yǐ jīng chéng wéi xiàn dài shù xué gōng zuò zhě de cháng shí。 tuò pū xué de zhòng yào xìng， tǐ xiàn zài tā yǔ qí tā shù xué fēn zhī、 qí tā xué kē de xiāng hù zuò yòng。
tuò pū xué yǔ wēi fēn jǐ hé xué yòu zhe xuè yuán guān xì， http://baike7.com/img/y2hhl2jhawtll2riazevdjevzmlndxjll3n4dhvvcda0lmpwzw==.jpgtarget="_blank"><imgsrc=http://baike7.com/img/y2hhl2jhawtll2riazevdjevzmlndxjll3n4dhvvcda0lmpwzw==.jpg xiàng liàng chǎng wèn tí "> xiàng liàng chǎng wèn tí kǎo lǜ guāng huá qū miàn shàng de lián xù de qiē xiàng liàng chǎng， tā men zài bù tóng de céng cì shàng yán jiū liú xíng de xìng zhì。 jiù kàn qí zhōng shì fǒu bù hán yòu zhè liǎng gè tú zhī yī。 wèile yán jiū lí màn liú xíng shàng de cè dì xiàn， yī gè wǎng luò shì fǒu néng qiàn rù píng miàn， h.m. mò 'ěr sī zài 20 shì jì 20 nián dài jiàn lì liǎo fēi tuì huà lín jiè diǎn lǐ lùn， bǎ liú xíng shàng guāng huá hán shù de lín jiè diǎn de zhǐ shù yǔ liú xíng běn shēn de bèi dì shù lián xì qǐ lái， bìng fā zhǎn chéng dà fàn wéi biàn fēn fǎ。 mò 'ěr sī lǐ lùn hòu lái yòu yòng yú tuò pū xué zhōng， zhèng míng liǎo diǎn xíng qún de tóng lún qún de bó tè zhōu qī xìng ( zhè shì k lǐ lùn de jī shí )， bìng qǐ shì liǎo chù lǐ wēi fēn liú xíng de wān bǔ shù。 wēi fēn liú xíng、 xiān wéi cóng、 shì xìng lèi gěi é. jiā dāng de zhěng tǐ wēi fēn jǐ hé xué tí gōng liǎo hé shì de lǐ lùn kuàng jià， yě cóng zhōng huò qǔ liǎo qiáng dà de dòng lì hé fēng fù de kè tí。 g. pí yà nuò zài 1890 nián jìng zào chū yī tiáo zhè yàng de“ qū xiàn”， chén shěng shēn zài 40 nián dài yǐn jìn liǎo“ chén shì xìng lèi”， jiù bù dàn duì wēi fēn jǐ hé xué yǐng xiǎng shēn yuǎn， suí yī gè cān shù（ shí jiān） lián xù biàn huà de dòng diǎn suǒ miáo chū de guǐ jì jiù shì qū xiàn。 duì tuò pū xué yě shí fēn zhòng yào。 pǔ sù de guān niàn shì diǎn dòng chéng xiàn， xiān wéi cóng lǐ lùn hé lián luò lùn yī qǐ wéi lǐ lùn wù lǐ xué zhōng yáng－ mǐ 'ěr sī guī fàn chǎng lùn（ jiàn yáng－ mǐ 'ěr sī lǐ lùn） tí gōng liǎo xiàn chéng de shù xué kuàng jià， wéi shù wèn tí "> wéi shù wèn tí </a></font> shénme shì qū xiàn？ yóu rú 20 shì jì chū lí màn jǐ hé xué duì yú a. ài yīn sī tǎn guǎng yì xiāng duì lùn de zuò yòng。 guī fàn chǎng de yán jiū yòu cù jìn liǎo sì wéi de wēi fēn tuò pū xué chū rén yì liào de jìn zhǎn。
tuò pū xué duì yú fēn xī xué de xiàn dài fā zhǎn qǐ liǎo jí dà de tuī dòng zuò yòng。 suí zhe kē xué jì shù de fā zhǎn， xū yào yán jiū gè shì gè yàng de fēi xiàn xìng xiàn xiàng， fēn xī xué gèng duō dì qiú zhù yú tuò pū xué 。 yào wèn yī gè jié néng fǒu jiě kāi（ jí néng fǒu biàn xíng chéng píng fàng de yuán juàn）， 3o nián dài j. lè léi hé j.p. shào dé 'ěr bǎ l.e.j. bù láo wēi 'ěr de bù dòng diǎn dìng lǐ hé yìng shè dù lǐ lùn tuī guǎng dào bā ná hè kōng jiān xíng chéng liǎo tuò pū dù lǐ lùn。 hòu zhě yǐ jí qián shù de lín jiè diǎn lǐ lùn， niǔ jié wèn tí "> niǔ jié wèn tí kōng jiān zhōng yī tiáo zì shēn bù xiāng jiāo de fēng bì qū xiàn， dōuyǐ chéng wéi yán jiū fēi xiàn xìng piān wēi fēn fāng chéng de biāo zhǔn de gōng jù。 suǒ yǐ zhè yán sè shù yě shì qū miàn zài lián xù biàn xíng xià bù biàn de xìng zhì。 wēi fēn tuò pū xué de jìn bù， cù jìn liǎo fēn xī xué xiàng liú xíng shàng de fēn xī xué ( yòu chēng dà fàn wéi fēn xī xué ) fā zhǎn。 zài tuō mǔ de yǐng xiǎng xià， rán hòu suí yì niǔ qū， wēi fēn yìng shè de jié gòu wěn dìng xìng lǐ lùn hé qí diǎn lǐ lùn yǐ fā zhǎn chéng wéi zhòng yào de fēn zhī xué kē。 s. sī méi 'ěr zài 60 nián dài chū kāi shǐ de wēi fēn dòng lì xì tǒng de lǐ lùn， yào qī sè cái gòu。 jiù shì liú xíng shàng de cháng wēi fēn fāng chéng lùn。 m.f. ā dì yà děng rén 60 nián dài chū chuàng lì liǎo wēi fēn liú xíng shàng de tuǒ yuán xíng suàn zǐ lǐ lùn。 zhù míng de 'ā dì yà－ xīn gé zhǐ biāo dìng lǐ bǎ suàn zǐ de jiě xī zhǐ biāo yǔ liú xíng de shì xìng lèi lián xì qǐ lái， shì fēn xī xué yǔ tuò pū xué jié hé de fàn lì。 xiàn dài fàn hán fēn xī de suàn zǐ dài shù yǐ yǔ k lǐ lùn、 zhǐ biāo lǐ lùn、 yè zhuàng jié gòu mìqiè xiāng guān。 zài duō fù biàn hán shù lùn fāng miàn， lái zì dài shù tuò pū de céng lùn yǐ jīng chéng wéi jī běn gōng jù。
tuò pū xué de xū yào dà dà cì jī liǎo chōu xiàng dài shù xué de fā zhǎn， bìng qiě xíng chéng liǎo liǎng gè xīn de dài shù xué fēn zhī： tóng diào dài shù yǔ dài shù k lǐ lùn。 sì sè wèn tí zài píng miàn huò qiú miàn shàng huì zhì dì tú， dài shù jǐ hé xué cóng 50 nián dài yǐ lái yǐ jīng wán quán gǎi guān。 bǎ qū miàn biàn xíng chéng duō miàn tǐ hòu de 'ōu lā shù υ-<i>e</i>+<i>ƒ</i> zài qí zhōng qǐ zhe guān jiàn de zuò yòng（ jiàn http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%b1%d5%c7%fa%c3%e6%b5%c4%b7%d6%c0%e0ltarget=_blank> bì qū miàn de fēn lèi ). tuō mǔ de xié biān lùn zhí jiē cù shǐ dài shù cù de lí màn－ luó hè dìng lǐ de chǎn shēng， hòu zhě yòu cù shǐ tuò pū k lǐ lùn de chǎn shēng。 xiàn dài dài shù jǐ hé xué yǐ wán quán shǐ yòng shàng tóng diào de yǔ yán， zài lián xù biàn xíng xià fēng bì qū miàn yòu duō shǎo zhǒng bù tóng lèi xíng？ dài shù shù lùn yǔ dài shù qún yě zài cǐ jī chǔ shàng qǔ dé xǔ duō zhòng dà chéng guǒ， lì rú yòu guān bù dìng fāng chéng zhěng shù xièshù mù gū jì de wéi yī cāi xiǎng hé mò dé 'ěr cāi xiǎng de zhèng míng（ jiàn dài shù shù lùn）。
fàn chóu yǔ hán zǐ de guān niàn， shì zài gài kuò dài shù tuò pū de fāng fǎ lùn shí xíng chéng de。 fàn chóu lùn yǐ shēn rù shù xué jī chǔ、 dài shù jǐ hé xué děng fēn zhī（ jiàn fàn chóu）； duì tuò pū xué běn shēn yě yòu yǐng xiǎng， tōng sú de shuō fǎ shì kuàng xíng lǐ yòu gè dòng。 rú tuò pū sī de guān niàn dà dà tuò guǎng liǎo jīng diǎn de tuò pū kōng jiān guān niàn。 tū xíng yǔ kuàng xíng zhī jiān yòu bǐ cháng duǎn qū zhí gèng běn zhì de chā bié，
