 完全平方数 完全平方数 完全平方数 完全平方数 完全平方数 完全平方数完全平方数  完全平方数 完全平方数 完全平方数 完全平方数
yī gè shù rú guǒ shì lìng yī gè zhěng shù de wán quán píng fāng， nà me wǒ men jiù chēng zhè gè shù wéi wán quán píng fāng shù ， yě jiào zuò píng fāng shù。 lì rú：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484, …
guān chá zhè xiē wán quán píng fāng shù ， kě yǐ huò dé duì tā men de gè wèi shù、 shí wèi shù、 shù zì hé děng de guī lǜ xìng de rèn shí。 xià miàn wǒ men lái yán jiū wán quán píng fāng shù de yī xiē cháng yòng xìng zhì：
xìng zhì 1： wán quán píng fāng shù de mò wèi shù zhǐ néng shì 0,1,4,5,6,9。
xìng zhì 2： jīshù de píng fāng de gè wèi shù zì wéi jīshù， shí wèi shù zì wéi 'ǒu shù。
zhèng míng jīshù bì wéi xià liè wǔ zhǒng xíng shì zhī yī：
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
fēn bié píng fāng hòu， dé
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20(5a+9a+4)+1
zōng shàng gè zhǒng qíng xíng kě zhī： jīshù de píng fāng， gè wèi shù zì wéi jīshù 1,5,9； shí wèi shù zì wéi 'ǒu shù。
xìng zhì 3： rú guǒ wán quán píng fāng shù de shí wèi shù zì shì jīshù， zé tā de gè wèi shù zì yī dìng shì 6； fǎn zhī， rú guǒ wán quán píng fāng shù de gè wèi shù zì shì 6， zé tā de shí wèi shù zì yī dìng shì jīshù。
zhèng míng yǐ zhī =10k+6， zhèng míng k wéi jīshù。 yīn wéi de gè wèi shù wéi 6， suǒ yǐ m de gè wèi shù wéi 4 huò 6， yú shì kě shè m=10n+4 huò 10n+6。 zé
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
huò 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
jí k=10+8n+1=2(5+4n)+1
huò k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k wéi jīshù。
tuī lùn 1： rú guǒ yī gè shù de shí wèi shù zì shì jīshù， ér gè wèi shù zì bù shì 6， nà me zhè gè shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù 。
tuī lùn 2： rú guǒ yī gè wán quán píng fāng shù de gè wèi shù zì bù shì 6， zé tā de shí wèi shù zì shì 'ǒu shù。
xìng zhì 4： ǒu shù de píng fāng shì 4 de bèi shù； jīshù de píng fāng shì 4 de bèi shù jiā 1。
zhè shì yīn wéi (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
xìng zhì 5： jīshù de píng fāng shì 8n+1 xíng； ǒu shù de píng fāng wéi 8n huò 8n+4 xíng。
zài xìng zhì 4 de zhèng míng zhōng， yóu k(k+1) yī dìng wéi 'ǒu shù kě dé dào (2k+1) shì 8n+1 xíng de shù； yóu wéi jīshù huò 'ǒu shù kě dé (2k) wéi 8n xíng huò 8n+4 xíng de shù。
xìng zhì 6： píng fāng shù de xíng shì bì wéi xià liè liǎng zhǒng zhī yī： 3k,3k+1。
yīn wéi zì rán shù bèi 3 chú 'àn yú shù de bù tóng kě yǐ fēn wéi sān lèi： 3m,3m+1,3m+2。 píng fāng hòu， fēn bié dé
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
tóng lǐ kě yǐ dé dào：
xìng zhì 7： bù néng bèi 5 zhěng chú de shù de píng fāng wéi 5k±1 xíng， néng bèi 5 zhěng chú de shù de píng fāng wéi 5k xíng。
xìng zhì 8： píng fāng shù de xíng shì jù yòu xià liè xíng shì zhī yī： 16m,16m+1,16m+4,16m+9。
