mùlù rú guǒ ak ＝ b（ a ＞ o， a ≠ 1）， k jiù jiào zuò yǐ a wéi dǐ de b de duì shù ， jì zuò logab＝ k。 qí zhōng a jiào zuò dǐ shù ， jiǎn chēng dǐ ； b jiào zuò zhēn shù 。 wéi shǐ mǒu shù děng yú yī gěi dìng shù 'ér bì xū qǔ de chéng mì de mì zhǐ shù 。 shù xué míng cí shù xué míng cí 。 gēn jù duì shù de jī běn xìng zhì ， kě bǎ chéng 、 chú 、 chéng fāng 、 kāi fāng de yùn suàn fēn bié yǐ jiā 、 jiǎn 、 chéng 、 chú lái dài tì 。 yǐ 10 wéi dǐ de duì shù chēng wéi cháng yòng duì shù ， jiǎn jì wéi lgb。 yǐ chāo yuè shù e(＝ 2.71828 … ) wéi dǐ de duì shù ， chēng wéi zì rán duì shù ， jiǎn jì wéi lnb。 yīng yǔ míng cí ： logarithms
rú guǒ a^n=b， nà me log(a)(b)=n。 qí zhōng ， a jiào zuò “ dǐ shù ” ， b jiào zuò “ zhēn shù ”， n jiào zuò “ yǐ a wéi dǐ b de duì shù ”。
hán shù jiào zuò duì shù hán shù 。 duì shù hán shù zhōng b de dìng yì yù shì b>0， líng hé fù shù méi yòu duì shù ； a de dìng yì yù shì a>0 qiě a≠ 1。 duì shù de xìng zhì jí tuī dǎo dìng yì ：
ruò a^n=b(a>0 qiě a≠ 1)
zé n=log(a)(b)
jī běn xìng zhì ：
tuī dǎo
yīn wéi n=log(a)(b)， dài rù zé a^n=b， jí a^(log(a)(b))=b。
yīn wéi a^b=a^b
lìng t=a^b
suǒ yǐ a^b=t， b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
yóu jī běn xìng zhì 1( huàn diào M hé N)
yóu zhǐ shù de xìng zhì
liǎng zhǒng fāng fǎ zhǐ shì xìng zhì bù tóng , cǎi yòng fāng fǎ yǐ shí jì qíng kuàng 'ér dìng
yòu yīn wéi zhǐ shù hán shù shì dān diào hán shù ， suǒ yǐ
yǔ （ 3） lèi sì chǔlǐ
yóu jī běn xìng zhì 1( huàn diào M hé N)
yóu zhǐ shù de xìng zhì
yòu yīn wéi zhǐ shù hán shù shì dān diào hán shù ， suǒ yǐ
yǔ （ 3） lèi sì chǔlǐ
yóu jī běn xìng zhì 1( huàn diào M)
yóu zhǐ shù de xìng zhì
yòu yīn wéi zhǐ shù hán shù shì dān diào hán shù ， suǒ yǐ
jī běn xìng zhì 4 tuī guǎng
tuī dǎo rú xià ：
yóu huàn dǐ gōng shì （ huàn dǐ gōng shì jiàn xià miàn ） [lnx shì log(e)(x)， e chēng zuò zì rán duì shù de dǐ ]
huàn dǐ gōng shì de tuī dǎo ：
shè e^x=b^m,e^y=a^n
zé log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
dé ： log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
yóu jī běn xìng zhì 4 kě dé
zài yóu huàn dǐ gōng shì
xìng zhì jí tuī dǎo wán ） 1. duì shù hán shù de tú xiàng dū guò (1,0) diǎn .
duì yú y=log(a)(n) hán shù ,
① , dāng 0<a<1 shí , tú xiàng shàng hán shù xiǎn shì wéi (0,+ ∞ ) dān jiǎn . suí zhe a de zēng dà , tú xiàng zhú jiàn yǐ (1,0) diǎn wéi zhóu shùn shí zhēn zhuàndòng , dàn bù chāo guò X=-1.