zài jīng jì xué fāng miàn， zhè shuō míng， j. féng · nuò yī màn shǒu xiān bǎ bù dòng diǎn dìng lǐ yòng lái zhèng míng jūn héng de cún zài xìng。 zài xiàn dài shù lǐ jīng jì xué zhōng， duì yú jīng jì de shù xué mó xíng， jūn héng de cún zài xìng、 xìng zhì、 jì suàn děng gēn běn wèn tí dū lí bù kāi dài shù tuò pū xué 、 wēi fēn tuò pū xué 、 dà fàn wéi fēn xī de gōng jù。 zài xì tǒng lǐ lùn、 duì cè lùn、 guī huá lùn、 wǎng luò lùn zhōng tuò pū xué yědōu yòu zhòng yào yìng yòng。
tuō mǔ yǐ wēi fēn tuò pū xué zhōng wēi fēn yìng shè de qí diǎn lǐ lùn wéi jī chǔ chuàng lì liǎo tū biàn lǐ lùn， wéi cóng liàng biàn dào zhì biàn de zhuǎn huà tí gōng gè zhǒng shù xué mó shì。 zài wù lǐ xué、 huà xué、 shēng wù xué、 yǔ yán xué děng fāng miàn yǐ yòu bù shǎo yìng yòng " ōu lā de duō miàn tǐ gōng shì yǔ qū miàn de fēn lèi "> ōu lā de duō miàn tǐ gōng shì yǔ qū miàn de fēn 'ōu lā fā xiàn，
chú liǎo tōng guò gè shù xué fēn zhī de jiànjiē de yǐng xiǎng wài， tuò pū xué de gài niàn hé fāng fǎ duì wù lǐ xué ( rú yè jīng jié gòu quē xiàn de fēn lèi )、 huà xué（ rú fènzǐ de tuò pū gòu xíng）、 shēng wù xué ( rú dna de huán rào、 tuò pū yì gòu méi ) dōuyòu zhí jiē de yìng yòng。
tuò pū xué yǔ gè shù xué lǐng yù、 gè kē xué lǐng yù zhī jiān de biān yuán xìng yán jiū fāng xīng wèi 'ài。
cān kǎo shū mù jiāng zé hán zhù：《 tuò pū xué yǐn lùn》， shàng hǎi kē xué jì shù chū bǎn shè， shàng hǎi， 1978。 m.a.armstrong zhù， sūn yǐ fēng yì：《 jī chǔ tuò pū xué 》， běi jīng dà xué chū bǎn shè， běi jīng， shàng yòu qī zuò qiáo（ jiàn <ahref=http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%cd%bc%c2%dbltarget=_blank> tú lùn </a>）。 1983。 (m.a.armstrong， basictopology， shì 20 shì jì lǐ lùn shù xué fā zhǎn zhōng de yī gè míng xiǎn tè zhēng。 mcgraw-hill， london， 1979.) s.eilenbergandn.steenrod， foundationsofalgebraictopology， yòu xiāng jì chū xiàn liǎo wēi fēn tuò pū xué 、 jǐ hé tuò pū xué děng fēn zhī。 princetonuniv.press， princeton， hòu zhě zé chéng wéi dài shù tuò pū xué 。 1952. j.l. kǎi lāi zhù， xiàn zài qián zhě yǐ yǎn huà chéng yī bān tuò pū xué ， wú cóng xīn、 wú ràng quán yì：《 yī bān tuò pū xué 》， kē xué chū bǎn shè， běi jīng， 1982。 tuò pū xué yòu fēn chéng yán jiū duì xiàng yǔ fāng fǎ gè yì de ruò gān fēn zhī。 (j.l.kelley， generaltopology， vannostrand， newyork， 1955.)
|
|
shì jìn dài fā zhǎn qǐ lái de yī gè yán jiū lián xù xìng xiàn xiàng de shù xué fēn zhī。 zhōng wén míng chēng qǐ yuán yú xī là yǔ Τοπολογία de yīn yì。 Topology yuán yì wéi dì mào， yú 19 shì jì zhōng qī yóu kē xué jiā yǐn rù， dāng shí zhù yào yán jiū de shì chū yú shù xué fēn xī de xū yào 'ér chǎn shēng de yī xiē jǐ hé wèn tí。 fā zhǎn zhì jīn， tuò pū xué zhù yào yán jiū tuò pū kōng jiān zài tuò pū biàn huàn xià de bù biàn xìng zhì hé bù biàn liàng。
shù xué de yī gè fēn zhī， yán jiū jǐ hé tú xíng zài lián xù gǎi biàn xíng zhuàng shí hái néng bǎo chí bù biàn de yī xiē tè xìng， tā zhǐ kǎo lǜ wù tǐ jiān de wèi zhì guān xì 'ér bù kǎo lǜ tā men de jù lí hé dà xiǎo。 [ yīng topology]
jǔ lì lái shuō， zài tōng cháng de píng miàn jǐ hé lǐ， bǎ píng miàn shàng de yī gè tú xíng bān dào lìng yī gè tú xíng shàng， rú guǒ wán quán chónghé， nà me zhè liǎng gè tú xíng jiào zuò quán děng xíng。 dàn shì， zài tuò pū xué lǐ suǒ yán jiū de tú xíng， zài yùn dòng zhōng wú lùn tā de dà xiǎo huò zhě xíng zhuàng dū fā shēng biàn huà。 zài tuò pū xué lǐ méi yòu bù néng wān qū de yuán sù， měi yī gè tú xíng de dà xiǎo、 xíng zhuàng dōukě yǐ gǎi biàn。 lì rú， xià miàn jiāng yào jiǎng de 'ōu lā zài jiě jué gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí de shí hòu， tā huà de tú xíng jiù bù kǎo lǜ tā de dà xiǎo、 xíng zhuàng， jǐn kǎo lǜ diǎn hé xiàn de gè shù。 zhè xiē jiù shì tuò pū xué sī kǎo wèn tí de chū fā diǎn。
jiǎn dān dì shuō， tuò pū jiù shì yán jiū yòu xíng de wù tǐ zài lián xù biàn huàn xià， zěn yàng hái néng bǎo chí xìng zhì bù biàn。 |
|
jǐ hé tuò pū xué shì shí jiǔ shì jì xíng chéng de yī mén shù xué fēn zhī， tā shǔ yú jǐ hé xué de fàn chóu。 yòu guān tuò pū xué de yī xiē nèi róng zǎo zài shí bā shì jì jiù chū xiàn liǎo。 nà shí hòu fā xiàn yī xiē gū lì de wèn tí， hòu lái zài tuò pū xué de xíng chéng zhōng zhàn zhe zhòng yào de dì wèi。
zài shù xué shàng， guān yú gē ní sī bǎo qī qiáo wèn tí、 duō miàn tǐ de 'ōu lā dìng lǐ、 sì sè wèn tí děngdōu shì tuò pū xué fā zhǎn shǐ de zhòng yào wèn tí。
gē ní sī bǎo（ jīn 'é luó sī jiā lǐ níng gé lè） shì dōng pǔ lǔ shì de shǒu dū， pǔ lāi gé 'ěr hé héng guàn qí zhōng。 shí bā shì jì zài zhè tiáo hé shàng jiàn yòu qī zuò qiáo， jiāng hé zhōng jiān de liǎng gè dǎo hé hé 'àn lián jié qǐ lái。 rén men xián xiá shí jīng cháng zài zhè shàng biān sàn bù， yī tiān yòu rén tí chū： néng bù néng měi zuò qiáo dū zhǐ zǒu yī biàn， zuì hòu yòu huí dào yuán lái de wèi zhì。 zhè gè kàn qǐ lái hěn jiǎn dān yòu hěn yòu qù de wèn tí xī yǐn liǎo dà jiā， hěn duō rén zài cháng shì gè zhǒng gè yàng de zǒu fǎ， dàn shuí yě méi yòu zuò dào。 kàn lái yào dé dào yī gè míng què、 lǐ xiǎng de dá 'àn hái bù nà me róng yì。
1736 nián， yòu rén dài zhe zhè gè wèn tí zhǎo dào liǎo dāng shí de dà shù xué jiā 'ōu lā， ōu lā jīng guò yī fān sī kǎo， hěn kuài jiù yòng yī zhǒng dú tè de fāng fǎ gěi chū liǎo jiě dá。 ōu lā bǎ zhè gè wèn tí shǒu xiān jiǎn huà， tā bǎ liǎng zuò xiǎo dǎo hé hé de liǎng 'àn fēn bié kàn zuò sì gè diǎn， ér bǎ qī zuò qiáo kàn zuò zhè sì gè diǎn zhī jiān de lián xiàn。 nà me zhè gè wèn tí jiù jiǎn huà chéng， néng bù néng yòng yī bǐ jiù bǎ zhè gè tú xíng huà chū lái。 jīng guò jìn yī bù de fēn xī， ōu lā dé chū jié lùn héng héng bù kě néng měi zuò qiáo dū zǒu yī biàn， zuì hòu huí dào yuán lái de wèi zhì。 bìng qiě gěi chū liǎo suǒ yòu néng gòu yī bǐ huà chū lái de tú xíng suǒ yìng jù yòu de tiáo jiàn。 zhè shì tuò pū xué de“ xiān shēng”。
zài tuò pū xué de fā zhǎn lì shǐ zhōng， hái yòu yī gè zhù míng 'ér qiě zhòng yào de guān yú duō miàn tǐ de dìng lǐ yě hé 'ōu lā yòu guān。 zhè gè dìng lǐ nèi róng shì： rú guǒ yī gè tū duō miàn tǐ de dǐng diǎn shù shì v、 lēng shù shì e、 miàn shù shì f， nà me tā men zǒng yòu zhè yàng de guān xì： f+v-e=2。
