| | | ① yī、 èr、 sān … yī bǎi、 sān qiān děng pǔ tōng zhěng shù， qū bié yú dì yī、 dì 'èr、 dì sān… dì yī bǎi、 dì sān qiān děng xù shù。 ② zuò wéi jì suàn biāo zhǔn huò qǐ diǎn de shù mù。 | | | yòng yú biǎo shì shì wù gè shù de shù。 rú yī、 èr、 sān…… yī bǎi、 sān qiān děng pǔ tōng zhěng shù， qū bié yú dì yī、 dì 'èr、 dì sān…… dì yī bǎi、 dì sān qiān děng xù shù。 | | | tǒng jì zhòngjì suàn “ dòng tài zhǐ biāo ” shí yòng zuò duì bǐ jī chǔ de shù zhí。 | | jī shù （ shù xué）
zài shù xué shàng， jī shù (cardinalnumber) yě jiào shì (cardinality)， zhǐ jí hé lùn zhōng kè huà rèn yì jí hé suǒ hán yuán sù shù liàng duō shǎo de yī gè gài niàn。 liǎng gè néng gòu jiàn lì yuán sù jiān yī yī duì yìng de jí hé chēng wéi hù xiāng duì děng jí hé。 lì rú 3 gè rén de jí hé hé 3 pǐ mǎ de jí hé kě yǐ jiàn lì yī yī duì yìng， shì liǎng gè duì děng de jí hé。 gēn jù duì děng zhè zhǒng guān xì duì jí hé jìn xíng fēn lèi， fán shì hù xiāng duì děng de jí hé jiù huá rù tóng yī lèi。 zhè yàng， měi yī gè jí hé dōubèi huá rù liǎo mǒu yī lèi。 rèn yì yī gè jí hé a suǒ shǔ de lèi jiù chēng wéi jí hé a de jī shù ， jì zuò ( huò ｜ a｜， huò carda)。 zhè yàng， dāng a yǔ b tóng shǔ yī gè lèi shí， a yǔ b jiù yòu xiāng tóng de jī shù ， jí。 ér dāng a yǔ b bù tóng shǔ yī gè lèi shí， tā men de jī shù yě bù tóng。 jí。 rú guǒ bǎ dān yuán sù jí de jī shù jì zuò 1， liǎng gè yuán sù de jí hé de jī shù jì zuò 2， děng děng， zé rèn yī gè yòu xiàn jí de jī shù jiù yǔ tōng cháng yì yì xià de zì rán shù yī zhì。 kōng jí de jī shù yě jì zuò σ。 yú shì yòu xiàn jí de jī shù yě jiù shì chuán tǒng gài niàn xià de“ gè shù”。 dàn shì， duì yú wú qióng jí， chuán tǒng gài niàn méi yòu gè shù， ér 'àn jī shù gài niàn， wú qióng jí yě yòu jī shù ， lì rú， rèn yī kě shù jí（ yě chēng kě liè jí） yǔ zì rán shù jí n yòu xiāng tóng de jī shù ， jí suǒ yòu kě shù jí shì děng jī shù jí。 bù dàn rú cǐ， hái kě yǐ zhèng míng shí shù jí r yǔ kě shù jí de jī shù bù tóng， jí。 suǒ yǐ jí hé de jī shù shì gè shù gài niàn de tuī guǎng。 jī shù kě yǐ bǐ jiào dà xiǎo。 jiǎ shè a， b de jī shù fēn bié shì a， β， jí ＝ a，＝ β， rú guǒ a yǔ b de mǒu gè zǐ jí duì děng， jiù chēng a de jī shù bù dà yú b de jī shù ， jì zuò a ≤ β， huò β ≥ a。 rú guǒ a≤ β， dàn a ≠ β（ jí a yǔ b bù duì děng）， jiù chēng a de jī shù xiǎo yú b de jī shù ， jì zuò a ＜ β， huò β ＞ a。 jī shù kě yǐ jìn xíng yùn suàn。 shè＝ a，＝ β， qiě a ∩ b＝， zé guī dìng wéi a yǔ β zhī hé jì zuò＝ a ＋ β。 shè＝ a，＝ β， a×b wéi a yǔ b de jī jí， guī dìng wéi a yǔ β de jī， jì zuò＝ a·β。
◆ lì shǐ
kāng tuō 'ěr zài 1874 nián ～ 1884 nián yǐn rù zuì yuán shǐ de jí hé lùn（ xiàn chēng pǔ sù jí hé lùn） shí , shǒu cì yǐn rù jī shù gài niàn。 tā zuì xiān kǎo lǜ de shì jí hé {1,2,3} hé {2,3,4}， tā men bìng fēi xiāng tóng， dàn yòu xiāng tóng de jī shù 。 zhòu yǎn kàn lái， zhè shì xiǎn 'ér yì jiàn， dàn jiū jìng kě wèi liǎng gè jí hé yòu xiāng tóng shù mùdì yuán sù？
kāng tuō 'ěr de dá 'àn， shì suǒ wèi yī yī duì yìng， jí bǎ liǎng gè jí hé de yuán sù yī duì yī de pái qǐ lái héng héng ruò néng zuò dào， liǎng gè jí hé de jī shù zì rán xiāng tóng。 zhè dá 'àn， róng yì lǐ jiě dàn què shì gé mìng xìng de， yīn wéi yòng xiāng tóng de fāng fǎ jí kě bǐ jiào rèn yì jí hé， bāo kuò wú qióng jí hé de dà xiǎo。
zuì xiān bèi kǎo lǜ de wú qióng jí hé shì zì rán shù jí n={1,2,3,...} jí qí wú xiàn zǐ jí。 tā bǎ suǒ yòu yǔ n néng yī yī duì yìng de jí wéi kě shù jí。 dà chū kāng tuō 'ěr yì wài， yuán lái n de suǒ yòu wú xiàn zǐ jí dōunéng yǔ n yī yī duì yìng！ tā bǎ n de jī shù chēng wéi nο， shì zuì shǎo de chāo qióng jī shù （ transfinitecardinalnumbers）。
kāng tuō 'ěr fā xiàn， yuán lái yòu lǐ shù jí hé yǔ dài shù shù jí hé yě shì kě shù de！ yú shì hū zài 1874 nián chū， tā cháng shì zhèng míng shì fǒu suǒ yòu wú xiàn jí hé jūn shì kě shù， shāo hòu tā dé chū zhù míng de duì jiǎo lùn zhèng fǎ， shí shù jí shì bù kě shù de。 shí shù jí de jī shù ， jì zuò c， dài biǎo lián xù tǒng。
