| | zhuō shàng yòu shí gè píng guǒ， yào bǎ zhè shí gè píng guǒ fàng dào jiǔ gè chōu tì lǐ， wú lùn zěn yàng fàng， yòu de chōu tì kě yǐ fàng yī gè， yòu de kě yǐ fàng liǎng gè， yòu de kě yǐ fàng wǔ gè， dàn zuì zhōng wǒ men huì fā xiàn zhì shǎo wǒ men kě yǐ zhǎo dào yī gè chōu tì lǐ miàn zhì shǎo fàng liǎng gè píng guǒ。 zhè yī xiàn xiàng jiù shì wǒ men suǒ shuō de chōu tì yuán lǐ 。
chōu tì yuán lǐ de yī bān hán yì wéi： “ rú guǒ měi gè chōu tì dài biǎo yī gè jí hé， měi yī gè píng guǒ jiù kě yǐ dài biǎo yī gè yuán sù， jiǎ rú yòu n ＋ 1 huò duō yú n＋ 1 gè yuán sù fàng dào n gè jí hé zhōng qù， qí zhōng bì dìng zhì shǎo yòu yī gè jí hé lǐ zhì shǎo yòu liǎng gè yuán sù。 ”
chōu tì yuán lǐ yòu shí yě bèi chēng wéi gē cháo yuán lǐ（“ rú guǒ yòu wǔ gè gē zǐ lóng， yǎng gē rén yǎng liǎo 6 zhǐ gē zǐ， nà me dāng gē zǐ fēi huí lóng zhōng hòu， zhì shǎo yòu yī gè lóng zǐ zhōng zhuāng yòu 2 zhǐ gē zǐ”）。 tā shì dé guó shù xué jiā dí lì kè léi shǒu xiān míng què de tí chū lái bìng yòng yǐ zhèng míng yī xiē shù lùn zhōng de wèn tí， yīn cǐ， yě chēng wéi dí lì kè léi yuán lǐ。 tā shì zǔ hé shù xué zhōng yī gè zhòng yào de yuán lǐ。
yī ． chōu tì yuán lǐ zuì cháng jiàn de xíng shì
yuán lǐ 1 bǎ duō yú n gè de wù tǐ fàng dào n gè chōu tì lǐ， zé zhì shǎo yòu yī gè chōu tì lǐ yòu 2 gè huò 2 gè yǐ shàng de wù tǐ。
[ zhèng míng ]（ fǎn zhèng fǎ）： rú guǒ měi gè chōu tì zhì duō zhǐ néng fàng jìn yī gè wù tǐ， nà me wù tǐ de zǒng shù zhì duō shì n， ér bù shì tí shè de n+k(k ≥ 1)， zhè bù kě néng .
yuán lǐ 2 bǎ duō yú mn(m chéng yǐ n) gè de wù tǐ fàng dào n gè chōu tì lǐ， zé zhì shǎo yòu yī gè chōu tì lǐ yòu m+1 gè huò duō yú m+1 gè de wù tǐ。
[ zhèng míng ]（ fǎn zhèng fǎ）： ruò měi gè chōu tì zhì duō fàng jìn m gè wù tǐ , nà me n gè chōu tì zhì duō fàng jìn mn gè wù tǐ , yǔ tí shè bù fú， gù bù kě néng .
yuán lǐ 12 dōushì dì yī chōu tì yuán lǐ de biǎo shù
dì 'èr chōu tì yuán lǐ ：
bǎ（ mn － 1） gè wù tǐ fàng rù n gè chōu tì zhōng， qí zhōng bì yòu yī gè chōu tì zhōng zhì duō yòu（ m héng 1） gè wù tǐ。
[ zhèng míng ]（ fǎn zhèng fǎ）： ruò měi gè chōu tì dōuyòu bù shǎo yú m gè wù tǐ， zé zǒng gòng zhì shǎo yòu mn gè wù tǐ， yǔ tí shè máo dùn， gù bù kě néng
èr． yìng yòng chōu tì yuán lǐ jiě tí
chōu tì yuán lǐ de nèi róng jiǎn míng pǔ sù， yì yú jiē shòu， tā zài shù xué wèn tí zhōng yòu zhòng yào de zuò yòng。 xǔ duō yòu guān cún zài xìng de zhèng míng dōukě yòng tā lái jiě jué。
lì １： 400 rén zhōng zhì shǎo yòu liǎng gè rén de shēng rì xiāng tóng .
jiě： jiāng yī nián zhōng de 366 tiān shì wéi 366 gè chōu tì， 400 gè rén kàn zuò 400 gè wù tǐ， yóu chōu tì yuán lǐ 1 kě yǐ dé zhī： zhì shǎo yòu liǎng rén de shēng rì xiāng tóng .
yòu rú： wǒ men cóng jiē shàng suí biàn zhǎo lái 13 rén， jiù kě duàn dìng tā men zhōng zhì shǎo yòu liǎng gè rén shǔ xiāng xiāng tóng .
“ cóng rèn yì 5 shuāng shǒu tào zhōng rèn qǔ 6 zhǐ， qí zhōng zhì shǎo yòu 2 zhǐ qià wéi yī shuāng shǒu tào。”
“ cóng shù 1， 2， ...， 10 zhōng rèn qǔ 6 gè shù， qí zhōng zhì shǎo yòu 2 gè shù wéi jī'ǒu xìng bù tóng。”
lì 2： yòu 'ér yuán mǎi lái liǎo bù shǎo bái tù、 xióng māo、 cháng jǐng lù sù liào wán jù， měi gè xiǎo péng yǒu rèn yì xuǎn zé liǎng jiàn， nà me bù guǎn zěn yàng tiǎo xuǎn， zài rèn yì qī gè xiǎo péng yǒu zhōng zǒng yòu liǎng gè bǐ cǐ xuǎn de wán jù dū xiāng tóng， shì shuō míng dào lǐ .