② dāng a>1 shí , tú xiàng shàng xiǎn shì hán shù wéi (0,+∞ ) dān zēng , suí zhe a de zēng dà , tú xiàng zhú jiàn yǐ (1.0) diǎn wéi zhóu nì shí zhēn zhuàndòng , dàn bù chāo guò X=1.
yǔ qí tā hán shù yǔ fǎn hán shù zhī jiān tú xiàng guān xì xiāng tóng , duì shù hán shù hé zhǐ shù hán shù de tú xiàng guān yú zhí xiàn y=x duìchèn . xìng zhì yī ： huàn dǐ gōng shì
tuī dǎo rú xià ：
zōng hé liǎng shì kě dé
yòu yīn wéi N=b^[log(b)(N)]
suǒ yǐ b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
suǒ yǐ log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{ zhè bù bù míng bái huò yòu yí wèn kàn shàng miàn de }
suǒ yǐ log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
gōng shì 'èr ： log(a)(b)=1/log(b)(a)
zhèng míng rú xià ：
yóu huàn dǐ gōng shì log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)---- qǔ yǐ b wéi dǐ de duì shù
hái kě biàn xíng dé :log(a)(b)×log(b)(a)=1
zài shí yòng shàng ， cháng cǎi yòng yǐ 10 wéi dǐ de duì shù ， bìng jiāng duì shù jì hào jiǎn xiě wéi lgb, chēng wéi cháng yòng duì shù ， tā shì yòng yú qiú shí jìn bó zhì zhěng shù huò xiǎo shù de duì shù 。 lì rú lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（ 103×4） =3+lg4, kě jiàn zhǐ yào duì mǒu yī fàn wéi de shù biān zhì chū duì shù biǎo ， biàn kě lì yòng lái jì suàn qí tā shí jìn zhì shù de duì shù de jìn sì zhí 。 zài shù xué lǐ lùn shàng yī bān dū yòng yǐ wú lǐ shù e=2.7182818…… wéi dǐ de duì shù ， bìng jiāng jì hào loge。 jiǎn xiě wéi ln， chēng wéi zì rán duì shù ， yīn wéi zì rán duì shù hán shù de dǎo shù biǎo dá shì tè bié jiǎn jié ， suǒ yǐ xiǎn chū liǎo tā bǐ qí tā duì shù zài lǐ lùn shàng de yōu yuè xìng 。 lì shǐ shàng ， shù xué gōng zuò zhě men biān zhì liǎo duō zhǒng bù tóng jīng què dù de cháng yòng duì shù biǎo hé zì rán duì shù biǎo 。 dàn suí zhe diàn zǐ jì shù de fā zhǎn ， zhè xiē shù biǎo yǐ zhú jiàn bèi xiàn dài de diàn zǐ jì suàn gōng jù suǒ qǔ dài 。
yǐ nèi de duì shù biǎo
duì shù fāng fǎ shì sū gé lán de Merchiston nán jué yuē hàn · nà pí 'ěr 1614 nián zài shū 《 MirificiLogarithmorumCanonisDescriptio》 zhōng shǒu cì gōng kāi tí chū de ， (JoostBürgi dú lì de fā xiàn liǎo duì shù ； dàn zhí dào Napier zhī hòu sì nián cái fā biǎo )。 zhè gè fāng fǎ duì kē xué jìn bù yòu suǒ gòng xiàn ， tè bié shì duì tiān wén xué ， shǐ mǒu xiē fán nán de jì suàn chéng wéi kě néng 。 zài jì suàn qì hé jì suàn jī fā míng zhī qián ， tā chí jiǔ de yòng yú cèliáng 、 háng hǎi 、 hé qí tā shí yòng shù xué fēn zhī zhōng 。