gēn jù duō miàn tǐ de 'ōu lā dìng lǐ， kě yǐ dé chū zhè yàng yī gè yòu qù de shì shí： zhǐ cún zài wǔ zhǒng zhèng duō miàn tǐ。 tā men shì zhèng sì miàn tǐ、 zhèng liù miàn tǐ、 zhèng bā miàn tǐ、 zhèng shí 'èr miàn tǐ、 zhèng 'èr shí miàn tǐ。
zhù míng de“ sì sè wèn tí” yě shì yǔ tuò pū xué fā zhǎn yòu guān de wèn tí。 sì sè wèn tí yòu chēng sì sè cāi xiǎng， shì shì jiè jìn dài sān dà shù xué nán tí zhī yī。
sì sè cāi xiǎng de tí chū lái zì yīng guó。 1852 nián， bì yè yú lún dūn dà xué de fú nán xī sī . gé sī lǐ lái dào yī jiā kē yán dān wèi gǎo dì tú zhuósè gōng zuò shí， fā xiàn liǎo yī zhǒng yòu qù de xiàn xiàng：“ kàn lái， měi fú dì tú dōukě yǐ yòng sì zhǒng yán sè zhuósè， shǐ dé yòu gòng tóng biān jiè de guó jiādōu bèi zhe shàng bù tóng de yán sè。”
1872 nián， yīng guó dāng shí zuì zhù míng de shù xué jiā kǎi lì zhèng shì xiàng lún dūn shù xué xué huì tí chū liǎo zhè gè wèn tí， yú shì sì sè cāi xiǎng chéng liǎo shì jiè shù xué jiè guān zhù de wèn tí。 shì jiè shàng xǔ duō yī liú de shù xué jiādōu fēn fēn cān jiā liǎo sì sè cāi xiǎng de dà huì zhàn。 1878～ 1880 nián liǎng nián jiān， zhù míng lǜ shī jiān shù xué jiā kěn pǔ hé tài lè liǎng rén fēn bié tí jiāo liǎo zhèng míng sì sè cāi xiǎng de lùn wén， xuān bù zhèng míng liǎo sì sè dìng lǐ。 dàn hòu lái shù xué jiā hè wǔ dé yǐ zì jǐ de jīng què jì suàn zhǐ chū kěn pǔ de zhèng míng shì cuò wù de。 bù jiǔ， tài lè de zhèng míng yě bèi rén men fǒu dìng liǎo。 yú shì， rén men kāi shǐ rèn shí dào， zhè gè mào sì róng yì de tí mù， qí shí shì yī gè kě yǔ fèi mǎ cāi xiǎng xiāng pì měi de nán tí。
jìn rù 20 shì jì yǐ lái， kē xué jiā men duì sì sè cāi xiǎng de zhèng míng jī běn shàng shì 'àn zhào kěn pǔ de xiǎng fǎ zài jìn xíng。 diàn zǐ jì suàn jī wèn shì yǐ hòu， yóu yú yǎn suàn sù dù xùn sù tí gāo， jiā zhī rén jī duì huà de chū xiàn， dà dà jiā kuài liǎo duì sì sè cāi xiǎng zhèng míng de jìn chéng。 1976 nián， měi guó shù xué jiā 'ā pèi 'ěr yǔ hā kěn zài měi guó yī lì nuò sī dà xué de liǎng tái bù tóng de diàn zǐ jì suàn jī shàng， yòng liǎo 1200 gè xiǎo shí， zuò liǎo 100 yì pàn duàn， zhōng yú wán chéng liǎo sì sè dìng lǐ de zhèng míng。 bù guò bù shǎo shù xué jiā bìng bù mǎn zú yú jì suàn jī qǔ dé de chéng jiù， tā men rèn wéi yīnggāi yòu yī zhǒng jiǎn jié míng kuài de shū miàn zhèng míng fāng fǎ。
shàng miàn de jǐ gè lì zǐ suǒ jiǎng dedōu shì yī xiē hé jǐ hé tú xíng yòu guān de wèn tí， dàn zhè xiē wèn tí yòu yǔ chuán tǒng de jǐ hé xué bù tóng， ér shì yī xiē xīn de jǐ hé gài niàn。 zhè xiē jiù shì“ tuò pū xué ” de xiān shēng。 tuò pū xué shì shù xué zhōng yī gè zhòng yào de、 jī chǔ xìng de fēn zhī。 tā zuì chū shì jǐ hé xué de yī gè fēn zhī， zhù yào yán jiū jǐ hé tú xíng zài lián xù biàn xíng xià bǎo chí bù biàn de xìng zhì， xiàn zài yǐ chéng wéi yán jiū lián xù xìng xiàn xiàng de zhòng yào de shù xué fēn zhī。
tuò pū xué qǐ chū jiào xíng shì fēn xī xué， shì lāi bù ní cí 1679 nián tí chū de míng cí。 shí jiǔ shì jì zhōng qī， lí màn zài fù hán shù de yán jiū zhōng qiáng diào yán jiū hán shù hé jī fēn jiù bì xū yán jiū xíng shì fēn xī xué。 cóng cǐ kāi shǐ liǎo xiàn dài tuò pū xué de xì tǒng yán jiū。
lián xù xìng hé lí sàn xìng shì zì rán jiè yǔ shè huì xiàn xiàng zhōng pǔ biàn cún zài de。 tuò pū xué duì lián xù xìng shù xué shì dài yòu gēn běn yì yì de， duì yú lí sàn xìng shù xué yě qǐ zhe jù dà de tuī dòng zuò yòng。 tuò pū xué de jī běn nèi róng yǐ jīng chéng wéi xiàn dài shù xué de cháng shí。 tuò pū xué de gài niàn hé fāng fǎ zài wù lǐ xué、 shēng wù xué、 huà xué děng xué kē zhōng dū yòu zhí jiē、 guǎng fàn de yìng yòng。
tuò pū xué shì jǐ hé xué de yī gè fēn zhī， tā shì cóng tú lùn yǎn biàn guò lái de。 tuò pū xué jiāng shí tǐ chōu xiàng chéng yǔ qí dà xiǎo、 xíng zhuàng wú guān de diǎn， jiāng lián jiē shí tǐ de xiàn lù chōu xiàng chéng xiàn， jìn 'ér yán jiū diǎn、 xiàn、 miàn zhī jiān de guān xì。 wǎng luò tuò pū tōng guò jié diǎn yǔ tōng xìn xiàn lù zhī jiān de jǐ hé guān xì lái biǎo shì wǎng luò jié gòu， fǎn yìng chū wǎng luò zhōng gè gè shí tǐ zhī jiān de jié gòu guān xì。 tuò pū shè jì shì jiàn shè jì suàn jī wǎng luò de dì yī bù， yě shì shí xiàn gè zhǒng wǎng luò xié yì de jī chǔ， tā duì wǎng luò xìng néng、 kě kào xìng yǔ tōng xìn dài jià yòu hěn dà yǐng xiǎng。 wǎng luò tuò pū zhù yào shì zhǐ tōng xìn zǐ wǎng de tuò pū gòu xíng。 |
|
tuò pū xìng zhì yòu nà xiē ní？ shǒu xiān wǒ men jiè shào tuò pū děng jià， zhè shì bǐ jiào róng yì lǐ jiě de yī gè tuò pū xìng zhì。
zài tuò pū xué lǐ bù tǎo lùn liǎng gè tú xíng quán děng de gài niàn， dàn shì tǎo lùn tuò pū děng jià de gài niàn。 bǐ rú， jìn guǎn yuán hé fāng xíng、 sān jiǎo xíng de xíng zhuàng、 dà xiǎo bù tóng， zài tuò pū biàn huàn xià， tā mendōu shì děng jià tú xíng。 huàn jù huà jiǎng， jiù shì cóng tuò pū xué de jiǎo dù kàn， tā men shì wán quán yī yàng de。
zài yī gè qiú miàn shàng rèn xuǎn yī xiē diǎn yòng bù xiāng jiāo de xiàn bǎ tā men lián jiē qǐ lái， zhè yàng qiú miàn jiù bèi zhè xiē xiàn fēn chéng xǔ duō kuài。 zài tuò pū biàn huàn xià， diǎn、 xiàn、 kuài de shù mù réng hé yuán lái de shù mù yī yàng， zhè jiù shì tuò pū děng jià。 yī bān dì shuō， duì yú rèn yì xíng zhuàng de bì qū miàn， zhǐ yào bù bǎ qū miàn sī liè huò gē pò， tā de biàn huàn jiù shì tuò pū biàn huàn， jiù cún zài tuò pū děng jià。
yīnggāi zhǐ chū， huán miàn bù jù yòu zhè gè xìng zhì。 bǎ huán miàn qiē kāi， tā bù zhì yú fēn chéng xǔ duō kuài， zhǐ shì biàn chéng yī gè wān qū de yuán tǒng xíng， duì yú zhè zhǒng qíng kuàng， wǒ men jiù shuō qiú miàn bù néng tuò pū de biàn chéng huán miàn。 suǒ yǐ qiú miàn hé huán miàn zài tuò pū xué zhōng shì bù tóng de qū miàn。
zhí xiàn shàng de diǎn hé xiàn de jié hé guān xì、 shùn xù guān xì， zài tuò pū biàn huàn xià bù biàn， zhè shì tuò pū xìng zhì。 zài tuò pū xué zhōng qū xiàn hé qū miàn de bì hé xìng zhì yě shì tuò pū xìng zhì。