jiě： cóng sān zhǒng wán jù zhōng tiǎo xuǎn liǎng jiàn， dā pèi fāng shì zhǐ néng shì xià miàn liù zhǒng：（ tù、 tù），（ tù、 xióng māo），（ tù、 cháng jǐng lù），（ xióng māo、 xióng māo），（ xióng māo、 cháng jǐng lù），（ cháng jǐng lù、 cháng jǐng lù）。 bǎ měi zhǒng dā pèi fāng shì kàn zuò yī gè chōu tì， bǎ 7 gè xiǎo péng yǒu kàn zuò wù tǐ， nà me gēn jù yuán lǐ 1， zhì shǎo yòu liǎng gè wù tǐ yào fàng jìn tóng yī gè chōu tì lǐ， yě jiù shì shuō， zhì shǎo liǎng rén tiǎo xuǎn wán jù cǎi yòng tóng yī dā pèi fāng shì， xuǎn de wán jù xiāng tóng .
shàng miàn shù lì lùn zhèng de sì hū dōushì“ cún zài”、“ zǒng yòu”、“ zhì shǎo yòu” de wèn tí， bù cuò， zhè zhèng shì chōu tì yuán zé de zhù yào zuò yòng .（ xū yào shuō míng de shì， yùn yòng chōu tì yuán zé zhǐ shì kěn dìng liǎo“ cún zài”、“ zǒng yòu”、“ zhì shǎo yòu”， què bù néng què qiē dì zhǐ chū nǎ gè chōu tì lǐ cún zài duō shǎo .）
chōu tì yuán lǐ suī rán jiǎn dān， dàn yìng yòng què hěn guǎng fàn， tā kě yǐ jiě dá hěn duō yòu qù de wèn tí， qí zhōng yòu xiē wèn tí hái jù yòu xiāng dāng de nán dù。 xià miàn wǒ men lái yán jiū yòu guān de yī xiē wèn tí。
（ yī） zhěng chú wèn tí
bǎ suǒ yòu zhěng shù 'àn zhào chú yǐ mǒu gè zì rán shù m de yú shù fēn wéi m lèi， jiào zuò m de shèng yú lèi huò tóng yú lèi， yòng [0]，，， …， [m-1] biǎo shì . měi yī gè lèi hán yòu wú qióng duō gè shù， lì rú zhōng hán yòu 1， m+1， 2m＋ 1， 3m＋ 1，… . zài yán jiū yǔ zhěng chú yòu guān de wèn tí shí， cháng yòng shèng yú lèi zuò wéi chōu tì . gēn jù chōu tì yuán lǐ ， kě yǐ zhèng míng： rèn yì n+1 gè zì rán shù zhōng， zǒng yòu liǎng gè zì rán shù de chā shì n de bèi shù。
lì 1 zhèng míng： rèn qǔ 8 gè zì rán shù， bì yòu liǎng gè shù de chā shì 7 de bèi shù。
fēn xī yǔ jiě dá zài yǔ zhěng chú yòu guān de wèn tí zhōng yòu zhè yàng de xìng zhì， rú guǒ liǎng gè zhěng shù a、 b， tā men chú yǐ zì rán shù m de yú shù xiāng tóng， nà me tā men de chā a-b shì m de bèi shù . gēn jù zhè gè xìng zhì， běn tí zhǐ xū zhèng míng zhè 8 gè zì rán shù zhōng yòu 2 gè zì rán shù， tā men chú yǐ 7 de yú shù xiāng tóng . wǒ men kě yǐ bǎ suǒ yòu zì rán shù 'àn bèi 7 chú suǒ dé de 7 zhǒng bù tóng de yú shù 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6 fēn chéng qī lèi . yě jiù shì 7 gè chōu tì . rèn qǔ 8 gè zì rán shù， gēn jù chōu tì yuán lǐ ， bì yòu liǎng gè shù zài tóng yī gè chōu tì zhōng， yě jiù shì tā men chú yǐ 7 de yú shù xiāng tóng， yīn cǐ zhè liǎng gè shù de chā yī dìng shì 7 de bèi shù。
lì 2： duì yú rèn yì de wǔ gè zì rán shù， zhèng míng qí zhōng bì yòu 3 gè shù de hé néng bèi 3 zhěng chú .
zhèng míng ∵ rèn hé shù chú yǐ 3 suǒ dé yú shù zhǐ néng shì 0， 1， 2， bù fáng fēn bié gòu zào wéi 3 gè chōu tì：
[0]，，
① ruò zhè wǔ gè zì rán shù chú yǐ 3 hòu suǒ dé yú shù fēn bié fēn bù zài zhè 3 gè chōu tì zhōng ( jí chōu tì zhōng fēn bié wéi hán yòu yú shù wéi 0,1,2 de shù )， wǒ men cóng zhè sān gè chōu tì zhōng gè qǔ 1 gè ( rú 1~5 zhōng qǔ 3,4,5)， qí hé (3+4+5=12) bì néng bèi 3 zhěng chú .
② ruò zhè 5 gè yú shù fēn bù zài qí zhōng de liǎng gè chōu tì zhōng， zé qí zhōng bì yòu yī gè chōu tì， bāo hán yòu 3 gè yú shù（ chōu tì yuán lǐ ）， ér zhè sān gè yú shù zhī hé huò wéi 0， huò wéi 3， huò wéi 6， gù suǒ duì yìng de 3 gè zì rán shǔzhī hé shì 3 de bèi shù .