yuē hàn · nà pí 'ěr / yuē hàn · nài pí 'ěr / yuē hàn · nèi pí 'ěr （ JohnNapier， 1550 ～ 1617）， sū gé lán shù xué jiā 、 shén xué jiā ， duì shù de fā míng zhě 。
chū shēn guì zú ， yú 1550 nián zài sū gé lán 'ài dīng bǎo fù jìn de xiǎo zhèn méi qí sī dùn （ MerchistonCastle,Edinburgh,Scotland） chū shēng ， shì Merchiston chéng bǎo de dì bā dài dì zhù ， wèi céng yòu guò zhèng shì de zhí yè 。
nián qīng shí zhèng zhí 'ōu zhōu xiān qǐ zōng jiào gé mìng ， tā xíng lǚ qí jiān ， pō yòu gǎn chù 。 sū gé lán zhuànxiàng xīn jiào ， tā yě chéng liǎo xiě wén zhāng gōng jī jiù jiào （ tiān zhù jiào ） de jí xiān fēng （ zhù yào wén zhāng yú 1593 nián xiě chéng ）。 qí shí chuán chū tiān zhù jiào de xī bān yá yào pài wú dí jiàn duì lái gōng dǎ ， Napier jiù yán jiū bīng qì （ bāo kuò ná pào 、 zhuāng jiá mǎ chē 、 qián shuǐ tǐng děng ） zhǔn bèi yǔ qí pàn mìng 。 suī rán Napier de bīng qì hái méi zhì chéng ， yīng guó yǐ bǎ wú dí jiàn duì jī kuǎ ， tā hái shì chéng liǎo yīng xióng rén wù 。
tā yī shēng yán jiū shù xué ， yǐ fā míng duì shù yùn suàn 'ér zhù chēng 。 nà shí hòu tiān wén xué jiā TychoBrahe（ dì gǔ ， 1546～ 1601） děng rén zuò liǎo hěn duō de guān chá ， xū yào hěn duō de jì suàn ， ér qiě yào suàn jǐ gè shù de lián chéng ， yīn cǐ kǔ bù kān yán 。 1594 nián ， tā wèile xún qiú yī zhǒng qiú miàn sān jiǎo jì suàn de jiǎn biàn fāng fǎ ， yùn yòng liǎo dú tè de fāng fǎ gòu zào chū duì shù fāng fǎ 。 zhè ràng tā zài shù xué shǐ shàng bèi chóngchóng dì jì shàng yī bǐ ， rán 'ér wán chéng cǐ duì shù què zhěng zhěng huā liǎo tā 20 nián de gōng fū 。 1614 nián 6 yuè zài 'ài dīng bǎo chū bǎn de dì yī běn duì shù zhuān zhù 《 qí miào de duì shù biǎo de miáo shù 》（ "Mirificilogarithmorumcanonisdescriptio"） zhōng chǎn míng liǎo duì shù yuán lǐ ， hòu rén chēng wéi nà pí 'ěr duì shù ： NaplogX。 1616 nián Briggs（ hēng lì · bù lǐ gé sī ， 1561-1630） qù bài fǎng nà pí 'ěr ， jiàn yì jiāng duì shù gǎi liáng yī xià yǐ shí wéi jī dǐ de duì shù biǎo zuì wéi fāng biàn ， zhè yě jiù shì hòu lái cháng yòng de duì shù liǎo 。 kě xī nà pí 'ěr gé nián yú 1617 nián chūn tiān qù shì ， hòu lái jiù yóu Briggs yǐ bì shēng jīng lì jì chéng nà pí 'ěr de wèi jìng shì yè ， yǐ 10 wéi dǐ liè chū yī gè hěn xiáng xì de duì shù biǎo 。 bìng qiě yú 1619 nián fā biǎo liǎo 《 qí miào duì shù guī zé de jié gòu 》， yú shū zhōng xiáng xì chǎn shù liǎo duì shù jì suàn hé zào duì biǎo de fāng fǎ 。