wǒ men tōng cháng jiǎng de píng miàn、 qū miàn tōng cháng yòu liǎng gè miàn， jiù xiàng yī zhāng zhǐ yòu liǎng gè miàn yī yàng。 dàn dé guó shù xué jiā mò bǐ wū sī (1790～ 1868) zài 1858 nián fā xiàn liǎo mò bǐ wū sī qū miàn。 zhè zhǒng qū miàn jiù bù néng yòng bù tóng de yán sè lái tú mǎn， yīn wéi zhǐ yòu yī gè miàn。
tuò pū biàn huàn de bù biàn xìng、 bù biàn liàng hái yòu hěn duō， zhè lǐ bù zài jiè shào。 |
|
tuò pū xué jiàn lì hòu， yóu yú qí tā shù xué xué kē de fā zhǎn xū yào， tā yě dé dào liǎo xùn sù de fā zhǎn。 tè bié shì lí màn chuàng lì lí màn jǐ hé yǐ hòu， tā bǎ tuò pū xué gài niàn zuò wéi fēn xī hán shù lùn de jī chǔ， gèng jiā cù jìn liǎo tuò pū xué de jìn zhǎn。
èr shí shì jì yǐ lái， jí hé lùn bèi yǐn jìn liǎo tuò pū xué ， wéi tuò pū xué kāi tuò liǎo xīn de miàn mào。 tuò pū xué de yán jiū jiù biàn chéng liǎo guān yú rèn yì diǎn jí de duì yìng de gài niàn。 tuò pū xué zhōng yī xiē xū yào jīng què huà miáo shù de wèn tí dōukě yǐ yìng yòng jí hé lái lùn shù。
yīn wéi dà liàng zì rán xiàn xiàng jù yòu lián xù xìng， suǒ yǐ tuò pū xué jù yòu guǎng fàn lián xì gè zhǒng shí jì shì wù de kě néng xìng。 tōng guò tuò pū xué de yán jiū， kě yǐ chǎn míng kōng jiān de jí hé jié gòu， cóng 'ér zhǎng wò kōng jiān zhī jiān de hán shù guān xì。 běn shì jì sān shí nián dài yǐ hòu， shù xué jiā duì tuò pū xué de yán jiū gèng jiā shēn rù， tí chū liǎo xǔ duō quán xīn de gài niàn。 bǐ rú， yī zhì xìng jié gòu gài niàn、 chōu xiàng jù gài niàn hé jìn sì kōng jiān gài niàn děng děng。 yòu yī mén shù xué fēn zhī jiào zuò wēi fēn jǐ hé， shì yòng wēi fēn gōng jù lái yán jiū qū xiàn、 qū miàn děng zài yī diǎn fù jìn de wān qū qíng kuàng， ér tuò pū xué shì yán jiū qū miàn de quán jú lián xì de qíng kuàng， yīn cǐ， zhè liǎng mén xué kē yīnggāi cún zài mǒu zhǒng běn zhì de lián xì。 1945 nián， měi jí zhōng guó shù xué jiā chén shěng shēn jiàn lì liǎo dài shù tuò pū hé wēi fēn jǐ hé de lián xì， bìng tuī jìn liǎo zhěng tǐ jǐ hé xué de fā zhǎn。
tuò pū xué fā zhǎn dào jīn tiān， zài lǐ lùn shàng yǐ jīng shí fēn míng xiǎn fēn chéng liǎo liǎng gè fēn zhī。 yī gè fēn zhī shì piān zhòng yú yòng fēn xī de fāng fǎ lái yán jiū de， jiào zuò diǎn jí tuò pū xué ， huò zhě jiào zuò fēn xī tuò pū xué 。 lìng yī gè fēn zhī shì piān zhòng yú yòng dài shù fāng fǎ lái yán jiū de， jiào zuò dài shù tuò pū。 xiàn zài， zhè liǎng gè fēn zhī yòu yòu tǒng yī de qū shì。
tuò pū xué zài fàn hán fēn xī、 lǐ qún lùn、 wēi fēn jǐ hé、 wēi fēn fāng chéng 'é qí tā xǔ duō shù xué fēn zhī zhōng dōuyòu guǎng fàn de yìng yòng。 |
|
tuò pū xué qǐ chū jiào xíng shì fēn xī xué， zhè shì G.W. lāi bù ní cí 1679 nián tí chū de míng cí ( zhōng wén yì chéng xíng shì， xíng zhǐ yī gè tú xíng běn shēn de xìng zhì， shì zhǐ yī gè tú xíng yǔ qí zǐ tú xíngxiàng duì de xìng zhì， jīng guò 20 shì jì 30 nián dài zhōng qī qǐ bù 'ěr bā jī xué pài de bǔ chōng（ yī zhì xìng kōng jiān、 fǎng jǐn xìng děng） hé zhěng lǐ， niǔ jié hé qiàn rù wèn tí jiù shì shì de wèn tí )。 suí hòu bō lán xué pài hé sū lián xué pài duì tuò pū kōng jiān de jī běn xìng zhì（ fēn lí xìng、 jǐn xìng、 lián tōng xìng děng） zuò liǎo xì tǒng de yán jiū。 L. ōu lā 1736 nián jiě jué liǎo qī qiáo wèn tí， 1750 nián fā biǎo liǎo duō miàn tǐ gōng shì ;C.F. gāo sī 1833 nián zài diàn dòng lì xué zhōng yòng xiàn jī fēn dìng yì liǎo kōng jiān zhōng liǎng tiáo fēng bì qū xiàn de huán rào shù。 tuò pū xué zhè gè cí（ zhōng wén shì yīn yì） shì J.B. lì sī tíng tí chū de (1847)， yuán zì xī là wén ( wèi zhì、 xíng shì ) yǔ ( xué wèn )。 zhè shì méng yá jiē duàn。
1851 nián qǐ， B. lí màn zài fù hán shù de yán jiū zhōng tí chū liǎo lí màn miàn de jǐ hé gài niàn， bìng qiě qiáng diào， wèile yán jiū hán shù、 yán jiū jī fēn， jiù bì xū yán jiū xíng shì fēn xī xué。 cóng cǐ kāi shǐ liǎo tuò pū xué de xì tǒng yán jiū， zài diǎn jí lùn de sī xiǎng yǐng xiǎng xià， lí màn běn rén jiě jué liǎo kě dìng xiàng bì qū miàn de tóng pēi fēn lèi wèn tí。 rú jù diǎn（ jí xiàn diǎn）、 kāi jí、 bì jí、 chóu mì xìng、 lián tōng xìng děng。 zài jǐ hé xué de yán jiū zhōng lí màn míng què tí chū n wéi liú xíng de gài niàn (1854)。 dé chū xǔ duō tuò pū gài niàn，
zǔ hé tuò pū xué de diàn jī rén shì H. páng jiā lāi。 tā shì zài fēn xī xué hé lì xué de gōng zuò zhōng， tè bié shì guān yú fù hán shù de dān zhí huà hé guān yú wēi fēn fāng chéng jué dìng de qū xiàn de yán jiū zhōng， yǐn xiàng tuò pū xué wèn tí de， dàn tā de fāng fǎ yòu shí bù gòu yán mì， tā de zhù yào xīng qù zài n wéi liú xíng。 zài 1895～ 1904 nián jiān， tā chuàng lì liǎo yòng pōu fēn yán jiū liú xíng de jī běn fāng fǎ。 tā yǐn jìn liǎo xǔ duō bù biàn liàng： jī běn qún、 tóng diào、 bèi dì shù、 náo xì shù， bìng tí chū liǎo jù tǐ jì suàn de fāng fǎ。 tā yǐn jìn liǎo xǔ duō bù biàn liàng： jī běn qún、 tóng diào、 bèi dì shù、 náo xì shù， tā tàn tǎo liǎo sān wéi liú xíng de tuò pū fēn lèi wèn tí， tí chū liǎo zhù míng de páng jiā lāi cāi xiǎng。 tā liú xià de fēng fù sī xiǎng yǐng xiǎng shēn yuǎn， dàn tā de fāng fǎ yòu shí bù gòu yán mì， guò duō dì yǐ lài jǐ hé zhí guān。 tè bié shì guān yú fù hán shù de dān zhí huà hé guān yú wēi fēn fāng chéng jué dìng de qū xiàn de yán jiū zhōng，
tuò pū xué de lìng yī yuān yuán shì fēn xī xué de yán mì huà。 tā shì zài fēn xī xué hé lì xué de gōng zuò zhōng， shí shù de yán gé dìng yì tuī dòng G. kāng tuō 'ěr cóng 1873 nián qǐ xì tǒng dì zhǎn kāi liǎo 'ōu shì kōng jiān zhōng de diǎn jí de yán jiū， dé chū xǔ duō tuò pū gài niàn， rú jù diǎn（ jí xiàn diǎn）、 kāi jí、 bì jí、 chóu mì xìng、 lián tōng xìng děng。 zài diǎn jí lùn de sī xiǎng yǐng xiǎng xià， fēn xī xué zhōng chū xiàn liǎo fàn hán shù（ jí hán shù de hán shù） de guān niàn， bǎ hán shù jí kàn chéng yī zhǒng jǐ hé duì xiàng bìng tǎo lùn qí zhōng de jí xiàn。 zhè zhōng yú dǎo zhì chōu xiàng kōng jiān de guān niàn。 zhè yàng， B. lí màn zài fù hán shù de yán jiū zhōng tí chū liǎo lí màn miàn de jǐ hé gài niàn， dào 19、 20 shì jì zhī jiāo， yǐ jīng xíng chéng liǎo zǔ hé tuò pū xué yǔ diǎn jí tuò pū xué zhè liǎng gè yán jiū fāng xiàng。 zhè shì méng yá jiē duàn。