③ ruò zhè 5 gè yú shù fēn bù zài qí zhōng de yī gè chōu tì zhōng， hěn xiǎn rán， bì yòu 3 gè zì rán shǔzhī hé néng bèi 3 zhěng chú .
lì 2 ′： duì yú rèn yì de 11 gè zhěng shù， zhèng míng qí zhōng yī dìng yòu 6 gè shù， tā men de hé néng bèi 6 zhěng chú .
zhèng míng： shè zhè 11 gè zhěng shù wéi： a1， a2， a3…… a11 yòu 6=2×3
① xiān kǎo lǜ bèi 3 zhěng chú de qíng xíng
yóu lì 2 zhī， zài 11 gè rèn yì zhěng shù zhōng， bì cún zài：
3|a1+a2+a3， bù fáng shè a1+a2+a3=b1；
tóng lǐ， shèng xià de 8 gè rèn yì zhěng shù zhōng， yóu lì 2， bì cún zài： 3|a4+a5+a6. shè a4+a5+a6=b2；
tóng lǐ， qí yú de 5 gè rèn yì zhěng shù zhōng， yòu： 3|a7+a8+a9， shè： a7+a8+a9=b3
② zài kǎo lǜ b1、 b2、 b3 bèi 2 zhěng chú .
yǐ jù chōu tì yuán lǐ ， b1、 b2、 b3 zhè sān gè zhěng shù zhōng， zhì shǎo yòu liǎng gè shì tóng qí huò tóng 'ǒu， zhè liǎng gè tóng qí（ huò tóng 'ǒu） de zhěng shù zhī hé bì wéi 'ǒu shù . bù fáng shè 2|b1+b2
zé： 6|b1+b2， jí： 6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴ rèn yì 11 gè zhěng shù， qí zhōng bì yòu 6 gè shù de hé shì 6 de bèi shù .
lì 3： rèn yì gěi dìng 7 gè bù tóng de zì rán shù， qiú zhèng qí zhōng bì yòu liǎng gè zhěng shù， qí hé huò chā shì 10 de bèi shù .
fēn xī： zhù yì dào zhè xiē shù duì yǐ 10 de yú shù jí gè wèi shù zì， yǐ 0， 1，…， 9 wéi biāo zhǔn zhì zào 10 gè chōu tì， biāo yǐ [0]，，…， . ruò yòu liǎng shǔluò rù tóng yī chōu tì， qí chā shì 10 de bèi shù， zhǐ shì jǐn yòu 7 gè zì rán shù， sì bù biàn yùn yòng chōu tì yuán zé， zài zuò tiáozhěng：，，， sì gè chōu tì fēn bié yǔ，，， hé bìng， zé kě bǎo zhèng zhì shǎo yòu yī gè chōu tì lǐ yòu liǎng gè shù， tā men de hé huò chā shì 10 de bèi shù .
（ èr） miàn jī wèn tí
lì： jiǔ tiáo zhí xiàn zhōng de měi yī tiáo zhí xiàn dū jiāng zhèng fāng xíng fēn chéng miàn jī bǐ wéi 2:3 de tī xíng， zhèng míng： zhè jiǔ tiáo zhí xiàn zhōng zhì shǎo yòu sān tiáo jīng guò tóng yī diǎn .
zhèng míng： rú tú， shè zhí xiàn EF jiāng zhèng fāng xíng fēn chéng liǎng gè tī xíng， zuò zhōng wèi xiàn MN。 yóu yú zhè liǎng gè tī xíng de gāo xiāng děng， gù tā men de miàn jī zhī bǐ děng yú zhōng wèi xiàn cháng de bǐ， jí |MH|:|NH|。 yú shì diǎn H yòu què dìng de wèi zhì（ tā zài zhèng fāng xíng yī duì duì biān zhōng diǎn de lián xiàn shàng， qiě |MH|:|NH| ＝ ２ : ３） . yóu jǐ hé shàng de duìchèn xìng， zhè zhǒng diǎn gòng yòu sì gè（ jí tú zhōng de H、 J、 I、 K） . yǐ zhī de jiǔ tiáo shì hé tiáo jiàn de fēn gē zhí xiàn zhōng de měi yī tiáo bì xū jīng guò H、 J、 I、 K zhè sì diǎn zhōng de yī diǎn . bǎ H、 J、 I、 K kàn chéng sì gè chōu tì， jiǔ tiáo zhí xiàn dàngchéng９ gè wù tǐ， jí kě dé chū bì dìng yòu３ tiáo fēn gē xiàn jīng guò tóng yī diǎn .
（ sān） rǎn sè wèn tí
lì 1 zhèng fāng tǐ gè miàn shàng tú shàng hóng sè huò lán sè de yóu qī（ měi miàn zhǐ tú yī zhǒng sè）， zhèng míng zhèng fāng tǐ yī dìng yòu sān gè miàn yán sè xiāng tóng .
zhèng míng： bǎ liǎng zhǒng yán sè dāng zuò liǎng gè chōu tì， bǎ zhèng fāng tǐ liù gè miàn dāng zuò wù tǐ， nà me 6=2×2+2， gēn jù yuán lǐ 'èr， zhì shǎo yòu sān gè miàn tú shàng xiāng tóng de yán sè .