chú liǎo shàng miàn guān yú gè wèi shù， shí wèi shù hé yú shù de xìng zhì zhī wài， hái kě yán jiū wán quán píng fāng shù gè wèi shù zì zhī hé。 lì rú， 256 tā de gè wèi shù zì xiāng jiā wéi 2+5+6=13， 13 jiào zuò 256 de gè wèi shù zì hé。 rú guǒ zài bǎ 13 de gè wèi shù zì xiāng jiā： 1+3=4， 4 yě kě yǐ jiào zuò 256 de gè wèi shù zì de hé。 xià miàn wǒ men tí dào de yī gè shù de gè wèi shù zì zhī hé shì zhǐ bǎ tā de gè wèi shù zì xiāng jiā， rú guǒ dé dào de shù zì zhī hé bù shì yī wèi shù， jiù bǎ suǒ dé de shù zì zài xiāng jiā， zhí dào chéng wéi yī wèi shù wéi zhǐ。 wǒ men kě yǐ dé dào xià miàn de mìng tí：
yī gè shù de shù zì hé děng yú zhè gè shù bèi 9 chú de yú shù。
xià miàn yǐ sì wèi shù wéi lì lái shuō míng zhè gè mìng tí。
shè sì wèi shù wéi， zé
=1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
xiǎn rán， a+b+c+d shì sì wèi shù bèi 9 chú de yú shù。
duì yú n wèi shù， yě kě yǐ fǎng cǐ fǎ yú yǐ zhèng míng。
guān yú wán quán píng fāng shù de shù zì hé yòu xià miàn de xìng zhì：
xìng zhì 9： wán quán píng fāng shù de shù zì zhī hé zhǐ néng shì 0,1,4,7,9。
zhèng míng yīn wéi yī gè zhěng shù bèi 9 chú zhǐ néng shì 9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4 zhè jǐ zhǒng xíng shì， ér
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
chú liǎo yǐ shàng jǐ tiáo xìng zhì yǐ wài， hái yòu xià liè zhòng yào xìng zhì：
xìng zhì 10： wéi wán quán píng fāng shù de chōng yào tiáo jiàn shì b wéi wán quán píng fāng shù 。
zhèng míng chōng fēn xìng： shè b wéi píng fāng shù， zé
==(ac)
bì yào xìng： ruò wéi wán quán píng fāng shù ， =， zé
xìng zhì 11： rú guǒ zhì shù p néng zhěng chú a， dàn p de píng fāng bù néng zhěng chú a， zé a bù shì wán quán píng fāng shù 。
zhèng míng yóu tí shè kě zhī， a yòu zhì yīn shù p， dàn wú yīn shù， kě zhī a fēn jiě chéng biāo zhǔn shì shí， p de cì fāng wéi 1， ér wán quán píng fāng shù fēn jiě chéng biāo zhǔn shì shí， gè zhì yīn shù de cì fāng jūn wéi 'ǒu shù， kě jiàn a bù shì wán quán píng fāng shù 。
xìng zhì 12： zài liǎng gè xiāng lín de zhěng shù de píng fāng shǔzhī jiān de suǒ yòu zhěng shù dōubù shì wán quán píng fāng shù ， jí ruò
n^2<k^2<(n+1)^2
zé k yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù 。
xìng zhì 13： yī gè zhèng zhěng shù n shì wán quán píng fāng shù de chōng fēn bì yào tiáo jiàn shì n yòu qí shù gè yīn shù ( bāo kuò 1 hé n běn shēn )。
( èr ) zhòng yào jié lùn
1. gè wèi shù shì 2,3,7,8 de zhěng shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù ；
2. gè wèi shù hé shí wèi shù dōushì jīshù de zhěng shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù ；
3. gè wèi shù shì 6， shí wèi shù shì 'ǒu shù de zhěng shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù ；
4. xíng rú 3n+2 xíng de zhěng shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù ；
5. xíng rú 4n+2 hé 4n+3 xíng de zhěng shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù ；