jiē zhe kāng tuō 'ěr gòu zuò yī gè bǐ yī gè dà de jí hé， dé chū yī gè bǐ yī gè dà de jī shù ， ér zhè xiē jù dà jí hé de yuán sù yǐ bù kě rú shí shù bān shū xiě chū lái。 yīn cǐ guān yú jī shù de yī bān lǐ lùn， xū yào yī gè xīn de yǔ yán miáo shù， zhè jiù shì kāng tuō 'ěr fā míng jí hé lùn de zhù yīn。
kāng tuō 'ěr suí hòu tí chū lián xù tǒng jiǎ shè： c jiù shì dì 'èr gè chāo qióng shù n1, jí jì nο zhī hòu zuì xiǎo de jī shù 。 duō nián hòu， shù xué jiā fā xiàn zhè jiǎ shè shì bù néng zhèng míng de， jí jiē shòu huò fǒu dìng tā huì dé chū liǎng tào bù tóng dàn luó ji shàng kě xíng de gōng lǐ huà jí hé lùn。
◆ dòng jī
zài fēi xíng shì shǐ yòng zhōng， jī shù jiù shì tōng cháng bèi chēng wéi jì shù de dōng xī。 tā men tóng yī yú kāi shǐ yú 0 de zì rán shù ( jiù shì 0,1,2,...)。 jì shù yán gé de shì kě xíng shì dìng yì wèiyòu xiàn jī shù de dōng xī。 wú xiàn jī shù zhǐ chū xiàn zài gāo jí shù xué hé luó ji zhōng。
gèng jiā xíng shì de shuō， fēi líng shù kě yǐ yòng yú liǎng gè mùdì : miáo shù yī gè jí hé de dà xiǎo， huò miáo shù yī gè yuán sù zài xù liè zhōng wèi zhì。 duì yú yòu xiàn jí hé hé xù liè， kě yǐ qīng yì de kàn chū zhe liǎng gè gài niàn shì xiāng fú de， yīn wéi duì yú suǒ yòu miáo shù zài xù liè zhōng de yī gè wèi zhì de shù， wǒ men kě yǐ gòu zào yī gè yòu jīng què de zhèng hǎo dà xiǎo de jí hé， bǐ rú 3 miáo shù 'c' zài xù liè <'a','b','c','d',...> zhōng de wèi zhì， bìng qiě wǒ men kě yǐ gòu zào yòu sān gè yuán sù de jí hé {a,b,c}。 dàn shì zài chǔlǐ wú xiàn jí hé de shí hòu， zài zhè liǎng gè gài niàn zhī jiān de qū bié shì běn zhì de héng zhè liǎng gè gài niàn duì yú wú xiàn jí hé shí jì shàng shì bù tóng de。 kǎo lǜ wèi zhì shì xiàng (aspect) dǎo zhì xù shù， ér dà xiǎo shì xiàng bèi zhè lǐ miáo shù de jī shù suǒ pǔ biàn huà。
zài jī shù xíng shì dìng yì bèi hòu de zhí jué shì gòu zào yī gè jí hé de xiāng duì dà xiǎo de gài niàn 'ér bù tí jí tā yòu nà xiē chéng yuán。 duì yú yòu xiàn jí hé zhè shì róng yì de； nǐ kě yǐ jiǎn dān de jì shù yī gè jí hé de chéng yuán de shù mù。 wèile bǐ jiào gèng dà jí hé de dà xiǎo， bì xū jiè zhù gèng jiā wēi miào de gài niàn。
yī gè jí hé y shì zhì shǎo děng dà xiǎo yú huò dà yú děng yú yī gè jí hé x， rú guǒ yòu cóng x de yuán sù dào y de yuán sù de yī gè dān shè ( yī yī yìng shè )。 yī yī yìng xiàng duì jí hé x de měi gè yuán sù què dìng liǎo yī gè wéi yī de jí hé y de yuán sù。 zhè tōng guò lì zǐ shì zuì róng yì lǐ jiě de； jiǎ shè wǒ men yòu jí hé x={1,2,3} hé y={a,b,c,d}， zé shǐ yòng zhè gè dà xiǎo gài niàn wǒ men kě yǐ guān chá dào yòu yī gè yìng shè :
1 → a
2→ b
3→ c
zhè shì yī duì yī de， yīn cǐ jié lùn chū y yòu dà yú děng yú x de shì。 zhù yì yuán sù d méi yòu yuán sù yìng xiàng dào tā， dàn zhè shì yǔn xǔ de， yīn wéi wǒ men zhǐ yào qiú yī yī yìng shè， ér bù bì xū shì yī duì yī bìng qiě wán quán de yìng shè。 zhè gè gài niàn de hǎo chù shì tā kě yǐ kuò zhǎn dào wú xiàn jí hé。
wǒ men kě yǐ kuò zhǎn zhè gè gài niàn dào yī gè děng shì fēng gé de guān xì。 liǎng gè jí hé x hé y bèi chēng wéi yòu xiāng tóng de shì， rú guǒ cún zài x hé y zhī jiān de shuāng shè。 tōng guò schroeder-bernstein dìng lǐ， zhè děng jià yú yòu cóng x dào y hècóng y dào x de liǎng gè yī yī yìng shè。 wǒ men jiē zhe xiě wéi |x|=|y|。 x de jī shù zì shēn jīng cháng bèi dìng yì wèiyòu zhe |a|=|x| de zuì xiǎo xù shù a。 zhè jiào zuò féng · nuò yī màn jī shù zhǐ pài； wéi shǐ zhè gè dìng yì yòu yì yì， bì xū zhèng míng suǒ yòu jí hé dōuyòu tóng mǒu gè xù shù yī yàng de shì； zhè gè chén shù jiù shì liáng xù yuán lǐ。 rán 'ér yòu kě néng tǎo lùn jí hé de xiāng duì de shì 'ér bù yòng míng què de zhǐ pài míng zì gěi duì xiàng。
zài wú xiàn lǚ guǎn bèi lùn yě jiào zuò xī 'ěr bó tè dà lǚ guǎn bèi lùn zhōng shǐ yòng de jīng diǎn lì zǐ。 jiǎ shè nǐ shì yòu wú xiàn gè fáng jiān de lǚ guǎn de zhù rén。 lǚ guǎn kè mǎn， ér yòu lái liǎo yī gè xīn kè rén。 yòu kě néng tōng guò ràng zài fáng jiān 1 de kè rén zhuǎn yí dào fáng jiān 2， fáng jiān 2 de kè rén zhuǎn yí dào fáng jiān 3 yǐ cǐ lèi tuī， téng kōng fáng jiān 1 de fāng shì 'ān zhì zhè gè xīn kè rén。 wǒ men kě yǐ míng què de xiě chū zhè gè yìng shè de yī gè piàn duàn :
1↔2
2↔3
3↔4
...
n↔n+1
...