yī bān tuò pū xué zuì zǎo yán jiū chōu xiàng kōng jiān de shì M.-R. fú léi xiē， zài 1906 nián yǐn jìn liǎo dù liàng kōng jiān de gài niàn。 F. háo sī duō fū zài《 jí lùn dà gāng》（ 1914） zhōng yòng kāi lín yù dìng yì liǎo bǐ jiào yī bān de tuò pū kōng jiān， biāo zhì zhe yòng gōng lǐ huà fāng fǎ yán jiū lián xù xìng de yī bān tuò pū xué de chǎn shēng。 L. ōu lā 1736 nián jiě jué liǎo qī qiáo wèn tí， suí hòu bō lán xué pài hé sū lián xué pài duì tuò pū kōng jiān de jī běn xìng zhì（ fēn lí xìng、 jǐn xìng、 lián tōng xìng děng） zuò liǎo xì tǒng de yán jiū。 jīng guò 20 shì jì 30 nián dài zhōng qī qǐ bù 'ěr bā jī xué pài de bǔ chōng（ yī zhì xìng kōng jiān、 fǎng jǐn xìng děng） hé zhěng lǐ， yī bān tuò pū xué qū yú chéng shú， chéng wéi dì 'èr cì shì jiè dà zhàn hòu shù xué yán jiū de gòng tóng jī chǔ。 cóng qí fāng fǎ hé jiēguǒ duì yú shù xué de yǐng xiǎng kàn， jǐn tuò pū kōng jiān hé wán bèi dù liàng kōng jiān de lǐ lùn shì zuì zhòng yào de。 jǐn huà wèn tí hé dù liàng huà wèn tí yě dé dào liǎo shēn rù de yán jiū。 gōng lǐ huà de yī bān tuò pū xué wǎn jìn de fā zhǎn kě jiàn yī bān tuò pū xué 。
ōu shì kōng jiān zhōng de diǎn jí de yán jiū， lì rú， yī zhí shì tuò pū xué de zhòng yào bù fēn， yǐ fā zhǎn chéng yī bān tuò pū xué yǔ dài shù tuò pū xué jiāo huì de lǐng yù， yě kě kàn zuò jǐ hé tuò pū xué de yī bù fēn。 50 nián dài yǐ lái， jí wèn liǎng gè yìng shè， yǐ R.H. bīn wéi dài biǎo de měi guó xué pài de gōng zuò jiā shēn liǎo duì liú xíng de rèn shí， shì wèn liǎng gè gěi dìng de yìng shè shì fǒu tóng lún， zài sì wéi páng jiā lāi cāi xiǎng de zhèng míng zhōng fā huī liǎo zuò yòng。 cóng pí yà nuò qū xiàn yǐn qǐ de wéi shù jí lián xù tǒng de yán jiū， xí guàn shàng yě kàn chéng yī bān tuò pū xué de fēn zhī。
dài shù tuò pū xué L.E.J. bù láo wēi 'ěr zài 1910～ 1912 nián jiān tí chū liǎo yòng dān chún yìng shè bī jìn lián xù yìng shè de fāng fǎ， xǔ duō zhòng yào de jǐ hé xiàn xiàng， yòng yǐ zhèng míng liǎo bù tóng wéi de 'ōu shì kōng jiān bù tóng pēi， tā men jiù bù tóng pēi。 yǐn jìn liǎo tóng wéi liú xíng zhī jiān de yìng shè de dù yǐ yán jiū tóng lún fēn lèi， bìng kāi chuàng liǎo bù dòng diǎn lǐ lùn。 tā shǐ zǔ hé tuò pū xué zài gài niàn jīng què、 lùn zhèng yán mì fāng miàn dá dào liǎo yīngyǒu de biāo zhǔn， ér 'ōu lā shù υ-e+ƒ> zé shì）。 chéng wéi yǐn rén zhǔ mùdì xué kē。 jǐn jiē zhe， J.W. yà lì shān dà 1915 nián zhèng míng liǎo bèi dì shù yǔ náo xì shù de tuò pū bù biàn xìng。 rú lián tōng xìng、 jǐn xìng），
suí zhe chōu xiàng dài shù xué de xīng qǐ， 1925 nián zuǒ yòu A.E. nuò tè tí yì bǎ zǔ hé tuò pū xué jiàn lì zài qún lùn de jī chǔ shàng， zài tā de yǐng xiǎng xià H. huò pǔ fū 1928 nián dìng yì liǎo tóng diào qún。 cóng cǐ zǔ hé tuò pū xué zhú bù yǎn biàn chéng lì yòng chōu xiàng dài shù de fāng fǎ yán jiū tuò pū wèn tí de dài shù tuò pū xué 。 rú wéi shù、 ōu lā shù， S. ài lún bó gé yǔ N.E. sī tíng luó dé 1945 nián yǐ gōng lǐ huà de fāng shì zǒng jié liǎo dāng shí de tóng diào lùn， hòu xiě chéng《 dài shù tuò pū xué jī chǔ》 (1952)， duì yú dài shù tuò pū xué de chuán bō、 yìng yòng hé jìn yī bù fā zhǎn qǐ liǎo jù dà de tuī dòng zuò yòng。 tā men bǎ dài shù tuò pū xué de jī běn jīng shén gài kuò wéi： bǎ tuò pū wèn tí zhuǎn huà wéi dài shù wèn tí， tōng guò jì suàn lái qiú jiě。 tóng diào qún， yǐ jí zài 30 nián dài yǐn jìn de shàng tóng diào huán， dōushì cóng tuò pū dào dài shù de guò dù（ jiàn tóng diào lùn）。 zhí dào jīn tiān， sān jiǎo xíng yǔ yuán xíng tóng pēi； ér zhí xiàn yǔ yuán zhōu bù tóng pēi， tóng diào lùn（ bāo kuò shàng tóng diào） suǒ tí gōng de bù biàn liàng réng shì tuò pū xué zhōng zuì yì yú jì suàn de， yīn 'ér yě zuì cháng yòng de。 bù bì jiā yǐ qū bié。
tóng lún lùn yán jiū kōng jiān de yǐ jí yìng shè de tóng lún fēn lèi。 W. hè wéi cí 1935～ 1936 nián jiān yǐn jìn liǎo tuò pū kōng jiān de n wéi tóng lún qún， qí yuán sù shì cóng n wéi qiú miàn dào gāi kōng jiān de yìng shè de tóng lún lèi， ér qiě ƒ tóng tā de nì yìng shè ƒ-1:B→ A dōushì lián xù de， yī wéi tóng lún qún qià shì jī běn qún。 tóng lún qún tí gōng liǎo cóng tuò pū dào dài shù de lìng yī zhǒng guò dù， què qiē de hán yì shì tóng pēi。 qí jǐ hé yì yì bǐ tóng diào qún gèng míng xiǎn， qián miàn suǒ shuō de jǐ hé tú xíng de lián xù biàn xíng， dàn shì jí nán jì suàn。 tóng lún qún de jì suàn， tè bié shì qiú miàn de tóng lún qún de jì suàn wèn tí cì jī liǎo tuò pū xué de fā zhǎn， chǎn shēng liǎo fēng fù duō cǎi de lǐ lùn hé fāng fǎ。 1950 nián J.P. sài 'ěr lì yòng J. lè léi wéi yán jiū xiān wéi cóng de tóng diào lùn 'ér fā zhǎn qǐ lái de pǔ xù liè zhè gè dài shù gōng jù， zuì jiǎn dān de lì zǐ shì 'ōu shì kōng jiān。 zài tóng lún qún de jì suàn shàng qǔ dé tū pò， wéi qí hòu tuò pū xué de tū fēi měng jìn kāipì liǎo dào lù。
cóng 50 nián dài mò zài dài shù jǐ hé xué hé wēi fēn tuò pū xué de yǐng xiǎng xià chǎn shēng liǎo K lǐ lùn， jiě jué liǎo guān yú liú xíng de yī xì liè tuò pū wèn tí kāi shǐ， chū xiàn liǎo hǎo jǐ zhǒng guǎng yì tóng diào lùn。 tā mendōu shì cóng tuò pū dào dài shù de guò dù， jiù shì yī gè guǎng yì de jǐ hé tú xíng。 jìn guǎn jǐ hé yì yì gè bù xiāng tóng， rú wù lǐ xué zhōng yī gè xì tǒng de suǒ yòu kě néng de zhuàng tài zǔ chéng suǒ wèi zhuàng tài kōng jiān， dài shù xìng zhì què dū yǔ tóng diào huò shàng tóng diào shí fēn xiāng xiàng， shì dài shù tuò pū xué de yòu lì wǔ qì。 cóng lǐ lùn shàng yě nòng qīng liǎo， tóng diào lùn（ pǔ tōng de hé guǎng yì de） běn zhì shàng shì tóng lún lùn de yī bù fēn。