6. xíng rú 5n±2 xíng de zhěng shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù ；
7. xíng rú 8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7 xíng de zhěng shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù ；
8. shù zì hé shì 2,3,5,6,8 de zhěng shù yī dìng bù shì wán quán píng fāng shù 。
( sān ) fàn lì
[ lì 1]： yī gè zì rán shù jiǎn qù 45 jí jiā shàng 44 dū réng shì wán quán píng fāng shù ， qiú cǐ shù。
jiě： shè cǐ zì rán shù wéi x， yǐ tí yì kě dé
x-45=m^2;(1)
x+44=n^2(2)
(m,n wéi zì rán shù )
(2)-(1) kě dé :
n^2-m^2=89 huò： (n-m)(n+m)=89
yīn wéi n+m>n-m
yòu yīn wéi 89 wéi zhì shù，
suǒ yǐ： n+m=89;n-m=1
jiě zhī， dé n=45。 dài rù (2) dé。 gù suǒ qiú de zì rán shù shì 1981。
[ lì 2]： qiú zhèng： sì gè lián xù de zhěng shù de jī jiā shàng 1， děng yú yī gè jīshù de píng fāng (1954 nián jī fǔ shù xué jìng sài tí )。
fēn xī shè sì gè lián xù de zhěng shù wéi， qí zhōng n wéi zhěng shù。 yù zhèng
shì yī jīshù de píng fāng， zhǐ xū jiāng tā tōng guò yīn shì fēn jiě 'ér biàn chéng yī gè jīshù de píng fāng jí kě。
zhèng míng shè zhè sì gè zhěng shù zhī jī jiā shàng 1 wéi m， zé
ér n(n+1) shì liǎng gè lián xù zhěng shù de jī， suǒ yǐ shì 'ǒu shù； yòu yīn wéi 2n+1 shì jīshù， yīn 'ér n(n+1)+2n+1 shì jīshù。 zhè jiù zhèng míng liǎo m shì yī gè jīshù de píng fāng。
[ lì 3]： qiú zhèng： 11,111,1111, zhè chuàn shù zhōng méi yòu wán quán píng fāng shù (1972 nián jī fǔ shù xué jìng sài tí )。
fēn xī xíng rú de shù ruò shì wán quán píng fāng shù ， bì shì mò wèi wéi 1 huò 9 de shù de píng fāng， jí
huò
zài liǎng duān tóng shí jiǎn qù 1 zhī hòu jí kě tuī chū máo dùn。
zhèng míng ruò， zé
yīn wéi zuǒ duān wéi jīshù， yòu duān wéi 'ǒu shù， suǒ yǐ zuǒ yòu liǎng duān bù xiāng děng。
ruò， zé
yīn wéi zuǒ duān wéi jīshù， yòu duān wéi 'ǒu shù， suǒ yǐ zuǒ yòu liǎng duān bù xiāng děng。
zōng shàng suǒ shù， bù kě néng shì wán quán píng fāng shù 。
lìng zhèng yóu wéi jīshù zhī， ruò tā wéi wán quán píng fāng shù ， zé zhǐ néng shì jīshù de píng fāng。 dàn yǐ zhèng guò， jīshù de píng fāng qí shí wèi shù zì bì shì 'ǒu shù， ér shí wèi shàng de shù zì wéi 1， suǒ yǐ bù shì wán quán píng fāng shù 。
[ lì 4]： shì zhèng shù liè 49,4489,444889, de měi yī xiàng dōushì wán quán píng fāng shù 。
zhèng míng
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36()+12+1
=(6+1)
jí wéi wán quán píng fāng shù 。
[ lì 5]： yòng 300 gè 2 hé ruò gān gè 0 zǔ chéng de zhěng shù yòu méi yòu kě néng shì wán quán píng fāng shù ？
jiě： shè yóu 300 gè 2 hé ruò gān gè 0 zǔ chéng de shù wéi a， zé qí shù zì hé wéi 600
3 ｜ 600∴ 3｜ a
cǐ shù yòu 3 de yīn shù， gù 9｜ a。 dàn 9｜ 600，∴ máo dùn。 gù bù kě néng yòu wán quán píng fāng shù 。
[ lì 6]： shì qiú yī gè sì wèi shù， tā shì yī gè wán quán píng fāng shù ， bìng qiě tā de qián liǎng wèi shù zì xiāng tóng， hòu liǎng wèi shù zì yě xiāng tóng (1999 xiǎo xué shù xué shì jiè yāo qǐng sài shì tí )。
jiě： shè cǐ shù wéi