zài zhè zhǒng fāng shì xià wǒ men kě yǐ kàn chū jí hé {1,2,3,...} hé jí hé {2,3,4,...} yòu xiāng tóng de shì， yīn wéi yǐ jīng zhǎn shì liǎo zhè liǎng gè jí hé zhī jiān de shuāng shè。 zhè jī fā liǎo dìng yì wú xiàn jí hé shì yòu zhe xiāng tóng de shì de zhēn zǐ jí de rèn hé jí hé； zài zhè gè qíng kuàng xià {2,3,4,...} shì {1,2,3,...} de zhēn zǐ jí。
dāng wǒ men kǎo lǜ zhè xiē dà duì xiàng de shí hòu， wǒ men hái xiǎng kàn kàn jì shù cì xù de gài niàn shì fǒu fú hé shàng shù wéi wú xiàn jí hé dìng yì de jī shù 。 pèng qiǎo bù fú hé； tōng guò kǎo lǜ shàng miàn de lì zǐ， wǒ men kě yǐ kàn dào“ bǐ wú xiàn dà yī” mǒu gè duì xiàng cún zài， tā bì xū yòu tóng wǒ men qǐ chū de wú xiàn jí hé yòu yī yàng de shì。 yòu kě néng shǐ yòng jī yú jì shù bìng yǐ cì kǎo lǜ měi gè shù de xiǎng fǎ de jiào zuò xù shù de bù tóng de shù de xíng shì gài niàn， ér wǒ men fā xiàn shì hé xù (ordinality) de gài niàn duì yú wú xiàn shù shì yòu fēn qí de。
kě yǐ zhèng míng shí shù de shì dà yú gāng cái miáo shù de zì rán shù de shì。 zhè kě yǐ shǐ yòng duì jiǎo lùn zhèng fǎ lái kě shì huà； shì de jīng diǎn wèn tí ( bǐ rú lián xù tǒng jiǎ shè ) guān xīn fā xiàn zài mǒu yī duì wú xiàn jī shù zhī jiān shì fǒu yòu mǒu gè jī shù 。 zuì jìn shù xué jiā yǐ jīng miáo shù liǎo gèng dà gèng dà jī shù de xìng zhì。
yīn wéi jī shù shì shù xué zhōng rú cǐ cháng yòng de gài niàn， shǐ yòng liǎo gè zhǒng gè yàng de míng zì。 shì xiāng tóng yòu shí jiào zuò děng shì、 jūn shì huò děng duō (equipotence,equipollence,equinumerosity)。 yīn cǐ chēng yòu xiāng tóng shì de liǎng gè jí hé wéi děng shì de、 jūn shì de huò děng duō de (equipotent,equipollent,equinumerous)。
◆ jī shù suàn shù
wǒ men kě zài jī shù shàng dìng yì ruò gān suàn shù yùn suàn， zhè shì duì zì rán shù yùn suàn de tuī guǎng。 gěi chū jí hé x yǔ y， dìng yì x+y={(x,0):x ∈ x} ∪ {(y,1):y∈ y}， zé jī shù hé shì |x|+|y|=|x+y|。 ruò x yǔ y bù xiāng jiāo， zé |x|+|y|=|x∪ y|。 jī shù jī shì |x||y|=|x×y|， qí zhōng x×y shì x hé y de dí kǎ 'ér jī。 jī shù zhǐ shù shì |x||y|=|xy|， qí zhōng xy shì suǒ yòu yóu y dào x de hán shù de jí hé。
zài yòu xiàn jí shí， zhè xiē yùn suàn yǔ zì rán shù wú yì。 yī bān dì， tā men yì yòu pǔ tōng suàn shù yùn suàn de děng zhì：
jiā fǎ hé chéng fǎ shì kě zhì huàn de， jí |x|+|y|=|y|+|x| jí |x||y|=|y||x|。
jiā fǎ hé chéng fǎ shì hé jié hé lǜ， (|x|+|y|)+|z|=|x|+(|y|+|z|) jí (|x||y|)|z|=|x|(|y||z|)
fēn pèi lǜ， jí (|x|+|y|)|z|=|x||z|+|y||z|。
|x||y|+|z|=|x||y||x||z|
|x||y||z|=(|x||y|)|z|
(|x||y|)|z|=|x||z||y||z|
wú qióng jí hé de jiā fǎ jí chéng fǎ（ jiǎ shè xuǎn zé gōng lǐ） fēi cháng jiǎn dān。 ruò x yǔ y jiē fēi kōng 'ér qí zhōng zhī yī wéi wú xiàn jí， zé |x|+|y|=|x||y|=max{|x|,|y|}.（ zhù yì 2|x| shì x de mì jí zhī jī shù 。 yóu duì jiǎo lùn zhèng fǎ kě zhī 2|x|>|x|， shì yǐ bìng bù cún zài zuì dà de jī shù 。 shì shí shàng， jī shù de lèi shì zhēn lèi。）
hái yòu xiē guān yú zhǐ shù de yòu qù xìng zhì：
|x|0=1( hěn qí guài dì 00=1)。
0|y|=0 ruò y fēi kōng。
1|y|=1。
|x|≤ |y| zé |x||z|≤ |y||z|。
ruò |x| hé |y| jù yòu xiàn qiě dà yú 1， ér z shì wú qióng， zé |x||z|=|y||z|。
ruò x shì wú qióng 'ér y shì yòu xiàn jí fēi kōng， zé |x||y|=|x|。
◆ jī shù xù liè jí lián xù tǒng jiǎ shè
duì měi yī gè jī shù ， cún zài yī gè zuì xiǎo bǐ tā dà de jī shù 。 zhè zài zì rán shù dāng rán shì duì de。 zì rán shù jí de jī shù shì nο， kāng tuō 'ěr chēng xià yī gè shì n1， xiāng lèi shìde , hái dìng yì liǎo rú xià yī gè xù liè :nο,n1,… nn…。
zhù yì c＝ nο。 lián xù tǒng jiǎ shè cāi xiǎng， jiù shì c＝ n1。
lián xù tǒng jiǎ shè shì yǔ yī bān jí lùn gōng lǐ（ jí zermelo-fraenkel gōng lǐ xì tǒng jiā shàng xuǎn zé gōng lǐ） shì dú lì de。
gèng yī bān de jiǎ shè， jí nn+1＝ 2nn（ 2 de nn cì）。
guǎng yì lián xù tǒng jiǎ shè， jiù shì duì suǒ yòu wú qióng jī shù n， dōubù cún zài jiè hū n yǔ 2n（ 2 de n cì） zhī jiān de jī shù 。
jī shù （ yǔ yán xué）
zài yǔ yán xué zhōng， jī shù shì duì yìng liàng cí de“ shù”， lì rú zài yǐ xià jù zǐ zhōng de“ yī” jí“ sì”：
yòu yī gè chéng， yòu sì gè gān。
xù shù shì duì yìng pái liè de“ shù”， lì rú zài yǐ xià jù zǐ zhōng de“ yī” jí“ èr”：
zhè rén yī bù huì dǎ zì， èr bù dǒng sù jì， suǒ yǐ bù kě yǐ zuò mì shū。
zài mǒu xiē yǔ yán rú yīng yǔ， jī shù one,two,three hé xù shù first,second,third shì bù tóng de。
jī shù （ jūn shì）
jūn shì shù yǔ jī shù shì dàn yào děng jūn xiè wù zī gōng yìng de yī zhǒng jì suàn dān wèi， jī shù liàng shì duì dān xiàng zhuāng bèi huò rén yuán guī dìng de wù zī shù liàng huò zhòng liàng， duì yú qiāng pào jí wéi dàn yào jī shù ， cháng yòng yú chǔ bèi、 qǐng lǐng、 bào xiāo、 bǔ chōng dàn yào。 lì rú： 7.62 háo mǐ bàn zì dòng bù qiāng de yī gè dàn yào jī shù liàng wéi 200 fā qiāng dàn， yī mén 82 pǎijīpào yī gè dàn yào jī shù shì 120 fā pào dàn， 100 rén fèn de zhàn jiù yào wù yī gè jī shù liàng wéi 9 qiān kè。
jī shù liàng de biāo zhǔn yóu jūn duì gāo céng gēn jù běn guó gōng yè shēng chǎn shuǐ píng、 jūn duì de xié xíng néng lì、 wǔ qì zhuāng bèi de zhàn shù jì shù xìng néng hé yī bān de xiāo hào guī lǜ tǒng yī guī dìng。