cóng wēi fēn tuò pū xué dào jǐ hé tuò pū xué wēi fēn tuò pū xué shì yán jiū wēi fēn liú xíng yǔ wēi fēn yìng shè de tuò pū xué 。 zhè xiē xìng zhì yǔ cháng dù、 jiǎo dù wú guān， J.-L. lā gé lǎng rì、 B. lí màn、 H. páng jiā lāi zǎo jiù zuò guò wēi fēn liú xíng de yán jiū； suí zhe dài shù tuò pū xué hé wēi fēn jǐ hé xué de jìn bù， yǐ shàng zhè xiē lì zǐ qǐ shì liǎo： jǐ hé tú xíng hái yòu yī xiē bù néng yòng chuán tǒng de jǐ hé fāng fǎ lái yán jiū de xìng zhì。 zài 30 nián dài chóngxīn xīng qǐ。 H. huì tè ní 1935 nián gěi chū liǎo wēi fēn liú xíng de yī bān dìng yì， bìng zhèng míng tā zǒng néng qiàn rù gāo wéi 'ōu shì kōng jiān zuò wéi guāng huá de zǐ liú xíng。 wèile yán jiū wēi fēn liú xíng shàng de xiàng liàng chǎng， tā hái tí chū liǎo xiān wéi cóng de gài niàn， cóng 'ér shǐ xǔ duō jǐ hé wèn tí dū yǔ shàng tóng diào（ shì xìng lèi） hé tóng lún wèn tí lián xì qǐ lái liǎo。
1953 nián R. tuō mǔ de xié biān lǐ lùn ( jiàn wēi fēn tuò pū xué ) kāi chuàng liǎo wēi fēn tuò pū xué yǔ dài shù tuò pū xué bìng jiān yuè jìn de jú miàn， xǔ duō kùn nán de wēi fēn tuò pū wèn tí bèi huà chéng dài shù tuò pū wèn tí 'ér dé dào jiě jué， tóng shí yě cì jī liǎo dài shù tuò pū xué de jìn yī bù fā zhǎn。 cóng dòng diǎn zhǐ xiàng qí xiàng diǎn de xiàng liàng zhuàndòng de juàn shù。 1956 nián J.W. mǐ 'ěr nuò fā xiàn qī wéi qiú miàn shàng chú liǎo tōng cháng de wēi fēn jié gòu zhī wài， hái yòu bù tóng xún cháng de wēi fēn jié gòu。 měi gè bù dòng diǎn yě yòu gè“ zhǐ shù”， suí hòu， bù néng fù yǐ rèn hé wēi fēn jié gòu de liú xíng yòu bèi rén gòu zuò chū lái， zhè xiē dū xiǎn shì tuò pū liú xíng、 wēi fēn liú xíng yǐ jí jiè yú qí jiān de fēn duàn xiàn xìng liú xíng zhè sān gè fàn chóu yòu jù dà de chā bié， wēi fēn tuò pū xué yě cóng cǐ bèi gōng rèn wéi yī gè dú lì de tuò pū xué fēn zhī。 1960 nián S. sī méi 'ěr zhèng míng liǎo wǔ wéi yǐ shàng wēi fēn liú xíng de páng jiā lāi cāi xiǎng。 J.W. mǐ 'ěr nuò děng rén fā zhǎn liǎo chù lǐ wēi fēn liú xíng de jī běn fāng fǎ── wān bǔ shù， shǐ wǔ wéi yǐ shàng liú xíng de fēn lèi wèn tí yì zhú bù qū xiàng dài shù huà。
jìn xiē nián lái， yòu guān liú xíng de yán jiū zhōng， jǐ hé de kè tí、 jǐ hé de fāng fǎ qǔ dé bù shǎo jìn zhǎn。 tū chū de lǐng yù rú liú xíng de shàng shù sān dà fàn chóu zhī jiān de guān xì yǐ jí sān wéi、 sì wéi liú xíng de fēn lèi。 80 nián dài chū de zhòng dà chéng guǒ yòu： zhèng míng liǎo sì wéi páng jiā lāi cāi xiǎng， fā xiàn sì wéi 'ōu shì kōng jiān jìng hái yòu bù tóng xún cháng de wēi fēn jié gòu。 zhè zhǒng zhǒng yán jiū， tōng cháng fàn chēng jǐ hé tuò pū xué ， yǐ qiáng diào qí jǐ hé sè cǎi， ér huán miàn shàng què kě yǐ zào chū méi yòu qí diǎn de xiàng liàng chǎng。 qū bié yú dài shù wèi hěn zhòng de tóng lún lùn。
tuò pū xué yǔ qí tā xué kē de guān xì lián xù xìng yǔ lí sàn xìng zhè duì máo dùn zài zì rán xiàn xiàng yǔ shè huì xiàn xiàng zhōng pǔ biàn cún zài zhe， shù xué yě kě yǐ cū lüè dì fēn wéi lián xù xìng de yǔ lí sàn xìng de liǎng dà mén lèi。 tuò pū xué duì yú lián xù xìng shù xué zì rán shì dài yòu gēn běn yì yì de， duì yú lí sàn xìng shù xué yě qǐ zhe jù dà de tuī jìn zuò yòng。 lì rú， tuò pū xué de jī běn nèi róng yǐ jīng chéng wéi xiàn dài shù xué gōng zuò zhě de cháng shí。 tuò pū xué de zhòng yào xìng， tǐ xiàn zài tā yǔ qí tā shù xué fēn zhī、 qí tā xué kē de xiāng hù zuò yòng。
tuò pū xué yǔ wēi fēn jǐ hé xué yòu zhe xuè yuán guān xì， xiàng liàng chǎng wèn tí kǎo lǜ guāng huá qū miàn shàng de lián xù de qiē xiàng liàng chǎng， tā men zài bù tóng de céng cì shàng yán jiū liú xíng de xìng zhì。 jiù kàn qí zhōng shì fǒu bù hán yòu zhè liǎng gè tú zhī yī。 wèile yán jiū lí màn liú xíng shàng de cè dì xiàn， yī gè wǎng luò shì fǒu néng qiàn rù píng miàn， H.M. mò 'ěr sī zài 20 shì jì 20 nián dài jiàn lì liǎo fēi tuì huà lín jiè diǎn lǐ lùn， bǎ liú xíng shàng guāng huá hán shù de lín jiè diǎn de zhǐ shù yǔ liú xíng běn shēn de bèi dì shù lián xì qǐ lái， bìng fā zhǎn chéng dà fàn wéi biàn fēn fǎ。 mò 'ěr sī lǐ lùn hòu lái yòu yòng yú tuò pū xué zhōng， zhèng míng liǎo diǎn xíng qún de tóng lún qún de bó tè zhōu qī xìng ( zhè shì K lǐ lùn de jī shí )， bìng qǐ shì liǎo chù lǐ wēi fēn liú xíng de wān bǔ shù。 wēi fēn liú xíng、 xiān wéi cóng、 shì xìng lèi gěi É. jiā dāng de zhěng tǐ wēi fēn jǐ hé xué tí gōng liǎo hé shì de lǐ lùn kuàng jià， yě cóng zhōng huò qǔ liǎo qiáng dà de dòng lì hé fēng fù de kè tí。 G. pí yà nuò zài 1890 nián jìng zào chū yī tiáo zhè yàng de“ qū xiàn”， chén shěng shēn zài 40 nián dài yǐn jìn liǎo“ chén shì xìng lèi”， jiù bù dàn duì wēi fēn jǐ hé xué yǐng xiǎng shēn yuǎn， suí yī gè cān shù（ shí jiān） lián xù biàn huà de dòng diǎn suǒ miáo chū de guǐ jì jiù shì qū xiàn。 duì tuò pū xué yě shí fēn zhòng yào。 pǔ sù de guān niàn shì diǎn dòng chéng xiàn， xiān wéi cóng lǐ lùn hé lián luò lùn yī qǐ wéi lǐ lùn wù lǐ xué zhōng yáng－ mǐ 'ěr sī guī fàn chǎng lùn（ jiàn yáng－ mǐ 'ěr sī lǐ lùn） tí gōng liǎo xiàn chéng de shù xué kuàng jià， wéi shù wèn tí "> wéi shù wèn tí </font> shénme shì qū xiàn？ yóu rú 20 shì jì chū lí màn jǐ hé xué duì yú A. ài yīn sī tǎn guǎng yì xiāng duì lùn de zuò yòng。 guī fàn chǎng de yán jiū yòu cù jìn liǎo sì wéi de wēi fēn tuò pū xué chū rén yì liào de jìn zhǎn。