lì 2 yòu 5 gè xiǎo péng yǒu， měi réndōu cóng zhuāng yòu xǔ duō hēi bái wéi qí zǐ de bù dài zhōng rèn yì mō chū 3 méi qí zǐ . qǐng nǐ zhèng míng， zhè 5 gè rén zhōng zhì shǎo yòu liǎng gè xiǎo péng yǒu mō chū de qí zǐ de yán sè de pèi zǔ shì yī yàng de。
fēn xī yǔ jiě dá shǒu xiān yào què dìng 3 méi qí zǐ de yán sè kě yǐ yòu duō shǎo zhǒng bù tóng de qíng kuàng， kě yǐ yòu： 3 hēi， 2 hēi 1 bái， 1 hēi 2 bái， 3 bái gòng 4 zhǒng pèi zǔ qíng kuàng， kàn zuò 4 gè chōu tì . gēn jù chōu tì yuán lǐ ， zhì shǎo yòu liǎng gè xiǎo péng yǒu mō chū de qí zǐ de yán sè zài tóng yī gè chōu tì lǐ， yě jiù shì tā men suǒ ná qí zǐ de yán sè pèi zǔ shì yī yàng de。
lì 3： jiǎ shè zài yī gè píng miàn shàng yòu rèn yì liù gè diǎn， wú sān diǎn gòng xiàn， měi liǎng diǎn yòng hóng sè huò lán sè de xiàn duàn lián qǐ lái， dū lián hǎo hòu， wèn nǐ néng bù néng zhǎo dào yī gè yóu zhè xiē xiàn gòu chéng de sān jiǎo xíng， shǐ sān jiǎo xíng de sān biān tóng sè？
jiě： shǒu xiān kě yǐ cóng zhè liù gè diǎn zhōng rèn yì xuǎn zé yī diǎn， rán hòu bǎ zhè yī diǎn dào qí tā wǔ diǎn jiān lián wǔ tiáo xiàn duàn， rú tú， zài zhè wǔ tiáo xiàn duàn zhōng， zhì shǎo yòu sān tiáo xiàn duàn shì tóng yī zhǒng yán sè， jiǎ dìng shì hóng sè， xiàn zài wǒ men zài dān dú lái yán jiū zhè sān tiáo hóng sè de xiàn。 zhè sān tiáo xiàn duàn de lìng yī duān huò xǔ shì bù tóng yán sè， jiǎ shè zhè sān tiáo xiàn duàn（ xū xiàn） zhōng qí zhōng yī tiáo shì hóng sè de， nà me zhè tiáo hóng sè de xiàn duàn hé qí tā liǎng tiáo hóng sè de xiàn duàn biàn zǔ chéng liǎo wǒ men suǒ xū yào de tóng sè sān jiǎo xíng， rú guǒ zhè sān tiáo xiàn duàn dōushì lán sè de， nà me zhè sān tiáo xiàn duàn yě zǔ chéng wǒ men suǒ xū yào de tóng sè sān jiǎo xíng。 yīn 'ér wú lùn zěn yàng zhuósè， zài zhè liù diǎn zhī jiān de suǒ yòu xiàn duàn zhōng zhì shǎo néng zhǎo dào yī gè tóng sè sān jiǎo xíng。
lì 3′（ liù rén jí huì wèn tí） zhèng míng zài rèn yì 6 gè rén de jí huì shàng， huò zhě yòu 3 gè rén yǐ qián bǐ cǐ xiāng shí， huò zhě yòu sān gè rén yǐ qián bǐ cǐ bù xiāng shí。”
lì 3”： 17 gè kē xué jiā zhōng měi gè rén yǔ qí yú 16 gè rén tōng xìn， tā men tōng xìn suǒ tǎo lùn de jǐn yòu sān gè wèn tí， ér rèn liǎng gè kē xué jiā zhī jiān tōng xìn tǎo lùn de shì tóng yī gè wèn tí。 zhèng míng： zhì shǎo yòu sān gè kē xué jiā tōng xìn shí tǎo lùn de shì tóng yī gè wèn tí。
jiě： bù fáng shè A shì mǒu kē xué jiā， tā yǔ qí yú 16 wèi tǎo lùn jǐn sān gè wèn tí， yóu gē lóng yuán lǐ zhī， tā zhì shǎo yǔ qí zhōng de 6 wèi tǎo lùn tóng yī wèn tí。 shè zhè 6 wèi kē xué jiā wéi B， C， D， E， F， G， tǎo lùn de shì jiá wèn tí。
ruò zhè 6 wèi zhōng yòu liǎng wèi zhī jiān yě tǎo lùn jiá wèn tí， zé jié lùn chéng lì。 fǒu zé tā men 6 wèi zhǐ tǎo lùn yǐ、 bǐng liǎng wèn tí。 zhè yàng yòu yóu gē lóng yuán lǐ zhī B zhì shǎo yǔ lìng sān wèi tǎo lùn tóng yī wèn tí， bù fáng shè zhè sān wèi shì C， D， E， qiě tǎo lùn de shì yǐ wèn tí。
ruò C， D， E zhōng yòu liǎng rén yě tǎo lùn yǐ wèn tí， zé jié lùn yě jiù chéng lì liǎo。 fǒu zé， tā men jiān zhǐ tǎo lùn bǐng wèn tí， zhè yàng jié lùn yě chéng lì。
sān． zhì zào chōu tì shì yùn yòng yuán zé de yī dà guān jiàn
lì 1 cóng 2、 4、 6、…、 30 zhè 15 gè 'ǒu shù zhōng， rèn qǔ 9 gè shù， zhèng míng qí zhōng yī dìng yòu liǎng gè shǔzhī hé shì 34。
fēn xī yǔ jiě dá wǒ men yòng tí mù zhōng de 15 gè 'ǒu shù zhì zào 8 gè chōu tì：
fán shì chōu tì zhōng yòu liǎng gè shù de， dū jù yòu yī gè gòng tóng de tè diǎn： zhè liǎng gè shù de hé shì 34。 xiàn cóng tí mù zhōng de 15 gè 'ǒu shù zhōng rèn qǔ 9 gè shù， yóu chōu tì yuán lǐ （ yīn wéi chōu tì zhǐ yòu 8 gè）， bì yòu liǎng gè shù zài tóng yī gè chōu tì zhōng . yóu zhì zào de chōu tì de tè diǎn， zhè liǎng gè shù de hé shì 34。
lì 2： cóng 1、 2、 3、 4、…、 19、 20 zhè 20 gè zì rán shù zhōng， zhì shǎo rèn xuǎn jǐ gè shù， jiù kě yǐ bǎo zhèng qí zhōng yī dìng bāo kuò liǎng gè shù， tā men de chā shì 12。
fēn xī yǔ jiě dá zài zhè 20 gè zì rán shù zhōng， chā shì 12 de yòu yǐ xià 8 duì： ｛ 20， 8 ｝，｛ 19， 7｝，｛ 18， 6｝，｛ 17， 5｝，｛ 16， 4｝，｛ 15， 3｝，｛ 14， 2｝，｛ 13， 1｝。