shǐ yòng shù yǔ jī shù de yōu diǎn zài yú jiǎn dān huà、 guī fàn huà， biàn yú jì suàn、 gōng yìng、 jì yì hé bǎo mì， fāng biàn bù duì zhǐ huī hé bǎo zhàng： biàn yú shàng jí xià dá jūn shì mìng lìng、 zhǐ shì hé qí tā xíng wén， yě biàn yú gè jí jūn xiè bù mén jì suàn dàn yào shù liàng， bào gào dàn yào bǎo zhàng chéng dù。 | | zài shù xué shàng， jī shù (cardinalnumber) yě jiào shì (cardinality)， zhǐ jí hé lùn zhōng kè huà rèn yì jí hé suǒ hán yuán sù shù liàng duō shǎo de yī gè gài niàn。 liǎng gè néng gòu jiàn lì yuán sù jiān yī yī duì yìng de jí hé chēng wéi hù xiāng duì děng jí hé。 lì rú 3 gè rén de jí hé hé 3 pǐ mǎ de jí hé kě yǐ jiàn lì yī yī duì yìng， shì liǎng gè duì děng de jí hé。 gēn jù duì děng zhè zhǒng guān xì duì jí hé jìn xíng fēn lèi， fán shì hù xiāng duì děng de jí hé jiù huá rù tóng yī lèi。 zhè yàng， měi yī gè jí hé dōubèi huá rù liǎo mǒu yī lèi。 rèn yì yī gè jí hé A suǒ shǔ de lèi jiù chēng wéi jí hé A de jī shù ， jì zuò ( huò｜ A｜， huò cardA)。 zhè yàng， dāng A yǔ B tóng shǔ yī gè lèi shí， A yǔ B jiù yòu xiāng tóng de jī shù ， jí |A|=|B|。 ér dāng A yǔ B bù tóng shǔ yī gè lèi shí， tā men de jī shù yě bù tóng。
rú guǒ bǎ dān yuán sù jí de jī shù jì zuò 1， liǎng gè yuán sù de jí hé de jī shù jì zuò 2， děng děng， zé rèn yī gè yòu xiàn jí de jī shù jiù yǔ tōng cháng yì yì xià de zì rán shù yī zhì。 kōng jí de jī shù yě jì zuò σ。 yú shì yòu xiàn jí de jī shù yě jiù shì chuán tǒng gài niàn xià de“ gè shù”。 dàn shì， duì yú wú qióng jí， chuán tǒng gài niàn méi yòu gè shù， ér 'àn jī shù gài niàn， wú qióng jí yě yòu jī shù ， lì rú， rèn yī kě shù jí（ yě chēng kě liè jí） yǔ zì rán shù jí N yòu xiāng tóng de jī shù ， jí suǒ yòu kě shù jí shì děng jī shù jí。 bù dàn rú cǐ， hái kě yǐ zhèng míng shí shù jí R yǔ kě shù jí de jī shù bù tóng。 suǒ yǐ jí hé de jī shù shì gè shù gài niàn de tuī guǎng。
jī shù kě yǐ bǐ jiào dà xiǎo。 jiǎ shè A， B de jī shù fēn bié shì a， β， jí |A|＝ a， |B|＝ β， rú guǒ A yǔ B de mǒu gè zǐ jí duì děng， jiù chēng A de jī shù bù dà yú B de jī shù ， jì zuò a≤ β， huò β≥ a。 rú guǒ a≤ β， dàn a≠ β（ jí A yǔ B bù duì děng）， jiù chēng A de jī shù xiǎo yú B de jī shù ， jì zuò a＜ β， huò β＞ a。 zài chéng rèn cè méi luó (Zermelo) xuǎn zé gōng lǐ de qíng kuàng xià， kě yǐ zhèng míng jī shù de sān qí xìng dìng lǐ héng héng rèn hé liǎng gè jí hé de jī shù dōukě yǐ bǐ jiào dà xiǎo， jí bù cún zài jí hé A hé B， shǐ dé A bù néng yǔ B de rèn hé zǐ jí duì děng， B yě bù néng yǔ A de rèn hé zǐ jí duì děng。
jī shù kě yǐ jìn xíng yùn suàn。 shè |A|＝ a， |A|＝ β， qiě A∩ B shì kōng jí， zé guī dìng wéi a yǔ β zhī hé jì zuò＝ a＋ β。 shè |A|＝ a， |B|＝ β， A×B wéi A yǔ B de jī jí， guī dìng wéi a yǔ β de jī， jì zuò＝ a·β。
◆ lì shǐ
kāng tuō 'ěr zài 1874 nián～ 1884 nián yǐn rù zuì yuán shǐ de jí hé lùn（ xiàn chēng pǔ sù jí hé lùn） shí , shǒu cì yǐn rù jī shù gài niàn。 tā zuì xiān kǎo lǜ de shì jí hé {1,2,3} hé {2,3,4}， tā men bìng fēi xiāng tóng， dàn yòu xiāng tóng de jī shù 。 zhòu yǎn kàn lái， zhè shì xiǎn 'ér yì jiàn， dàn jiū jìng hé wèi liǎng gè jí hé yòu xiāng tóng shù mùdì yuán sù？
kāng tuō 'ěr de dá 'àn， shì suǒ wèi yī yī duì yìng， jí bǎ liǎng gè jí hé de yuán sù yī duì yī de pái qǐ lái héng héng ruò néng zuò dào， liǎng gè jí hé de jī shù zì rán xiāng tóng。 zhè dá 'àn， róng yì lǐ jiě dàn què shì gé mìng xìng de， yīn wéi yòng xiāng tóng de fāng fǎ jí kě bǐ jiào rèn yì jí hé， bāo kuò wú qióng jí hé de dà xiǎo。
zuì xiān bèi kǎo lǜ de wú qióng jí hé shì zì rán shù jí N={1,2,3,...} jí qí wú xiàn zǐ jí。 tā bǎ suǒ yòu yǔ N néng yī yī duì yìng de jí wéi kě shù jí。 dà chū kāng tuō 'ěr yì wài， yuán lái N de suǒ yòu wú xiàn zǐ jí dōunéng yǔ N yī yī duì yìng！ tā bǎ N de jī shù chēng wéi Nο( dú zuò 'ā liè fū líng， ā liè fū shì xī bó lái wén de dì yī gè zì mǔ )， shì zuì shǎo de chāo qióng jī shù （ transfinitecardinalnumbers）。
kāng tuō 'ěr fā xiàn， yuán lái yòu lǐ shù jí hé yǔ dài shù shù jí hé yě shì kě shù de！ yú shì hū zài 1874 nián chū， tā cháng shì zhèng míng shì fǒu suǒ yòu wú xiàn jí hé jūn shì kě shù， shāo hòu tā dé chū zhù míng de duì jiǎo lùn zhèng fǎ， shí shù jí shì bù kě shù de。 shí shù jí de jī shù ， jì zuò c， dài biǎo lián xù tǒng。
jiē zhe kāng tuō 'ěr gòu zuò yī gè bǐ yī gè dà de jí hé， dé chū yī gè bǐ yī gè dà de jī shù ， ér zhè xiē jù dà jí hé de yuán sù yǐ bù kě rú shí shù bān shū xiě chū lái。 yīn cǐ guān yú jī shù de yī bān lǐ lùn， xū yào yī gè xīn de yǔ yán miáo shù， zhè jiù shì kāng tuō 'ěr fā míng jí hé lùn de zhù yīn。
kāng tuō 'ěr suí hòu tí chū lián xù tǒng jiǎ shè： c jiù shì dì 'èr gè chāo qióng shù N1, jí jì Nο zhī hòu zuì xiǎo de jī shù 。 duō nián hòu， shù xué jiā fā xiàn zhè jiǎ shè shì bù néng zhèng míng de， jí jiē shòu huò fǒu dìng tā huì dé chū liǎng tào bù tóng dàn luó ji shàng kě xíng de gōng lǐ huà jí hé lùn。
◆ dòng jī
zài fēi xíng shì shǐ yòng zhōng， jī shù jiù shì tōng cháng bèi chēng wéi jì shù de dōng xī。 tā men tóng yī yú kāi shǐ yú 0 de zì rán shù ( jiù shì 0,1,2,...)。 jì shù yán gé de shì kě xíng shì dìng yì wèiyòu xiàn jī shù de dōng xī。 wú xiàn jī shù zhǐ chū xiàn zài gāo jí shù xué hé luó ji zhōng。
gèng jiā xíng shì de shuō， fēi líng shù kě yǐ yòng yú liǎng gè mùdì : miáo shù yī gè jí hé de dà xiǎo， huò miáo shù yī gè yuán sù zài xù liè zhōng wèi zhì。 duì yú yòu xiàn jí hé hé xù liè， kě yǐ qīng yì de kàn chū zhe liǎng gè gài niàn shì xiāng fú de， yīn wéi duì yú suǒ yòu miáo shù zài xù liè zhōng de yī gè wèi zhì de shù， wǒ men kě yǐ gòu zào yī gè yòu jīng què de zhèng hǎo dà xiǎo de jí hé， bǐ rú 3 miáo shù 'c' zài xù liè <'a','b','c','d',...> zhōng de wèi zhì， bìng qiě wǒ men kě yǐ gòu zào yòu sān gè yuán sù de jí hé {a,b,c}。 dàn shì zài chǔlǐ wú xiàn jí hé de shí hòu， zài zhè liǎng gè gài niàn zhī jiān de qū bié shì běn zhì de héng zhè liǎng gè gài niàn duì yú wú xiàn jí hé shí jì shàng shì bù tóng de。 kǎo lǜ wèi zhì shì xiàng (aspect) dǎo zhì xù shù， ér dà xiǎo shì xiàng bèi zhè lǐ miáo shù de jī shù suǒ pǔ biàn huà。