tuò pū xué duì yú fēn xī xué de xiàn dài fā zhǎn qǐ liǎo jí dà de tuī dòng zuò yòng。 suí zhe kē xué jì shù de fā zhǎn， xū yào yán jiū gè shì gè yàng de fēi xiàn xìng xiàn xiàng， fēn xī xué gèng duō dì qiú zhù yú tuò pū xué 。 yào wèn yī gè jié néng fǒu jiě kāi（ jí néng fǒu biàn xíng chéng píng fàng de yuán juàn）， 3O nián dài J. lè léi hé J.P. shào dé 'ěr bǎ L.E.J. bù láo wēi 'ěr de bù dòng diǎn dìng lǐ hé yìng shè dù lǐ lùn tuī guǎng dào bā ná hè kōng jiān xíng chéng liǎo tuò pū dù lǐ lùn。 hòu zhě yǐ jí qián shù de lín jiè diǎn lǐ lùn， niǔ jié wèn tí "> niǔ jié wèn tí kōng jiān zhōng yī tiáo zì shēn bù xiāng jiāo de fēng bì qū xiàn， dōuyǐ chéng wéi yán jiū fēi xiàn xìng piān wēi fēn fāng chéng de biāo zhǔn de gōng jù。 suǒ yǐ zhè yán sè shù yě shì qū miàn zài lián xù biàn xíng xià bù biàn de xìng zhì。 wēi fēn tuò pū xué de jìn bù， cù jìn liǎo fēn xī xué xiàng liú xíng shàng de fēn xī xué ( yòu chēng dà fàn wéi fēn xī xué ) fā zhǎn。 zài tuō mǔ de yǐng xiǎng xià， rán hòu suí yì niǔ qū， wēi fēn yìng shè de jié gòu wěn dìng xìng lǐ lùn hé qí diǎn lǐ lùn yǐ fā zhǎn chéng wéi zhòng yào de fēn zhī xué kē。 S. sī méi 'ěr zài 60 nián dài chū kāi shǐ de wēi fēn dòng lì xì tǒng de lǐ lùn， yào qī sè cái gòu。 jiù shì liú xíng shàng de cháng wēi fēn fāng chéng lùn。 M.F. ā dì yà děng rén 60 nián dài chū chuàng lì liǎo wēi fēn liú xíng shàng de tuǒ yuán xíng suàn zǐ lǐ lùn。 zhù míng de 'ā dì yà－ xīn gé zhǐ biāo dìng lǐ bǎ suàn zǐ de jiě xī zhǐ biāo yǔ liú xíng de shì xìng lèi lián xì qǐ lái， shì fēn xī xué yǔ tuò pū xué jié hé de fàn lì。 xiàn dài fàn hán fēn xī de suàn zǐ dài shù yǐ yǔ K lǐ lùn、 zhǐ biāo lǐ lùn、 yè zhuàng jié gòu mìqiè xiāng guān。 zài duō fù biàn hán shù lùn fāng miàn， lái zì dài shù tuò pū de céng lùn yǐ jīng chéng wéi jī běn gōng jù。
tuò pū xué de xū yào dà dà cì jī liǎo chōu xiàng dài shù xué de fā zhǎn， bìng qiě xíng chéng liǎo liǎng gè xīn de dài shù xué fēn zhī： tóng diào dài shù yǔ dài shù K lǐ lùn。 sì sè wèn tí zài píng miàn huò qiú miàn shàng huì zhì dì tú， dài shù jǐ hé xué cóng 50 nián dài yǐ lái yǐ jīng wán quán gǎi guān。 bǎ qū miàn biàn xíng chéng duō miàn tǐ hòu de 'ōu lā shù υ-e+ƒ zài qí zhōng qǐ zhe guān jiàn de zuò yòng（ jiàn http://baike7.com/baike/%CA%FD%D1%A7_%B1%D5%C7%FA%C3%E6%B5%C4%B7%D6%C0%E0.htmltarget=_blank> bì qū miàn de fēn lèi ). tuō mǔ de xié biān lùn zhí jiē cù shǐ dài shù cù de lí màn－ luó hè dìng lǐ de chǎn shēng， hòu zhě yòu cù shǐ tuò pū K lǐ lùn de chǎn shēng。 xiàn dài dài shù jǐ hé xué yǐ wán quán shǐ yòng shàng tóng diào de yǔ yán， zài lián xù biàn xíng xià fēng bì qū miàn yòu duō shǎo zhǒng bù tóng lèi xíng？ dài shù shù lùn yǔ dài shù qún yě zài cǐ jī chǔ shàng qǔ dé xǔ duō zhòng dà chéng guǒ， lì rú yòu guān bù dìng fāng chéng zhěng shù xièshù mù gū jì de wéi yī cāi xiǎng hé mò dé 'ěr cāi xiǎng de zhèng míng（ jiàn dài shù shù lùn）。
fàn chóu yǔ hán zǐ de guān niàn， shì zài gài kuò dài shù tuò pū de fāng fǎ lùn shí xíng chéng de。 fàn chóu lùn yǐ shēn rù shù xué jī chǔ、 dài shù jǐ hé xué děng fēn zhī（ jiàn fàn chóu）； duì tuò pū xué běn shēn yě yòu yǐng xiǎng， tōng sú de shuō fǎ shì kuàng xíng lǐ yòu gè dòng。 rú tuò pū sī de guān niàn dà dà tuò guǎng liǎo jīng diǎn de tuò pū kōng jiān guān niàn。 tū xíng yǔ kuàng xíng zhī jiān yòu bǐ cháng duǎn qū zhí gèng běn zhì de chā bié，
zài jīng jì xué fāng miàn， zhè shuō míng， J. féng · nuò yī màn shǒu xiān bǎ bù dòng diǎn dìng lǐ yòng lái zhèng míng jūn héng de cún zài xìng。 zài xiàn dài shù lǐ jīng jì xué zhōng， duì yú jīng jì de shù xué mó xíng， jūn héng de cún zài xìng、 xìng zhì、 jì suàn děng gēn běn wèn tí dū lí bù kāi dài shù tuò pū xué 、 wēi fēn tuò pū xué 、 dà fàn wéi fēn xī de gōng jù。 zài xì tǒng lǐ lùn、 duì cè lùn、 guī huá lùn、 wǎng luò lùn zhōng tuò pū xué yědōu yòu zhòng yào yìng yòng。
tuō mǔ yǐ wēi fēn tuò pū xué zhōng wēi fēn yìng shè de qí diǎn lǐ lùn wéi jī chǔ chuàng lì liǎo tū biàn lǐ lùn， wéi cóng liàng biàn dào zhì biàn de zhuǎn huà tí gōng gè zhǒng shù xué mó shì。 zài wù lǐ xué、 huà xué、 shēng wù xué、 yǔ yán xué děng fāng miàn yǐ yòu bù shǎo yìng yòng " ōu lā de duō miàn tǐ gōng shì yǔ qū miàn de fēn lèi "> ōu lā de duō miàn tǐ gōng shì yǔ qū miàn de fēn 'ōu lā fā xiàn，
chú liǎo tōng guò gè shù xué fēn zhī de jiànjiē de yǐng xiǎng wài， tuò pū xué de gài niàn hé fāng fǎ duì wù lǐ xué ( rú yè jīng jié gòu quē xiàn de fēn lèi )、 huà xué（ rú fènzǐ de tuò pū gòu xíng）、 shēng wù xué ( rú DNA de huán rào、 tuò pū yì gòu méi ) dōuyòu zhí jiē de yìng yòng。
tuò pū xué yǔ gè shù xué lǐng yù、 gè kē xué lǐng yù zhī jiān de biān yuán xìng yán jiū fāng xīng wèi 'ài。
cān kǎo shū mù jiāng zé hán zhù：《 tuò pū xué yǐn lùn》， shàng hǎi kē xué jì shù chū bǎn shè， shàng hǎi， 1978。 M.A.Armstrong zhù， sūn yǐ fēng yì：《 jī chǔ tuò pū xué 》， běi jīng dà xué chū bǎn shè， běi jīng， shàng yòu qī zuò qiáo（ jiàn tú lùn）。 1983。 (M.A.Armstrong， basicTopology， shì 20 shì jì lǐ lùn shù xué fā zhǎn zhōng de yī gè míng xiǎn tè zhēng。 McGraw-Hill， London， 1979.)S.EilenbergandN.Steenrod， FoundationsofAlgebraicTopology， yòu xiāng jì chū xiàn liǎo wēi fēn tuò pū xué 、 jǐ hé tuò pū xué děng fēn zhī。 PrincetonUniv.Press， Princeton， hòu zhě zé chéng wéi dài shù tuò pū xué 。 1952.J.L. kǎi lāi zhù， xiàn zài qián zhě yǐ yǎn huà chéng yī bān tuò pū xué ， wú cóng xīn、 wú ràng quán yì：《 yī bān tuò pū xué 》， kē xué chū bǎn shè， běi jīng， 1982。 tuò pū xué yòu fēn chéng yán jiū duì xiàng yǔ fāng fǎ gè yì de ruò gān fēn zhī。 (J.L.Kelley， GeneralTopology， VanNostrand， NewYork， 1955.) xióng jīn chéng lǚ jié tán fēng yì：《 tuò pū xué （ yuán shū dì 2 bǎn）》 yuán shū míng Topology(2ndEdition) yuán chū bǎn shè PrenticeHall/Pearson zuò zhě（ měi） JamesR.Munkres chū bǎn shè jī xiè gōng yè chū bǎn shè běn shū zuì dà de tè diǎn zài yú gài niàn yǐn rù zì rán， xún xù jiàn jìn。 duì yú yí nán de tuī lǐ zhèng míng， jiāng qí fēn jiě wéi jiǎn huà de bù zhòu， bù gěi dú zhě liú xià yí huò。 |
|
tuopuxue
tuò pū xué
topology
shù xué zhōng yī gè zhòng yào de、 jī chǔ de fēn zhī。 qǐ chū tā shì jǐ hé xué de yī zhī , yán jiū jǐ hé tú xíng zài lián xù biàn xíng xià bǎo chí bù biàn de xìng zhì ( suǒ wèi lián xù biàn xíng， xíng xiàng dì shuō jiù shì yǔn xǔ shēn suō hé niǔ qū děng biàn xíng， dàn bù xǔ gē duàn hé zhānhé ); xiàn zài yǐ fā zhǎn chéng wéi yán jiū lián xù xìng xiàn xiàng de shù xué fēn zhī。 yóu yú lián xù xìng zài shù xué zhōng de biǎo xiàn fāng shì yǔ yán jiū fāng fǎ de duō yàng xìng， tuò pū xué yòu fēn chéng yán jiū duì xiàng yǔ fāng fǎ gè yì de ruò gān fēn zhī。 zài tuò pū xué de yùn yù jiē duàn， 19 shì jì mò， jiù yǐ chū xiàn diǎn jí tuò pū xué yǔ zǔ hé tuò pū xué liǎng gè fāng xiàng。 xiàn zài qián zhě yǐ yǎn huà chéng yī bān tuò pū xué ， hòu zhě zé chéng wéi dài shù tuò pū xué 。 hòu lái， yòu xiāng jì chū xiàn liǎo wēi fēn tuò pū xué 、 jǐ hé tuò pū xué děng fēn zhī。 tuò pū xué zhù yào shì yóu yú fēn xī xué hé jǐ hé xué de xū yào 'ér fā zhǎn qǐ lái de , tā zì 30 nián dài yǐ lái de dà fā zhǎn , yóu qí shì tā de chéng guǒ yǔ fāng fǎ duì yú shù xué de gè gè lǐng yù de bù duàn shèn tòu， shì 20 shì jì lǐ lùn shù xué fā zhǎn zhōng de yī gè míng xiǎn tè zhēng。
