|
|
yī gè jí g， rú guǒ tā bù shì kōng jí， ér qiě mǎn zú yǐ xià sì gè tiáo jiàn， jiù jiào zuò qún：
① g zhōng yòu yī gè bì hé de jié hé fǎ。 zhè jiù shì shuō， g zhōng rèn yì liǎng yuán a， b de jié hé c réng rán shì g zhōng yuán。 jié hé fǎ tōng cháng xiě chéng chéng fǎ， zhè shí c yòu jiào zuò a,b de jī。 yī bān yòng jì hào ab=c huò a·b=c biǎo shì。 yào zhù yì， jī ab suī rán shì yóu a,b wéi yī jué dìng de， dàn yī bān tā hái yǔ a,b de shùn xù yòu guān。 jí ab bù yī dìng děng yú ba。
② g de jié hé fǎ mǎn zú jié hé lǜ。 yě jiù shì shuō， duì yú g zhōng rèn yì sān yuán a， b， c， yòu（ ab） c=a（ bc）。
③ g zhōng yòu yī gè（ zuǒ） dān wèi yuán e， duì g zhōng rèn yì yuán a， yòu ea=a。 shì shí shàng yóu yú kě yǐ zhèng míng qún de zuǒ dān wèi yuán yě shì yòu dān wèi yuán， yīn 'ér yī bān bǎ e jiù jiào zuò dān wèi yuán。
④ duì yú g zhōng rèn yì yuán a， zài g zhōng yòu yī gè mǎn zú a^（ -1） a=e de（ zuǒ nì yuán） a^（ -1）， cǐ chù e jiù shì shàng miàn de（ zuǒ） dān wèi yuán。 shí jì shàng， kě yǐ zhèng míng， zài qún zhōng， a de zuǒ nì yuán yě shì yòu nì yuán。 yīn cǐ， yī bān bǎ a^（ -1） jiù jiào a de nì yuán。
fù zhù：
① xiàn dài yì yì shàng de chōu xiàng qún gài niàn yóu fǎ guó tiān cái shù xué jiā gā luó huá（ eacute;varistegalois， 1811-1832） zuì xiān jiàn lì qǐ lái。② qún de dìng yì yòu duō zhǒng děng jià de biǎo dá xíng shì， yǐ zhè yī zhǒng zuì wéi jī běn。
③ yī gè fēi kōng jí， ruò zhǐ mǎn zú shàng miàn de tiáo jiàn①， zé chēng wéi chéng jí； ruò mǎn zú tiáo jiàn①②， zé chēng wéi bàn qún， zhè yě shì yī gè zhòng yào gài niàn。
④ ruò qún de jié hé fǎ hái mǎn zú jiāo huàn lǜ： ab=ba， zé chēng wéi jiāo huàn qún huò 'ā bèi 'ěr（ n.h.abel， 1802-1829） qún。
⑤ yóu yī gè yuán zǔ chéng de qún jiào dān wèi yuán qún， yuán shù shì yòu qióng de qún jiào yòu qióng qún， fǒu zé jiào wú qióng qún。 qún de yuán shù jì zuò |g|。 |
chōu xiàng qún de yī bān gài niàn |
shè fēi kōng jí hé G hé yùn suàn · mǎn zú xià liè sì gè tiáo jiàn：
（ 1） G shàng yòu yī gè 'èr yuán yùn suàn。 〔 jí duì rèn yì a、 b ∈ G， yòu a•b∈ G 〕
（ 2） G zhōng yòu dān wèi yuán I。〔 jí duì rèn yì a∈ G， yòu I•a ＝ a•I＝ a〕
（ 3） G zhōng de měi gè yuán sù dōuyòu nì yuán。〔 jí duì rèn yì a∈ G， cún zài a ′∈ G， yòu a•a′＝ a′ •a＝ I〕
（ 4） G de chéng fǎ mǎn zú jié hé lǜ。
nà me (G， •) jiào zuò yī gè qún。 |
|
lì tí： shè fēi kōng jí hé Z3 biǎo shì zhè gè shù chú yǐ 3 hòu de yú shù， a ◎ b biǎo shì a+b chú yǐ 3 de yú shù， zhèng míng (Z3，◎ ) shì yī gè qún。
jiě： zhǐ yào mǎn zú I ～ IV zhè 4 gè tiáo jiàn jí kě。
Z3 zhōng zhǐ yòu 3 gè yuán sù： 0， 1， 2
xiān liè chū chéng fǎ biǎo：
◎ 012
0012
1120
2201
I： gēn jù chéng fǎ biǎo kě yǐ kàn chū◎ shì yī gè 'èr yuán yùn suàn。
II： gēn jù chéng fǎ biǎo dé chū 0 shì yùn suàn◎ de dān wèi yuán。
III： gēn jù chéng fǎ biǎo dé chū 0 de nì yuán shì 0， 1 de nì yuán shì 2， 2 de nì yuán shì 1。
IV： róng yì zhèng míng (a◎ b)◎ c=a◎ (b◎ c)
suǒ yǐ (Z3，◎ ) shì yī gè qún |
|
| shè fēi kōng jí hé K3 biǎo shì zhè gè shù chú yǐ 3 hòu de xiǎo shù bù fēn de dì yī wèi， a◎ b biǎo shì a+b chú yǐ 3 hòu de xiǎo shù bù fēn de dì yī wèi， zhèng míng (K3，◎ ) shì yī gè qún。 |