zài jī shù xíng shì dìng yì bèi hòu de zhí jué shì gòu zào yī gè jí hé de xiāng duì dà xiǎo de gài niàn 'ér bù tí jí tā yòu nà xiē chéng yuán。 duì yú yòu xiàn jí hé zhè shì róng yì de； nǐ kě yǐ jiǎn dān de jì shù yī gè jí hé de chéng yuán de shù mù。 wèile bǐ jiào gèng dà jí hé de dà xiǎo， bì xū jiè zhù gèng jiā wēi miào de gài niàn。
yī gè jí hé Y shì zhì shǎo děng dà xiǎo yú huò dà yú děng yú yī gè jí hé X， rú guǒ yòu cóng X de yuán sù dào Y de yuán sù de yī gè dān shè ( yī yī yìng shè )。 yī yī yìng xiàng duì jí hé X de měi gè yuán sù què dìng liǎo yī gè wéi yī de jí hé Y de yuán sù。 zhè tōng guò lì zǐ shì zuì róng yì lǐ jiě de； jiǎ shè wǒ men yòu jí hé X={1,2,3} hé Y={a,b,c,d}， zé shǐ yòng zhè gè dà xiǎo gài niàn wǒ men kě yǐ guān chá dào yòu yī gè yìng shè :
1→ a
2→ b
3→ c
zhè shì yī duì yī de， yīn cǐ jié lùn chū Y yòu dà yú děng yú X de shì。 zhù yì yuán sù d méi yòu yuán sù yìng xiàng dào tā， dàn zhè shì yǔn xǔ de， yīn wéi wǒ men zhǐ yào qiú yī yī yìng shè， ér bù bì xū shì yī duì yī bìng qiě wán quán de yìng shè。 zhè gè gài niàn de hǎo chù shì tā kě yǐ kuò zhǎn dào wú xiàn jí hé。
wǒ men kě yǐ kuò zhǎn zhè gè gài niàn dào yī gè děng shì fēng gé de guān xì。 liǎng gè jí hé X hé Y bèi chēng wéi yòu xiāng tóng de shì， rú guǒ cún zài X hé Y zhī jiān de shuāng shè。 tōng guò Schroeder-Bernstein dìng lǐ， zhè děng jià yú yòu cóng X dào Y hècóng Y dào X de liǎng gè yī yī yìng shè。 wǒ men jiē zhe xiě wéi |X|=|Y|。 X de jī shù zì shēn jīng cháng bèi dìng yì wèiyòu zhe |a|=|X| de zuì xiǎo xù shù a。 zhè jiào zuò féng · nuò yī màn jī shù zhǐ pài； wéi shǐ zhè gè dìng yì yòu yì yì， bì xū zhèng míng suǒ yòu jí hé dōuyòu tóng mǒu gè xù shù yī yàng de shì； zhè gè chén shù jiù shì liáng xù yuán lǐ， tā děng jià yú xuǎn zé gōng lǐ。 rán 'ér yòu kě néng tǎo lùn jí hé de xiāng duì de shì 'ér bù yòng míng què de zhǐ pài míng zì gěi duì xiàng。
zài wú xiàn lǚ guǎn bèi lùn yě jiào zuò xī 'ěr bó tè dà lǚ guǎn bèi lùn zhōng shǐ yòng de jīng diǎn lì zǐ。 jiǎ shè nǐ shì yòu wú xiàn gè fáng jiān de lǚ guǎn de zhù rén。 lǚ guǎn kè mǎn， ér yòu lái liǎo yī gè xīn kè rén。 yòu kě néng tōng guò ràng zài fáng jiān 1 de kè rén zhuǎn yí dào fáng jiān 2， fáng jiān 2 de kè rén zhuǎn yí dào fáng jiān 3 yǐ cǐ lèi tuī， téng kōng fáng jiān 1 de fāng shì 'ān zhì zhè gè xīn kè rén。 wǒ men kě yǐ míng què de xiě chū zhè gè yìng shè de yī gè piàn duàn :
1↔2
2↔3
3↔4
...
n↔n+1
...
zài zhè zhǒng fāng shì xià wǒ men kě yǐ kàn chū jí hé {1,2,3,...} hé jí hé {2,3,4,...} yòu xiāng tóng de shì， yīn wéi yǐ jīng zhǎn shì liǎo zhè liǎng gè jí hé zhī jiān de shuāng shè。 zhè jī fā liǎo dìng yì wú xiàn jí hé shì yòu zhe xiāng tóng de shì de zhēn zǐ jí de rèn hé jí hé； zài zhè gè qíng kuàng xià {2,3,4,...} shì {1,2,3,...} de zhēn zǐ jí。
dāng wǒ men kǎo lǜ zhè xiē dà duì xiàng de shí hòu， wǒ men hái xiǎng kàn kàn jì shù cì xù de gài niàn shì fǒu fú hé shàng shù wéi wú xiàn jí hé dìng yì de jī shù 。 pèng qiǎo bù fú hé； tōng guò kǎo lǜ shàng miàn de lì zǐ， wǒ men kě yǐ kàn dào“ bǐ wú xiàn dà yī” mǒu gè duì xiàng cún zài， tā bì xū yòu tóng wǒ men qǐ chū de wú xiàn jí hé yòu yī yàng de shì。 yòu kě néng shǐ yòng jī yú jì shù bìng yǐ cì kǎo lǜ měi gè shù de xiǎng fǎ de jiào zuò xù shù de bù tóng de shù de xíng shì gài niàn， ér wǒ men fā xiàn shì hé xù (ordinality) de gài niàn duì yú wú xiàn shù shì yòu fēn qí de。
kě yǐ zhèng míng shí shù de shì dà yú gāng cái miáo shù de zì rán shù de shì。 zhè kě yǐ shǐ yòng duì jiǎo lùn zhèng fǎ lái kě shì huà； shì de jīng diǎn wèn tí ( bǐ rú lián xù tǒng jiǎ shè ) guān xīn fā xiàn zài mǒu yī duì wú xiàn jī shù zhī jiān shì fǒu yòu mǒu gè jī shù 。 zuì jìn shù xué jiā yǐ jīng miáo shù liǎo gèng dà gèng dà jī shù de xìng zhì。
yīn wéi jī shù shì shù xué zhōng rú cǐ cháng yòng de gài niàn， shǐ yòng liǎo gè zhǒng gè yàng de míng zì。 shì xiāng tóng yòu shí jiào zuò děng shì、 jūn shì huò děng duō (equipotence,equipollence,equinumerosity)。 yīn cǐ chēng yòu xiāng tóng shì de liǎng gè jí hé wéi děng shì de、 jūn shì de huò děng duō de (equipotent,equipollent,equinumerous)。
◆ jī shù suàn shù
wǒ men kě zài jī shù shàng dìng yì ruò gān suàn shù yùn suàn， zhè shì duì zì rán shù yùn suàn de tuī guǎng。 gěi chū jí hé X yǔ Y， dìng yì X+Y={(x,0):x∈ X}∪ {(y,1):y∈ Y}， zé jī shù hé shì |X|+|Y|=|X+Y|。 ruò X yǔ Y bù xiāng jiāo， zé |X|+|Y|=|X∪ Y|。 jī shù jī shì |X||Y|=|X×Y|， qí zhōng X×Y shì X hé Y de dí kǎ 'ér jī。 jī shù zhǐ shù shì |X||Y|=|XY|， qí zhōng XY shì suǒ yòu yóu Y dào X de hán shù de jí hé。
zài yòu xiàn jí shí， zhè xiē yùn suàn yǔ zì rán shù wú yì。 yī bān dì， tā men yì yòu pǔ tōng suàn shù yùn suàn de děng zhì：
jiā fǎ hé chéng fǎ shì kě zhì huàn de， jí |X|+|Y|=|Y|+|X| jí |X||Y|=|Y||X|。
jiā fǎ hé chéng fǎ shì hé jié hé lǜ， (|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) jí (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)
fēn pèi lǜ， jí (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|。
|X||Y|+|Z|=|X||Y||X||Z|
|X||Y||Z|=(|X||Y|)|Z|
(|X||Y|)|Z|=|X||Z||Y||Z|
wú qióng jí hé de jiā fǎ jí chéng fǎ（ jiǎ shè xuǎn zé gōng lǐ） fēi cháng jiǎn dān。 ruò X yǔ Y jiē fēi kōng 'ér qí zhōng zhī yī wéi wú xiàn jí， zé |X|+|Y|=|X||Y|=max{|X|,|Y|}.