lìng wài hái yòu 4 gè bù néng pèi duì de shù｛ 9｝，｛ 10｝，｛ 11｝，｛ 12｝， gòng zhì chéng 12 gè chōu tì（ měi gè kuò hào kàn chéng yī gè chōu tì） . zhǐ yào yòu liǎng gè shù qǔ zì tóng yī gè chōu tì， nà me tā men de chā jiù děng yú 12， gēn jù chōu tì yuán lǐ zhì shǎo rèn xuǎn 13 gè shù， jí kě bàn dào（ qǔ 12 gè shù： cóng 12 gè chōu tì zhōng gè qǔ yī gè shù（ lì rú qǔ 1， 2， 3，…， 12）， nà me zhè 12 gè shù zhōng rèn yì liǎng gè shù de chā bì bù děng yú 12）。
lì 3： cóng 1 dào 20 zhè 20 gè shù zhōng， rèn qǔ 11 gè shù， bì yòu liǎng gè shù， qí zhōng yī gè shù shì lìng yī gè shù de bèi shù。
fēn xī yǔ jiě dá gēn jù tí mù suǒ yào qiú zhèng de wèn tí， yìng kǎo lǜ 'àn zhào tóng yī chōu tì zhōng， rèn yì liǎng shù dū jù yòu bèi shù guān xì de yuán zé zhì zào chōu tì . bǎ zhè 20 gè shù 'àn jīshù jí qí bèi shù fēn chéng yǐ xià shí zǔ， kàn chéng 10 gè chōu tì（ xiǎn rán， tā men jù yòu shàng shù xìng zhì）：
｛ 1， 2， 4， 8， 16｝，｛ 3， 6， 12｝，｛ 5， 10， 20｝，｛ 7， 14｝，｛ 9， 18｝，｛ 11｝，｛ 13｝，｛ 15｝，｛ 17｝，｛ 19｝。
cóng zhè 10 gè shù zǔ de 20 gè shù zhōng rèn qǔ 11 gè shù， gēn jù chōu tì yuán lǐ ， zhì shǎo yòu liǎng gè shù qǔ zì tóng yī gè chōu tì . yóu yú fán zài tóng yī chōu tì zhōng de liǎng gè shù dū jù yòu bèi shù guān xì， suǒ yǐ zhè liǎng gè shù zhōng， qí zhōng yī gè shù yī dìng shì lìng yī gè shù de bèi shù。
lì 4： mǒu xiào xiào qìng， lái liǎo n wèi xiào yǒu， bǐ cǐ rèn shí de wò shǒu wèn hòu . qǐng nǐ zhèng míng wú lùn shénme qíng kuàng， zài zhè n gè xiào yǒu zhōng zhì shǎo yòu liǎng rén wò shǒu de cì shù yī yàng duō。
fēn xī yǔ jiě dá gòng yòu n wèi xiào yǒu， měi gè rén wò shǒu de cì shù zuì shǎo shì 0 cì， jí zhè gè rén yǔ qí tā xiào yǒu dōuméi yòu wò guò shǒu； zuì duō yòu n-1 cì， jí zhè gè rén yǔ měi wèi dào huì xiào yǒu dū wò liǎo shǒu . rán 'ér， rú guǒ yòu yī gè xiào yǒu wò shǒu de cì shù shì 0 cì， nà me wò shǒu cì shù zuì duō de bù néng duō yú n-2 cì； rú guǒ yòu yī gè xiào yǒu wò shǒu de cì shù shì n-1 cì， nà me wò shǒu cì shù zuì shǎo de bù néng shǎo yú 1 cì . bù guǎn shì qián yī zhǒng zhuàng tài 0、 1、 2、…、 n-2， hái shì hòu yī zhǒng zhuàng tài 1、 2、 3、…、 n-1， wò shǒu cì shù dū zhǐ yòu n-1 zhǒng qíng kuàng . bǎ zhè n-1 zhǒng qíng kuàng kàn chéng n-1 gè chōu tì， dào huì de n gè xiào yǒu měi rén 'àn zhào qí wò shǒu de cì shù guī rù xiāng yìng de“ chōu tì”， gēn jù chōu tì yuán lǐ ， zhì shǎo yòu liǎng gè rén shǔ yú tóng yī chōu tì， zé zhè liǎng gè rén wò shǒu de cì shù yī yàng duō。
zài yòu xiē wèn tí zhōng，“ chōu tì” hé“ wù tǐ” bù shì hěn míng xiǎn de， xū yào jīng xīn zhì zào“ chōu tì” hé“ wù tǐ” . rú hé zhì zào“ chōu tì” hé“ wù tǐ” kě néng shì hěn kùn nán de， yī fāng miàn xū yào rèn zhēn dì fēn xī tí mù zhōng de tiáo jiàn hé wèn tí， lìng yī fāng miàn xū yào duō zuò yī xiē tí jī lěi jīng yàn。
chōu tì yuán lǐ
bǎ bā gè píng guǒ rèn yì dì fàng jìn qī gè chōu tì lǐ， bù lùn zěn yàng fàng， zhì shǎo yòu yī gè chōu tì fàng yòu liǎng gè huò liǎng gè yǐ shàng de píng guǒ。 chōu tì yuán zé yòu shí yě bèi chēng wéi gē cháo yuán lǐ， tā shì dé guó shù xué jiā dí lì kè léi shǒu xiān míng què de tí chū lái bìng yòng yǐ zhèng míng yī xiē shù lùn zhōng de wèn tí， yīn cǐ， yě chēng wéi dí lì kè léi yuán zé。 tā shì zǔ hé shù xué zhōng yī gè zhòng yào de yuán lǐ。 bǎ tā tuī guǎng dào yī bān qíng xíng yòu yǐ xià jǐ zhǒng biǎo xiàn xíng shì。
xíng shì yī： zhèng míng： shè bǎ n＋ 1 gè yuán sù fēn wéi n gè jí hé A1， A2，…， An， yòng a1， a2，…， an biǎo shì zhè n gè jí hé lǐ xiāng yìng de yuán sù gè shù， xū yào zhèng míng zhì shǎo cún zài mǒu gè ai dà yú huò děng yú 2（ yòng fǎn zhèng fǎ） jiǎ shè jié lùn bù chéng lì， jí duì měi yī gè ai dōuyòu ai ＜ 2， zé yīn wéi ai shì zhěng shù， yīngyǒu ai ≤ 1， yú shì yòu：
a1＋ a2＋…＋ an≤ 1＋ 1＋…＋ 1＝ n＜ n＋ 1 zhè yǔ tí shè máo dùn。 suǒ yǐ， zhì shǎo yòu yī gè ai≥ 2， jí bì yòu yī gè jí hé zhōng hán yòu liǎng gè huò liǎng gè yǐ shàng de yuán sù。
xíng shì 'èr： shè bǎ n•m＋ 1 gè yuán sù fēn wéi n gè jí hé A1， A2，…， An， yòng a1， a2，…， an biǎo shì zhè n gè jí hé lǐ xiāng yìng de yuán sù gè shù， xū yào zhèng míng zhì shǎo cún zài mǒu gè ai dà yú huò děng yú m＋ 1。 yòng fǎn zhèng fǎ） jiǎ shè jié lùn bù chéng lì， jí duì měi yī gè ai dōuyòu ai＜ m＋ 1， zé yīn wéi ai shì zhěng shù， yīngyǒu ai≤ m， yú shì yòu：
a1＋ a2＋…＋ an≤ m＋ m＋…＋ m＝ n•m＜ n•m＋ 1
n gè m zhè yǔ tí shè xiāng máo dùn。 suǒ yǐ， zhì shǎo yòu cún zài yī gè ai≥ m＋ 1
gāo sī hán shù： duì rèn yì de shí shù x,[x] biǎo shì“ bù dà yú x de zuì dà zhěng shù” .