nà pí 'ěr duì shù zì jì suàn tè bié yòu yán jiū ， tā de xīng qù zài yú qiú miàn sān jiǎo xué de yùn suàn ， ér qiú miàn sān jiǎo xué nǎi yīn yìng tiān wén xué de huó dòng 'ér xīng qǐ de 。 tā chóngxīn jiàn lì liǎo yòng yú jiě qiú miàn zhí jiǎo sān jiǎo xíng de 10 gè gōng shì de qiǎo miào jì fǎ héng héng yuán de bù fēn fǎ zé （ " nà pí 'ěr yuán bù fǎ zé "） hé jiě qiú miàn fēi zhí jiǎo sān jiǎo xíng de liǎng gè gōng shì héng héng " nà pí 'ěr bǐ nǐ shì "， yǐ jí zuò chéng chú fǎ yòng de " nà pí 'ěr suàn chóu "。 cǐ wài ， tā hái fā míng liǎo nà pí 'ěr chǐ ， zhè zhǒng chǐ zǐ kě yǐ jī xiè dì jìn xíng shù de chéng chú yùn suàn hé qiú shù de píng fāng gēn 。 duì shù
duì shù 〔 l ǹg fù zhù .; nǎ jí 。 xù ]， shù N yǐ “ wéi dǐ de
wéi shǐ zhī děng yú N， shù a( duì shù de dǐ ( jiā yì of cǐ bg-
miàn shān m)) bì xū qǔ de mì zhǐ shù m， jì zuò fog。 N; zhè biǎo míng
yì wèi zhe a yuē =N. duì měi gè zhèng shù N hé gěi dìng de
dǐ a>0， a hù 1， duì yìng wéi yī de shí duì shù ( fù shù de duì shù shì
fù shù ). duì shù de zhù yào xìng zhì shì :
zǐ =1og kǒu M yī log。 N，
yī 。 aN yī kǒu kǒu - yī “ a-，
wú =klog。 N，
èr 。 N ’ “ yī zé los·“
zhè xiē xìng zhì shǐ děibǎ shù de chéng fǎ hé chú fǎ jiǎn huà wéi duì shù de jiā fǎ hé
jiǎn fǎ ， bǎ shù de mì yǔ kāi fāng jiǎn huà wéi mì huò gēn de zhǐ shù chéng 、 chú duì
shù chéng wéi kě néng .
shì yìng yú shí jìn shù zhì ， zuì cháng yòng de duì shù shì shí jìn duì shù (a 'èr
jì zuò lgN. duì yú bù děng yú 10 rén (k wéi zhěng shù ) de yòu
lǐ shù ， qí shí jìn duì shù shì chāo yuè shù ( dīng tián zhǐ cen( yè ntal gān Lnnber)，
tā kě yòng yòu xiàn shí jìn fēn shù jìn sì biǎo shì . shí jìn duì shù de zhěng shù bù fēn
chēng wéi tā de shǒu shù (eharacte shān tie)， xiǎo shù bù fēn chēng wéi tā de wěi
shù ( fú n wǎng zī a). yóu yú fog(10“ N)=k+lgN， suǒ yǐ xiāng
hù zhī bǐ wéi 10“ de bù tóng de shù de shí jìn duì shù jù yòu xiāng tóng de wěi
shù ， tā men zhī jiān zhǐ shì shǒu shù bù tóng . zhè yī xìng zhì shì zhì zuò duì shù biǎo
de jī chǔ ， duì shù biǎo zhōng zhǐ liè chū zhěng shù de duì shù de wěi shù .