jì 2^|X| shì X de mì jí zhī jī shù 。 yóu duì jiǎo lùn zhèng fǎ kě zhī 2^|X|>|X|， shì yǐ bìng bù cún zài zuì dà de jī shù 。 shì shí shàng， jī shù de lèi shì zhēn lèi。
hái yòu xiē guān yú zhǐ shù de yòu qù xìng zhì：
|X|0=1( hěn qí guài dì 00=1)。
0|Y|=0 ruò Y fēi kōng。
1|Y|=1。
|X|≤ |Y| zé |X||Z|≤ |Y||Z|。
ruò |X| hé |Y| jù yòu xiàn qiě dà yú 1， ér Z shì wú qióng， zé |X||Z|=|Y||Z|。
ruò X shì wú qióng 'ér Y shì yòu xiàn jí fēi kōng， zé |X||Y|=|X|。
◆ jī shù xù liè jí lián xù tǒng jiǎ shè
duì měi yī gè jī shù ， cún zài yī gè zuì xiǎo bǐ tā dà de jī shù 。 zhè zài zì rán shù dāng rán shì duì de。 zì rán shù jí de jī shù shì Nο， kāng tuō 'ěr chēng xià yī gè shì N1， xiāng lèi shìde , hái dìng yì liǎo rú xià yī gè xù liè :Nο,N1,… Nn…。
zhù yì c＝ Nο。 lián xù tǒng jiǎ shè cāi xiǎng， jiù shì c＝ N1。
lián xù tǒng jiǎ shè shì yǔ yī bān jí lùn gōng lǐ（ jí Zermelo-Fraenkel gōng lǐ xì tǒng jiā shàng xuǎn zé gōng lǐ） shì dú lì de。
gèng yī bān de jiǎ shè， jí Nn+1＝ 2Nn（ 2 de Nn cì）。
guǎng yì lián xù tǒng jiǎ shè， jiù shì duì suǒ yòu wú qióng jī shù N， dōubù cún zài jiè hū N yǔ 2N（ 2 de N cì） zhī jiān de jī shù 。 | | zài yǔ yán xué zhōng， jī shù shì duì yìng liàng cí de“ shù”， lì rú zài yǐ xià jù zǐ zhōng de“ yī” jí“ sì”：
yòu yī gè chéng， yòu sì gè gān。
xù shù shì duì yìng pái liè de“ shù”， lì rú zài yǐ xià jù zǐ zhōng de“ yī” jí“ èr”：
zhè rén yī bù huì dǎ zì， èr bù dǒng sù jì， suǒ yǐ bù kě yǐ zuò mì shū。
zài mǒu xiē yǔ yán rú yīng yǔ， jī shù one,two,three hé xù shù first,second,third shì bù tóng de。 | | jūn shì shù yǔ jī shù shì dàn yào děng jūn xiè wù zī gōng yìng de yī zhǒng jì suàn dān wèi， jī shù liàng shì duì dān xiàng zhuāng bèi huò rén yuán guī dìng de wù zī shù liàng huò zhòng liàng， duì yú qiāng pào jí wéi dàn yào jī shù ， cháng yòng yú chǔ bèi、 qǐng lǐng、 bào xiāo、 bǔ chōng dàn yào。 lì rú： 7.62 háo mǐ bàn zì dòng bù qiāng de yī gè dàn yào jī shù liàng wéi 200 fā qiāng dàn， yī mén 82 pǎijīpào yī gè dàn yào jī shù shì 120 fā pào dàn， 100 rén fèn de zhàn jiù yào wù yī gè jī shù liàng wéi 9 qiān kè。
jī shù liàng de biāo zhǔn yóu jūn duì gāo céng gēn jù běn guó gōng yè shēng chǎn shuǐ píng、 jūn duì de xié xíng néng lì、 wǔ qì zhuāng bèi de zhàn shù jì shù xìng néng hé yī bān de xiāo hào guī lǜ tǒng yī guī dìng。
shǐ yòng shù yǔ jī shù de yōu diǎn zài yú jiǎn dān huà、 guī fàn huà， biàn yú jì suàn、 gōng yìng、 jì yì hé bǎo mì， fāng biàn bù duì zhǐ huī hé bǎo zhàng： biàn yú shàng jí xià dá jūn shì mìng lìng、 zhǐ shì hé qí tā xíng wén， yě biàn yú gè jí jūn xiè bù mén jì suàn dàn yào shù liàng， bào gào dàn yào bǎo zhàng chéng dù。
yě yòu yòng yú 'àn yǔ
rú： liǎng gè jī shù pào dàn、 sān gè jī shù rán liào。 zhè lǐ de jī shù kě yǐ shì 100 fā， yě kě yǐ shì 500 fā， dàn jù tǐ shì duō shǎo zé yóu tōng xùn gè fāng shì xiān yuē dìng。 | duì jī shù bǐ jiào shù liàng fāng fǎ de zhì yí | yǐ xià de zhì yí cháng jiàn yú chū xué zhě yǐ jí“ mín jiān kē xué jiā”， qí gēn běn wèn tí zài yú shù xué jī chǔ bǐ jiào chā， méi yòu lǐ jiě shì de yì yì， ér xiǎng dāng rán dì bǎ mǒu xiē zhí guān gǎn jué zuò wéi jié lùn lái shǐ yòng。
bǎo liú běn duàn zuò wéi fǎn miàn jiào cái， dú zhě bù nán fā xiàn“ fǎn bó” zhōng de luó ji cuò wù。
děng shì（ děng jī shù ） de gài niàn。
shè A、 B shì liǎng gè jí， rú guǒ cún zài yī gè A dào B de yī yī duì yìng， nà me chēng jí A yǔ jí B děng shì（ huò xiāng sì、 huò duì děng、 huò děng jīshù）， jì wéi A～ B， guī dìng kōng jí gēn zì shēn děng shì。
ér děng shì de gài niàn shì wǒ men jiàn lì shì de lǐ lùn cóng 'ér duì jí hé jìn xíng bǐ jiào de jī chǔ。
lì rú， zhèng 'ǒu shù jí hé hé zì rán shù jí， ψ:n->2n， jí kě shǐ dé liǎng jí hé zhī jiān jiàn lì yī yī duì yìng， yīn cǐ tā men shì děng shì de。”
fǎn bó：
duì děng de fāng fǎ， zhǐ néng zài yòu xiàn jí bǐ jiào zhōng yòu xiào。 kuò zhǎn dào wú xiàn jí shì bù kě xìn de。
lì：“ wèn： mǒu bān xué shēng rén shù yǔ jiào shì de dèng zǐ shù nǎ gè duō？ zuì bèn dàn yě zuì xiǎn rán de fāng fǎ shì guī dìng měi gè xué shēng dū qù zuò zài dèng zǐ shàng， ér qiě yī gè xué shēng zhǐ néng zuò yī zhāng dèng zǐ。 zuì hòu， rú guǒ yòu xué shēng méi zuò dào dèng zǐ， nà me biàn shì xué shēng duō。 rú guǒ zuì hòu yòu dèng zǐ kōng zhe， nà me biàn shì dèng zǐ duō。”
rú guǒ shì yòu xiàn shù liàng， kě yǐ yòng yī duì yī de fāng fǎ bǐ jiào， wú xiàn shù liàng， bù xíng。