lì rú： [3.5]＝ 3， [2.9]＝ 2， [－ 2.5]＝－ 3，＝ 7，…… yī bān dì， wǒ men yòu： [x]≤ x＜ [x]＋ 1
xíng shì sān： zhèng míng： shè bǎ n gè yuán sù fēn wéi k gè jí hé A1， A2，…， Ak， yòng a1， a2，…， ak biǎo shì zhè k gè jí hé lǐ xiāng yìng de yuán sù gè shù， xū yào zhèng míng zhì shǎo cún zài mǒu gè ai dà yú huò děng yú [n/k]。（ yòng fǎn zhèng fǎ） jiǎ shè jié lùn bù chéng lì， jí duì měi yī gè ai dōuyòu ai＜ [n/k]， yú shì yòu：
a1＋ a2＋…＋ ak＜ [n/k]+[n/k]+… +[n/k]＝ k•[n/k]≤ k•(n/k)＝ n
k gè [n/k]∴ a1＋ a2＋…＋ ak＜ n zhè yǔ tí shè xiāng máo dùn。 suǒ yǐ， bì yòu yī gè jí hé zhōng yuán sù gè shù dà yú huò děng yú [n/k]
xíng shì sì： zhèng míng： shè bǎ q1＋ q2＋…＋ qn－ n＋ 1 gè yuán sù fēn wéi n gè jí hé A1， A2，…， An， yòng a1， a2，…， an biǎo shì zhè n gè jí hé lǐ xiāng yìng de yuán sù gè shù， xū yào zhèng míng zhì shǎo cún zài mǒu gè i， shǐ dé ai dà yú huò děng yú qi。（ yòng fǎn zhèng fǎ） jiǎ shè jié lùn bù chéng lì， jí duì měi yī gè ai dōuyòu ai＜ qi， yīn wéi ai wéi zhěng shù， yīngyǒu ai≤ qi－ 1， yú shì yòu： a1＋ a2＋…＋ an≤ q1＋ q2＋…＋ qn－ n＜ q1＋ q2＋…＋ qn－ n＋ 1 zhè yǔ tí shè máo dùn。
suǒ yǐ， jiǎ shè bù chéng lì， gù bì yòu yī gè i, zài dì i gè jí hé zhōng yuán sù gè shù ai≥ qi
xíng shì wǔ： zhèng míng：（ yòng fǎn zhèng fǎ） jiāng wú qióng duō gè yuán sù fēn wèiyòu xiàn gè jí hé， jiǎ shè zhè yòu xiàn gè jí hé zhōng de yuán sù de gè shù dōushì yòu xiàn gè， zé yòu xiàn gè yòu xiàn shù xiāng jiā， suǒ dé de shù bì shì yòu xiàn shù， zhè jiù yǔ tí shè chǎn shēng máo dùn， suǒ yǐ， jiǎ shè bù chéng lì， gù bì yòu yī gè jí hé hán yòu wú qióng duō gè yuán sù。
lì tí１： 400 rén zhōng zhì shǎo yòu liǎng gè rén de shēng rì xiāng tóng . fēn xī： shēng rì cóng 1 yuè 1 rì pái dào 12 yuè 31 rì， gòng yòu 366 gè bù xiāng tóng de shēng rì， wǒ men bǎ 366 gè bù tóng de shēng rì kàn zuò 366 gè chōu tì， 400 rén shì wéi 400 gè píng guǒ， yóu biǎo xiàn xíng shì 1 kě zhī， zhì shǎo yòu liǎng rén zài tóng yī gè chōu tì lǐ， suǒ yǐ zhè 400 rén zhōng yòu liǎng rén de shēng rì xiāng tóng .
jiě： jiāng yī nián zhōng de 366 tiān shì wéi 366 gè chōu tì， 400 gè rén kàn zuò 400 gè píng guǒ， yóu chōu tì yuán lǐ de biǎo xiàn xíng shì 1 kě yǐ dé zhī： zhì shǎo yòu liǎng rén de shēng rì xiāng tóng .
lì tí 2： rèn qǔ 5 gè zhěng shù， bì rán néng gòu cóng zhōng xuǎn chū sān gè， shǐ tā men de hé néng gòu bèi 3 zhěng chú .
zhèng míng： rèn yì gěi yī gè zhěng shù， tā bèi 3 chú， yú shù kě néng wéi 0， 1， 2， wǒ men bǎ bèi 3 chú yú shù wéi 0， 1， 2 de zhěng shù gè guī rù lèi r ０， r1， r2. zhì shǎo yòu yī lèi bāo hán suǒ gěi ５ gè shù zhōng de zhì shǎo liǎng gè . yīn cǐ kě néng chū xiàn liǎng zhǒng qíng kuàng：１ °. mǒu yī lèi zhì shǎo bāo hán sān gè shù；２ °. mǒu liǎng lèi gè hán liǎng gè shù， dì sān lèi bāo hán yī gè shù .