tuò pū wèn tí de yī xiē chū děng lì zǐ
kē ní sī bǎo de qī qiáo wèn tí（ yī bǐ huà wèn tí） kē ní sī bǎo shì dōng pǔ lǔ shì shǒu fǔ， pǔ lāi gé 'ěr hé héng guàn qí zhōng， shàng yòu qī zuò qiáo（ jiàn tú lùn）。 yī gè sàn bù zhě zěn yàng cái néng zǒu biàn qī zuò qiáo 'ér měi zuò qiáo zhǐ jīng guò yī cì？ zhè gè 18 shì jì de zhì lì yóu xì， bèi L. ōu lā jiǎn huà wéi yòng xì xiàn huà chū de wǎng luò néng fǒu yī bǐ huà chū de wèn tí， rán hòu tā zhèng míng zhè shì gēn běn bàn bù dào de。 yī gè wǎng luò zhī néng fǒu yī bǐ huà chū， yǔ xiàn tiáo de cháng duǎn qū zhí wú guān， zhǐ jué dìng yú qí zhōng de diǎn yǔ xiàn de lián jiē fāng shì。 shè xiǎng yī gè wǎng luò shì yòng róu ruǎn 'ér yòu tánxìng de cái liào zhì zuò de， zài tā bèi wān qū、 lā shēn hòu， néng fǒu yī bǐ huà chū de xìng zhì shì bù huì gǎi biàn de。
ōu lā de duō miàn tǐ gōng shì yǔ qū miàn de fēn lèi ōu lā fā xiàn， bù lùn shénme xíng zhuàng de tū duō miàn tǐ， qí dǐng diǎn shù □、 lēng shù□、 miàn shù□ zhī jiān zǒng yòu□ zhè gè guān xì。 cóng zhè gè gōng shì kě yǐ zhèng míng zhèng duō miàn tǐ zhǐ yòu wǔ zhǒng（ jiàn zhèng duō miàn tǐ）。 zhí dé zhù yì de shì， rú guǒ duō miàn tǐ bù shì tū de 'ér chéng kuàng xíng（ tú 1 tū xíng yǔ kuàng xíng） , yě bù guǎn kuàng de xíng zhuàng rú hé， zǒng yòu□。 zhè shuō míng， tū xíng yǔ kuàng xíng zhī jiān yòu bǐ cháng duǎn qū zhí gèng běn zhì de chā bié， tōng sú de shuō fǎ shì kuàng xíng lǐ yòu gè dòng。
zài lián xù biàn xíng xià， tū tǐ de biǎo miàn kě yǐ biàn wéi qiú miàn， kuàng de biǎo miàn kě yǐ biàn wéi huán miàn（ lún tāi miàn）。 zhè liǎng zhě què bù néng tōng guò lián xù biàn xíng hù biàn。 zài lián xù biàn xíng xià fēng bì qū miàn yòu duō shǎo zhǒng bù tóng lèi xíng？ zěn yàng jiàn bié tā men？ zhè céng shì 19 shì jì hòu bàn yè tuò pū xué yán jiū de zhù yào wèn tí。 bǎ qū miàn biàn xíng chéng duō miàn tǐ hòu de 'ōu lā shù□ -□ +□ zài qí zhōng qǐ zhe guān jiàn de zuò yòng（ jiàn bì qū miàn de fēn lèi）。
sì sè wèn tí zài píng miàn huò qiú miàn shàng huì zhì dì tú， yòu gōng gòng biān jiè xiàn de qū yù yòng bù tóng de yán sè jiā yǐ qū bié。 19 shì jì zhōng qī， rén men cóng jīng yàn cāi xiǎng yòng sì zhǒng yán sè jiù zú yǐ gěi suǒ yòu de dì tú shàng sè。 zhèng míng zhè gè cāi xiǎng de cháng shì， què yán xù liǎo 100 duō nián , dào 1976 nián cái chū xiàn liǎo yī gè jiè zhù yú jì suàn jī de zhèng míng。 rú guǒ bù shì zài píng miàn shàng 'ér shì zài lún tāi miàn shàng huà dì tú， sì sè jiù bù gòu liǎo， yào qī sè cái gòu。 yòng xiàng pí zuò yī gè qū miàn mó xíng， rán hòu suí yì niǔ qū， nòng dé shān luán qǐ fú， zhè duì qí shàng de dì tú zhuósè háo wú yǐng xiǎng， suǒ yǐ zhè yán sè shù yě shì qū miàn zài lián xù biàn xíng xià bù biàn de xìng zhì。
niǔ jié wèn tí kōng jiān zhōng yī tiáo zì shēn bù xiāng jiāo de fēng bì qū xiàn， huì fā shēng dǎ jié xiàn xiàng。 yào wèn yī gè jié néng fǒu jiě kāi（ jí néng fǒu biàn xíng chéng píng fàng de yuán juàn） , huò zhě wèn liǎng gè jié néng fǒu hù biàn（ lì rú， tú 2 yuán juàn yǔ sān yè jié zhōng de liǎng gè sān yè jié néng fǒu hù biàn）， bìng qiě bù zhǐ zuò gè mó xíng shì shì， hái yào gěi chū zhèng míng， nà jiù yuǎn bù shì jiàn róng yì de shì liǎo（ jiàn niǔ jié lǐ lùn）。
wéi shù wèn tí shénme shì qū xiàn？ pǔ sù de guān niàn shì diǎn dòng chéng xiàn， suí yī gè cān shù（ shí jiān） lián xù biàn huà de dòng diǎn suǒ miáo chū de guǐ jì jiù shì qū xiàn。 kě shì， G. pí yà nuò zài 1890 nián jìng zào chū yī tiáo zhè yàng de“ qū xiàn”， tā tián mǎn zhěng gè zhèng fāng xíng！ zhè jī fā liǎo guān yú wéi shù gài niàn de shēn rù tàn tǎo， jīng guò 20～ 30 nián cái qǔ dé guān jiàn xìng de tū pò（ jiàn wéi shù）。
bù xiàn wèn tí（ qiàn rù wèn tí） yī gè fù zá de wǎng luò néng fǒu bù zài píng miàn shàng 'ér bù zì xiāng jiāo chā？ zuò yìn shuà diàn lù shí zì rán huì pèng dào zhè gè wèn tí。 tú 3 kě qiàn rù wǎng luò zhōng zuǒ miàn de tú bǎ yī gēn duì jiǎo xiàn yí dào fāng xíng wài miàn jiù kě yǐ bù zài píng miàn shàng , dàn tú 4 bù kě qiàn rù wǎng luò liǎng gè tú què wú lùn zěn yàng nuó dòng dōubù néng bù zài píng miàn shàng。 1930 nián K. kù lā tuō fū sī jī zhèng míng， yī gè wǎng luò shì fǒu néng qiàn rù píng miàn |
|
- n.: topology
|
|
| kē xué | shù xué | nán tí | dì tú | rén gōng zhì néng | shù xué nán tí | dé · mó 'ěr gēn dìng lǐ | zhè jiāng | | rén wù | shù xué jiā | yuàn shì | xué zhě | kē xué jiā | shù xué jiào yù jiā | bǎi kē dà quán | xīn lǐ | | xīn lǐ xué | xué kē | dòng lì chǎng shuō | bǎi kē cí diǎn | bèi lùn | ōu lā | shì jiè nán tí | jǐ hé | | wù lǐ xué | wēi fēn | cāi xiǎng | shì jiè qī dà shù xué nán tí | gèng duō jiēguǒ ... |
|
|
| zǔ hé tuò pū xué | jī chǔ tuò pū xué | wēi fēn tuò pū xué | diǎn jí tuò pū xué | | yī bān tuò pū xué | jǐ hé tuò pū xué | dài shù tuò pū xué | liàng zǐ tuò pū xué | | tuò pū xué mó xíng | shēng wù tuò pū xué | diàn lù tuò pū xué | qún jí tuò pū xué | | huán xíng tuò pū xué | gé shàng tuò pū xué | dī wéi tuò pū xué | tuò pū xué yǐn lùn | | xiāng róng tuò pū xué | qiàn rù de tuò pū xué | liú xíng de tuò pū xué | jī běn tuò pū xué ( yīng ) | | yòu jiè xíng tuò pū xué | xiān wéi cóng tuò pū xué | fēn piàn xiàn xìng tuò pū xué | jī chǔ tuò pū xué jiǎng yì | | dài shù tuò pū xué jī chǔ | tuò pū xué qí tā xué kē | tuò pū xué kě pōu fēn kōng jiān | huán zhuàng DNA tuò pū xué | |
|