jiǎ shè lái gè fù xiào cháng， yào qiú měi liǎng gè xué shēng zuò yī gè dèng zǐ， rán hòu tā jiǎn chá liǎo jiào shì yī， jiào shì 2， jiào shì sān ...... tā kàn dào de měi gè jiào shì dōushì rú cǐ， hòu miàn de jiào shì tā rèn wéi bù yòng jiǎn chá liǎo（ huò gēn běn bù kě néng jiǎn chá wán héng héng wú qióng de gài niàn）， yú shì tā xuān bù， běn xué xiào dèng zǐ shù liàng， zhèng hǎo shì xué shēng shù liàng de yī bàn。
dì 'èr tiān， yòu lái gè fù xiào cháng， yào qiú měi gè xué shēng zuò yī gè dèng zǐ， rán hòu tā jiǎn chá liǎo jiào shì yī， jiào shì 2， jiào shì sān ...... tā kàn dào de měi gè jiào shì dōushì rú cǐ， hòu miàn de jiào shì tā rèn wéi bù yòng jiǎn chá liǎo（ huò gēn běn bù kě néng jiǎn chá wán héng héng wú qióng de gài niàn）， yú shì tā xuān bù， běn xué xiào dèng zǐ shù liàng， zhèng hǎo děng yú xué shēng shù liàng。
liǎng wèi zì yǐ wéi shì de xiào cháng dōuyòu kě néng shì duì de， yě kě néng shì cuò de， fāng fǎ bù duì。
zài yòu xiàn jí de bǐ jiào guò chéng zhōng， guān jiàn bù zài jiàn lì liǎo zěn yàng de duì yìng guān xì， guān jiàn zài yú wǒ men yào bǐ jiào dào zuì hòu， zhì shǎo yī gè jí hé jié shù liǎo， ér lìng yī gè jí hé zhōng yuán sù shù liàng yǐ jīng chāo guò duì bǐ jí hé shù liàng， ér qiě hái méi jié shù， wǒ men cái néng zhèng míng yī gè jí hé jiàn lì de duì yìng guān xì bǐ lìng yī gè jí hé shù liàng duō。
zì rán shù jí zhōng kě yǐ chōu chū 'ǒu shù jí， gēn 'ǒu shù jí wán quán yī yī duì yìng， ér zì rán shù jí hái yòu shèng yú yuán sù， yīn cǐ wǒ men kě yǐ dé dào jié lùn： zì rán shù jí bǐ 'ǒu shù jí duō。
kāng tuō 'ěr duì jiǎo xiàn zhèng míng
xiàn zài lái zhèng míng shí shù qū jiān [0,1] zhōng suǒ yòu de shí shù zǔ chéng de jí hé shì bù kě liè jí。
qí shí zhǐ yào zhèng míng (0,1] qū jiān de shí shù jí shì bù kě liè de。 rú guǒ tā shì kě liè de， shuō míng qí zhōng suǒ yòu de shí shù jūn kě pái liè chéng yī shù liè t1,t2,...,tn,...， zhǐ yòu zhè yàng， tā cái néng duì děng yú zì rán shù jí。 hǎo， zhè shí wǒ men jiāng (0,1] zhōng de shí shù yòng shí jìn zhì de wú xiàn xiǎo shù biǎo shì：
t1=0.t11t12t13...t1n...
t2=0.t21t22t23...t2n...
...
tm=0.tm1tm2tm3...tmn...
...
qí zhōng suǒ yòu de tij dōushì 0～ 9 zhè shí gè shù zì zhōng de mǒu yī gè。
dàn shì xiàn zài wǒ men kě yǐ gòu zào yī gè xiǎo shù a=0.a1a2a3...ak...， rèn yì de ai yědōu shì 0～ 9 zhè shí gè shù zì zhōng de mǒu yī gè， dàn wǒ men ràng měi gè ai dōubù děng yú shàng shù shí shù liè zhōng de tii， yě jiù shì ràng dì i wèi de shù zì gēn shù liè zhōng dì i hángdì i gè shù zì bù tóng。 zhè shì kě xíng de， yīn wéi wǒ men yòng de shì shí jìn zhì xiǎo shù， hái shèng xià 9 gè bù tóng shù zì kě gōng xuǎn zé ní。
dāng wǒ men gòu zào hǎo liǎo zhè yàng de yī gè xiǎo shù zhī hòu， wǒ men fā xiàn tā shí jì shàng gēn shàng shù xiǎo shù liè zhōng de rèn hé yī gèdōu bù xiāng děng。 zhè jiù zào chéng liǎo luó ji shàng de máo dùn， nǐ shuō yǐ jīng bǎ suǒ yòu xiǎo shù dū liè chū lái liǎo， dàn shì wǒ què fā xiàn zhì shǎo wǒ gòu zào de zhè gè xiǎo shù， nǐ hái méi yòu luó liè chū lái。 jiù suàn nǐ wáng yáng bǔ láo， bǎ wǒ zhè gè yě bǔ chōng jìn qù， dàn shì wǒ hái shì kě yǐ gēn jù tóng yàng guī zé yòu gòu zào chū lìng yī gè。 suǒ yǐ， zhǐ néng shuō míng shí shù shì wú fǎ gēn kě liè jí xíng chéng yī yī duì yìng de， yě jiù shì qián miàn de jiǎ shè shì cuò wù de。
yīn cǐ [0,1] qū jiān de shí shǔbù shì kě liè jí。 tóng yàng， qǔ diào 0， 1 liǎng gè shǔzhī hòu de (0,1) qū jiān de shí shù yě bù shì kě liè jí。
fǎn bó：
wú xiàn jí dōushì bù kě xiě quán de， bǐ rú gēn běn bù néng xiě chū yī gè (0,1) zhī jiān xiǎo shù wèi zuì cháng de yòu lǐ shù， yīn cǐ běn zhèng míng de jiǎ shè tiáo jiàn bù chéng lì， qí tā yī qiēdōu wú xiào。 chú fēi xīn gòu zào de bù shì shí shù， fǒu zé zhǐ néng zhèng míng jiǎ shè jiāng suǒ yòu shí shù liè chū de jiǎ shè bù chéng lì。 suǒ yǐ kāng tuō 'ěr duì jiǎo xiàn zhèng míng fǎ bù chéng lì。 ér shì shí shàng， rú guǒ yǔn xǔ děng shì de gài niàn cún zài， suǒ yòu wú qióng jí， dū děng shì。 zǒng shì nǐ yòu yī gè yuán sù， wǒ jiù néng ná chū yī gè yuán sù duì yìng， tóng yàng yědōu kě yǐ nǐ ná 1 gè wǒ ná 2 gè， huò xiāng fǎn， nǐ ná 2 gè wǒ ná 1 gè， dōushì néng yǒng yuǎn duì yìng de， méi yòu jìn tóu。 | | jishu
jī shù
cardinalnumber