zì rán duì shù gā chéng qiē jiù !】。， shí shān m) yě jù yòu hěn dà yì yì ，
qí dǐ shì chāo yuè shù e=2.71828… ; jì zuò InN. cóng yī gè dǐ
de duì shù xiàng lìng yī gè dǐ de duì shù de zhuǎn huàn gōng shì shì los。 N=
zhí qí zhōng de yīn zǐ 1/105。 b chēng wéi cóng dǐ a dào dǐ
de huàn dǐ mó ( xiāng jì chuān lù oftra bān ition). zì rán duì shù yǔ shí jìn
duì shù zhī jiān de zhuǎn huàn gōng shì shì :
zhǐ N，、， hN
shū yú ， lgN 'èr shū līn ，
yī In10
yán yī 2.302， yī jī yī 0·~ ‘ ’ èr
yì jiàn duì shù hán shù (10 bù bì shān 'ér cfunction).B。 yī 3
bǔ zhù 】 xī fāng xiě zuò wēi jī fēn hòu xù kè chéng de shù xué jiā jīhū zǒng shì
yòng IosN lái dài tì inN yǐ biǎo shì N de zì rán duì shù ( dǐ wéi
shù e yóu e= xù 。 _。 (l+l/。 )· hé e= yì cuàn 。 l/n! gěi
chū ( jiàn e( shù )(e(ntllnber))).
lìng yī fāng miàn ， wēi jī fēn hé wēi jī fēn yù bèi jiào cái de zuò zhě yǐ jí
jì suàn qì zhì zào chǎng jiā zǒng shì yòng logN biǎo shì shí jìn duì shù ( cháng yòng duì
shù )， yòng inN biǎo shì zì rán duì shù . yì jiàn duì shù hán shù (10 duàn tri-
shān r miàn c qiū metion). shěn yǒng huān yì wǒ men xiān kǎo lǜ hán shù y=ln(1+x)， zé yòu dy/dx=1/(1+x)
yīn 'ér ∫ xià xiàn 0 shàng xiàn u1/（ 1+x） dx=ln(1+u)-ln1=ln（ 1+u） (1)
bǎ (1) zhǎn kāi wéi jǐ hé jí shù wéi 1/（ 1+u） =1-u+u^2-u^3+…… +（ -1)^(n-1)*u^(n-1)+(-1)^n*u^n/(1+u).
zhù yì zhè bù shì wú qióng jí shù 。
jiāng qí dài rù （ 1）， lì yòng zhú xiàng jī fēn de fǎ zé ， dé dào
zhè lǐ Tn=(-1)^n*∫ xià xiàn 0 shàng xiàn ux^n/(1+x)dx
wǒ men kàn dào ， zhǐ yào u ∈ （ -1， 1 ］ ， nà me n dì zēng shí Tn qū yú 0. yīn cǐ ， wǒ men dé dào zài u∈（ -1， 1] chéng lì de wú qióng jí shù
zhè gè jí shù shí jì yìng yòng shí wú duō dà yì yì ， yīn wéi tā shōu liǎn de tài màn ， qiě jǐn néng jì suàn 0 dào 2 zhī jiān de duì shù zhí 。 dàn shì wǒ men kě yǐ yòng -u dài tì u， zé
zài lì yòng gōng shì lna-lnb=ln(a/b)
dé dào ln((1+u)/(1-u))=2(u+1/3*u^3+1/5*u^5+1/7*u^7+……）（ 3）
zhè gè jí shù bù jǐn shōu liǎn de kuài dé duō ， qiě duì yú rèn yì zhèng shù z zǒng yòu yī gè zài （ -1， 1］ zhī jiān de jiě u， shǐ dé ((1+u)/(1-u))=z
zuò wéi yī gè lì zǐ ， kě yǐ yòng （ 3） jì suàn ln3， lìng u=0.5， zé
zhǐ qǔ qián 6 xiàng ， lìng zuì hòu yī xiàng wéi 2/(11*2^11), qiú dé ln3=1.0986, jīng què dào wǔ wèi shù n.: logarithm, logarithms, log hán shù shù xué bǎi kē dà quán shù xué jiā yán jiū bǎi kē cí diǎn dài shù liàng zǐ shù gōng shì dìng yì cèliáng xué fēn xī xué yìng yòng shù xué dìng lǜ héng děng shì
duì shù biǎo fǎn duì shù xiāng duì shù jué duì shù nì duì shù shuāng duì shù yú duì shù duì shù de zhòng duì shù duì shù zì