ruò shì dì yī zhǒng qíng kuàng， jiù zài zhì shǎo bāo hán sān gè shù de nà yī lèi zhōng rèn qǔ sān shù， qí hé yī dìng néng bèi 3 zhěng chú； ruò shì dì 'èr zhǒng qíng kuàng， zài sān lèi zhōng gè qǔ yī gè shù， qí hé yě néng bèi 3 zhěng chú .. zōng shàng suǒ shù， yuán mìng tí zhèng què .
lì tí 3： mǒu xiào pài chū xué shēng 204 rén shàng shān zhí shù 15301 zhū， qí zhōng zuì shǎo yī rén zhí shù 50 zhū， zuì duō yī rén zhí shù 100 zhū， zé zhì shǎo yòu 5 rén zhí shù de zhū shù xiāng tóng .
zhèng míng： àn zhí shù de duō shǎo， cóng 50 dào 100 zhū kě yǐ gòu zào 51 gè chōu tì， zé gè wèn tí jiù zhuǎn huà wéi zhì shǎo yòu 5 rén zhí shù de zhū shù zài tóng yī gè chōu tì lǐ .
( yòng fǎn zhèng fǎ ) jiǎ shè wú５ rén huò５ rén yǐ shàng zhí shù de zhū shù zài tóng yī gè chōu tì lǐ， nà zhǐ yòu５ rén yǐ xià zhí shù de zhū shù zài tóng yī gè chōu tì lǐ， ér cān jiā zhí shù de rén shù wéi 204 rén， suǒ yǐ， měi gè chōu tì zuì duō yòu 4 rén， gù zhí shù de zǒng zhū shù zuì duō yòu：
4(50＋ 51＋…＋ 100)＝ 4×＝ 15300＜ 15301 dé chū máo dùn . yīn cǐ， zhì shǎo yòu５ rén zhí shù de zhū shù xiāng tóng .
liàn xí： 1． biān cháng wéi 1 de děng biān sān jiǎo xíng nèi yòu 5 gè diǎn， nà me zhè 5 gè diǎn zhōng yī dìng yòu jù lí xiǎo yú 0.5 de liǎng diǎn .
2． biān cháng wéi 1 de děng biān sān jiǎo xíng nèi， ruò yòu n2＋ 1 gè diǎn， zé zhì shǎo cún zài 2 diǎn jù lí xiǎo yú .
3． qiú zhèng： rèn yì sì gè zhěng shù zhōng， zhì shǎo yòu liǎng gè zhěng shù de chā néng gòu bèi 3 zhěng chú .
4． mǒu xiào gāo yī mǒu bān yòu 50 míng xīn shēng， shì shuō míng qí zhōng yī dìng yòu 'èr rén de shú rén yī yàng duō .
5． mǒu gè nián jí yòu 202 rén cān jiā kǎo shì， mǎn fēn wéi 100 fēn， qiě dé fēn dū wéi zhěng shù， zǒng dé fēn wéi 10101 fēn， zé zhì shǎo yòu 3 rén dé fēn xiāng tóng .
“ rèn yì 367 gè rén zhōng， bì yòu shēng rì xiāng tóng de rén。”
“ cóng rèn yì 5 shuāng shǒu tào zhōng rèn qǔ 6 zhǐ， qí zhōng zhì shǎo yòu 2 zhǐ qià wéi yī shuāng shǒu tào。”
“ cóng shù 1， 2， ...， 10 zhōng rèn qǔ 6 gè shù， qí zhōng zhì shǎo yòu 2 gè shù wéi jī'ǒu xìng bù tóng。”
......
dà jiā dū huì rèn wéi shàng miàn suǒ shù jié lùn shì zhèng què de。 zhè xiē jié lùn shì yǐ jù shénme yuán lǐ dé chū de ní？ zhè gè yuán lǐ jiào zuò chōu tì yuán lǐ 。 tā de nèi róng kě yǐ yòng xíng xiàng de yǔ yán biǎo shù wéi：
“ bǎ m gè dōng xī rèn yì fēn fàng jìn n gè kōng chōu tì lǐ（ m>n）， nà me yī dìng yòu yī gè chōu tì zhōng fàng jìn liǎo zhì shǎo 2 gè dōng xī。”
zài shàng miàn de dì yī gè jié lùn zhōng， yóu yú yī nián zuì duō yòu 366 tiān， yīn cǐ zài 367 rén zhōng zhì shǎo yòu 2 rén chū shēng zài tóng yuè tóng rì。 zhè xiāng dāng yú bǎ 367 gè dōng xī fàng rù 366 gè chōu tì， zhì shǎo yòu 2 gè dōng xī zài tóng yī chōu tì lǐ。 zài dì 'èr gè jié lùn zhōng， bù fáng xiǎng xiàng jiāng 5 shuāng shǒu tào fēn bié biān hào， jí hào mǎ wéi 1， 2， ...， 5 de shǒu tào gè yòu liǎng zhǐ， tóng hào de liǎng zhǐ shì yī shuāng。 rèn qǔ 6 zhǐ shǒu tào， tā men de biān hào zhì duō yòu 5 zhǒng， yīn cǐ qí zhōng zhì shǎo yòu liǎng zhǐ de hào mǎ xiāng tóng。 zhè xiāng dāng yú bǎ 6 gè dōng xī fàng rù 5 gè chōu tì， zhì shǎo yòu 2 gè dōng xī zài tóng yī chōu tì lǐ。
chōu tì yuán lǐ de yī zhǒng gèng yī bān de biǎo shù wéi：
“ bǎ duō yú kn+1 gè dōng xī rèn yì fēn fàng jìn n gè kōng chōu tì（ k shì zhèng zhěng shù）， nà me yī dìng yòu yī gè chōu tì zhōng fàng jìn liǎo zhì shǎo k+1 gè dōng xī。”
lì yòng shàng shù yuán lǐ róng yì zhèng míng：“ rèn yì 7 gè zhěng shù zhōng， zhì shǎo yòu 3 gè shù de liǎng liǎng zhī chā shì 3 de bèi shù。” yīn wéi rèn yī zhěng shù chú yǐ 3 shí yú shù zhǐ yòu 0、 1、 2 sān zhǒng kě néng， suǒ yǐ 7 gè zhěng shù zhōng zhì shǎo yòu 3 gè shù chú yǐ 3 suǒ dé yú shù xiāng tóng， jí tā men liǎng liǎng zhī chā shì 3 de bèi shù。