yòu chēng shì， jí hé lùn jī běn gài niàn zhī yī， shì rì cháng yòng yǐ biǎo shì duō shǎo de shù de gài niàn de tuī guǎng hé fā zhǎn。 àn zhào G.(F.P.) kāng tuō 'ěr de yuán yì， jí hé □ de jī shù shì yī qiē yǔ□ jù yòu děng shì guān xì de jí ( jí cún zài yī gè shuāng shè bǎ jí hé□ de quán bù yuán sù yìng chéng lìng yī jí hé de quán bù yuán sù ) de gòng tóng tè zhēng , shì duì□ de yuán sù jìn xíng shǔ xìng jí cì xù shuāngchóng chōu xiàng zhī hòu de jiēguǒ , suǒ yǐ yòng□ biǎo shì ( jiào duō yòng |□ |)。 (F.L.)G. fú léi gé yǔ B.A.W. luó sù fēn bié zài 1884 nián yǔ 1902 nián bǎ□ dìng yì wéi suǒ yòu yǔ jí□ děng shì de jí suǒ chéng zhī jí， jí□＝ {□｜□～□ }。 zhè yī dìng yì suī rán xíng shì jiǎn dān míng liǎo , dàn zài ZFC xì tǒng zhōng què bù néng zhèng míng tā gòu chéng yī gè jí hé。 shì shí shàng， {□｜ B～ A} duì yú rèn hé fēi kōng jí□， shì yī gè zhēn lèi。 yīn wéi yóu {□ |B～ A} shì yī gè jí kě yǐ tuī chū suǒ yòu de jí hé yě gòu chéng yī gè jí， ér zhè shì zhù míng de kāng tuō 'ěr bèi lùn (1899) yǔ luó sù bèi lùn (1903) chǎn shēng de gēn yuán。 1928 nián J. féng · nuò yī màn jiàn yì yòng yī gè tè shū de yǔ□ děng shì de jí , jí suǒ yòu yǔ□ děng shì de xù shù zhōng zuì xiǎo de yī gè zuò wéi□ de jī shù , zhè yàng de xù shù chēng wéi chū shǐ xù shù , gēn jù jì shù dìng lǐ yǔ xù shù de liáng xù xìng， duì yú rèn hé jí□ , tā suǒ duì yìng de chū shǐ xù shù shì bì dìng cún zài qiě wéi yī de。 liǎng gè jí□、□ jù yòu xiāng tóng jī shù de chōng yào tiáo jiàn shì□□～□， zhè wán quán fú hé G. kāng tuō 'ěr de yuán yì。 dāng jí de jī shù wèiyòu xiàn xù shù shí， chēng gāi jī shù wèiyòu xiàn jī shù ， fǒu zé chēng wéi chāo xiàn jī shù 。 tā men suǒ duì yìng de jí fēn bié chēng wèiyòu xiàn jí yǔ wú xiàn jí。 kě yǐ zhèng míng jí A wéi wú xiàn de chōng yào tiáo jiàn shì cún zài□ de yī gè zhēn zǐ jí□ 1, shǐ dé□ 1～□。□ yǔ zì rán shù jí□ děng shì de jí chēng wéi kě shù jí， tā de jī shù shì□， dàn xí guàn shàng cháng yòng□ 0 biǎo shì。 zhěng shù jí□、 yòu lǐ shù jí□、 zhěng xì shù duō xiàng shì jí□ [□ ]、 dài shù shù jí、□ wéi 'ōu shì kōng jiān□□ zhōng de gé zǐ diǎn jí děngdōu shì kě shù jí de lì zǐ。 měi yī gè wú xiàn jí dū cún zài kě shù zǐ jí， ér kě shù jí de rèn yī wú xiàn zǐ jí bì wéi kě shù jí。 zài jī shù xù de yì yì xià ,□ 0 shì zuì xiǎo de wú xiàn jī shù ， jí kě shù jí shì zuì xiǎo de wú xiàn jí。 kě shù jí yǔ yòu xiàn jí yī qǐ hé chēng zhì duō kě shù jí。 fēi kě shù de wú xiàn jí chēng bù kě shù jí。 wú lǐ shù jí、 chāo yuè shù jí、 qū jiān (□ ,□ ) zhōng de diǎn jí、 [0,1] shàng de lián xù hán shù jí□ [0， 1]、□ wéi kōng jiān□□ de diǎn jí、 dìng yì zài [□ ,□ ] shàng de hán shù jí děng děngdōu shì bù kě shù jí de lì zǐ。
shè□、 β wéi liǎng gè jī shù ，□、□ wéi liǎng gè jí ,|□ |=□ ,|□ |=β， kě yǐ dìng yì jī shù de dà xiǎo guān xì jí hé、 jī、 mì děng yùn suàn rú xià：
□≤ β dāng qiě jǐn dāng cún zài yī gè cóng□ dào□ de dān shè；
□ □＋ β=|{0}×□∪ {1}×□ |；
□□ β=｜□ ×□｜；
□□ =｜□□ │ , qí zhōng□□ ={□ :□→□ }。 zài shàng shù dìng yì zhōng， suī rán xíng shì shàng xū yào tōng guò jí□、□ lái biǎo shù， dàn shì shí shàng tā mendōu zhǐ yǔ□、 β yòu guān , ér bù yǐ lài yú□、□ de xuǎn qǔ。 jí duì yú rèn hé jí□、□， zhǐ yào｜□｜ =□ ,｜□｜ =β, suǒ dé de jiēguǒ jiù bǎo chí bù biàn。 zhè jiù bǎo zhèng liǎo dìng yì de hé lǐ xìng。 cǐ wài hé yǔ jī hái néng tuī guǎng dào rèn yì jī shù liè□□ (β □，
□。 duì yú rèn hé jī shù □、 β、□， xià liè xìng zhì chéng lì。
① chuán dì xìng： ruò□≤ β qiě β≤□ zé□≤□。
② zì fǎn xìng：□≤□。
③ fǎn duìchèn xìng： ruò□≤ β qiě β≤□ zé□＝ β。
④ qiáng lián jié xìng：□≤ β yǔ β≤□ èr zhě bì jū qí yī。
⑤ jié hé lǜ：□ +(β+□ )=(□ +β)+□；
□ (β·□ )=(□ ·β)·□。
⑥ jiāo huàn lǜ：□＋ β＝ β＋□；□□ β=β□□。
⑦ cún zài héng děng yuán： 0＋□＝□； 1·□＝□。
⑧ fēn pèi lǜ：□ (β+□ )=□□ β+□□□。
⑨ tóng dǐ mì de jī：□。
⑩ mì de mì：□。
(11) jī de mì：□。
xìng zhì①～④ shuō míng jī shù de≤ shì yī gè quán xù guān xì， qí zhōng xìng zhì③ chēng wéi kāng tuō 'ěr - bó 'ēn sī tǎn dìng lǐ , tā shì jí hé lùn zhōng de yī gè zhòng yào dìng lǐ， kě yòng yǐ què dìng ruò gān jí hé de jī shù 。 1895 nián G. kāng tuō 'ěr gěi chū liǎo zhè yī mìng tí de děng jià xíng shì： shè□、□ wéi liǎng gè jí hé , ruò□ yǔ□ de zǐ jí□ 1 děng shì ,□ yǔ□ de zǐ jí□ 1 děng shì , zé□ yǔ□ děng shì ; bìng zài jī shù kě bǐ jiào de qián tí xià jǐyǔ zhèng míng。 1896 nián F.W.K.E. shī luó dé zài yī piān lùn wén de | | - : basic number, cardinality, Base Number
- n.: base, floor, operand, radix, cardinal number
- v.: cardinal numbers (any of the digits from 1 to 9)
| | - n. nombre cardinal
| | | hán shù | chā zhí | shù xué | nǐ hé | |
|
|
|