cǐ shù wéi wán quán píng fāng， zé bì xū shì 11 de bèi shù。 yīn cǐ 11｜ a+b， ér a,b wéi 0,1,2,9， gù gòng yòu (2,9),(3,8),(4,7),(9,2) děng 8 zǔ kě néng。
zhí jiē yàn suàn， kě zhī cǐ shù wéi 7744=88。
[ lì 7]： qiú mǎn zú xià liè tiáo jiàn de suǒ yòu zì rán shù：
(1) tā shì sì wèi shù。
(2) bèi 22 chú yú shù wéi 5。
(3) tā shì wán quán píng fāng shù 。
jiě： shè， qí zhōng n,n wéi zì rán shù， kě zhī n wéi jīshù。
11｜ n-4 huò 11｜ n+4
huò
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
suǒ yǐ cǐ zì rán shù wéi 1369,2601,3481,5329,6561,9025。
[ lì 8]： jiá、 yǐ liǎng rén hé yǎng liǎo n tóu yáng， ér měi tóu yáng de mài jià yòu qià wéi n yuán， quán bù mài wán hòu， liǎng rén fēn qián fāng fǎ rú xià： xiān yóu jiá ná shí yuán， zài yóu yǐ ná shí yuán， rú cǐ lún liú， ná dào zuì hòu， shèng xià bù zú shí yuán， lún dào yǐ ná qù。 wèile píng jūn fēn pèi， jiá yīnggāi bǔjǐ yǐ duō shǎo yuán ( dì 2 jiè “ zǔ chōng zhī bēi ” chū zhōng shù xué yāo qǐng sài shì tí )？
jiě： n tóu yáng de zǒng jià wéi yuán， yóu tí yì zhī yuán zhōng hán yòu jīshù gè 10 yuán， jí wán quán píng fāng shù de shí wèi shù zì shì jīshù。 rú guǒ wán quán píng fāng shù de shí wèi shù zì shì jīshù， zé tā de gè wèi shù zì yī dìng shì 6。 suǒ yǐ， de mò wèi shù zì wéi 6， jí yǐ zuì hòu ná de shì 6 yuán， cóng 'ér wéi píng jūn fēn pèi， jiá yìng bǔjǐ yǐ 2 yuán。
[ lì 9]： jǔ xíng sì biān de cháng dù dōushì xiǎo yú 10 de zhěng shù ( dān wèi： gōng fēn )， zhè sì gè cháng dù shù kě gòu chéng yī gè sì wèi shù， zhè gè sì wèi shù de qiān wèi shù zì yǔ bǎi wèi shù zì xiāng tóng， bìng qiě zhè sì wèi shù shì yī gè wán quán píng fāng shù ， qiú zhè gè jǔ xíng de miàn jī (1986 nián jìn yún bēi chū 'èr shù xué jìng sài tí )。
jiě： shè jǔ xíng de biān cháng wéi x,y， zé sì wèi shù
∵ n shì wán quán píng fāng shù ， 11 wéi zhì shù∴ x+y néng bèi 11 zhěng chú。
yòu , dé x+y=11。
∴∴ 9x+1 shì yī gè wán quán píng fāng shù ， ér， yàn suàn zhī x=7 mǎn zú tiáo jiàn。 yòu yóu x+y=11 dé。
[ lì 10]： qiú yī gè sì wèi shù， shǐ tā děng yú tā de sì gè shù zì hé de sì cì fāng， bìng zhèng míng cǐ shù shì wéi yī de。
jiě： shè fú hé tí yì de sì wèi shù wéi， zé，∴ wéi wǔ wèi shù， wéi sān wèi shù，∴。 jīng jì suàn dé， qí zhōng fú hé tí yì de zhǐ yòu 2401 yī gè。
[ lì 11]： qiú zì rán shù n， shǐ de zhí shì yóu shù zì 0,2,3,4,4,7,8,8,9 zǔ chéng。
jiě： xiǎn rán，。 wèile biàn yú gū jì， wǒ men bǎ de biàn huà fàn wéi fàng dà dào， yú shì， jí。∵，∴。
lìng yī fāng miàn， yīn yǐ zhī jiǔ gè shù mǎ zhī hé shì 3 de bèi shù， gù jí n dōushì 3 de bèi shù。 zhè yàng， n zhǐ yòu 24,27,30 sān zhǒng kě néng。 dàn 30 jié wěi yòu liù gè 0， gù 30 bù hé yào qiú。 jīng jì suàn dé
gù suǒ qiú de zì rán shù n=27。
( sì ) tǎo lùn tí
1.(1986 nián dì 27 jiè imo shì tí )
shè zhèng zhěng shù d bù děng yú 2,5,13， qiú zhèng zài jí hé {2,5,13,d} zhōng kě yǐ zhǎo dào liǎng gè bù tóng de yuán sù a,b， shǐ dé ab-1 bù shì wán quán píng fāng shù 。
2. qiú k de zuì dà zhí |