rú guǒ wèn tí suǒ tǎo lùn de duì xiàng yòu wú xiàn duō gè， chōu tì yuán lǐ hái yòu lìng yī zhǒng biǎo shù：
“ bǎ wú xiàn duō gè dōng xī rèn yì fēn fàng jìn n gè kōng chōu tì（ n shì zì rán shù）， nà me yī dìng yòu yī gè chōu tì zhōng fàng jìn liǎo wú xiàn duō gè dōng xī。”
chōu tì yuán lǐ de nèi róng jiǎn míng pǔ sù， yì yú jiē shòu， tā zài shù xué wèn tí zhōng yòu zhòng yào de zuò yòng。 xǔ duō yòu guān cún zài xìng de zhèng míng dōukě yòng tā lái jiě jué。
1958 nián 6/7 yuè hào de《 měi guó shù xué yuè kān》 shàng yòu zhè yàng yī dào tí mù：
“ zhèng míng zài rèn yì 6 gè rén de jí huì shàng， huò zhě yòu 3 gè rén yǐ qián bǐ cǐ xiāng shí， huò zhě yòu sān gè rén yǐ qián bǐ cǐ bù xiāng shí。”
zhè gè wèn tí kě yǐ yòng rú xià fāng fǎ jiǎn dān míng liǎo dì zhèng chū：
zài píng miàn shàng yòng 6 gè diǎn A、 B、 C、 D、 E、 F fēn bié dài biǎo cān jiā jí huì de rèn yì 6 gè rén。 rú guǒ liǎng rén yǐ qián bǐ cǐ rèn shí， nà me jiù zài dài biǎo tā men de liǎng diǎn jiān lián chéng yī tiáo hóng xiàn； fǒu zé lián yī tiáo lán xiàn。 kǎo lǜ A diǎn yǔ qí yú gè diǎn jiān de 5 tiáo lián xiàn AB， AC， ...， AF， tā men de yán sè bù chāo guò 2 zhǒng。 gēn jù chōu tì yuán lǐ kě zhī qí zhōng zhì shǎo yòu 3 tiáo lián xiàn tóng sè， bù fáng shè AB， AC， AD tóng wéi hóng sè。 rú guǒ BC， BD， CD3 tiáo lián xiàn zhōng yòu yī tiáo（ bù fáng shè wéi BC） yě wéi hóng sè， nà me sān jiǎo xíng ABC jí yī gè hóng sè sān jiǎo xíng， A、 B、 C dài biǎo de 3 gè rén yǐ qián bǐ cǐ xiāng shí： rú guǒ BC、 BD、 CD3 tiáo lián xiàn quán wéi lán sè， nà me sān jiǎo xíng BCD jí yī gè lán sè sān jiǎo xíng， B、 C、 D dài biǎo de 3 gè rén yǐ qián bǐ cǐ bù xiāng shí。 bù lùn nǎ zhǒng qíng xíng fā shēng， dū fú hé wèn tí de jié lùn。
liù rén jí huì wèn tí shì zǔ hé shù xué zhōng zhù míng de lā mǔ sài dìng lǐ de yī gè zuì jiǎn dān de tè lì， zhè gè jiǎn dān wèn tí de zhèng míng sī xiǎng kě yòng lái dé chū lìng wài yī xiē shēn rù de jié lùn。 zhè xiē jié lùn gòu chéng liǎo zǔ hé shù xué zhōng de zhòng yào nèi róng ----- là mǔ sài lǐ lùn。 cóng liù rén jí huì wèn tí de zhèng míng zhōng， wǒ men yòu yī cì kàn dào liǎo chōu tì yuán lǐ de yìng yòng。 | | chouti yuanli
chōu tì yuán lǐ
boxprinciple
yòu jiào gē shè yuán lǐ , qí biǎo shù wéi： jiǎ rú yòu □ +1 gè（ huò gèng duō） wù tǐ zhuāng rù□ gè hé zǐ , nà me yī dìng yòu mǒu gè hé zǐ zhì shǎo zhuāng yòu liǎng gè wù tǐ， wéi jì niàn 19 shì jì dé guó shù xué jiā P.G.L. dí lì kè léi， yě jiào zuò dí lì kè léi yuán lǐ。 chōu tì yuán lǐ suī rán jiǎn dān， dàn biàn huà duō， yìng yòng guǎng， zài shù lùn hé zǔ hé shù xué zhōng yóu qí yòu zhe guǎng fàn de yìng yòng。 chōu tì yuán lǐ yìng yòng shí， guān jiàn zài yú jiàn lì jù tǐ de chōu tì（ gē shè）。 lì rú， dí lì kè léi yòng tā lái zhèng míng： duì yú rèn hé shí shù□ jí□ >1， jūn cún zài zhěng shù□，□， shǐ□ ,00 qiě bù shì píng fāng shù ) kě yòng chōu tì yuán lǐ jiě jué。 yùn yòng chōu tì yuán lǐ ， hěn róng yì shuō míng： suí yì zhǐ dìng liù gè rén， qí zhōng yī dìng yòu sān gè rén xiāng hù dū rèn shí huò dōubù rèn shí。 P. ài 'ěr tè xī zài 1935 nián yùn yòng chōu tì yuán lǐ zhèng míng liǎo zǔ hé shù xué zhōng yī gè zhù míng jiēguǒ： duì yú gěi dìng de zhèng zhěng shù□ , cún zài yī gè zhèng zhěng shù□ (□ )， shǐ dé zài yī gè píng miàn shàng， méi yòu sān diǎn zài yī tiáo zhí xiàn shàng de rèn yì□ (□ ) gè diǎn zhōng hán yòu□ gè diǎn， gòu chéng yī gè tū□ biān xíng。
（ sūn qí） | | | zǔ hé shù xué | gē cháo yuán lǐ | |
| | | dí lì kè léi chōu tì yuán lǐ | |
|
|
|